MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facndiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem facndiv 14247
Description: No positive integer (greater than one) divides the factorial plus one of an equal or larger number. (Contributed by NM, 3-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
facndiv (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ¬ (((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem facndiv
StepHypRef Expression
1 nnre 12218 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2 recnz 12636 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → ¬ (1 / 𝑁) ∈ ℤ)
31, 2sylan 580 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁) → ¬ (1 / 𝑁) ∈ ℤ)
43ad2ant2lr 746 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ¬ (1 / 𝑁) ∈ ℤ)
5 facdiv 14246 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)
653expa 1118 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)
76nnzd 12584 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℤ)
87adantrl 714 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℤ)
9 zsubcl 12603 . . . . 5 (((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℤ) → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) ∈ ℤ)
109ex 413 . . . 4 ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ → (((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℤ → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) ∈ ℤ))
118, 10syl5com 31 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) ∈ ℤ))
12 faccl 14242 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
1312nncnd 12227 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
14 peano2cn 11385 . . . . . . . 8 ((!‘𝑀) ∈ ℂ → ((!‘𝑀) + 1) ∈ ℂ)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑀) + 1) ∈ ℂ)
1615ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ((!‘𝑀) + 1) ∈ ℂ)
1713ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
18 nncn 12219 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
19 nnne0 12245 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
2018, 19jca 512 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
2120ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
22 divsubdir 11907 . . . . . 6 ((((!‘𝑀) + 1) ∈ ℂ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) / 𝑁) = ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)))
2316, 17, 21, 22syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) / 𝑁) = ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)))
24 ax-1cn 11167 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
25 pncan2 11466 . . . . . . . 8 (((!‘𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) = 1)
2613, 24, 25sylancl 586 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) = 1)
2726oveq1d 7423 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) / 𝑁) = (1 / 𝑁))
2827ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) / 𝑁) = (1 / 𝑁))
2923, 28eqtr3d 2774 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) = (1 / 𝑁))
3029eleq1d 2818 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → (((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) ∈ ℤ ↔ (1 / 𝑁) ∈ ℤ))
3111, 30sylibd 238 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ → (1 / 𝑁) ∈ ℤ))
324, 31mtod 197 1 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ¬ (((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7408  cc 11107  cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11247  cle 11248  cmin 11443   / cdiv 11870  cn 12211  0cn0 12471  cz 12557  !cfa 14232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-seq 13966  df-fac 14233
This theorem is referenced by:  infpnlem1  16842
  Copyright terms: Public domain W3C validator