Theorem ringinvnzdiv 20017

Description: In a unital ring, a left invertible element is not a zero divisor. (Contributed by FL, 18-Apr-2010.) (Revised by Jeff Madsen, 18-Apr-2010.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringinvnzdiv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringinvnzdiv.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringinvnzdiv.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ringinvnzdiv.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ringinvnzdiv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringinvnzdiv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringinvnzdiv.a	⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 (𝑎 · 𝑋) = 1 )
ringinvnzdiv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringinvnzdiv	⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ 𝑌 = 0 ))

Distinct variable groups:   𝑋,𝑎   0 ,𝑎   1 ,𝑎   · ,𝑎   𝜑,𝑎   𝑌,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem ringinvnzdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringinvnzdiv.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 (𝑎 · 𝑋) = 1 )
2		ringinvnzdiv.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		ringinvnzdiv.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ringinvnzdiv.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		ringinvnzdiv.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6		ringinvnzdiv.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7	4, 5, 6	ringlidm 19992	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑌) = 𝑌)
8	2, 3, 7	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝑌) = 𝑌)
9	8	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ( 1 · 𝑌))
10	9	ad3antrrr 728	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → 𝑌 = ( 1 · 𝑌))
11		oveq1 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( 1 = (𝑎 · 𝑋) → ( 1 · 𝑌) = ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌))
12	11	eqcoms 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 · 𝑋) = 1 → ( 1 · 𝑌) = ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌))
13	12	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ( 1 · 𝑌) = ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌))
14	2	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
15		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
16		ringinvnzdiv.x	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
18	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
19	15, 17, 18	3jca 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
20	14, 19	jca 512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
21	20	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
22	4, 5	ringass 19984	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌) = (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌) = (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)))
24	13, 23	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ( 1 · 𝑌) = (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)))
25	24	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → ( 1 · 𝑌) = (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)))
26		oveq2 7365	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)) = (𝑎 · 0 ))
27		ringinvnzdiv.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
28	4, 5, 27	ringrz 20012	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
29	2, 28	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
30	29	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
31	26, 30	sylan9eqr 2798	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)) = 0 )
32	10, 25, 31	3eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → 𝑌 = 0 )
33	32	exp31 420	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑎 · 𝑋) = 1 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 → 𝑌 = 0 )))
34	33	rexlimdva 3152	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐵 (𝑎 · 𝑋) = 1 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 → 𝑌 = 0 )))
35	1, 34	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 → 𝑌 = 0 ))
36		oveq2 7365	. . . 4 ⊢ (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 0 ))
37	4, 5, 27	ringrz 20012	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
38	2, 16, 37	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 0 ) = 0 )
39	36, 38	sylan9eqr 2798	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 0 ) → (𝑋 · 𝑌) = 0 )
40	39	ex 413	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
41	35, 40	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ 𝑌 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3073  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  ._rcmulr 17134  0_gc0g 17321  1_rcur 19913  Ringcrg 19964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966

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