Theorem rhmpsr1 43049

Description: Provide a ring homomorphism between two univariate power series algebras over their respective base rings given a ring homomorphism between the two base rings. (Contributed by SN, 8-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmpsr1.p	⊢ 𝑃 = (PwSer1‘𝑅)
rhmpsr1.q	⊢ 𝑄 = (PwSer1‘𝑆)
rhmpsr1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
rhmpsr1.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝐻 ∘ 𝑝))
rhmpsr1.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
rhmpsr1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝐻,𝑝   𝑅,𝑝   𝑆,𝑝   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑝)   𝑄(𝑝)   𝐹(𝑝)

Proof of Theorem rhmpsr1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2741	. . 3 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
2		eqid 2741	. . 3 ⊢ (1o mPwSer 𝑆) = (1o mPwSer 𝑆)
3		rhmpsr1.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (PwSer1‘𝑅)
4		rhmpsr1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5	3, 4, 1	psr1bas2 22179	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
6		rhmpsr1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝐻 ∘ 𝑝))
7		1oex 8409	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
9		rhmpsr1.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
10	1, 2, 5, 6, 8, 9	rhmpsr 43048	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((1o mPwSer 𝑅) RingHom (1o mPwSer 𝑆)))
11		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
12	3, 11, 1	psr1bas2 22179	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
14		rhmpsr1.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (PwSer1‘𝑆)
15		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
16	14, 15, 2	psr1bas2 22179	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPwSer 𝑆))
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPwSer 𝑆)))
18		eqidd 2742	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃))
19		eqidd 2742	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄))
20		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
21	3, 1, 20	psr1plusg 22209	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘(1o mPwSer 𝑅))
22	21	eqcomi 2750	. . . . 5 ⊢ (+g‘(1o mPwSer 𝑅)) = (+g‘𝑃)
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (+g‘(1o mPwSer 𝑅)) = (+g‘𝑃))
24	23	oveqd 7377	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(+g‘(1o mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦))
25		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
26	14, 2, 25	psr1plusg 22209	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘(1o mPwSer 𝑆))
27	26	eqcomi 2750	. . . . 5 ⊢ (+g‘(1o mPwSer 𝑆)) = (+g‘𝑄)
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))) → (+g‘(1o mPwSer 𝑆)) = (+g‘𝑄))
29	28	oveqd 7377	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))) → (𝑥(+g‘(1o mPwSer 𝑆))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑄)𝑦))
30		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
31	3, 1, 30	psr1mulr 22211	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘(1o mPwSer 𝑅))
32	31	eqcomi 2750	. . . . 5 ⊢ (.r‘(1o mPwSer 𝑅)) = (.r‘𝑃)
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (.r‘(1o mPwSer 𝑅)) = (.r‘𝑃))
34	33	oveqd 7377	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r‘(1o mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(.r‘𝑃)𝑦))
35		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
36	14, 2, 35	psr1mulr 22211	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘(1o mPwSer 𝑆))
37	36	eqcomi 2750	. . . . 5 ⊢ (.r‘(1o mPwSer 𝑆)) = (.r‘𝑄)
38	37	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))) → (.r‘(1o mPwSer 𝑆)) = (.r‘𝑄))
39	38	oveqd 7377	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑄))) → (𝑥(.r‘(1o mPwSer 𝑆))𝑦) = (𝑥(.r‘𝑄)𝑦))
40	13, 17, 18, 19, 24, 29, 34, 39	rhmpropd 20585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1o mPwSer 𝑅) RingHom (1o mPwSer 𝑆)) = (𝑃 RingHom 𝑄))
41	10, 40	eleqtrd 2843	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433   ↦ cmpt 5156   ∘ ccom 5625  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  1_oc1o 8392  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  ._rcmulr 17216   RingHom crh 20444   mPwSer cmps 21883  PwSer₁cps1 22164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-mulg 19039  df-ghm 19183  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-rhm 20447  df-psr 21888  df-opsr 21892  df-psr1 22169

This theorem is referenced by: (None)