MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facndiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem facndiv 14324
Description: No positive integer (greater than one) divides the factorial plus one of an equal or larger number. (Contributed by NM, 3-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
facndiv (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ¬ (((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem facndiv
StepHypRef Expression
1 nnre 12271 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2 recnz 12691 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → ¬ (1 / 𝑁) ∈ ℤ)
31, 2sylan 580 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁) → ¬ (1 / 𝑁) ∈ ℤ)
43ad2ant2lr 748 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ¬ (1 / 𝑁) ∈ ℤ)
5 facdiv 14323 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)
653expa 1117 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)
76nnzd 12638 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℤ)
87adantrl 716 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℤ)
9 zsubcl 12657 . . . . 5 (((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℤ) → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) ∈ ℤ)
109ex 412 . . . 4 ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ → (((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℤ → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) ∈ ℤ))
118, 10syl5com 31 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) ∈ ℤ))
12 faccl 14319 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
1312nncnd 12280 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
14 peano2cn 11431 . . . . . . . 8 ((!‘𝑀) ∈ ℂ → ((!‘𝑀) + 1) ∈ ℂ)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑀) + 1) ∈ ℂ)
1615ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ((!‘𝑀) + 1) ∈ ℂ)
1713ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
18 nncn 12272 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
19 nnne0 12298 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
2018, 19jca 511 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
2120ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
22 divsubdir 11959 . . . . . 6 ((((!‘𝑀) + 1) ∈ ℂ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) / 𝑁) = ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)))
2316, 17, 21, 22syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) / 𝑁) = ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)))
24 ax-1cn 11211 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
25 pncan2 11513 . . . . . . . 8 (((!‘𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) = 1)
2613, 24, 25sylancl 586 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) = 1)
2726oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) / 𝑁) = (1 / 𝑁))
2827ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) − (!‘𝑀)) / 𝑁) = (1 / 𝑁))
2923, 28eqtr3d 2777 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) = (1 / 𝑁))
3029eleq1d 2824 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → (((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) − ((!‘𝑀) / 𝑁)) ∈ ℤ ↔ (1 / 𝑁) ∈ ℤ))
3111, 30sylibd 239 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ((((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ → (1 / 𝑁) ∈ ℤ))
324, 31mtod 198 1 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑁𝑁𝑀)) → ¬ (((!‘𝑀) + 1) / 𝑁) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  !cfa 14309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-fac 14310
This theorem is referenced by:  infpnlem1  16944
  Copyright terms: Public domain W3C validator