Theorem rhmpsrlem2 22188

Description: Lemma for rhmpsr 43494 et al. (Contributed by SN, 8-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmpsrlem1.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
rhmpsrlem1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
rhmpsrlem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
rhmpsrlem1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rhmpsrlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) ∈ (Base‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,𝑦   𝑓,𝐼,𝑦   𝜑,𝑥   𝑓,𝑘,𝑦,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦, 𝑓, 𝑘)   𝐷(𝑓, 𝑘)   𝑅(𝑦, 𝑓, 𝑘)   𝐼(𝑥, 𝑘)   𝑋(𝑥, 𝑦, 𝑓, 𝑘)   𝑌(𝑥, 𝑦, 𝑓, 𝑘)

Proof of Theorem rhmpsrlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2760	. 2 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3		rhmpsrlem1.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4	3	ringcmnd 20452	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
5	4	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
6		rhmpsrlem1.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7	6	psrbaglefi 22173	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin)
8	7	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin)
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10	3	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
11		rhmpsrlem1.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
12	11	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
13		breq1 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∘r ≤ 𝑘 ↔ 𝑥 ∘r ≤ 𝑘))
14	13	elrab 3645	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↔ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∘r ≤ 𝑘))
15	14	bilani 510	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∘r ≤ 𝑘))
16	15	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
17	12, 16	ffvelcdmd 7081	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
18		rhmpsrlem1.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
19	18	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
20		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑘 ∈ 𝐷)
21	6	psrbagf 22165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
22	16, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
23	15	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∘r ≤ 𝑘)
24	6	psrbagcon 22172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑥 ∘r ≤ 𝑘) → ((𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷 ∧ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∘r ≤ 𝑘))
25	20, 22, 23, 24	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷 ∧ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∘r ≤ 𝑘))
26	25	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷)
27	19, 26	ffvelcdmd 7081	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
28	1, 9, 10, 17, 27	ringcld 20423	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
29	28	fmpttd 7111	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))):{𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}⟶(Base‘𝑅))
30	6, 3, 11, 18	rhmpsrlem1 22187	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) finSupp (0g‘𝑅))
31	1, 2, 5, 8, 29, 30	gsumcl 20068	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) ∈ (Base‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658  ⟶wf 6531  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416   ∘_f cof 7682   ∘_r cofr 7683   ↑_m cmap 8833  Fincfn 8959   ≤ cle 11293   − cmin 11490  ℕcn 12282  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17326  ._rcmulr 17368  0_gc0g 17549   Σ_g cgsu 17550  CMndccmn 19933  Ringcrg 20398

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9339  df-oi 9489  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-2 12352  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-seq 14091  df-hash 14420  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-plusg 17380  df-0g 17551  df-gsum 17552  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-grp 19086  df-minusg 19087  df-cntz 19470  df-cmn 19935  df-abl 19936  df-mgp 20300  df-ur 20347  df-ring 20400

This theorem is used by:  psrmulcllem  22192  rhmcomulmpl  22372  rhmcomulpsr  43493