Theorem rabrenfdioph 42378

Description: Change variable numbers in a Diophantine class abstraction using explicit substitution. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rabrenfdioph	⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵)) ∣ [(𝑏 ∘ 𝐹) / 𝑎]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑏   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑎)

Proof of Theorem rabrenfdioph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵))) → 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵)))
2		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵))) → 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵))
3		ovex 7452	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝐴) ∈ V
4	3	mapco2 42279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵)) ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) → (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)))
5	1, 2, 4	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵))) → (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)))
6	5	biantrurd 531	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵))) → ([(𝑏 ∘ 𝐹) / 𝑎]𝜑 ↔ ((𝑏 ∘ 𝐹) ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∧ [(𝑏 ∘ 𝐹) / 𝑎]𝜑)))
7		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎(ℕ0 ↑m (1...𝐴))
8	7	elrabsf 3822	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∘ 𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ↔ ((𝑏 ∘ 𝐹) ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∧ [(𝑏 ∘ 𝐹) / 𝑎]𝜑))
9	6, 8	bitr4di 288	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵))) → ([(𝑏 ∘ 𝐹) / 𝑎]𝜑 ↔ (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑}))
10	9	rabbidva 3425	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵)) ∣ [(𝑏 ∘ 𝐹) / 𝑎]𝜑} = {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵)) ∣ (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑}})
11	10	3adant3 1129	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵)) ∣ [(𝑏 ∘ 𝐹) / 𝑎]𝜑} = {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵)) ∣ (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑}})
12		diophren 42377	. . 3 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵)) ∣ (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑}} ∈ (Dioph‘𝐵))
13	12	3coml 1124	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵)) ∣ (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑}} ∈ (Dioph‘𝐵))
14	11, 13	eqeltrd 2825	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵)) ∣ [(𝑏 ∘ 𝐹) / 𝑎]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3418  [wsbc 3773   ∘ ccom 5682  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8845  1c1 11146  ℕ₀cn0 12510  ...cfz 13524  Diophcdioph 42319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9671  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9931  df-card 9969  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-hash 14331  df-mzpcl 42287  df-mzp 42288  df-dioph 42320

This theorem is referenced by:  rabren3dioph  42379