MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringinvnz1ne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringinvnz1ne0 19926
Description: In a unital ring, a left invertible element is different from zero iff 10. (Contributed by FL, 18-Apr-2010.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ringinvnzdiv.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringinvnzdiv.t · = (.r𝑅)
ringinvnzdiv.u 1 = (1r𝑅)
ringinvnzdiv.z 0 = (0g𝑅)
ringinvnzdiv.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ringinvnzdiv.x (𝜑𝑋𝐵)
ringinvnzdiv.a (𝜑 → ∃𝑎𝐵 (𝑎 · 𝑋) = 1 )
Assertion
Ref Expression
ringinvnz1ne0 (𝜑 → (𝑋010 ))
Distinct variable groups:   𝑋,𝑎   0 ,𝑎   1 ,𝑎   · ,𝑎   𝜑,𝑎
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem ringinvnz1ne0
StepHypRef Expression
1 oveq2 7350 . . . . 5 (𝑋 = 0 → (𝑎 · 𝑋) = (𝑎 · 0 ))
2 ringinvnzdiv.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
3 ringinvnzdiv.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 ringinvnzdiv.t . . . . . . . 8 · = (.r𝑅)
5 ringinvnzdiv.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
63, 4, 5ringrz 19922 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
72, 6sylan 581 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
8 eqeq12 2754 . . . . . . . 8 (((𝑎 · 𝑋) = 1 ∧ (𝑎 · 0 ) = 0 ) → ((𝑎 · 𝑋) = (𝑎 · 0 ) ↔ 1 = 0 ))
98biimpd 228 . . . . . . 7 (((𝑎 · 𝑋) = 1 ∧ (𝑎 · 0 ) = 0 ) → ((𝑎 · 𝑋) = (𝑎 · 0 ) → 1 = 0 ))
109ex 414 . . . . . 6 ((𝑎 · 𝑋) = 1 → ((𝑎 · 0 ) = 0 → ((𝑎 · 𝑋) = (𝑎 · 0 ) → 1 = 0 )))
117, 10mpan9 508 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ((𝑎 · 𝑋) = (𝑎 · 0 ) → 1 = 0 ))
121, 11syl5 34 . . . 4 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → (𝑋 = 01 = 0 ))
13 oveq2 7350 . . . . 5 ( 1 = 0 → (𝑋 · 1 ) = (𝑋 · 0 ))
14 ringinvnzdiv.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐵)
15 ringinvnzdiv.u . . . . . . . . . 10 1 = (1r𝑅)
163, 4, 15ringridm 19906 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 1 ) = 𝑋)
173, 4, 5ringrz 19922 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
1816, 17eqeq12d 2753 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑋 · 1 ) = (𝑋 · 0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
1918biimpd 228 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑋 · 1 ) = (𝑋 · 0 ) → 𝑋 = 0 ))
202, 14, 19syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 · 1 ) = (𝑋 · 0 ) → 𝑋 = 0 ))
2120ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ((𝑋 · 1 ) = (𝑋 · 0 ) → 𝑋 = 0 ))
2213, 21syl5 34 . . . 4 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ( 1 = 0𝑋 = 0 ))
2312, 22impbid 211 . . 3 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → (𝑋 = 01 = 0 ))
24 ringinvnzdiv.a . . 3 (𝜑 → ∃𝑎𝐵 (𝑎 · 𝑋) = 1 )
2523, 24r19.29a 3156 . 2 (𝜑 → (𝑋 = 01 = 0 ))
2625necon3bid 2986 1 (𝜑 → (𝑋010 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wrex 3071  cfv 6484  (class class class)co 7342  Basecbs 17010  .rcmulr 17061  0gc0g 17248  1rcur 19832  Ringcrg 19878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-om 7786  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-er 8574  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-nn 12080  df-2 12142  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-plusg 17073  df-0g 17250  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-grp 18677  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-ring 19880
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator