MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringinvnz1ne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringinvnz1ne0 18790
Description: In a unitary ring, a left invertible element is different from zero iff 10. (Contributed by FL, 18-Apr-2010.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ringinvnzdiv.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringinvnzdiv.t · = (.r𝑅)
ringinvnzdiv.u 1 = (1r𝑅)
ringinvnzdiv.z 0 = (0g𝑅)
ringinvnzdiv.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ringinvnzdiv.x (𝜑𝑋𝐵)
ringinvnzdiv.a (𝜑 → ∃𝑎𝐵 (𝑎 · 𝑋) = 1 )
Assertion
Ref Expression
ringinvnz1ne0 (𝜑 → (𝑋010 ))
Distinct variable groups:   𝑋,𝑎   0 ,𝑎   1 ,𝑎   · ,𝑎   𝜑,𝑎
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem ringinvnz1ne0
StepHypRef Expression
1 ringinvnzdiv.a . . 3 (𝜑 → ∃𝑎𝐵 (𝑎 · 𝑋) = 1 )
2 oveq2 6879 . . . . . . 7 (𝑋 = 0 → (𝑎 · 𝑋) = (𝑎 · 0 ))
3 ringinvnzdiv.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 ringinvnzdiv.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 ringinvnzdiv.t . . . . . . . . . 10 · = (.r𝑅)
6 ringinvnzdiv.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑅)
74, 5, 6ringrz 18786 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
83, 7sylan 571 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
9 eqeq12 2818 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 · 𝑋) = 1 ∧ (𝑎 · 0 ) = 0 ) → ((𝑎 · 𝑋) = (𝑎 · 0 ) ↔ 1 = 0 ))
109biimpd 220 . . . . . . . . 9 (((𝑎 · 𝑋) = 1 ∧ (𝑎 · 0 ) = 0 ) → ((𝑎 · 𝑋) = (𝑎 · 0 ) → 1 = 0 ))
1110ex 399 . . . . . . . 8 ((𝑎 · 𝑋) = 1 → ((𝑎 · 0 ) = 0 → ((𝑎 · 𝑋) = (𝑎 · 0 ) → 1 = 0 )))
128, 11mpan9 498 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ((𝑎 · 𝑋) = (𝑎 · 0 ) → 1 = 0 ))
132, 12syl5 34 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → (𝑋 = 01 = 0 ))
14 oveq2 6879 . . . . . . 7 ( 1 = 0 → (𝑋 · 1 ) = (𝑋 · 0 ))
15 ringinvnzdiv.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐵)
16 ringinvnzdiv.u . . . . . . . . . . . 12 1 = (1r𝑅)
174, 5, 16ringridm 18770 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 1 ) = 𝑋)
184, 5, 6ringrz 18786 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
1917, 18eqeq12d 2820 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑋 · 1 ) = (𝑋 · 0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
2019biimpd 220 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑋 · 1 ) = (𝑋 · 0 ) → 𝑋 = 0 ))
213, 15, 20syl2anc 575 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 · 1 ) = (𝑋 · 0 ) → 𝑋 = 0 ))
2221ad2antrr 708 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ((𝑋 · 1 ) = (𝑋 · 0 ) → 𝑋 = 0 ))
2314, 22syl5 34 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ( 1 = 0𝑋 = 0 ))
2413, 23impbid 203 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → (𝑋 = 01 = 0 ))
2524ex 399 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝑎 · 𝑋) = 1 → (𝑋 = 01 = 0 )))
2625rexlimdva 3218 . . 3 (𝜑 → (∃𝑎𝐵 (𝑎 · 𝑋) = 1 → (𝑋 = 01 = 0 )))
271, 26mpd 15 . 2 (𝜑 → (𝑋 = 01 = 0 ))
2827necon3bid 3021 1 (𝜑 → (𝑋010 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2158  wne 2977  wrex 3096  cfv 6098  (class class class)co 6871  Basecbs 16064  .rcmulr 16150  0gc0g 16301  1rcur 18699  Ringcrg 18745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1880  ax-4 1897  ax-5 2004  ax-6 2070  ax-7 2106  ax-8 2160  ax-9 2167  ax-10 2187  ax-11 2203  ax-12 2216  ax-13 2422  ax-ext 2784  ax-sep 4971  ax-nul 4980  ax-pow 5032  ax-pr 5093  ax-un 7176  ax-cnex 10274  ax-resscn 10275  ax-1cn 10276  ax-icn 10277  ax-addcl 10278  ax-addrcl 10279  ax-mulcl 10280  ax-mulrcl 10281  ax-mulcom 10282  ax-addass 10283  ax-mulass 10284  ax-distr 10285  ax-i2m1 10286  ax-1ne0 10287  ax-1rid 10288  ax-rnegex 10289  ax-rrecex 10290  ax-cnre 10291  ax-pre-lttri 10292  ax-pre-lttrn 10293  ax-pre-ltadd 10294  ax-pre-mulgt0 10295
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1865  df-sb 2063  df-eu 2636  df-mo 2637  df-clab 2792  df-cleq 2798  df-clel 2801  df-nfc 2936  df-ne 2978  df-nel 3081  df-ral 3100  df-rex 3101  df-reu 3102  df-rmo 3103  df-rab 3104  df-v 3392  df-sbc 3631  df-csb 3726  df-dif 3769  df-un 3771  df-in 3773  df-ss 3780  df-pss 3782  df-nul 4114  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4841  df-opab 4903  df-mpt 4920  df-tr 4943  df-id 5216  df-eprel 5221  df-po 5229  df-so 5230  df-fr 5267  df-we 5269  df-xp 5314  df-rel 5315  df-cnv 5316  df-co 5317  df-dm 5318  df-rn 5319  df-res 5320  df-ima 5321  df-pred 5890  df-ord 5936  df-on 5937  df-lim 5938  df-suc 5939  df-iota 6061  df-fun 6100  df-fn 6101  df-f 6102  df-f1 6103  df-fo 6104  df-f1o 6105  df-fv 6106  df-riota 6832  df-ov 6874  df-oprab 6875  df-mpt2 6876  df-om 7293  df-wrecs 7639  df-recs 7701  df-rdg 7739  df-er 7976  df-en 8190  df-dom 8191  df-sdom 8192  df-pnf 10358  df-mnf 10359  df-xr 10360  df-ltxr 10361  df-le 10362  df-sub 10550  df-neg 10551  df-nn 11303  df-2 11360  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-0g 16303  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator