Theorem rhmisrnghm 43589

Description: Each unital ring homomorphism is a non-unital ring homomorphism. (Contributed by AV, 29-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rhmisrnghm	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆))

Proof of Theorem rhmisrnghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringrng 43548	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Rng)
2		ringrng 43548	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Rng)
3	1, 2	anim12i 604	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) → (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ Rng))
4		mhmismgmhm 43475	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MgmHom (mulGrp‘𝑆)))
5	4	anim2i 608	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))) → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MgmHom (mulGrp‘𝑆))))
6	3, 5	anim12i 604	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))) → ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ Rng) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MgmHom (mulGrp‘𝑆)))))
7		eqid 2771	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
8		eqid 2771	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
9	7, 8	isrhm 19208	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
10	7, 8	isrnghmmul 43562	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ Rng) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MgmHom (mulGrp‘𝑆)))))
11	6, 9, 10	3imtr4i 284	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∈ wcel 2051  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974   MndHom cmhm 17813   GrpHom cghm 18138  mulGrpcmgp 18974  Ringcrg 19032   RingHom crh 19199   MgmHom cmgmhm 43446  Rngcrng 43543   RngHomo crngh 43554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-plusg 16432  df-0g 16569  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-mhm 17815  df-grp 17906  df-minusg 17907  df-ghm 18139  df-cmn 18680  df-abl 18681  df-mgp 18975  df-ur 18987  df-ring 19034  df-rnghom 19202  df-mgmhm 43448  df-rng0 43544  df-rnghomo 43556

This theorem is referenced by:  rhmsscrnghm  43695  rhmsubcALTVlem4  43776