MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringinvnz1ne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringinvnz1ne0 20235
Description: In a unital ring, a left invertible element is different from zero iff 1 โ‰  0. (Contributed by FL, 18-Apr-2010.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ringinvnzdiv.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
ringinvnzdiv.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
ringinvnzdiv.u 1 = (1rโ€˜๐‘…)
ringinvnzdiv.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
ringinvnzdiv.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
ringinvnzdiv.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
ringinvnzdiv.a (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ต (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 )
Assertion
Ref Expression
ringinvnz1ne0 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โ‰  0 โ†” 1 โ‰  0 ))
Distinct variable groups:   ๐‘‹,๐‘Ž   0 ,๐‘Ž   1 ,๐‘Ž   ยท ,๐‘Ž   ๐œ‘,๐‘Ž
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘Ž)   ๐‘…(๐‘Ž)

Proof of Theorem ringinvnz1ne0
StepHypRef Expression
1 oveq2 7421 . . . . 5 (๐‘‹ = 0 โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = (๐‘Ž ยท 0 ))
2 ringinvnzdiv.r . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
3 ringinvnzdiv.b . . . . . . . 8 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
4 ringinvnzdiv.t . . . . . . . 8 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
5 ringinvnzdiv.z . . . . . . . 8 0 = (0gโ€˜๐‘…)
63, 4, 5ringrz 20229 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž ยท 0 ) = 0 )
72, 6sylan 578 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž ยท 0 ) = 0 )
8 eqeq12 2742 . . . . . . . 8 (((๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 โˆง (๐‘Ž ยท 0 ) = 0 ) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) = (๐‘Ž ยท 0 ) โ†” 1 = 0 ))
98biimpd 228 . . . . . . 7 (((๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 โˆง (๐‘Ž ยท 0 ) = 0 ) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) = (๐‘Ž ยท 0 ) โ†’ 1 = 0 ))
109ex 411 . . . . . 6 ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 โ†’ ((๐‘Ž ยท 0 ) = 0 โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) = (๐‘Ž ยท 0 ) โ†’ 1 = 0 )))
117, 10mpan9 505 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) = (๐‘Ž ยท 0 ) โ†’ 1 = 0 ))
121, 11syl5 34 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โ†’ (๐‘‹ = 0 โ†’ 1 = 0 ))
13 oveq2 7421 . . . . 5 ( 1 = 0 โ†’ (๐‘‹ ยท 1 ) = (๐‘‹ ยท 0 ))
14 ringinvnzdiv.x . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
15 ringinvnzdiv.u . . . . . . . . . 10 1 = (1rโ€˜๐‘…)
163, 4, 15ringridm 20205 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท 1 ) = ๐‘‹)
173, 4, 5ringrz 20229 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท 0 ) = 0 )
1816, 17eqeq12d 2741 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘‹ ยท 1 ) = (๐‘‹ ยท 0 ) โ†” ๐‘‹ = 0 ))
1918biimpd 228 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘‹ ยท 1 ) = (๐‘‹ ยท 0 ) โ†’ ๐‘‹ = 0 ))
202, 14, 19syl2anc 582 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท 1 ) = (๐‘‹ ยท 0 ) โ†’ ๐‘‹ = 0 ))
2120ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โ†’ ((๐‘‹ ยท 1 ) = (๐‘‹ ยท 0 ) โ†’ ๐‘‹ = 0 ))
2213, 21syl5 34 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โ†’ ( 1 = 0 โ†’ ๐‘‹ = 0 ))
2312, 22impbid 211 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โ†’ (๐‘‹ = 0 โ†” 1 = 0 ))
24 ringinvnzdiv.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ต (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 )
2523, 24r19.29a 3152 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ = 0 โ†” 1 = 0 ))
2625necon3bid 2975 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โ‰  0 โ†” 1 โ‰  0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  โˆƒwrex 3060  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17174  .rcmulr 17228  0gc0g 17415  1rcur 20120  Ringcrg 20172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-plusg 17240  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator