Theorem rabrenfdioph 43175

Description: Change variable numbers in a Diophantine class abstraction using explicit substitution. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rabrenfdioph	⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵)) ∣ [(𝑏 ∘ 𝐹) / 𝑎]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑏   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑎)

Proof of Theorem rabrenfdioph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵))) → 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵)))
2		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵))) → 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵))
3		ovex 7401	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝐴) ∈ V
4	3	mapco2 43076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵)) ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) → (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)))
5	1, 2, 4	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵))) → (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)))
6	5	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵))) → ([(𝑏 ∘ 𝐹) / 𝑎]𝜑 ↔ ((𝑏 ∘ 𝐹) ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∧ [(𝑏 ∘ 𝐹) / 𝑎]𝜑)))
7		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎(ℕ0 ↑m (1...𝐴))
8	7	elrabsf 3788	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∘ 𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ↔ ((𝑏 ∘ 𝐹) ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∧ [(𝑏 ∘ 𝐹) / 𝑎]𝜑))
9	6, 8	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵))) → ([(𝑏 ∘ 𝐹) / 𝑎]𝜑 ↔ (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑}))
10	9	rabbidva 3407	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵)) ∣ [(𝑏 ∘ 𝐹) / 𝑎]𝜑} = {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵)) ∣ (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑}})
11	10	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵)) ∣ [(𝑏 ∘ 𝐹) / 𝑎]𝜑} = {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵)) ∣ (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑}})
12		diophren 43174	. . 3 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵)) ∣ (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑}} ∈ (Dioph‘𝐵))
13	12	3coml 1128	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵)) ∣ (𝑏 ∘ 𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑}} ∈ (Dioph‘𝐵))
14	11, 13	eqeltrd 2837	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴)) → {𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝐵)) ∣ [(𝑏 ∘ 𝐹) / 𝑎]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401  [wsbc 3742   ∘ ccom 5636  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↑_m cmap 8775  1c1 11039  ℕ₀cn0 12413  ...cfz 13435  Diophcdioph 43116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-hash 14266  df-mzpcl 43084  df-mzp 43085  df-dioph 43117

This theorem is referenced by:  rabren3dioph  43176