Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rabrenfdioph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rabrenfdioph 40339
Description: Change variable numbers in a Diophantine class abstraction using explicit substitution. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rabrenfdioph ((𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴)) → {𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝐵)) ∣ [(𝑏𝐹) / 𝑎]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑏   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑎)

Proof of Theorem rabrenfdioph
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝐵))) → 𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝐵)))
2 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝐵))) → 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵))
3 ovex 7246 . . . . . . . 8 (1...𝐴) ∈ V
43mapco2 40240 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝐵)) ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) → (𝑏𝐹) ∈ (ℕ0m (1...𝐴)))
51, 2, 4syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝐵))) → (𝑏𝐹) ∈ (ℕ0m (1...𝐴)))
65biantrurd 536 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝐵))) → ([(𝑏𝐹) / 𝑎]𝜑 ↔ ((𝑏𝐹) ∈ (ℕ0m (1...𝐴)) ∧ [(𝑏𝐹) / 𝑎]𝜑)))
7 nfcv 2904 . . . . . 6 𝑎(ℕ0m (1...𝐴))
87elrabsf 3742 . . . . 5 ((𝑏𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ↔ ((𝑏𝐹) ∈ (ℕ0m (1...𝐴)) ∧ [(𝑏𝐹) / 𝑎]𝜑))
96, 8bitr4di 292 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝐵))) → ([(𝑏𝐹) / 𝑎]𝜑 ↔ (𝑏𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐴)) ∣ 𝜑}))
109rabbidva 3388 . . 3 ((𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) → {𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝐵)) ∣ [(𝑏𝐹) / 𝑎]𝜑} = {𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝐵)) ∣ (𝑏𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐴)) ∣ 𝜑}})
11103adant3 1134 . 2 ((𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴)) → {𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝐵)) ∣ [(𝑏𝐹) / 𝑎]𝜑} = {𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝐵)) ∣ (𝑏𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐴)) ∣ 𝜑}})
12 diophren 40338 . . 3 (({𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) → {𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝐵)) ∣ (𝑏𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐴)) ∣ 𝜑}} ∈ (Dioph‘𝐵))
13123coml 1129 . 2 ((𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴)) → {𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝐵)) ∣ (𝑏𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐴)) ∣ 𝜑}} ∈ (Dioph‘𝐵))
1411, 13eqeltrd 2838 1 ((𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴)) → {𝑏 ∈ (ℕ0m (1...𝐵)) ∣ [(𝑏𝐹) / 𝑎]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  {crab 3065  [wsbc 3694  ccom 5555  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  m cmap 8508  1c1 10730  0cn0 12090  ...cfz 13095  Diophcdioph 40280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-oadd 8206  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-dju 9517  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-hash 13897  df-mzpcl 40248  df-mzp 40249  df-dioph 40281
This theorem is referenced by:  rabren3dioph  40340
  Copyright terms: Public domain W3C validator