MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringinvnz1ne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringinvnz1ne0 20023
Description: In a unital ring, a left invertible element is different from zero iff 1 โ‰  0. (Contributed by FL, 18-Apr-2010.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ringinvnzdiv.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
ringinvnzdiv.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
ringinvnzdiv.u 1 = (1rโ€˜๐‘…)
ringinvnzdiv.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
ringinvnzdiv.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
ringinvnzdiv.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
ringinvnzdiv.a (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ต (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 )
Assertion
Ref Expression
ringinvnz1ne0 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โ‰  0 โ†” 1 โ‰  0 ))
Distinct variable groups:   ๐‘‹,๐‘Ž   0 ,๐‘Ž   1 ,๐‘Ž   ยท ,๐‘Ž   ๐œ‘,๐‘Ž
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘Ž)   ๐‘…(๐‘Ž)

Proof of Theorem ringinvnz1ne0
StepHypRef Expression
1 oveq2 7370 . . . . 5 (๐‘‹ = 0 โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = (๐‘Ž ยท 0 ))
2 ringinvnzdiv.r . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
3 ringinvnzdiv.b . . . . . . . 8 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
4 ringinvnzdiv.t . . . . . . . 8 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
5 ringinvnzdiv.z . . . . . . . 8 0 = (0gโ€˜๐‘…)
63, 4, 5ringrz 20019 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž ยท 0 ) = 0 )
72, 6sylan 581 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž ยท 0 ) = 0 )
8 eqeq12 2754 . . . . . . . 8 (((๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 โˆง (๐‘Ž ยท 0 ) = 0 ) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) = (๐‘Ž ยท 0 ) โ†” 1 = 0 ))
98biimpd 228 . . . . . . 7 (((๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 โˆง (๐‘Ž ยท 0 ) = 0 ) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) = (๐‘Ž ยท 0 ) โ†’ 1 = 0 ))
109ex 414 . . . . . 6 ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 โ†’ ((๐‘Ž ยท 0 ) = 0 โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) = (๐‘Ž ยท 0 ) โ†’ 1 = 0 )))
117, 10mpan9 508 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) = (๐‘Ž ยท 0 ) โ†’ 1 = 0 ))
121, 11syl5 34 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โ†’ (๐‘‹ = 0 โ†’ 1 = 0 ))
13 oveq2 7370 . . . . 5 ( 1 = 0 โ†’ (๐‘‹ ยท 1 ) = (๐‘‹ ยท 0 ))
14 ringinvnzdiv.x . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
15 ringinvnzdiv.u . . . . . . . . . 10 1 = (1rโ€˜๐‘…)
163, 4, 15ringridm 20000 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท 1 ) = ๐‘‹)
173, 4, 5ringrz 20019 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท 0 ) = 0 )
1816, 17eqeq12d 2753 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘‹ ยท 1 ) = (๐‘‹ ยท 0 ) โ†” ๐‘‹ = 0 ))
1918biimpd 228 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘‹ ยท 1 ) = (๐‘‹ ยท 0 ) โ†’ ๐‘‹ = 0 ))
202, 14, 19syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท 1 ) = (๐‘‹ ยท 0 ) โ†’ ๐‘‹ = 0 ))
2120ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โ†’ ((๐‘‹ ยท 1 ) = (๐‘‹ ยท 0 ) โ†’ ๐‘‹ = 0 ))
2213, 21syl5 34 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โ†’ ( 1 = 0 โ†’ ๐‘‹ = 0 ))
2312, 22impbid 211 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โ†’ (๐‘‹ = 0 โ†” 1 = 0 ))
24 ringinvnzdiv.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ต (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 )
2523, 24r19.29a 3160 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ = 0 โ†” 1 = 0 ))
2625necon3bid 2989 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โ‰  0 โ†” 1 โ‰  0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โˆƒwrex 3074  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  .rcmulr 17141  0gc0g 17328  1rcur 19920  Ringcrg 19971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator