MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringinvnzdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringinvnzdiv 20112
Description: In a unital ring, a left invertible element is not a zero divisor. (Contributed by FL, 18-Apr-2010.) (Revised by Jeff Madsen, 18-Apr-2010.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ringinvnzdiv.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
ringinvnzdiv.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
ringinvnzdiv.u 1 = (1rโ€˜๐‘…)
ringinvnzdiv.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
ringinvnzdiv.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
ringinvnzdiv.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
ringinvnzdiv.a (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ต (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 )
ringinvnzdiv.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
ringinvnzdiv (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†” ๐‘Œ = 0 ))
Distinct variable groups:   ๐‘‹,๐‘Ž   0 ,๐‘Ž   1 ,๐‘Ž   ยท ,๐‘Ž   ๐œ‘,๐‘Ž   ๐‘Œ,๐‘Ž
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘Ž)   ๐‘…(๐‘Ž)

Proof of Theorem ringinvnzdiv
StepHypRef Expression
1 ringinvnzdiv.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ต (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 )
2 ringinvnzdiv.r . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
3 ringinvnzdiv.y . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
4 ringinvnzdiv.b . . . . . . . . . 10 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
5 ringinvnzdiv.t . . . . . . . . . 10 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
6 ringinvnzdiv.u . . . . . . . . . 10 1 = (1rโ€˜๐‘…)
74, 5, 6ringlidm 20085 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 1 ยท ๐‘Œ) = ๐‘Œ)
82, 3, 7syl2anc 584 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ( 1 ยท ๐‘Œ) = ๐‘Œ)
98eqcomd 2738 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ = ( 1 ยท ๐‘Œ))
109ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โˆง (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 ) โ†’ ๐‘Œ = ( 1 ยท ๐‘Œ))
11 oveq1 7415 . . . . . . . . . 10 ( 1 = (๐‘Ž ยท ๐‘‹) โ†’ ( 1 ยท ๐‘Œ) = ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) ยท ๐‘Œ))
1211eqcoms 2740 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 โ†’ ( 1 ยท ๐‘Œ) = ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) ยท ๐‘Œ))
1312adantl 482 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โ†’ ( 1 ยท ๐‘Œ) = ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) ยท ๐‘Œ))
142adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
15 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ ๐ต)
16 ringinvnzdiv.x . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
1716adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
183adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
1915, 17, 183jca 1128 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต))
2014, 19jca 512 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)))
2120adantr 481 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)))
224, 5ringass 20075 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) ยท ๐‘Œ) = (๐‘Ž ยท (๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) ยท ๐‘Œ) = (๐‘Ž ยท (๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))
2413, 23eqtrd 2772 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โ†’ ( 1 ยท ๐‘Œ) = (๐‘Ž ยท (๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))
2524adantr 481 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โˆง (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 ) โ†’ ( 1 ยท ๐‘Œ) = (๐‘Ž ยท (๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))
26 oveq2 7416 . . . . . . 7 ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†’ (๐‘Ž ยท (๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = (๐‘Ž ยท 0 ))
27 ringinvnzdiv.z . . . . . . . . . 10 0 = (0gโ€˜๐‘…)
284, 5, 27ringrz 20107 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž ยท 0 ) = 0 )
292, 28sylan 580 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž ยท 0 ) = 0 )
3029adantr 481 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โ†’ (๐‘Ž ยท 0 ) = 0 )
3126, 30sylan9eqr 2794 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โˆง (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 ) โ†’ (๐‘Ž ยท (๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = 0 )
3210, 25, 313eqtrd 2776 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โˆง (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 ) โ†’ ๐‘Œ = 0 )
3332exp31 420 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†’ ๐‘Œ = 0 )))
3433rexlimdva 3155 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ต (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†’ ๐‘Œ = 0 )))
351, 34mpd 15 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†’ ๐‘Œ = 0 ))
36 oveq2 7416 . . . 4 (๐‘Œ = 0 โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = (๐‘‹ ยท 0 ))
374, 5, 27ringrz 20107 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท 0 ) = 0 )
382, 16, 37syl2anc 584 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท 0 ) = 0 )
3936, 38sylan9eqr 2794 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = 0 ) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 )
4039ex 413 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ = 0 โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 ))
4135, 40impbid 211 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†” ๐‘Œ = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆƒwrex 3070  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  0gc0g 17384  1rcur 20003  Ringcrg 20055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057
This theorem is referenced by:  ringunitnzdiv  20211
  Copyright terms: Public domain W3C validator