Theorem ringinvnzdiv 20533

Description: In a unital ring, a left invertible element is not a zero divisor. (Contributed by FL, 18-Apr-2010.) (Revised by Jeff Madsen, 18-Apr-2010.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringinvnzdiv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringinvnzdiv.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringinvnzdiv.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ringinvnzdiv.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ringinvnzdiv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringinvnzdiv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringinvnzdiv.a	⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 (𝑎 · 𝑋) = 1 )
ringinvnzdiv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringinvnzdiv	⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ 𝑌 = 0 ))

Distinct variable groups:   𝑋,𝑎   0 ,𝑎   1 ,𝑎   · ,𝑎   𝜑,𝑎   𝑌,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem ringinvnzdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringinvnzdiv.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 (𝑎 · 𝑋) = 1 )
2		ringinvnzdiv.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		ringinvnzdiv.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ringinvnzdiv.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		ringinvnzdiv.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6		ringinvnzdiv.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7	4, 5, 6	ringlidm 20499	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑌) = 𝑌)
8	2, 3, 7	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝑌) = 𝑌)
9	8	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ( 1 · 𝑌))
10	9	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → 𝑌 = ( 1 · 𝑌))
11		oveq1 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( 1 = (𝑎 · 𝑋) → ( 1 · 𝑌) = ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌))
12	11	eqcoms 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 · 𝑋) = 1 → ( 1 · 𝑌) = ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌))
13	12	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ( 1 · 𝑌) = ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌))
14	2	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
15		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
16		ringinvnzdiv.x	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
17	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
18	3	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
19	15, 17, 18	3jca 1146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
20	14, 19	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
21	20	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
22	4, 5	ringass 20481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌) = (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)))
23	21, 22	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌) = (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)))
24	13, 23	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ( 1 · 𝑌) = (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)))
25	24	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → ( 1 · 𝑌) = (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)))
26		oveq2 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)) = (𝑎 · 0 ))
27		ringinvnzdiv.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
28	4, 5, 27	ringrz 20526	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
29	2, 28	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
30	29	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
31	26, 30	sylan9eqr 2818	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)) = 0 )
32	10, 25, 31	3eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → 𝑌 = 0 )
33	32	exp31 425	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑎 · 𝑋) = 1 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 → 𝑌 = 0 )))
34	33	rexlimdva 3164	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ 𝐵 (𝑎 · 𝑋) = 1 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 → 𝑌 = 0 )))
35	1, 34	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 → 𝑌 = 0 ))
36		oveq2 7429	. . . 4 ⊢ (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 0 ))
37	4, 5, 27	ringrz 20526	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
38	2, 16, 37	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 0 ) = 0 )
39	36, 38	sylan9eqr 2818	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 0 ) → (𝑋 · 𝑌) = 0 )
40	39	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
41	35, 40	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ 𝑌 = 0 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17388  ._rcmulr 17430  0_gc0g 17611  1_rcur 20408  Ringcrg 20460

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-plusg 17442  df-0g 17613  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-ring 20462

This theorem is used by:  ringunitnzdiv  20629  isdrng3lem2  21007