Theorem rhmpsr 42241

Description: Provide a ring homomorphism between two power series algebras over their respective base rings given a ring homomorphism between the two base rings. (Contributed by SN, 8-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmpsr.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
rhmpsr.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
rhmpsr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
rhmpsr.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝐻 ∘ 𝑝))
rhmpsr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
rhmpsr.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
rhmpsr	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝐻,𝑝   𝑃,𝑝   𝑄,𝑝   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑝)   𝑆(𝑝)   𝐹(𝑝)   𝐼(𝑝)   𝑉(𝑝)

Proof of Theorem rhmpsr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑑 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmpsr.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2726	. 2 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
3		eqid 2726	. 2 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
4		eqid 2726	. 2 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
5		eqid 2726	. 2 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
6		rhmpsr.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
7		rhmpsr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		rhmpsr.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
9		rhmrcl1 20453	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
11	6, 7, 10	psrring 21974	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
12		rhmpsr.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
13		rhmrcl2 20454	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
14	8, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
15	12, 7, 14	psrring 21974	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
16		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
17		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
18		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
19	6, 7, 10, 16, 17, 18, 2	psr1 21975	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) = (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
20	19	coeq2d 5861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (1r‘𝑃)) = (𝐻 ∘ (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))))
21		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
22		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
23	21, 22	rhmf 20462	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐻:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
24	8, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
25	21, 18	ringidcl 20240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
26	10, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
27	21, 17	ring0cl 20241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
28	10, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
29	26, 28	ifcld 4571	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
30	29	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
31	24, 30	cofmpt 7137	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) = (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐻‘if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))))
32		fvif 6908	. . . . . 6 ⊢ (𝐻‘if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (𝐻‘(1r‘𝑅)), (𝐻‘(0g‘𝑅)))
33		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
34	18, 33	rhm1 20466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐻‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
35	8, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
36		rhmghm 20461	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐻 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
37		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
38	17, 37	ghmid 19211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐻‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑆))
39	8, 36, 38	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑆))
40	35, 39	ifeq12d 4546	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (𝐻‘(1r‘𝑅)), (𝐻‘(0g‘𝑅))) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑆), (0g‘𝑆)))
41	32, 40	eqtrid 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑆), (0g‘𝑆)))
42	41	mpteq2dv 5247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐻‘if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) = (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑆), (0g‘𝑆))))
43	20, 31, 42	3eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (1r‘𝑃)) = (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑆), (0g‘𝑆))))
44		rhmpsr.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝐻 ∘ 𝑝))
45		coeq2 5857	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (1r‘𝑃) → (𝐻 ∘ 𝑝) = (𝐻 ∘ (1r‘𝑃)))
46	1, 2	ringidcl 20240	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
47	11, 46	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
48	8, 47	coexd 7935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ (1r‘𝑃)) ∈ V)
49	44, 45, 47, 48	fvmptd3 7023	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑃)) = (𝐻 ∘ (1r‘𝑃)))
50	12, 7, 14, 16, 37, 33, 3	psr1 21975	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑄) = (𝑑 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑑 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑆), (0g‘𝑆))))
51	43, 49, 50	3eqtr4d 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(1r‘𝑃)) = (1r‘𝑄))
52		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
53	8	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐻 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
54		simprl 769	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
55		simprr 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
56	6, 12, 1, 52, 4, 5, 53, 54, 55	rhmcomulpsr 42240	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐻 ∘ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = ((𝐻 ∘ 𝑥)(.r‘𝑄)(𝐻 ∘ 𝑦)))
57		coeq2 5857	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) → (𝐻 ∘ 𝑝) = (𝐻 ∘ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦)))
58	11	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
59	1, 4, 58, 54, 55	ringcld 20237	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
60	53, 59	coexd 7935	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐻 ∘ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ V)
61	44, 57, 59, 60	fvmptd3 7023	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (𝐻 ∘ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦)))
62		coeq2 5857	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑥 → (𝐻 ∘ 𝑝) = (𝐻 ∘ 𝑥))
63	53, 54	coexd 7935	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐻 ∘ 𝑥) ∈ V)
64	44, 62, 54, 63	fvmptd3 7023	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐻 ∘ 𝑥))
65		coeq2 5857	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → (𝐻 ∘ 𝑝) = (𝐻 ∘ 𝑦))
66	53, 55	coexd 7935	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐻 ∘ 𝑦) ∈ V)
67	44, 65, 55, 66	fvmptd3 7023	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑦) = (𝐻 ∘ 𝑦))
68	64, 67	oveq12d 7433	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑄)(𝐹‘𝑦)) = ((𝐻 ∘ 𝑥)(.r‘𝑄)(𝐻 ∘ 𝑦)))
69	56, 61, 68	3eqtr4d 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(.r‘𝑄)(𝐹‘𝑦)))
70		eqid 2726	. 2 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
71		eqid 2726	. 2 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
72		ghmmhm 19215	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
73	8, 36, 72	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
74	73	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
75		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
76	6, 12, 1, 52, 74, 75	mhmcopsr 42238	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝐻 ∘ 𝑝) ∈ (Base‘𝑄))
77	76, 44	fmptd 7119	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑄))
78	53, 36, 72	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐻 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
79	6, 12, 1, 52, 70, 71, 78, 54, 55	mhmcoaddpsr 42239	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐻 ∘ (𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) = ((𝐻 ∘ 𝑥)(+g‘𝑄)(𝐻 ∘ 𝑦)))
80		coeq2 5857	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) → (𝐻 ∘ 𝑝) = (𝐻 ∘ (𝑥(+g‘𝑃)𝑦)))
81	58	ringgrpd 20220	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
82	1, 70, 81, 54, 55	grpcld 18936	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
83	53, 82	coexd 7935	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐻 ∘ (𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) ∈ V)
84	44, 80, 82, 83	fvmptd3 7023	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) = (𝐻 ∘ (𝑥(+g‘𝑃)𝑦)))
85	64, 67	oveq12d 7433	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑄)(𝐹‘𝑦)) = ((𝐻 ∘ 𝑥)(+g‘𝑄)(𝐻 ∘ 𝑦)))
86	79, 84, 85	3eqtr4d 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑃)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑄)(𝐹‘𝑦)))
87	1, 2, 3, 4, 5, 11, 15, 51, 69, 52, 70, 71, 77, 86	isrhmd 20465	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3420  Vcvv 3464  ifcif 4525  {csn 4625   ↦ cmpt 5228   × cxp 5672  ^◡ccnv 5673   “ cima 5677   ∘ ccom 5678  ⟶wf 6541  ‘cfv 6545  (class class class)co 7415   ↑_m cmap 8846  Fincfn 8965  0cc0 11148  ℕcn 12257  ℕ₀cn0 12517  Basecbs 17207  +_gcplusg 17260  ._rcmulr 17261  0_gc0g 17448   MndHom cmhm 18765   GrpHom cghm 19201  1_rcur 20159  Ringcrg 20211   RingHom crh 20446   mPwSer cmps 21896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7737  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3968  df-nul 4325  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4908  df-int 4949  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6497  df-fun 6547  df-fn 6548  df-f 6549  df-f1 6550  df-fo 6551  df-f1o 6552  df-fv 6553  df-isom 6554  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7868  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8848  df-pm 8849  df-ixp 8918  df-en 8966  df-dom 8967  df-sdom 8968  df-fin 8969  df-fsupp 9398  df-sup 9477  df-oi 9545  df-card 9974  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12518  df-z 12604  df-dec 12723  df-uz 12868  df-fz 13532  df-fzo 13675  df-seq 14015  df-hash 14342  df-struct 17143  df-sets 17160  df-slot 17178  df-ndx 17190  df-base 17208  df-ress 17237  df-plusg 17273  df-mulr 17274  df-sca 17276  df-vsca 17277  df-ip 17278  df-tset 17279  df-ple 17280  df-ds 17282  df-hom 17284  df-cco 17285  df-0g 17450  df-gsum 17451  df-prds 17456  df-pws 17458  df-mre 17593  df-mrc 17594  df-acs 17596  df-mgm 18627  df-sgrp 18706  df-mnd 18722  df-mhm 18767  df-submnd 18768  df-grp 18925  df-minusg 18926  df-mulg 19057  df-ghm 19202  df-cntz 19306  df-cmn 19775  df-abl 19776  df-mgp 20113  df-rng 20131  df-ur 20160  df-ring 20213  df-rhm 20449  df-psr 21901

This theorem is referenced by:  rhmpsr1  42242