Theorem rhmcomulpsr 42506

Description: Show that the ring homomorphism in rhmpsr 42507 preserves multiplication. (Contributed by SN, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmcomulpsr.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
rhmcomulpsr.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
rhmcomulpsr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
rhmcomulpsr.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
rhmcomulpsr.1	⊢ · = (.r‘𝑃)
rhmcomulpsr.2	⊢ ∙ = (.r‘𝑄)
rhmcomulpsr.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
rhmcomulpsr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
rhmcomulpsr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rhmcomulpsr	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 · 𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ∙ (𝐻 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem rhmcomulpsr

Dummy variables 𝑑 𝑘 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmcomulpsr.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4	2, 3	rhmf 20511	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐻:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
6		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7		rhmrcl1 20502	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		rhmcomulpsr.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
10		rhmcomulpsr.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
11		rhmcomulpsr.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
12	9, 2, 6, 10, 11	psrelbas 21977	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
13		rhmcomulpsr.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
14	9, 2, 6, 10, 13	psrelbas 21977	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
15	6, 8, 12, 14	rhmpsrlem2 21984	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))) ∈ (Base‘𝑅))
16	5, 15	cofmpt 7166	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))))) = (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐻‘(𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))))))
17		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
18	8	ringcmnd 20307	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ∈ CMnd)
20		rhmrcl2 20503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
21	1, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
22	21	ringgrpd 20269	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
23	22	grpmndd 18986	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑆 ∈ Mnd)
25		ovex 7481	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
26	25	rabex 5357	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
27	26	rabex 5357	. . . . . . 7 ⊢ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ∈ V)
29		rhmghm 20510	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐻 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
30		ghmmhm 19266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
31	1, 29, 30	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
32	31	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
33		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
34	8	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
35		elrabi 3703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} → 𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
36	12	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐹‘𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
37	35, 36	sylan2 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝐹‘𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
38	37	adantlr 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝐹‘𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
39	14	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝐺:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
40		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} = {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}
41	6, 40	psrbagconcl 21970	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑑) ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘})
42	41	adantll 713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑑) ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘})
43		elrabi 3703	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∘f − 𝑑) ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} → (𝑘 ∘f − 𝑑) ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑑) ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
45	39, 44	ffvelcdmd 7119	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)) ∈ (Base‘𝑅))
46	2, 33, 34, 38, 45	ringcld 20286	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))) ∈ (Base‘𝑅))
47	6, 8, 12, 14	rhmpsrlem1 21983	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))) finSupp (0g‘𝑅))
48	2, 17, 19, 24, 28, 32, 46, 47	gsummptmhm 19982	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑆 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (𝐻‘((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))) = (𝐻‘(𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))))
49	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
50		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
51	2, 33, 50	rhmmul 20512	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑑) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐻‘((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑑))(.r‘𝑆)(𝐻‘(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))
52	49, 38, 45, 51	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝐻‘((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑑))(.r‘𝑆)(𝐻‘(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))
53	12	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
54	35	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
55	53, 54	fvco3d 7022	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑) = (𝐻‘(𝐹‘𝑑)))
56	39, 44	fvco3d 7022	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑)) = (𝐻‘(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))
57	55, 56	oveq12d 7466	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑)(.r‘𝑆)((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑))) = ((𝐻‘(𝐹‘𝑑))(.r‘𝑆)(𝐻‘(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))
58	52, 57	eqtr4d 2783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝐻‘((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))) = (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑)(.r‘𝑆)((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))
59	58	mpteq2dva 5266	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (𝐻‘((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))) = (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑)(.r‘𝑆)((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))
60	59	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑆 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (𝐻‘((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))) = (𝑆 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑)(.r‘𝑆)((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))))
61	48, 60	eqtr3d 2782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐻‘(𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))) = (𝑆 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑)(.r‘𝑆)((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))))
62	61	mpteq2dva 5266	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐻‘(𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))))) = (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑆 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑)(.r‘𝑆)((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))))
63	16, 62	eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))))) = (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑆 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑)(.r‘𝑆)((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))))
64		rhmcomulpsr.1	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑃)
65	9, 10, 33, 64, 6, 11, 13	psrmulfval 21986	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))))
66	65	coeq2d 5887	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 · 𝐺)) = (𝐻 ∘ (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑑)(.r‘𝑅)(𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑑))))))))
67		rhmcomulpsr.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
68		rhmcomulpsr.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
69		rhmcomulpsr.2	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘𝑄)
70	9, 67, 10, 68, 31, 11	mhmcopsr 42504	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐹) ∈ 𝐶)
71	9, 67, 10, 68, 31, 13	mhmcopsr 42504	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝐺) ∈ 𝐶)
72	67, 68, 50, 69, 6, 70, 71	psrmulfval 21986	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝐹) ∙ (𝐻 ∘ 𝐺)) = (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑆 Σg (𝑑 ∈ {𝑒 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑒 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐻 ∘ 𝐹)‘𝑑)(.r‘𝑆)((𝐻 ∘ 𝐺)‘(𝑘 ∘f − 𝑑)))))))
73	63, 66, 72	3eqtr4d 2790	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝐹 · 𝐺)) = ((𝐻 ∘ 𝐹) ∙ (𝐻 ∘ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443  Vcvv 3488   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ^◡ccnv 5699   “ cima 5703   ∘ ccom 5704  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∘_f cof 7712   ∘_r cofr 7713   ↑_m cmap 8884  Fincfn 9003   ≤ cle 11325   − cmin 11520  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17499   Σ_g cgsu 17500  Mndcmnd 18772   MndHom cmhm 18816   GrpHom cghm 19252  CMndccmn 19822  Ringcrg 20260   RingHom crh 20495   mPwSer cmps 21947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-tset 17330  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262  df-rhm 20498  df-psr 21952

This theorem is referenced by:  rhmpsr  42507