![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ringinvnz1ne0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: In a unital ring, a left invertible element is different from zero iff 1 โ 0. (Contributed by FL, 18-Apr-2010.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
ringinvnzdiv.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
ringinvnzdiv.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
ringinvnzdiv.u | โข 1 = (1rโ๐ ) |
ringinvnzdiv.z | โข 0 = (0gโ๐ ) |
ringinvnzdiv.r | โข (๐ โ ๐ โ Ring) |
ringinvnzdiv.x | โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) |
ringinvnzdiv.a | โข (๐ โ โ๐ โ ๐ต (๐ ยท ๐) = 1 ) |
Ref | Expression |
---|---|
ringinvnz1ne0 | โข (๐ โ (๐ โ 0 โ 1 โ 0 )) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | oveq2 7422 | . . . . 5 โข (๐ = 0 โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท 0 )) | |
2 | ringinvnzdiv.r | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ โ Ring) | |
3 | ringinvnzdiv.b | . . . . . . . 8 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
4 | ringinvnzdiv.t | . . . . . . . 8 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
5 | ringinvnzdiv.z | . . . . . . . 8 โข 0 = (0gโ๐ ) | |
6 | 3, 4, 5 | ringrz 20212 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท 0 ) = 0 ) |
7 | 2, 6 | sylan 579 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท 0 ) = 0 ) |
8 | eqeq12 2744 | . . . . . . . 8 โข (((๐ ยท ๐) = 1 โง (๐ ยท 0 ) = 0 ) โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท 0 ) โ 1 = 0 )) | |
9 | 8 | biimpd 228 | . . . . . . 7 โข (((๐ ยท ๐) = 1 โง (๐ ยท 0 ) = 0 ) โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท 0 ) โ 1 = 0 )) |
10 | 9 | ex 412 | . . . . . 6 โข ((๐ ยท ๐) = 1 โ ((๐ ยท 0 ) = 0 โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท 0 ) โ 1 = 0 ))) |
11 | 7, 10 | mpan9 506 | . . . . 5 โข (((๐ โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ ยท ๐) = 1 ) โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท 0 ) โ 1 = 0 )) |
12 | 1, 11 | syl5 34 | . . . 4 โข (((๐ โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ ยท ๐) = 1 ) โ (๐ = 0 โ 1 = 0 )) |
13 | oveq2 7422 | . . . . 5 โข ( 1 = 0 โ (๐ ยท 1 ) = (๐ ยท 0 )) | |
14 | ringinvnzdiv.x | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) | |
15 | ringinvnzdiv.u | . . . . . . . . . 10 โข 1 = (1rโ๐ ) | |
16 | 3, 4, 15 | ringridm 20188 | . . . . . . . . 9 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท 1 ) = ๐) |
17 | 3, 4, 5 | ringrz 20212 | . . . . . . . . 9 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท 0 ) = 0 ) |
18 | 16, 17 | eqeq12d 2743 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ ยท 1 ) = (๐ ยท 0 ) โ ๐ = 0 )) |
19 | 18 | biimpd 228 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ ยท 1 ) = (๐ ยท 0 ) โ ๐ = 0 )) |
20 | 2, 14, 19 | syl2anc 583 | . . . . . 6 โข (๐ โ ((๐ ยท 1 ) = (๐ ยท 0 ) โ ๐ = 0 )) |
21 | 20 | ad2antrr 725 | . . . . 5 โข (((๐ โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ ยท ๐) = 1 ) โ ((๐ ยท 1 ) = (๐ ยท 0 ) โ ๐ = 0 )) |
22 | 13, 21 | syl5 34 | . . . 4 โข (((๐ โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ ยท ๐) = 1 ) โ ( 1 = 0 โ ๐ = 0 )) |
23 | 12, 22 | impbid 211 | . . 3 โข (((๐ โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ ยท ๐) = 1 ) โ (๐ = 0 โ 1 = 0 )) |
24 | ringinvnzdiv.a | . . 3 โข (๐ โ โ๐ โ ๐ต (๐ ยท ๐) = 1 ) | |
25 | 23, 24 | r19.29a 3157 | . 2 โข (๐ โ (๐ = 0 โ 1 = 0 )) |
26 | 25 | necon3bid 2980 | 1 โข (๐ โ (๐ โ 0 โ 1 โ 0 )) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 = wceq 1534 โ wcel 2099 โ wne 2935 โwrex 3065 โcfv 6542 (class class class)co 7414 Basecbs 17165 .rcmulr 17219 0gc0g 17406 1rcur 20105 Ringcrg 20157 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7732 ax-cnex 11180 ax-resscn 11181 ax-1cn 11182 ax-icn 11183 ax-addcl 11184 ax-addrcl 11185 ax-mulcl 11186 ax-mulrcl 11187 ax-mulcom 11188 ax-addass 11189 ax-mulass 11190 ax-distr 11191 ax-i2m1 11192 ax-1ne0 11193 ax-1rid 11194 ax-rnegex 11195 ax-rrecex 11196 ax-cnre 11197 ax-pre-lttri 11198 ax-pre-lttrn 11199 ax-pre-ltadd 11200 ax-pre-mulgt0 11201 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-nel 3042 df-ral 3057 df-rex 3066 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3963 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-om 7863 df-2nd 7986 df-frecs 8278 df-wrecs 8309 df-recs 8383 df-rdg 8422 df-er 8716 df-en 8954 df-dom 8955 df-sdom 8956 df-pnf 11266 df-mnf 11267 df-xr 11268 df-ltxr 11269 df-le 11270 df-sub 11462 df-neg 11463 df-nn 12229 df-2 12291 df-sets 17118 df-slot 17136 df-ndx 17148 df-base 17166 df-plusg 17231 df-0g 17408 df-mgm 18585 df-sgrp 18664 df-mnd 18680 df-grp 18878 df-minusg 18879 df-cmn 19721 df-abl 19722 df-mgp 20059 df-rng 20077 df-ur 20106 df-ring 20159 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |