MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringinvnzdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringinvnzdiv 19335
Description: In a unitary ring, a left invertible element is not a zero divisor. (Contributed by FL, 18-Apr-2010.) (Revised by Jeff Madsen, 18-Apr-2010.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ringinvnzdiv.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringinvnzdiv.t · = (.r𝑅)
ringinvnzdiv.u 1 = (1r𝑅)
ringinvnzdiv.z 0 = (0g𝑅)
ringinvnzdiv.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ringinvnzdiv.x (𝜑𝑋𝐵)
ringinvnzdiv.a (𝜑 → ∃𝑎𝐵 (𝑎 · 𝑋) = 1 )
ringinvnzdiv.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
ringinvnzdiv (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 ))
Distinct variable groups:   𝑋,𝑎   0 ,𝑎   1 ,𝑎   · ,𝑎   𝜑,𝑎   𝑌,𝑎
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem ringinvnzdiv
StepHypRef Expression
1 ringinvnzdiv.a . . 3 (𝜑 → ∃𝑎𝐵 (𝑎 · 𝑋) = 1 )
2 ringinvnzdiv.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
3 ringinvnzdiv.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝐵)
4 ringinvnzdiv.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 ringinvnzdiv.t . . . . . . . . . 10 · = (.r𝑅)
6 ringinvnzdiv.u . . . . . . . . . 10 1 = (1r𝑅)
74, 5, 6ringlidm 19313 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵) → ( 1 · 𝑌) = 𝑌)
82, 3, 7syl2anc 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( 1 · 𝑌) = 𝑌)
98eqcomd 2825 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 = ( 1 · 𝑌))
109ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → 𝑌 = ( 1 · 𝑌))
11 oveq1 7155 . . . . . . . . . 10 ( 1 = (𝑎 · 𝑋) → ( 1 · 𝑌) = ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌))
1211eqcoms 2827 . . . . . . . . 9 ((𝑎 · 𝑋) = 1 → ( 1 · 𝑌) = ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌))
1312adantl 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ( 1 · 𝑌) = ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌))
142adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
15 simpr 487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑎𝐵)
16 ringinvnzdiv.x . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋𝐵)
1716adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑋𝐵)
183adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑌𝐵)
1915, 17, 183jca 1123 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝑎𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵))
2014, 19jca 514 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)))
2120adantr 483 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)))
224, 5ringass 19306 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌) = (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌) = (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)))
2413, 23eqtrd 2854 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ( 1 · 𝑌) = (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)))
2524adantr 483 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → ( 1 · 𝑌) = (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)))
26 oveq2 7156 . . . . . . 7 ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)) = (𝑎 · 0 ))
27 ringinvnzdiv.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑅)
284, 5, 27ringrz 19330 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
292, 28sylan 582 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
3029adantr 483 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
3126, 30sylan9eqr 2876 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)) = 0 )
3210, 25, 313eqtrd 2858 . . . . 5 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → 𝑌 = 0 )
3332exp31 422 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝑎 · 𝑋) = 1 → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 )))
3433rexlimdva 3282 . . 3 (𝜑 → (∃𝑎𝐵 (𝑎 · 𝑋) = 1 → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 )))
351, 34mpd 15 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 ))
36 oveq2 7156 . . . 4 (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 0 ))
374, 5, 27ringrz 19330 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
382, 16, 37syl2anc 586 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · 0 ) = 0 )
3936, 38sylan9eqr 2876 . . 3 ((𝜑𝑌 = 0 ) → (𝑋 · 𝑌) = 0 )
4039ex 415 . 2 (𝜑 → (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
4135, 40impbid 214 1 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1082   = wceq 1531  wcel 2108  wrex 3137  cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  .rcmulr 16558  0gc0g 16705  1rcur 19243  Ringcrg 19289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator