Theorem rhmpsr1 42748

Description: Provide a ring homomorphism between two univariate power series algebras over their respective base rings given a ring homomorphism between the two base rings. (Contributed by SN, 8-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmpsr1.p	⊢ 𝑃 = (PwSer1‘𝑅)
rhmpsr1.q	⊢ 𝑄 = (PwSer1‘𝑆)
rhmpsr1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
rhmpsr1.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝐻 ∘ 𝑝))
rhmpsr1.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
rhmpsr1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝐻,𝑝   𝑅,𝑝   𝑆,𝑝   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑝)   𝑄(𝑝)   𝐹(𝑝)

Proof of Theorem rhmpsr1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . 3 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ (1o mPwSer 𝑆) = (1o mPwSer 𝑆)
3		rhmpsr1.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (PwSer1‘𝑅)
4		rhmpsr1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5	3, 4, 1	psr1bas2 22128	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
6		rhmpsr1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝐻 ∘ 𝑝))
7		1oex 8405	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
9		rhmpsr1.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
10	1, 2, 5, 6, 8, 9	rhmpsr 42747	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((1o mPwSer 𝑅) RingHom (1o mPwSer 𝑆)))
11		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
12	3, 11, 1	psr1bas2 22128	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
14		rhmpsr1.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (PwSer1‘𝑆)
15		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
16	14, 15, 2	psr1bas2 22128	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPwSer 𝑆))
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPwSer 𝑆)))
18		eqidd 2735	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃))
19		eqidd 2735	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄))
20		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
21	3, 1, 20	psr1plusg 22159	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘(1o mPwSer 𝑅))
22	21	eqcomi 2743	. . . . 5 ⊢ (+g‘(1o mPwSer 𝑅)) = (+g‘𝑃)
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (+g‘(1o mPwSer 𝑅)) = (+g‘𝑃))
24	23	oveqd 7373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(+g‘(1o mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦))
25		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
26	14, 2, 25	psr1plusg 22159	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘(1o mPwSer 𝑆))
27	26	eqcomi 2743	. . . . 5 ⊢ (+g‘(1o mPwSer 𝑆)) = (+g‘𝑄)
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))) → (+g‘(1o mPwSer 𝑆)) = (+g‘𝑄))
29	28	oveqd 7373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))) → (𝑥(+g‘(1o mPwSer 𝑆))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑄)𝑦))
30		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
31	3, 1, 30	psr1mulr 22161	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘(1o mPwSer 𝑅))
32	31	eqcomi 2743	. . . . 5 ⊢ (.r‘(1o mPwSer 𝑅)) = (.r‘𝑃)
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (.r‘(1o mPwSer 𝑅)) = (.r‘𝑃))
34	33	oveqd 7373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r‘(1o mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(.r‘𝑃)𝑦))
35		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
36	14, 2, 35	psr1mulr 22161	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘(1o mPwSer 𝑆))
37	36	eqcomi 2743	. . . . 5 ⊢ (.r‘(1o mPwSer 𝑆)) = (.r‘𝑄)
38	37	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))) → (.r‘(1o mPwSer 𝑆)) = (.r‘𝑄))
39	38	oveqd 7373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))) → (𝑥(.r‘(1o mPwSer 𝑆))𝑦) = (𝑥(.r‘𝑄)𝑦))
40	13, 17, 18, 19, 24, 29, 34, 39	rhmpropd 20540	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1o mPwSer 𝑅) RingHom (1o mPwSer 𝑆)) = (𝑃 RingHom 𝑄))
41	10, 40	eleqtrd 2836	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ↦ cmpt 5177   ∘ ccom 5626  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  1_oc1o 8388  Basecbs 17134  +_gcplusg 17175  ._rcmulr 17176   RingHom crh 20403   mPwSer cmps 21858  PwSer₁cps1 22113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-sup 9343  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-hash 14252  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-hom 17199  df-cco 17200  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-prds 17365  df-pws 17367  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-mulg 18996  df-ghm 19140  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-rhm 20406  df-psr 21863  df-opsr 21867  df-psr1 22118

This theorem is referenced by: (None)