Theorem psr1tos 21639

Description: The ordered power series structure is a totally ordered set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
psr1val.1	⊢ 𝑆 = (PwSer1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
psr1tos	⊢ (𝑅 ∈ Toset → 𝑆 ∈ Toset)

Proof of Theorem psr1tos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psr1val.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (PwSer1‘𝑅)
2	1	psr1val 21636	. 2 ⊢ 𝑆 = ((1o ordPwSer 𝑅)‘∅)
3		1on 8459	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → 1o ∈ On)
5		id 22	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → 𝑅 ∈ Toset)
6		0ss 4391	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ (1o × 1o)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → ∅ ⊆ (1o × 1o))
8		0we1 8487	. . 3 ⊢ ∅ We 1o
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → ∅ We 1o)
10	2, 4, 5, 7, 9	opsrtos 21543	1 ⊢ (𝑅 ∈ Toset → 𝑆 ∈ Toset)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3943  ∅c0 4317   We wwe 5622   × cxp 5666  Oncon0 6352  ‘cfv 6531  1_oc1o 8440  Tosetctos 18350  PwSer₁cps1 21625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5277  ax-sep 5291  ax-nul 5298  ax-pow 5355  ax-pr 5419  ax-un 7707  ax-inf2 9617  ax-cnex 11147  ax-resscn 11148  ax-1cn 11149  ax-icn 11150  ax-addcl 11151  ax-addrcl 11152  ax-mulcl 11153  ax-mulrcl 11154  ax-mulcom 11155  ax-addass 11156  ax-mulass 11157  ax-distr 11158  ax-i2m1 11159  ax-1ne0 11160  ax-1rid 11161  ax-rnegex 11162  ax-rrecex 11163  ax-cnre 11164  ax-pre-lttri 11165  ax-pre-lttrn 11166  ax-pre-ltadd 11167  ax-pre-mulgt0 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3474  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5141  df-opab 5203  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5566  df-eprel 5572  df-po 5580  df-so 5581  df-fr 5623  df-se 5624  df-we 5625  df-xp 5674  df-rel 5675  df-cnv 5676  df-co 5677  df-dm 5678  df-rn 5679  df-res 5680  df-ima 5681  df-pred 6288  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7348  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7652  df-om 7838  df-1st 7956  df-2nd 7957  df-supp 8128  df-frecs 8247  df-wrecs 8278  df-recs 8352  df-rdg 8391  df-seqom 8429  df-1o 8447  df-2o 8448  df-oadd 8451  df-omul 8452  df-oexp 8453  df-er 8685  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9344  df-oi 9486  df-cnf 9638  df-card 9915  df-pnf 11231  df-mnf 11232  df-xr 11233  df-ltxr 11234  df-le 11235  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12454  df-xnn0 12526  df-z 12540  df-dec 12659  df-uz 12804  df-fz 13466  df-hash 14272  df-struct 17061  df-sets 17078  df-slot 17096  df-ndx 17108  df-base 17126  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-tset 17197  df-ple 17198  df-proset 18229  df-poset 18247  df-plt 18264  df-toset 18351  df-psr 21390  df-ltbag 21393  df-opsr 21394  df-psr1 21630

This theorem is referenced by: (None)