Theorem rhmpsr 42533

Description: Provide a ring homomorphism between two power series algebras over their respective base rings given a ring homomorphism between the two base rings. (Contributed by SN, 8-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmpsr.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
rhmpsr.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
rhmpsr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
rhmpsr.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝐻 ∘ 𝑝))
rhmpsr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
rhmpsr.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
rhmpsr	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝐻,𝑝   𝑃,𝑝   𝑄,𝑝   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑝)   𝑆(𝑝)   𝐹(𝑝)   𝐼(𝑝)   𝑉(𝑝)

Proof of Theorem rhmpsr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑑 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmpsr.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2729	. 2 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
3		eqid 2729	. 2 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
4		eqid 2729	. 2 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
5		eqid 2729	. 2 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
6		rhmpsr.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
7		rhmpsr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		rhmpsr.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
9		rhmrcl1 20396	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
11	6, 7, 10	psrring 21912	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
12		rhmpsr.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
13		rhmrcl2 20397	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
14	8, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
15	12, 7, 14	psrring 21912	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
16		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
17		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
18		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
19	6, 7, 10, 16, 17, 18, 2	psr1 21913	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) = (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
20	19	coeq2d 5816	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (1r‘𝑃)) = (𝐻 ∘ (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))))
21		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
22		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
23	21, 22	rhmf 20405	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐻:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
24	8, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
25	21, 18	ringidcl 20185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
26	10, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
27	21, 17	ring0cl 20187	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
28	10, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
29	26, 28	ifcld 4531	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
30	29	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
31	24, 30	cofmpt 7086	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) = (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐻‘if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))))
32		fvif 6856	. . . . . 6 ⊢ (𝐻‘if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (𝐻‘(1r‘𝑅)), (𝐻‘(0g‘𝑅)))
33		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
34	18, 33	rhm1 20409	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐻‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
35	8, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
36		rhmghm 20404	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐻 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
37		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
38	17, 37	ghmid 19136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐻‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑆))
39	8, 36, 38	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑆))
40	35, 39	ifeq12d 4506	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (𝐻‘(1r‘𝑅)), (𝐻‘(0g‘𝑅))) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑆), (0g‘𝑆)))
41	32, 40	eqtrid 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑆), (0g‘𝑆)))
42	41	mpteq2dv 5196	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐻‘if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) = (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑆), (0g‘𝑆))))
43	20, 31, 42	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (1r‘𝑃)) = (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑆), (0g‘𝑆))))
44		rhmpsr.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝐻 ∘ 𝑝))
45		coeq2 5812	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (1r‘𝑃) → (𝐻 ∘ 𝑝) = (𝐻 ∘ (1r‘𝑃)))
46	1, 2	ringidcl 20185	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
47	11, 46	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
48	8, 47	coexd 7887	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (1r‘𝑃)) ∈ V)
49	44, 45, 47, 48	fvmptd3 6973	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑃)) = (𝐻 ∘ (1r‘𝑃)))
50	12, 7, 14, 16, 37, 33, 3	psr1 21913	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑄) = (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑆), (0g‘𝑆))))
51	43, 49, 50	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑃)) = (1r‘𝑄))
52		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
53	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
54		simprl 770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
55		simprr 772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
56	6, 12, 1, 52, 4, 5, 53, 54, 55	rhmcomulpsr 42532	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐻 ∘ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = ((𝐻 ∘ 𝑥)(.r‘𝑄)(𝐻 ∘ 𝑦)))
57		coeq2 5812	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) → (𝐻 ∘ 𝑝) = (𝐻 ∘ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦)))
58	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
59	1, 4, 58, 54, 55	ringcld 20180	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
60	53, 59	coexd 7887	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐻 ∘ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ V)
61	44, 57, 59, 60	fvmptd3 6973	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (𝐻 ∘ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦)))
62		coeq2 5812	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑥 → (𝐻 ∘ 𝑝) = (𝐻 ∘ 𝑥))
63	53, 54	coexd 7887	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐻 ∘ 𝑥) ∈ V)
64	44, 62, 54, 63	fvmptd3 6973	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐻 ∘ 𝑥))
65		coeq2 5812	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝐻 ∘ 𝑝) = (𝐻 ∘ 𝑦))
66	53, 55	coexd 7887	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐻 ∘ 𝑦) ∈ V)
67	44, 65, 55, 66	fvmptd3 6973	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑦) = (𝐻 ∘ 𝑦))
68	64, 67	oveq12d 7387	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑄)(𝐹‘𝑦)) = ((𝐻 ∘ 𝑥)(.r‘𝑄)(𝐻 ∘ 𝑦)))
69	56, 61, 68	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑄)(𝐹‘𝑦)))
70		eqid 2729	. 2 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
71		eqid 2729	. 2 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
72		ghmmhm 19140	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
73	8, 36, 72	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
74	73	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
75		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
76	6, 12, 1, 52, 74, 75	mhmcopsr 42530	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐻 ∘ 𝑝) ∈ (Base‘𝑄))
77	76, 44	fmptd 7068	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑄))
78	53, 36, 72	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
79	6, 12, 1, 52, 70, 71, 78, 54, 55	mhmcoaddpsr 42531	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐻 ∘ (𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) = ((𝐻 ∘ 𝑥)(+g‘𝑄)(𝐻 ∘ 𝑦)))
80		coeq2 5812	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) → (𝐻 ∘ 𝑝) = (𝐻 ∘ (𝑥(+g‘𝑃)𝑦)))
81	58	ringgrpd 20162	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
82	1, 70, 81, 54, 55	grpcld 18861	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
83	53, 82	coexd 7887	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐻 ∘ (𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) ∈ V)
84	44, 80, 82, 83	fvmptd3 6973	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) = (𝐻 ∘ (𝑥(+g‘𝑃)𝑦)))
85	64, 67	oveq12d 7387	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑄)(𝐹‘𝑦)) = ((𝐻 ∘ 𝑥)(+g‘𝑄)(𝐻 ∘ 𝑦)))
86	79, 84, 85	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑄)(𝐹‘𝑦)))
87	1, 2, 3, 4, 5, 11, 15, 51, 69, 52, 70, 71, 77, 86	isrhmd 20408	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3402  Vcvv 3444  ifcif 4484  {csn 4585   ↦ cmpt 5183   × cxp 5629  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ↑_m cmap 8776  Fincfn 8895  0cc0 11044  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  ._rcmulr 17197  0_gc0g 17378   MndHom cmhm 18690   GrpHom cghm 19126  1_rcur 20101  Ringcrg 20153   RingHom crh 20389   mPwSer cmps 21846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-mhm 18692  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-mulg 18982  df-ghm 19127  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-rhm 20392  df-psr 21851

This theorem is referenced by:  rhmpsr1  42534