Theorem rabrenfdioph 40886

Description: Change variable numbers in a Diophantine class abstraction using explicit substitution. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rabrenfdioph	⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵)) ∣ [(𝑏 ∘ 𝐹) / 𝑎]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑏   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑎)

Proof of Theorem rabrenfdioph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵))) → 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵)))
2		simplr 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵))) → 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵))
3		ovex 7362	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝐴) ∈ V
4	3	mapco2 40787	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵)) ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) → (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)))
5	1, 2, 4	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵))) → (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)))
6	5	biantrurd 533	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵))) → ([(𝑏 ∘ 𝐹) / 𝑎]𝜑 ↔ ((𝑏 ∘ 𝐹) ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∧ [(𝑏 ∘ 𝐹) / 𝑎]𝜑)))
7		nfcv 2904	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎(ℕ0 ↑m (1...𝐴))
8	7	elrabsf 3774	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∘ 𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ↔ ((𝑏 ∘ 𝐹) ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∧ [(𝑏 ∘ 𝐹) / 𝑎]𝜑))
9	6, 8	bitr4di 288	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵))) → ([(𝑏 ∘ 𝐹) / 𝑎]𝜑 ↔ (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑}))
10	9	rabbidva 3410	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵)) ∣ [(𝑏 ∘ 𝐹) / 𝑎]𝜑} = {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵)) ∣ (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑}})
11	10	3adant3 1131	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵)) ∣ [(𝑏 ∘ 𝐹) / 𝑎]𝜑} = {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵)) ∣ (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑}})
12		diophren 40885	. . 3 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵)) ∣ (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑}} ∈ (Dioph‘𝐵))
13	12	3coml 1126	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵)) ∣ (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑}} ∈ (Dioph‘𝐵))
14	11, 13	eqeltrd 2837	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵)) ∣ [(𝑏 ∘ 𝐹) / 𝑎]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3403  [wsbc 3726   ∘ ccom 5618  ⟶wf 6469  ‘cfv 6473  (class class class)co 7329   ↑_m cmap 8678  1c1 10965  ℕ₀cn0 12326  ...cfz 13332  Diophcdioph 40827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-inf2 9490  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-of 7587  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-oadd 8363  df-er 8561  df-map 8680  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-dju 9750  df-card 9788  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-n0 12327  df-z 12413  df-uz 12676  df-fz 13333  df-hash 14138  df-mzpcl 40795  df-mzp 40796  df-dioph 40828

This theorem is referenced by:  rabren3dioph  40887