MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringinvnzdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringinvnzdiv 20189
Description: In a unital ring, a left invertible element is not a zero divisor. (Contributed by FL, 18-Apr-2010.) (Revised by Jeff Madsen, 18-Apr-2010.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ringinvnzdiv.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
ringinvnzdiv.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
ringinvnzdiv.u 1 = (1rโ€˜๐‘…)
ringinvnzdiv.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
ringinvnzdiv.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
ringinvnzdiv.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
ringinvnzdiv.a (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ต (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 )
ringinvnzdiv.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
ringinvnzdiv (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†” ๐‘Œ = 0 ))
Distinct variable groups:   ๐‘‹,๐‘Ž   0 ,๐‘Ž   1 ,๐‘Ž   ยท ,๐‘Ž   ๐œ‘,๐‘Ž   ๐‘Œ,๐‘Ž
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘Ž)   ๐‘…(๐‘Ž)

Proof of Theorem ringinvnzdiv
StepHypRef Expression
1 ringinvnzdiv.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ต (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 )
2 ringinvnzdiv.r . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
3 ringinvnzdiv.y . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
4 ringinvnzdiv.b . . . . . . . . . 10 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
5 ringinvnzdiv.t . . . . . . . . . 10 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
6 ringinvnzdiv.u . . . . . . . . . 10 1 = (1rโ€˜๐‘…)
74, 5, 6ringlidm 20157 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 1 ยท ๐‘Œ) = ๐‘Œ)
82, 3, 7syl2anc 582 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ( 1 ยท ๐‘Œ) = ๐‘Œ)
98eqcomd 2736 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ = ( 1 ยท ๐‘Œ))
109ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โˆง (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 ) โ†’ ๐‘Œ = ( 1 ยท ๐‘Œ))
11 oveq1 7418 . . . . . . . . . 10 ( 1 = (๐‘Ž ยท ๐‘‹) โ†’ ( 1 ยท ๐‘Œ) = ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) ยท ๐‘Œ))
1211eqcoms 2738 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 โ†’ ( 1 ยท ๐‘Œ) = ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) ยท ๐‘Œ))
1312adantl 480 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โ†’ ( 1 ยท ๐‘Œ) = ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) ยท ๐‘Œ))
142adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
15 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ ๐ต)
16 ringinvnzdiv.x . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
1716adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
183adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
1915, 17, 183jca 1126 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต))
2014, 19jca 510 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)))
2120adantr 479 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)))
224, 5ringass 20147 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) ยท ๐‘Œ) = (๐‘Ž ยท (๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) ยท ๐‘Œ) = (๐‘Ž ยท (๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))
2413, 23eqtrd 2770 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โ†’ ( 1 ยท ๐‘Œ) = (๐‘Ž ยท (๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))
2524adantr 479 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โˆง (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 ) โ†’ ( 1 ยท ๐‘Œ) = (๐‘Ž ยท (๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))
26 oveq2 7419 . . . . . . 7 ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†’ (๐‘Ž ยท (๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = (๐‘Ž ยท 0 ))
27 ringinvnzdiv.z . . . . . . . . . 10 0 = (0gโ€˜๐‘…)
284, 5, 27ringrz 20182 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž ยท 0 ) = 0 )
292, 28sylan 578 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž ยท 0 ) = 0 )
3029adantr 479 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โ†’ (๐‘Ž ยท 0 ) = 0 )
3126, 30sylan9eqr 2792 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โˆง (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 ) โ†’ (๐‘Ž ยท (๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = 0 )
3210, 25, 313eqtrd 2774 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 ) โˆง (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 ) โ†’ ๐‘Œ = 0 )
3332exp31 418 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†’ ๐‘Œ = 0 )))
3433rexlimdva 3153 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ต (๐‘Ž ยท ๐‘‹) = 1 โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†’ ๐‘Œ = 0 )))
351, 34mpd 15 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†’ ๐‘Œ = 0 ))
36 oveq2 7419 . . . 4 (๐‘Œ = 0 โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = (๐‘‹ ยท 0 ))
374, 5, 27ringrz 20182 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท 0 ) = 0 )
382, 16, 37syl2anc 582 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท 0 ) = 0 )
3936, 38sylan9eqr 2792 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Œ = 0 ) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 )
4039ex 411 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ = 0 โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 ))
4135, 40impbid 211 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†” ๐‘Œ = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆƒwrex 3068  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  .rcmulr 17202  0gc0g 17389  1rcur 20075  Ringcrg 20127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129
This theorem is referenced by:  ringunitnzdiv  20289
  Copyright terms: Public domain W3C validator