Theorem rhmpsrlem2 21961

Description: Lemma for rhmpsr 42562 et al. (Contributed by SN, 8-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmpsrlem1.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
rhmpsrlem1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
rhmpsrlem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
rhmpsrlem1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rhmpsrlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) ∈ (Base‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,𝑦   𝑓,𝐼,𝑦   𝜑,𝑥   𝑓,𝑘,𝑦,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑓,𝑘)   𝐷(𝑓,𝑘)   𝑅(𝑦,𝑓,𝑘)   𝐼(𝑥,𝑘)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑓,𝑘)   𝑌(𝑥,𝑦,𝑓,𝑘)

Proof of Theorem rhmpsrlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2737	. 2 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3		rhmpsrlem1.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4	3	ringcmnd 20281	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
6		rhmpsrlem1.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7	6	psrbaglefi 21946	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin)
8	7	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin)
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10	3	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
11		rhmpsrlem1.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
12	11	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
13		breq1 5146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∘r ≤ 𝑘 ↔ 𝑥 ∘r ≤ 𝑘))
14	13	elrab 3692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↔ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∘r ≤ 𝑘))
15	14	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} → (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∘r ≤ 𝑘))
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∘r ≤ 𝑘))
17	16	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
18	12, 17	ffvelcdmd 7105	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
19		rhmpsrlem1.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
20	19	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
21		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑘 ∈ 𝐷)
22	6	psrbagf 21938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
23	17, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
24	16	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∘r ≤ 𝑘)
25	6	psrbagcon 21945	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑥 ∘r ≤ 𝑘) → ((𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷 ∧ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∘r ≤ 𝑘))
26	21, 23, 24, 25	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷 ∧ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∘r ≤ 𝑘))
27	26	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷)
28	20, 27	ffvelcdmd 7105	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
29	1, 9, 10, 18, 28	ringcld 20257	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
30	29	fmpttd 7135	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))):{𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}⟶(Base‘𝑅))
31	6, 3, 11, 19	rhmpsrlem1 21960	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) finSupp (0g‘𝑅))
32	1, 2, 5, 8, 30, 31	gsumcl 19933	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) ∈ (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ^◡ccnv 5684   “ cima 5688  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695   ∘_r cofr 7696   ↑_m cmap 8866  Fincfn 8985   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  Basecbs 17247  ._rcmulr 17298  0_gc0g 17484   Σ_g cgsu 17485  CMndccmn 19798  Ringcrg 20230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232

This theorem is referenced by:  psrmulcllem  21965  rhmcomulmpl  22386  rhmcomulpsr  42561