Theorem rhmcomulpsr 42539

Description: Show that the ring homomorphism in rhmpsr 42540 preserves multiplication. (Contributed by SN, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmcomulpsr.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
rhmcomulpsr.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
rhmcomulpsr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
rhmcomulpsr.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
rhmcomulpsr.1	⊢ · = (.r‘𝑃)
rhmcomulpsr.2	⊢ ∙ = (.r‘𝑄)
rhmcomulpsr.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
rhmcomulpsr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
rhmcomulpsr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rhmcomulpsr	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 · 𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ∙ (𝐻 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem rhmcomulpsr

Dummy variables 𝑑 𝑘 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmcomulpsr.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4	2, 3	rhmf 20394	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐻:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
6		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7		rhmrcl1 20385	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		rhmcomulpsr.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
10		rhmcomulpsr.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
11		rhmcomulpsr.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
12	9, 2, 6, 10, 11	psrelbas 21843	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
13		rhmcomulpsr.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
14	9, 2, 6, 10, 13	psrelbas 21843	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
15	6, 8, 12, 14	rhmpsrlem2 21850	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))) ∈ (Base‘𝑅))
16	5, 15	cofmpt 7104	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))))) = (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐻‘(𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))))))
17		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
18	8	ringcmnd 20193	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ∈ CMnd)
20		rhmrcl2 20386	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
21	1, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
22	21	ringgrpd 20151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
23	22	grpmndd 18878	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑆 ∈ Mnd)
25		ovex 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
26	25	rabex 5294	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
27	26	rabex 5294	. . . . . . 7 ⊢ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ∈ V)
29		rhmghm 20393	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐻 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
30		ghmmhm 19158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
31	1, 29, 30	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
32	31	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
33		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
34	8	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
35		elrabi 3654	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} → 𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
36	12	ffvelcdmda 7056	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐹‘𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
37	35, 36	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝐹‘𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
38	37	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝐹‘𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
39	14	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝐺:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
40		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} = {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}
41	6, 40	psrbagconcl 21836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑑) ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘})
42	41	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑑) ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘})
43		elrabi 3654	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∘f − 𝑑) ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} → (𝑘 ∘f − 𝑑) ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑑) ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
45	39, 44	ffvelcdmd 7057	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)) ∈ (Base‘𝑅))
46	2, 33, 34, 38, 45	ringcld 20169	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))) ∈ (Base‘𝑅))
47	6, 8, 12, 14	rhmpsrlem1 21849	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))) finSupp (0g‘𝑅))
48	2, 17, 19, 24, 28, 32, 46, 47	gsummptmhm 19870	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑆 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (𝐻‘((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))) = (𝐻‘(𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))))
49	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
50		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
51	2, 33, 50	rhmmul 20395	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑑) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐻‘((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑑))(.r‘𝑆)(𝐻‘(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))
52	49, 38, 45, 51	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝐻‘((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑑))(.r‘𝑆)(𝐻‘(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))
53	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
54	35	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
55	53, 54	fvco3d 6961	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑) = (𝐻‘(𝐹‘𝑑)))
56	39, 44	fvco3d 6961	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑)) = (𝐻‘(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))
57	55, 56	oveq12d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑)(.r‘𝑆)((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑))) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑑))(.r‘𝑆)(𝐻‘(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))
58	52, 57	eqtr4d 2767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝐻‘((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))) = (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑)(.r‘𝑆)((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))
59	58	mpteq2dva 5200	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (𝐻‘((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))) = (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑)(.r‘𝑆)((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))
60	59	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑆 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (𝐻‘((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))) = (𝑆 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑)(.r‘𝑆)((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))))
61	48, 60	eqtr3d 2766	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐻‘(𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))) = (𝑆 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑)(.r‘𝑆)((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))))
62	61	mpteq2dva 5200	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐻‘(𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))))) = (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑆 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑)(.r‘𝑆)((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))))
63	16, 62	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))))) = (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑆 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑)(.r‘𝑆)((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))))
64		rhmcomulpsr.1	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑃)
65	9, 10, 33, 64, 6, 11, 13	psrmulfval 21852	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))))
66	65	coeq2d 5826	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 · 𝐺)) = (𝐻 ∘ (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))))))
67		rhmcomulpsr.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
68		rhmcomulpsr.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
69		rhmcomulpsr.2	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘𝑄)
70	9, 67, 10, 68, 31, 11	mhmcopsr 42537	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ 𝐶)
71	9, 67, 10, 68, 31, 13	mhmcopsr 42537	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐺) ∈ 𝐶)
72	67, 68, 50, 69, 6, 70, 71	psrmulfval 21852	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝐹) ∙ (𝐻 ∘ 𝐺)) = (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑆 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑)(.r‘𝑆)((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))))
73	63, 66, 72	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 · 𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ∙ (𝐻 ∘ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3405  Vcvv 3447   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ^◡ccnv 5637   “ cima 5641   ∘ ccom 5642  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∘_f cof 7651   ∘_r cofr 7652   ↑_m cmap 8799  Fincfn 8918   ≤ cle 11209   − cmin 11405  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  Mndcmnd 18661   MndHom cmhm 18708   GrpHom cghm 19144  CMndccmn 19710  Ringcrg 20142   RingHom crh 20378   mPwSer cmps 21813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-tset 17239  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-ghm 19145  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-ur 20091  df-ring 20144  df-rhm 20381  df-psr 21818

This theorem is referenced by:  rhmpsr  42540