Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rabrenfdioph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rabrenfdioph 39798
 Description: Change variable numbers in a Diophantine class abstraction using explicit substitution. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rabrenfdioph ((𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴)) → {𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝐵)) ∣ [(𝑏𝐹) / 𝑎]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑏   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑎)

Proof of Theorem rabrenfdioph
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝐵))) → 𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝐵)))
2 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝐵))) → 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵))
3 ovex 7169 . . . . . . . 8 (1...𝐴) ∈ V
43mapco2 39699 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝐵)) ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) → (𝑏𝐹) ∈ (ℕ0m (1...𝐴)))
51, 2, 4syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝐵))) → (𝑏𝐹) ∈ (ℕ0m (1...𝐴)))
65biantrurd 536 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝐵))) → ([(𝑏𝐹) / 𝑎]𝜑 ↔ ((𝑏𝐹) ∈ (ℕ0m (1...𝐴)) ∧ [(𝑏𝐹) / 𝑎]𝜑)))
7 nfcv 2955 . . . . . 6 𝑎(ℕ0m (1...𝐴))
87elrabsf 3764 . . . . 5 ((𝑏𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ↔ ((𝑏𝐹) ∈ (ℕ0m (1...𝐴)) ∧ [(𝑏𝐹) / 𝑎]𝜑))
96, 8bitr4di 292 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝐵))) → ([(𝑏𝐹) / 𝑎]𝜑 ↔ (𝑏𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐴)) ∣ 𝜑}))
109rabbidva 3425 . . 3 ((𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) → {𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝐵)) ∣ [(𝑏𝐹) / 𝑎]𝜑} = {𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝐵)) ∣ (𝑏𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐴)) ∣ 𝜑}})
11103adant3 1129 . 2 ((𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴)) → {𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝐵)) ∣ [(𝑏𝐹) / 𝑎]𝜑} = {𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝐵)) ∣ (𝑏𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐴)) ∣ 𝜑}})
12 diophren 39797 . . 3 (({𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) → {𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝐵)) ∣ (𝑏𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐴)) ∣ 𝜑}} ∈ (Dioph‘𝐵))
13123coml 1124 . 2 ((𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴)) → {𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝐵)) ∣ (𝑏𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐴)) ∣ 𝜑}} ∈ (Dioph‘𝐵))
1411, 13eqeltrd 2890 1 ((𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴)) → {𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝐵)) ∣ [(𝑏𝐹) / 𝑎]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110  [wsbc 3720   ∘ ccom 5524  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136   ↑m cmap 8392  1c1 10530  ℕ0cn0 11888  ...cfz 12888  Diophcdioph 39739 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-of 7391  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-dju 9317  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-fz 12889  df-hash 13690  df-mzpcl 39707  df-mzp 39708  df-dioph 39740 This theorem is referenced by:  rabren3dioph  39799
 Copyright terms: Public domain W3C validator