MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ring1ne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ring1ne0 19346
Description: If a ring has at least two elements, its one and zero are different. (Contributed by AV, 13-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ring1ne0.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring1ne0.u 1 = (1r𝑅)
ring1ne0.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
ring1ne0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 10 )

Proof of Theorem ring1ne0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ring1ne0.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
21fvexi 6677 . . . 4 𝐵 ∈ V
3 hashgt12el 13790 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 𝑥𝑦)
42, 3mpan 689 . . 3 (1 < (♯‘𝐵) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 𝑥𝑦)
54adantl 485 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 𝑥𝑦)
6 ring1ne0.u . . . . . . . 8 1 = (1r𝑅)
7 ring1ne0.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
81, 6, 7ring1eq0 19345 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → ( 1 = 0𝑥 = 𝑦))
98necon3d 3035 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥𝑦10 ))
1093expib 1119 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥𝑦10 )))
1110adantr 484 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥𝑦10 )))
1211com3l 89 . . 3 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥𝑦 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 10 )))
1312rexlimivv 3284 . 2 (∃𝑥𝐵𝑦𝐵 𝑥𝑦 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 10 ))
145, 13mpcom 38 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 10 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wrex 3134  Vcvv 3480   class class class wbr 5053  cfv 6345  1c1 10538   < clt 10675  chash 13697  Basecbs 16485  0gc0g 16715  1rcur 19253  Ringcrg 19299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-card 9367  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-2 11699  df-n0 11897  df-xnn0 11967  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12897  df-hash 13698  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-plusg 16580  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301
This theorem is referenced by:  isnzr2hash  20039  01eq0ring  20047  el0ldep  44828
  Copyright terms: Public domain W3C validator