![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ringinvnz1ne0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: In a unital ring, a left invertible element is different from zero iff 1 โ 0. (Contributed by FL, 18-Apr-2010.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
ringinvnzdiv.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
ringinvnzdiv.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
ringinvnzdiv.u | โข 1 = (1rโ๐ ) |
ringinvnzdiv.z | โข 0 = (0gโ๐ ) |
ringinvnzdiv.r | โข (๐ โ ๐ โ Ring) |
ringinvnzdiv.x | โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) |
ringinvnzdiv.a | โข (๐ โ โ๐ โ ๐ต (๐ ยท ๐) = 1 ) |
Ref | Expression |
---|---|
ringinvnz1ne0 | โข (๐ โ (๐ โ 0 โ 1 โ 0 )) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | oveq2 7421 | . . . . 5 โข (๐ = 0 โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท 0 )) | |
2 | ringinvnzdiv.r | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ โ Ring) | |
3 | ringinvnzdiv.b | . . . . . . . 8 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
4 | ringinvnzdiv.t | . . . . . . . 8 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
5 | ringinvnzdiv.z | . . . . . . . 8 โข 0 = (0gโ๐ ) | |
6 | 3, 4, 5 | ringrz 20229 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท 0 ) = 0 ) |
7 | 2, 6 | sylan 578 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท 0 ) = 0 ) |
8 | eqeq12 2742 | . . . . . . . 8 โข (((๐ ยท ๐) = 1 โง (๐ ยท 0 ) = 0 ) โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท 0 ) โ 1 = 0 )) | |
9 | 8 | biimpd 228 | . . . . . . 7 โข (((๐ ยท ๐) = 1 โง (๐ ยท 0 ) = 0 ) โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท 0 ) โ 1 = 0 )) |
10 | 9 | ex 411 | . . . . . 6 โข ((๐ ยท ๐) = 1 โ ((๐ ยท 0 ) = 0 โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท 0 ) โ 1 = 0 ))) |
11 | 7, 10 | mpan9 505 | . . . . 5 โข (((๐ โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ ยท ๐) = 1 ) โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท 0 ) โ 1 = 0 )) |
12 | 1, 11 | syl5 34 | . . . 4 โข (((๐ โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ ยท ๐) = 1 ) โ (๐ = 0 โ 1 = 0 )) |
13 | oveq2 7421 | . . . . 5 โข ( 1 = 0 โ (๐ ยท 1 ) = (๐ ยท 0 )) | |
14 | ringinvnzdiv.x | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) | |
15 | ringinvnzdiv.u | . . . . . . . . . 10 โข 1 = (1rโ๐ ) | |
16 | 3, 4, 15 | ringridm 20205 | . . . . . . . . 9 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท 1 ) = ๐) |
17 | 3, 4, 5 | ringrz 20229 | . . . . . . . . 9 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท 0 ) = 0 ) |
18 | 16, 17 | eqeq12d 2741 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ ยท 1 ) = (๐ ยท 0 ) โ ๐ = 0 )) |
19 | 18 | biimpd 228 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ ยท 1 ) = (๐ ยท 0 ) โ ๐ = 0 )) |
20 | 2, 14, 19 | syl2anc 582 | . . . . . 6 โข (๐ โ ((๐ ยท 1 ) = (๐ ยท 0 ) โ ๐ = 0 )) |
21 | 20 | ad2antrr 724 | . . . . 5 โข (((๐ โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ ยท ๐) = 1 ) โ ((๐ ยท 1 ) = (๐ ยท 0 ) โ ๐ = 0 )) |
22 | 13, 21 | syl5 34 | . . . 4 โข (((๐ โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ ยท ๐) = 1 ) โ ( 1 = 0 โ ๐ = 0 )) |
23 | 12, 22 | impbid 211 | . . 3 โข (((๐ โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ ยท ๐) = 1 ) โ (๐ = 0 โ 1 = 0 )) |
24 | ringinvnzdiv.a | . . 3 โข (๐ โ โ๐ โ ๐ต (๐ ยท ๐) = 1 ) | |
25 | 23, 24 | r19.29a 3152 | . 2 โข (๐ โ (๐ = 0 โ 1 = 0 )) |
26 | 25 | necon3bid 2975 | 1 โข (๐ โ (๐ โ 0 โ 1 โ 0 )) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 394 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2930 โwrex 3060 โcfv 6543 (class class class)co 7413 Basecbs 17174 .rcmulr 17228 0gc0g 17415 1rcur 20120 Ringcrg 20172 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-sep 5295 ax-nul 5302 ax-pow 5360 ax-pr 5424 ax-un 7735 ax-cnex 11189 ax-resscn 11190 ax-1cn 11191 ax-icn 11192 ax-addcl 11193 ax-addrcl 11194 ax-mulcl 11195 ax-mulrcl 11196 ax-mulcom 11197 ax-addass 11198 ax-mulass 11199 ax-distr 11200 ax-i2m1 11201 ax-1ne0 11202 ax-1rid 11203 ax-rnegex 11204 ax-rrecex 11205 ax-cnre 11206 ax-pre-lttri 11207 ax-pre-lttrn 11208 ax-pre-ltadd 11209 ax-pre-mulgt0 11210 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3961 df-nul 4320 df-if 4526 df-pw 4601 df-sn 4626 df-pr 4628 df-op 4632 df-uni 4905 df-iun 4994 df-br 5145 df-opab 5207 df-mpt 5228 df-tr 5262 df-id 5571 df-eprel 5577 df-po 5585 df-so 5586 df-fr 5628 df-we 5630 df-xp 5679 df-rel 5680 df-cnv 5681 df-co 5682 df-dm 5683 df-rn 5684 df-res 5685 df-ima 5686 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7369 df-ov 7416 df-oprab 7417 df-mpo 7418 df-om 7866 df-2nd 7988 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-er 8718 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-pnf 11275 df-mnf 11276 df-xr 11277 df-ltxr 11278 df-le 11279 df-sub 11471 df-neg 11472 df-nn 12238 df-2 12300 df-sets 17127 df-slot 17145 df-ndx 17157 df-base 17175 df-plusg 17240 df-0g 17417 df-mgm 18594 df-sgrp 18673 df-mnd 18689 df-grp 18892 df-minusg 18893 df-cmn 19736 df-abl 19737 df-mgp 20074 df-rng 20092 df-ur 20121 df-ring 20174 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |