MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringinvnz1ne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringinvnz1ne0 20218
Description: In a unital ring, a left invertible element is different from zero iff 1 โ‰  0. (Contributed by FL, 18-Apr-2010.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ringinvnzdiv.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
ringinvnzdiv.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
ringinvnzdiv.u 1 = (1rโ€˜๐‘…)
ringinvnzdiv.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
ringinvnzdiv.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
ringinvnzdiv.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
ringinvnzdiv.a (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ต (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 )
Assertion
Ref Expression
ringinvnz1ne0 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โ‰  0 โ†” 1 โ‰  0 ))
Distinct variable groups:   ๐‘‹,๐‘Ž   0 ,๐‘Ž   1 ,๐‘Ž   ยท ,๐‘Ž   ๐œ‘,๐‘Ž
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘Ž)   ๐‘…(๐‘Ž)

Proof of Theorem ringinvnz1ne0
StepHypRef Expression
1 oveq2 7422 . . . . 5 (๐‘‹ = 0 โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = (๐‘Ž ยท 0 ))
2 ringinvnzdiv.r . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
3 ringinvnzdiv.b . . . . . . . 8 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
4 ringinvnzdiv.t . . . . . . . 8 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
5 ringinvnzdiv.z . . . . . . . 8 0 = (0gโ€˜๐‘…)
63, 4, 5ringrz 20212 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž ยท 0 ) = 0 )
72, 6sylan 579 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž ยท 0 ) = 0 )
8 eqeq12 2744 . . . . . . . 8 (((๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 โˆง (๐‘Ž ยท 0 ) = 0 ) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) = (๐‘Ž ยท 0 ) โ†” 1 = 0 ))
98biimpd 228 . . . . . . 7 (((๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 โˆง (๐‘Ž ยท 0 ) = 0 ) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) = (๐‘Ž ยท 0 ) โ†’ 1 = 0 ))
109ex 412 . . . . . 6 ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 โ†’ ((๐‘Ž ยท 0 ) = 0 โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) = (๐‘Ž ยท 0 ) โ†’ 1 = 0 )))
117, 10mpan9 506 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) = (๐‘Ž ยท 0 ) โ†’ 1 = 0 ))
121, 11syl5 34 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โ†’ (๐‘‹ = 0 โ†’ 1 = 0 ))
13 oveq2 7422 . . . . 5 ( 1 = 0 โ†’ (๐‘‹ ยท 1 ) = (๐‘‹ ยท 0 ))
14 ringinvnzdiv.x . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
15 ringinvnzdiv.u . . . . . . . . . 10 1 = (1rโ€˜๐‘…)
163, 4, 15ringridm 20188 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท 1 ) = ๐‘‹)
173, 4, 5ringrz 20212 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท 0 ) = 0 )
1816, 17eqeq12d 2743 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘‹ ยท 1 ) = (๐‘‹ ยท 0 ) โ†” ๐‘‹ = 0 ))
1918biimpd 228 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘‹ ยท 1 ) = (๐‘‹ ยท 0 ) โ†’ ๐‘‹ = 0 ))
202, 14, 19syl2anc 583 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท 1 ) = (๐‘‹ ยท 0 ) โ†’ ๐‘‹ = 0 ))
2120ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โ†’ ((๐‘‹ ยท 1 ) = (๐‘‹ ยท 0 ) โ†’ ๐‘‹ = 0 ))
2213, 21syl5 34 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โ†’ ( 1 = 0 โ†’ ๐‘‹ = 0 ))
2312, 22impbid 211 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โ†’ (๐‘‹ = 0 โ†” 1 = 0 ))
24 ringinvnzdiv.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ต (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 )
2523, 24r19.29a 3157 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ = 0 โ†” 1 = 0 ))
2625necon3bid 2980 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โ‰  0 โ†” 1 โ‰  0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935  โˆƒwrex 3065  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  .rcmulr 17219  0gc0g 17406  1rcur 20105  Ringcrg 20157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-plusg 17231  df-0g 17408  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator