Theorem psr1tos 21466

Description: The ordered power series structure is a totally ordered set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
psr1val.1	⊢ 𝑆 = (PwSer1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
psr1tos	⊢ (𝑅 ∈ Toset → 𝑆 ∈ Toset)

Proof of Theorem psr1tos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psr1val.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (PwSer1‘𝑅)
2	1	psr1val 21463	. 2 ⊢ 𝑆 = ((1o ordPwSer 𝑅)‘∅)
3		1on 8384	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → 1o ∈ On)
5		id 22	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → 𝑅 ∈ Toset)
6		0ss 4348	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ (1o × 1o)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → ∅ ⊆ (1o × 1o))
8		0we1 8412	. . 3 ⊢ ∅ We 1o
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → ∅ We 1o)
10	2, 4, 5, 7, 9	opsrtos 21370	1 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → 𝑆 ∈ Toset)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3902  ∅c0 4274   We wwe 5579   × cxp 5623  Oncon0 6307  ‘cfv 6484  1_oc1o 8365  Tosetctos 18232  PwSer₁cps1 21452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-inf2 9503  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-se 5581  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-isom 6493  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-of 7600  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-supp 8053  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-seqom 8354  df-1o 8372  df-2o 8373  df-oadd 8376  df-omul 8377  df-oexp 8378  df-er 8574  df-map 8693  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-fsupp 9232  df-oi 9372  df-cnf 9524  df-card 9801  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-4 12144  df-5 12145  df-6 12146  df-7 12147  df-8 12148  df-9 12149  df-n0 12340  df-xnn0 12412  df-z 12426  df-dec 12544  df-uz 12689  df-fz 13346  df-hash 14151  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-sca 17076  df-vsca 17077  df-tset 17079  df-ple 17080  df-proset 18111  df-poset 18129  df-plt 18146  df-toset 18233  df-psr 21218  df-ltbag 21221  df-opsr 21222  df-psr1 21457

This theorem is referenced by: (None)