Theorem rhmpsr1 43243

Description: Provide a ring homomorphism between two univariate power series algebras over their respective base rings given a ring homomorphism between the two base rings. (Contributed by SN, 8-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmpsr1.p	⊢ 𝑃 = (PwSer1‘𝑅)
rhmpsr1.q	⊢ 𝑄 = (PwSer1‘𝑆)
rhmpsr1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
rhmpsr1.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝐻 ∘ 𝑝))
rhmpsr1.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
rhmpsr1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝐻,𝑝   𝑅,𝑝   𝑆,𝑝   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑝)   𝑄(𝑝)   𝐹(𝑝)

Proof of Theorem rhmpsr1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . 3 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
2		eqid 2769	. . 3 ⊢ (1o mPwSer 𝑆) = (1o mPwSer 𝑆)
3		rhmpsr1.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (PwSer1‘𝑅)
4		rhmpsr1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5	3, 4, 1	psr1bas2 22319	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
6		rhmpsr1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝐻 ∘ 𝑝))
7		1oex 8463	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
9		rhmpsr1.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
10	1, 2, 5, 6, 8, 9	rhmpsr 43242	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((1o mPwSer 𝑅) RingHom (1o mPwSer 𝑆)))
11		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
12	3, 11, 1	psr1bas2 22319	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
14		rhmpsr1.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (PwSer1‘𝑆)
15		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
16	14, 15, 2	psr1bas2 22319	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPwSer 𝑆))
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPwSer 𝑆)))
18		eqidd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃))
19		eqidd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄))
20		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
21	3, 1, 20	psr1plusg 22349	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘(1o mPwSer 𝑅))
22	21	eqcomi 2778	. . . . 5 ⊢ (+g‘(1o mPwSer 𝑅)) = (+g‘𝑃)
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (+g‘(1o mPwSer 𝑅)) = (+g‘𝑃))
24	23	oveqd 7428	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(+g‘(1o mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦))
25		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
26	14, 2, 25	psr1plusg 22349	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘(1o mPwSer 𝑆))
27	26	eqcomi 2778	. . . . 5 ⊢ (+g‘(1o mPwSer 𝑆)) = (+g‘𝑄)
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))) → (+g‘(1o mPwSer 𝑆)) = (+g‘𝑄))
29	28	oveqd 7428	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))) → (𝑥(+g‘(1o mPwSer 𝑆))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑄)𝑦))
30		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
31	3, 1, 30	psr1mulr 22351	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘(1o mPwSer 𝑅))
32	31	eqcomi 2778	. . . . 5 ⊢ (.r‘(1o mPwSer 𝑅)) = (.r‘𝑃)
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (.r‘(1o mPwSer 𝑅)) = (.r‘𝑃))
34	33	oveqd 7428	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r‘(1o mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(.r‘𝑃)𝑦))
35		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
36	14, 2, 35	psr1mulr 22351	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘(1o mPwSer 𝑆))
37	36	eqcomi 2778	. . . . 5 ⊢ (.r‘(1o mPwSer 𝑆)) = (.r‘𝑄)
38	37	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))) → (.r‘(1o mPwSer 𝑆)) = (.r‘𝑄))
39	38	oveqd 7428	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))) → (𝑥(.r‘(1o mPwSer 𝑆))𝑦) = (𝑥(.r‘𝑄)𝑦))
40	13, 17, 18, 19, 24, 29, 34, 39	rhmpropd 20694	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1o mPwSer 𝑅) RingHom (1o mPwSer 𝑆)) = (𝑃 RingHom 𝑄))
41	10, 40	eleqtrd 2871	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3461   ↦ cmpt 5194   ∘ ccom 5666  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1_oc1o 8446  Basecbs 17269  +_gcplusg 17310  ._rcmulr 17311   RingHom crh 20551   mPwSer cmps 22023  PwSer₁cps1 22304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-ofr 7676  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-sup 9402  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-hash 14367  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-prds 17500  df-pws 17502  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-mulg 19134  df-ghm 19284  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-rhm 20554  df-psr 22028  df-opsr 22032  df-psr1 22309

This theorem is referenced by: (None)