Theorem facndiv 14195

Description: No positive integer (greater than one) divides the factorial plus one of an equal or larger number. (Contributed by NM, 3-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facndiv	⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ¬ (((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem facndiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12132	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		recnz 12548	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → ¬ (1 / 𝑁) ∈ ℤ)
3	1, 2	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁) → ¬ (1 / 𝑁) ∈ ℤ)
4	3	ad2ant2lr 748	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ¬ (1 / 𝑁) ∈ ℤ)
5		facdiv 14194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)
6	5	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12495	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℤ)
8	7	adantrl 716	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℤ)
9		zsubcl 12514	. . . . 5 ⊢ (((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℤ) → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) ∈ ℤ)
10	9	ex 412	. . . 4 ⊢ ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ → (((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℤ → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) ∈ ℤ))
11	8, 10	syl5com 31	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) ∈ ℤ))
12		faccl 14190	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
13	12	nncnd 12141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
14		peano2cn 11285	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘𝑀) ∈ ℂ → ((!‘𝑀) + 1) ∈ ℂ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑀) + 1) ∈ ℂ)
16	15	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ((!‘𝑀) + 1) ∈ ℂ)
17	13	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
18		nncn 12133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
19		nnne0 12159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
20	18, 19	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
21	20	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
22		divsubdir 11815	. . . . . 6 ⊢ ((((!‘𝑀) + 1) ∈ ℂ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) / 𝑁) = ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)))
23	16, 17, 21, 22	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) / 𝑁) = ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)))
24		ax-1cn 11064	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
25		pncan2 11367	. . . . . . . 8 ⊢ (((!‘𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) = 1)
26	13, 24, 25	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) = 1)
27	26	oveq1d 7361	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) / 𝑁) = (1 / 𝑁))
28	27	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) / 𝑁) = (1 / 𝑁))
29	23, 28	eqtr3d 2768	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) = (1 / 𝑁))
30	29	eleq1d 2816	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → (((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) ∈ ℤ ↔ (1 / 𝑁) ∈ ℤ))
31	11, 30	sylibd 239	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ → (1 / 𝑁) ∈ ℤ))
32	4, 31	mtod 198	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ¬ (((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   < clt 11146   ≤ cle 11147   − cmin 11344   / cdiv 11774  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  !cfa 14180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-seq 13909  df-fac 14181

This theorem is referenced by:  infpnlem1  16822