MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringinvnzdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringinvnzdiv 20113
Description: In a unital ring, a left invertible element is not a zero divisor. (Contributed by FL, 18-Apr-2010.) (Revised by Jeff Madsen, 18-Apr-2010.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ringinvnzdiv.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
ringinvnzdiv.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
ringinvnzdiv.u 1 = (1rโ€˜๐‘…)
ringinvnzdiv.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
ringinvnzdiv.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
ringinvnzdiv.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
ringinvnzdiv.a (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ต (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 )
ringinvnzdiv.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
ringinvnzdiv (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†” ๐‘Œ = 0 ))
Distinct variable groups:   ๐‘‹,๐‘Ž   0 ,๐‘Ž   1 ,๐‘Ž   ยท ,๐‘Ž   ๐œ‘,๐‘Ž   ๐‘Œ,๐‘Ž
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘Ž)   ๐‘…(๐‘Ž)

Proof of Theorem ringinvnzdiv
StepHypRef Expression
1 ringinvnzdiv.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ต (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 )
2 ringinvnzdiv.r . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
3 ringinvnzdiv.y . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
4 ringinvnzdiv.b . . . . . . . . . 10 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
5 ringinvnzdiv.t . . . . . . . . . 10 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
6 ringinvnzdiv.u . . . . . . . . . 10 1 = (1rโ€˜๐‘…)
74, 5, 6ringlidm 20086 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 1 ยท ๐‘Œ) = ๐‘Œ)
82, 3, 7syl2anc 585 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ( 1 ยท ๐‘Œ) = ๐‘Œ)
98eqcomd 2739 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ = ( 1 ยท ๐‘Œ))
109ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โˆง (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 ) โ†’ ๐‘Œ = ( 1 ยท ๐‘Œ))
11 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 ( 1 = (๐‘Ž ยท ๐‘‹) โ†’ ( 1 ยท ๐‘Œ) = ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) ยท ๐‘Œ))
1211eqcoms 2741 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 โ†’ ( 1 ยท ๐‘Œ) = ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) ยท ๐‘Œ))
1312adantl 483 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โ†’ ( 1 ยท ๐‘Œ) = ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) ยท ๐‘Œ))
142adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
15 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ ๐ต)
16 ringinvnzdiv.x . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
1716adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
183adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
1915, 17, 183jca 1129 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต))
2014, 19jca 513 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)))
2120adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)))
224, 5ringass 20076 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) ยท ๐‘Œ) = (๐‘Ž ยท (๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) ยท ๐‘Œ) = (๐‘Ž ยท (๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))
2413, 23eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โ†’ ( 1 ยท ๐‘Œ) = (๐‘Ž ยท (๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))
2524adantr 482 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โˆง (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 ) โ†’ ( 1 ยท ๐‘Œ) = (๐‘Ž ยท (๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))
26 oveq2 7417 . . . . . . 7 ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†’ (๐‘Ž ยท (๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = (๐‘Ž ยท 0 ))
27 ringinvnzdiv.z . . . . . . . . . 10 0 = (0gโ€˜๐‘…)
284, 5, 27ringrz 20108 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž ยท 0 ) = 0 )
292, 28sylan 581 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž ยท 0 ) = 0 )
3029adantr 482 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โ†’ (๐‘Ž ยท 0 ) = 0 )
3126, 30sylan9eqr 2795 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โˆง (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 ) โ†’ (๐‘Ž ยท (๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = 0 )
3210, 25, 313eqtrd 2777 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โˆง (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 ) โ†’ ๐‘Œ = 0 )
3332exp31 421 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†’ ๐‘Œ = 0 )))
3433rexlimdva 3156 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ต (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†’ ๐‘Œ = 0 )))
351, 34mpd 15 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†’ ๐‘Œ = 0 ))
36 oveq2 7417 . . . 4 (๐‘Œ = 0 โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = (๐‘‹ ยท 0 ))
374, 5, 27ringrz 20108 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท 0 ) = 0 )
382, 16, 37syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท 0 ) = 0 )
3936, 38sylan9eqr 2795 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = 0 ) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 )
4039ex 414 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ = 0 โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 ))
4135, 40impbid 211 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†” ๐‘Œ = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3071  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  0gc0g 17385  1rcur 20004  Ringcrg 20056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058
This theorem is referenced by:  ringunitnzdiv  20212
  Copyright terms: Public domain W3C validator