MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringinvnz1ne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringinvnz1ne0 20016
Description: In a unital ring, a left invertible element is different from zero iff 10. (Contributed by FL, 18-Apr-2010.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ringinvnzdiv.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringinvnzdiv.t · = (.r𝑅)
ringinvnzdiv.u 1 = (1r𝑅)
ringinvnzdiv.z 0 = (0g𝑅)
ringinvnzdiv.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ringinvnzdiv.x (𝜑𝑋𝐵)
ringinvnzdiv.a (𝜑 → ∃𝑎𝐵 (𝑎 · 𝑋) = 1 )
Assertion
Ref Expression
ringinvnz1ne0 (𝜑 → (𝑋010 ))
Distinct variable groups:   𝑋,𝑎   0 ,𝑎   1 ,𝑎   · ,𝑎   𝜑,𝑎
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem ringinvnz1ne0
StepHypRef Expression
1 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑋 = 0 → (𝑎 · 𝑋) = (𝑎 · 0 ))
2 ringinvnzdiv.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
3 ringinvnzdiv.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 ringinvnzdiv.t . . . . . . . 8 · = (.r𝑅)
5 ringinvnzdiv.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
63, 4, 5ringrz 20012 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
72, 6sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
8 eqeq12 2753 . . . . . . . 8 (((𝑎 · 𝑋) = 1 ∧ (𝑎 · 0 ) = 0 ) → ((𝑎 · 𝑋) = (𝑎 · 0 ) ↔ 1 = 0 ))
98biimpd 228 . . . . . . 7 (((𝑎 · 𝑋) = 1 ∧ (𝑎 · 0 ) = 0 ) → ((𝑎 · 𝑋) = (𝑎 · 0 ) → 1 = 0 ))
109ex 413 . . . . . 6 ((𝑎 · 𝑋) = 1 → ((𝑎 · 0 ) = 0 → ((𝑎 · 𝑋) = (𝑎 · 0 ) → 1 = 0 )))
117, 10mpan9 507 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ((𝑎 · 𝑋) = (𝑎 · 0 ) → 1 = 0 ))
121, 11syl5 34 . . . 4 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → (𝑋 = 01 = 0 ))
13 oveq2 7365 . . . . 5 ( 1 = 0 → (𝑋 · 1 ) = (𝑋 · 0 ))
14 ringinvnzdiv.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐵)
15 ringinvnzdiv.u . . . . . . . . . 10 1 = (1r𝑅)
163, 4, 15ringridm 19993 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 1 ) = 𝑋)
173, 4, 5ringrz 20012 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
1816, 17eqeq12d 2752 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑋 · 1 ) = (𝑋 · 0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
1918biimpd 228 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑋 · 1 ) = (𝑋 · 0 ) → 𝑋 = 0 ))
202, 14, 19syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 · 1 ) = (𝑋 · 0 ) → 𝑋 = 0 ))
2120ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ((𝑋 · 1 ) = (𝑋 · 0 ) → 𝑋 = 0 ))
2213, 21syl5 34 . . . 4 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ( 1 = 0𝑋 = 0 ))
2312, 22impbid 211 . . 3 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → (𝑋 = 01 = 0 ))
24 ringinvnzdiv.a . . 3 (𝜑 → ∃𝑎𝐵 (𝑎 · 𝑋) = 1 )
2523, 24r19.29a 3159 . 2 (𝜑 → (𝑋 = 01 = 0 ))
2625necon3bid 2988 1 (𝜑 → (𝑋010 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  .rcmulr 17134  0gc0g 17321  1rcur 19913  Ringcrg 19964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator