Theorem rhmpsr1 42548

Description: Provide a ring homomorphism between two univariate power series algebras over their respective base rings given a ring homomorphism between the two base rings. (Contributed by SN, 8-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmpsr1.p	⊢ 𝑃 = (PwSer1‘𝑅)
rhmpsr1.q	⊢ 𝑄 = (PwSer1‘𝑆)
rhmpsr1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
rhmpsr1.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝐻 ∘ 𝑝))
rhmpsr1.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
rhmpsr1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝐻,𝑝   𝑅,𝑝   𝑆,𝑝   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑝)   𝑄(𝑝)   𝐹(𝑝)

Proof of Theorem rhmpsr1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (1o mPwSer 𝑆) = (1o mPwSer 𝑆)
3		rhmpsr1.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (PwSer1‘𝑅)
4		rhmpsr1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5	3, 4, 1	psr1bas2 22081	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
6		rhmpsr1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝐻 ∘ 𝑝))
7		1oex 8447	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
9		rhmpsr1.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
10	1, 2, 5, 6, 8, 9	rhmpsr 42547	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((1o mPwSer 𝑅) RingHom (1o mPwSer 𝑆)))
11		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
12	3, 11, 1	psr1bas2 22081	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
14		rhmpsr1.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (PwSer1‘𝑆)
15		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
16	14, 15, 2	psr1bas2 22081	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPwSer 𝑆))
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPwSer 𝑆)))
18		eqidd 2731	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃))
19		eqidd 2731	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄))
20		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
21	3, 1, 20	psr1plusg 22112	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘(1o mPwSer 𝑅))
22	21	eqcomi 2739	. . . . 5 ⊢ (+g‘(1o mPwSer 𝑅)) = (+g‘𝑃)
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (+g‘(1o mPwSer 𝑅)) = (+g‘𝑃))
24	23	oveqd 7407	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(+g‘(1o mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦))
25		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
26	14, 2, 25	psr1plusg 22112	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘(1o mPwSer 𝑆))
27	26	eqcomi 2739	. . . . 5 ⊢ (+g‘(1o mPwSer 𝑆)) = (+g‘𝑄)
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))) → (+g‘(1o mPwSer 𝑆)) = (+g‘𝑄))
29	28	oveqd 7407	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))) → (𝑥(+g‘(1o mPwSer 𝑆))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑄)𝑦))
30		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
31	3, 1, 30	psr1mulr 22114	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘(1o mPwSer 𝑅))
32	31	eqcomi 2739	. . . . 5 ⊢ (.r‘(1o mPwSer 𝑅)) = (.r‘𝑃)
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (.r‘(1o mPwSer 𝑅)) = (.r‘𝑃))
34	33	oveqd 7407	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r‘(1o mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(.r‘𝑃)𝑦))
35		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
36	14, 2, 35	psr1mulr 22114	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘(1o mPwSer 𝑆))
37	36	eqcomi 2739	. . . . 5 ⊢ (.r‘(1o mPwSer 𝑆)) = (.r‘𝑄)
38	37	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))) → (.r‘(1o mPwSer 𝑆)) = (.r‘𝑄))
39	38	oveqd 7407	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))) → (𝑥(.r‘(1o mPwSer 𝑆))𝑦) = (𝑥(.r‘𝑄)𝑦))
40	13, 17, 18, 19, 24, 29, 34, 39	rhmpropd 20525	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1o mPwSer 𝑅) RingHom (1o mPwSer 𝑆)) = (𝑃 RingHom 𝑄))
41	10, 40	eleqtrd 2831	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5191   ∘ ccom 5645  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  1_oc1o 8430  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  ._rcmulr 17228   RingHom crh 20385   mPwSer cmps 21820  PwSer₁cps1 22066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-mulg 19007  df-ghm 19152  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-rhm 20388  df-psr 21825  df-opsr 21829  df-psr1 22071

This theorem is referenced by: (None)