Theorem rhmpsrlem1 22275

Description: Lemma for rhmpsr 43802 et al. (Contributed by SN, 8-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmpsrlem1.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
rhmpsrlem1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
rhmpsrlem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
rhmpsrlem1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rhmpsrlem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) finSupp (0g‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,𝑦   𝑓,𝐼,𝑦   𝜑,𝑥   𝑓,𝑘,𝑦   𝑥,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦, 𝑓, 𝑘)   𝐷(𝑓, 𝑘)   𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑓, 𝑘)   𝐼(𝑥, 𝑘)   𝑋(𝑥, 𝑦, 𝑓, 𝑘)   𝑌(𝑥, 𝑦, 𝑓, 𝑘)

Proof of Theorem rhmpsrlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovexd 7475	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) ∈ V)
2	1	fmpttd 7136	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))):{𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}⟶V)
3		rhmpsrlem1.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4	3	psrbaglefi 22261	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin)
5	4	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin)
6		fvexd 6920	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (0g‘𝑅) ∈ V)
7	2, 5, 6	fdmfifsupp 9391	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) finSupp (0g‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  Vcvv 3454   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ∘_f cof 7712   ∘_r cofr 7713   ↑_m cmap 8872  Fincfn 8998   finSupp cfsupp 9378   ≤ cle 11368   − cmin 11565  ℕcn 12359  ℕ₀cn0 12630  Basecbs 17413  ._rcmulr 17455  0_gc0g 17636  Ringcrg 20486

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-ofr 7715  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664

This theorem is used by:  rhmpsrlem2  22276  rhmcomulmpl  22460  rhmcomulpsr  43801