Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rabrenfdioph Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rabrenfdioph 41228
Description: Change variable numbers in a Diophantine class abstraction using explicit substitution. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rabrenfdioph ((𝐡 ∈ β„•0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟢(1...𝐡) ∧ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐴)) ∣ πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π΄)) β†’ {𝑏 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐡)) ∣ [(𝑏 ∘ 𝐹) / π‘Ž]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π΅))
Distinct variable groups:   πœ‘,𝑏   𝐴,π‘Ž,𝑏   𝐡,π‘Ž,𝑏   𝐹,π‘Ž,𝑏
Allowed substitution hint:   πœ‘(π‘Ž)
Proof of Theorem rabrenfdioph
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝐡 ∈ β„•0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟢(1...𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐡))) β†’ 𝑏 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐡)))
2 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝐡 ∈ β„•0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟢(1...𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐡))) β†’ 𝐹:(1...𝐴)⟢(1...𝐡))
3 ovex 7410 . . . . . . . 8 (1...𝐴) ∈ V
43mapco2 41129 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐡)) ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟢(1...𝐡)) β†’ (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐴)))
51, 2, 4syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐡 ∈ β„•0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟢(1...𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐡))) β†’ (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐴)))
65biantrurd 533 . . . . 5 (((𝐡 ∈ β„•0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟢(1...𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐡))) β†’ ([(𝑏 ∘ 𝐹) / π‘Ž]πœ‘ ↔ ((𝑏 ∘ 𝐹) ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐴)) ∧ [(𝑏 ∘ 𝐹) / π‘Ž]πœ‘)))
7 nfcv 2902 . . . . . 6 β„²π‘Ž(β„•0 ↑m (1...𝐴))
87elrabsf 3805 . . . . 5 ((𝑏 ∘ 𝐹) ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐴)) ∣ πœ‘} ↔ ((𝑏 ∘ 𝐹) ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐴)) ∧ [(𝑏 ∘ 𝐹) / π‘Ž]πœ‘))
96, 8bitr4di 288 . . . 4 (((𝐡 ∈ β„•0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟢(1...𝐡)) ∧ 𝑏 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐡))) β†’ ([(𝑏 ∘ 𝐹) / π‘Ž]πœ‘ ↔ (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐴)) ∣ πœ‘}))
109rabbidva 3425 . . 3 ((𝐡 ∈ β„•0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟢(1...𝐡)) β†’ {𝑏 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐡)) ∣ [(𝑏 ∘ 𝐹) / π‘Ž]πœ‘} = {𝑏 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐡)) ∣ (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐴)) ∣ πœ‘}})
11103adant3 1132 . 2 ((𝐡 ∈ β„•0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟢(1...𝐡) ∧ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐴)) ∣ πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π΄)) β†’ {𝑏 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐡)) ∣ [(𝑏 ∘ 𝐹) / π‘Ž]πœ‘} = {𝑏 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐡)) ∣ (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐴)) ∣ πœ‘}})
12 diophren 41227 . . 3 (({π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐴)) ∣ πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π΄) ∧ 𝐡 ∈ β„•0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟢(1...𝐡)) β†’ {𝑏 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐡)) ∣ (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐴)) ∣ πœ‘}} ∈ (Diophβ€˜π΅))
13123coml 1127 . 2 ((𝐡 ∈ β„•0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟢(1...𝐡) ∧ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐴)) ∣ πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π΄)) β†’ {𝑏 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐡)) ∣ (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐴)) ∣ πœ‘}} ∈ (Diophβ€˜π΅))
1411, 13eqeltrd 2832 1 ((𝐡 ∈ β„•0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟢(1...𝐡) ∧ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐴)) ∣ πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π΄)) β†’ {𝑏 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝐡)) ∣ [(𝑏 ∘ 𝐹) / π‘Ž]πœ‘} ∈ (Diophβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3418  [wsbc 3757   ∘ ccom 5657  βŸΆwf 6512  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377   ↑m cmap 8787  1c1 11076  β„•0cn0 12437  ...cfz 13449  Diophcdioph 41169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-of 7637  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-oadd 8436  df-er 8670  df-map 8789  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-fz 13450  df-hash 14256  df-mzpcl 41137  df-mzp 41138  df-dioph 41170
This theorem is referenced by:  rabren3dioph  41229
  Copyright terms: Public domain W3C validator