Theorem rabrenfdioph 38847

Description: Change variable numbers in a Diophantine class abstraction using explicit substitution. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rabrenfdioph	⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐵)) ∣ [(𝑏 ∘ 𝐹) / 𝑎]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑏   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑎)

Proof of Theorem rabrenfdioph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐵))) → 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐵)))
2		simplr 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐵))) → 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵))
3		ovex 7039	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝐴) ∈ V
4	3	mapco2 38747	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐵)) ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) → (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐴)))
5	1, 2, 4	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐵))) → (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐴)))
6	5	biantrurd 533	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐵))) → ([(𝑏 ∘ 𝐹) / 𝑎]𝜑 ↔ ((𝑏 ∘ 𝐹) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐴)) ∧ [(𝑏 ∘ 𝐹) / 𝑎]𝜑)))
7		nfcv 2947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎(ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐴))
8	7	elrabsf 3740	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∘ 𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ↔ ((𝑏 ∘ 𝐹) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐴)) ∧ [(𝑏 ∘ 𝐹) / 𝑎]𝜑))
9	6, 8	syl6bbr 290	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐵))) → ([(𝑏 ∘ 𝐹) / 𝑎]𝜑 ↔ (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐴)) ∣ 𝜑}))
10	9	rabbidva 3419	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐵)) ∣ [(𝑏 ∘ 𝐹) / 𝑎]𝜑} = {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐵)) ∣ (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐴)) ∣ 𝜑}})
11	10	3adant3 1123	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐵)) ∣ [(𝑏 ∘ 𝐹) / 𝑎]𝜑} = {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐵)) ∣ (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐴)) ∣ 𝜑}})
12		diophren 38846	. . 3 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐵)) ∣ (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐴)) ∣ 𝜑}} ∈ (Dioph‘𝐵))
13	12	3coml 1118	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐵)) ∣ (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐴)) ∣ 𝜑}} ∈ (Dioph‘𝐵))
14	11, 13	eqeltrd 2881	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐵)) ∣ [(𝑏 ∘ 𝐹) / 𝑎]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1078   = wceq 1520   ∈ wcel 2079  {crab 3107  [wsbc 3701   ∘ ccom 5439  ⟶wf 6213  ‘cfv 6217  (class class class)co 7007   ↑_𝑚 cmap 8247  1c1 10373  ℕ₀cn0 11734  ...cfz 12731  Diophcdioph 38787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-inf2 8939  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-of 7258  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-oadd 7948  df-er 8130  df-map 8249  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-dju 9165  df-card 9203  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-fz 12732  df-hash 13529  df-mzpcl 38755  df-mzp 38756  df-dioph 38788

This theorem is referenced by:  rabren3dioph  38848