Theorem rhmpsr1 43014

Description: Provide a ring homomorphism between two univariate power series algebras over their respective base rings given a ring homomorphism between the two base rings. (Contributed by SN, 8-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmpsr1.p	⊢ 𝑃 = (PwSer1‘𝑅)
rhmpsr1.q	⊢ 𝑄 = (PwSer1‘𝑆)
rhmpsr1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
rhmpsr1.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝐻 ∘ 𝑝))
rhmpsr1.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
rhmpsr1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝐻,𝑝   𝑅,𝑝   𝑆,𝑝   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑝)   𝑄(𝑝)   𝐹(𝑝)

Proof of Theorem rhmpsr1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1o mPwSer 𝑆) = (1o mPwSer 𝑆)
3		rhmpsr1.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (PwSer1‘𝑅)
4		rhmpsr1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5	3, 4, 1	psr1bas2 22167	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
6		rhmpsr1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝐻 ∘ 𝑝))
7		1oex 8410	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
9		rhmpsr1.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
10	1, 2, 5, 6, 8, 9	rhmpsr 43013	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((1o mPwSer 𝑅) RingHom (1o mPwSer 𝑆)))
11		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
12	3, 11, 1	psr1bas2 22167	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
14		rhmpsr1.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (PwSer1‘𝑆)
15		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
16	14, 15, 2	psr1bas2 22167	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPwSer 𝑆))
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPwSer 𝑆)))
18		eqidd 2738	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃))
19		eqidd 2738	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄))
20		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
21	3, 1, 20	psr1plusg 22198	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘(1o mPwSer 𝑅))
22	21	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ (+g‘(1o mPwSer 𝑅)) = (+g‘𝑃)
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (+g‘(1o mPwSer 𝑅)) = (+g‘𝑃))
24	23	oveqd 7379	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(+g‘(1o mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦))
25		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
26	14, 2, 25	psr1plusg 22198	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘(1o mPwSer 𝑆))
27	26	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ (+g‘(1o mPwSer 𝑆)) = (+g‘𝑄)
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))) → (+g‘(1o mPwSer 𝑆)) = (+g‘𝑄))
29	28	oveqd 7379	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))) → (𝑥(+g‘(1o mPwSer 𝑆))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑄)𝑦))
30		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
31	3, 1, 30	psr1mulr 22200	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘(1o mPwSer 𝑅))
32	31	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ (.r‘(1o mPwSer 𝑅)) = (.r‘𝑃)
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (.r‘(1o mPwSer 𝑅)) = (.r‘𝑃))
34	33	oveqd 7379	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r‘(1o mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(.r‘𝑃)𝑦))
35		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
36	14, 2, 35	psr1mulr 22200	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘(1o mPwSer 𝑆))
37	36	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ (.r‘(1o mPwSer 𝑆)) = (.r‘𝑄)
38	37	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))) → (.r‘(1o mPwSer 𝑆)) = (.r‘𝑄))
39	38	oveqd 7379	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))) → (𝑥(.r‘(1o mPwSer 𝑆))𝑦) = (𝑥(.r‘𝑄)𝑦))
40	13, 17, 18, 19, 24, 29, 34, 39	rhmpropd 20581	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1o mPwSer 𝑅) RingHom (1o mPwSer 𝑆)) = (𝑃 RingHom 𝑄))
41	10, 40	eleqtrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ↦ cmpt 5167   ∘ ccom 5630  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  1_oc1o 8393  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  ._rcmulr 17216   RingHom crh 20444   mPwSer cmps 21898  PwSer₁cps1 22152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-ofr 7627  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-sup 9350  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-mulg 19039  df-ghm 19183  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-rhm 20447  df-psr 21903  df-opsr 21907  df-psr1 22157

This theorem is referenced by: (None)