Theorem ringinvnz1ne0 20247

Description: In a unital ring, a left invertible element is different from zero iff 1 ≠ 0. (Contributed by FL, 18-Apr-2010.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringinvnzdiv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringinvnzdiv.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringinvnzdiv.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ringinvnzdiv.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ringinvnzdiv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringinvnzdiv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringinvnzdiv.a	⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 (𝑎 · 𝑋) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
ringinvnz1ne0	⊢ (𝜑 → (𝑋 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0 ))

Distinct variable groups:   𝑋,𝑎   0 ,𝑎   1 ,𝑎   · ,𝑎   𝜑,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem ringinvnz1ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑎 · 𝑋) = (𝑎 · 0 ))
2		ringinvnzdiv.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		ringinvnzdiv.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		ringinvnzdiv.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		ringinvnzdiv.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6	3, 4, 5	ringrz 20241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
7	2, 6	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
8		eqeq12 2754	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 · 𝑋) = 1 ∧ (𝑎 · 0 ) = 0 ) → ((𝑎 · 𝑋) = (𝑎 · 0 ) ↔ 1 = 0 ))
9	8	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 · 𝑋) = 1 ∧ (𝑎 · 0 ) = 0 ) → ((𝑎 · 𝑋) = (𝑎 · 0 ) → 1 = 0 ))
10	9	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 · 𝑋) = 1 → ((𝑎 · 0 ) = 0 → ((𝑎 · 𝑋) = (𝑎 · 0 ) → 1 = 0 )))
11	7, 10	mpan9 506	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ((𝑎 · 𝑋) = (𝑎 · 0 ) → 1 = 0 ))
12	1, 11	syl5 34	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → (𝑋 = 0 → 1 = 0 ))
13		oveq2 7376	. . . . 5 ⊢ ( 1 = 0 → (𝑋 · 1 ) = (𝑋 · 0 ))
14		ringinvnzdiv.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
15		ringinvnzdiv.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
16	3, 4, 15	ringridm 20217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 1 ) = 𝑋)
17	3, 4, 5	ringrz 20241	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
18	16, 17	eqeq12d 2753	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 1 ) = (𝑋 · 0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
19	18	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 1 ) = (𝑋 · 0 ) → 𝑋 = 0 ))
20	2, 14, 19	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 1 ) = (𝑋 · 0 ) → 𝑋 = 0 ))
21	20	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ((𝑋 · 1 ) = (𝑋 · 0 ) → 𝑋 = 0 ))
22	13, 21	syl5 34	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ( 1 = 0 → 𝑋 = 0 ))
23	12, 22	impbid 212	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → (𝑋 = 0 ↔ 1 = 0 ))
24		ringinvnzdiv.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 (𝑎 · 𝑋) = 1 )
25	23, 24	r19.29a 3146	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 0 ↔ 1 = 0 ))
26	25	necon3bid 2977	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  ._rcmulr 17190  0_gc0g 17371  1_rcur 20128  Ringcrg 20180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182

This theorem is referenced by: (None)