Theorem rhmcomulpsr 43355

Description: Show that the ring homomorphism in rhmpsr 43356 preserves multiplication. (Contributed by SN, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmcomulpsr.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
rhmcomulpsr.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
rhmcomulpsr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
rhmcomulpsr.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
rhmcomulpsr.1	⊢ · = (.r‘𝑃)
rhmcomulpsr.2	⊢ ∙ = (.r‘𝑄)
rhmcomulpsr.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
rhmcomulpsr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
rhmcomulpsr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rhmcomulpsr	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 · 𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ∙ (𝐻 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem rhmcomulpsr

Dummy variables 𝑑 𝑘 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmcomulpsr.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4	2, 3	rhmf 20600	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐻:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
5	1, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
6		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7		rhmrcl1 20592	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
8	1, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		rhmcomulpsr.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
10		rhmcomulpsr.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
11		rhmcomulpsr.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
12	9, 2, 6, 10, 11	psrelbas 22122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
13		rhmcomulpsr.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
14	9, 2, 6, 10, 13	psrelbas 22122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
15	6, 8, 12, 14	rhmpsrlem2 22128	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))) ∈ (Base‘𝑅))
16	5, 15	cofmpt 7135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))))) = (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐻‘(𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))))))
17		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
18	8	ringcmnd 20399	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
19	18	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ∈ CMnd)
20		rhmrcl2 20593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
21	1, 20	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
22	21	ringgrpd 20355	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
23	22	grpmndd 19044	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
24	23	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑆 ∈ Mnd)
25		ovex 7456	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
26	25	rabex 5314	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
27	26	rabex 5314	. . . . . . 7 ⊢ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ∈ V)
29		rhmghm 20599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐻 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
30		ghmmhm 19327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
31	1, 29, 30	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
32	31	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
33		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
34	8	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
35		elrabi 3649	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} → 𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
36	12	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐹‘𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
37	35, 36	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝐹‘𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
38	37	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝐹‘𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
39	14	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝐺:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
40		eqid 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} = {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}
41	6, 40	psrbagconcl 22114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑑) ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘})
42	41	adantll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑑) ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘})
43		elrabi 3649	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∘f − 𝑑) ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} → (𝑘 ∘f − 𝑑) ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
44	42, 43	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑑) ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
45	39, 44	ffvelcdmd 7087	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)) ∈ (Base‘𝑅))
46	2, 33, 34, 38, 45	ringcld 20370	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))) ∈ (Base‘𝑅))
47	6, 8, 12, 14	rhmpsrlem1 22127	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))) finSupp (0g‘𝑅))
48	2, 17, 19, 24, 28, 32, 46, 47	gsummptmhm 20041	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑆 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (𝐻‘((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))) = (𝐻‘(𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))))
49	1	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
50		eqid 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
51	2, 33, 50	rhmmul 20605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑑) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐻‘((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑑))(.r‘𝑆)(𝐻‘(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))
52	49, 38, 45, 51	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝐻‘((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑑))(.r‘𝑆)(𝐻‘(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))
53	12	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
54	35	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
55	53, 54	fvco3d 6989	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑) = (𝐻‘(𝐹‘𝑑)))
56	39, 44	fvco3d 6989	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑)) = (𝐻‘(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))
57	55, 56	oveq12d 7441	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑)(.r‘𝑆)((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑))) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑑))(.r‘𝑆)(𝐻‘(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))
58	52, 57	eqtr4d 2804	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝐻‘((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))) = (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑)(.r‘𝑆)((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))
59	58	mpteq2dva 5209	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (𝐻‘((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))) = (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑)(.r‘𝑆)((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))
60	59	oveq2d 7439	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑆 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (𝐻‘((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))) = (𝑆 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑)(.r‘𝑆)((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))))
61	48, 60	eqtr3d 2803	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐻‘(𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))) = (𝑆 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑)(.r‘𝑆)((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))))
62	61	mpteq2dva 5209	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐻‘(𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))))) = (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑆 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑)(.r‘𝑆)((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))))
63	16, 62	eqtrd 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))))) = (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑆 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑)(.r‘𝑆)((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))))
64		rhmcomulpsr.1	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑃)
65	9, 10, 33, 64, 6, 11, 13	psrmulfval 22130	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))))
66	65	coeq2d 5853	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 · 𝐺)) = (𝐻 ∘ (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))))))
67		rhmcomulpsr.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
68		rhmcomulpsr.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
69		rhmcomulpsr.2	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘𝑄)
70	9, 67, 10, 68, 31, 11	mhmcopsr 43353	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ 𝐶)
71	9, 67, 10, 68, 31, 13	mhmcopsr 43353	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐺) ∈ 𝐶)
72	67, 68, 50, 69, 6, 70, 71	psrmulfval 22130	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝐹) ∙ (𝐻 ∘ 𝐺)) = (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑆 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑)(.r‘𝑆)((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))))
73	63, 66, 72	3eqtr4d 2811	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 · 𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ∙ (𝐻 ∘ 𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3419  Vcvv 3458   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197  ^◡ccnv 5665   “ cima 5669   ∘ ccom 5670  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ∘_f cof 7685   ∘_r cofr 7686   ↑_m cmap 8833  Fincfn 8952   ≤ cle 11262   − cmin 11459  ℕcn 12251  ℕ₀cn0 12522  Basecbs 17294  ._rcmulr 17336  0_gc0g 17517   Σ_g cgsu 17518  Mndcmnd 18821   MndHom cmhm 18870   GrpHom cghm 19314  CMndccmn 19881  Ringcrg 20346   RingHom crh 20584   mPwSer cmps 22091

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-ofr 7688  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-tset 17354  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-mhm 18872  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-ghm 19315  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-ur 20295  df-ring 20348  df-rhm 20587  df-psr 22096

This theorem is used by:  rhmpsr  43356