Theorem pythagtriplem2 16856

Description: Lemma for pythagtrip 16873. Prove the full version of one direction of the theorem. (Contributed by Scott Fenton, 28-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pythagtriplem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ ({𝐴, 𝐵} = {(𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))), (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))} ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑚,𝑘   𝐵,𝑛,𝑚,𝑘   𝐶,𝑛,𝑚,𝑘

Proof of Theorem pythagtriplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∈ V
2		ovex 7465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∈ V
3		preq12bg 4852	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∈ V ∧ (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∈ V)) → ({𝐴, 𝐵} = {(𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))), (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))} ↔ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))))))
4	1, 2, 3	mpanr12 705	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ({𝐴, 𝐵} = {(𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))), (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))} ↔ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))))))
5	4	anbi1d 631	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (({𝐴, 𝐵} = {(𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))), (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))} ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ (((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
6		andir 1010	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ (((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ((𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
7		df-3an 1088	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))))
8		df-3an 1088	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ ((𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))))
9	7, 8	orbi12i 914	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))) ↔ (((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ((𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
10	6, 9	bitr4i 278	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
11	5, 10	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (({𝐴, 𝐵} = {(𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))), (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))} ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))))))
12	11	rexbidv 3178	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑘 ∈ ℕ ({𝐴, 𝐵} = {(𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))), (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))} ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))))))
13	12	2rexbidv 3221	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ ({𝐴, 𝐵} = {(𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))), (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))} ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))))))
14		r19.43 3121	. . . . 5 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))) ↔ (∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
15	14	2rexbii 3128	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ (∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
16		r19.43 3121	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℕ (∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))) ↔ (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
17	16	rexbii 3093	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ (∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
18		r19.43 3121	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
19	15, 17, 18	3bitri 297	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))))
20	13, 19	bitrdi 287	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ ({𝐴, 𝐵} = {(𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))), (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))} ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))))))
21		pythagtriplem1 16855	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)))
23		3ancoma 1097	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))))
24	23	rexbii 3093	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))))
25	24	2rexbii 3128	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))))
26		pythagtriplem1 16855	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = (𝐶↑2))
27	25, 26	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = (𝐶↑2))
28		nncn 12275	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
29	28	sqcld 14185	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
30		nncn 12275	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
31	30	sqcld 14185	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
32		addcom 11448	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)))
33	29, 31, 32	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)))
34	33	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ↔ ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = (𝐶↑2)))
35	27, 34	imbitrrid 246	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)))
36	22, 35	jaod 859	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) ∨ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)))
37	20, 36	sylbid 240	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ ({𝐴, 𝐵} = {(𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))), (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))} ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3069  Vcvv 3479  {cpr 4627  (class class class)co 7432  ℂcc 11154   + caddc 11159   · cmul 11161   − cmin 11493  ℕcn 12267  2c2 12322  ↑cexp 14103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-seq 14044  df-exp 14104

This theorem is referenced by:  pythagtrip  16873