MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ring1ne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ring1ne0 19938
Description: If a ring has at least two elements, its one and zero are different. (Contributed by AV, 13-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ring1ne0.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring1ne0.u 1 = (1r𝑅)
ring1ne0.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
ring1ne0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 10 )

Proof of Theorem ring1ne0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ring1ne0.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
21fvexi 6852 . . . 4 𝐵 ∈ V
3 hashgt12el 14250 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 𝑥𝑦)
42, 3mpan 689 . . 3 (1 < (♯‘𝐵) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 𝑥𝑦)
54adantl 483 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 𝑥𝑦)
6 ring1ne0.u . . . . . . . 8 1 = (1r𝑅)
7 ring1ne0.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
81, 6, 7ring1eq0 19937 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → ( 1 = 0𝑥 = 𝑦))
98necon3d 2963 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥𝑦10 ))
1093expib 1123 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥𝑦10 )))
1110adantr 482 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥𝑦10 )))
1211com3l 89 . . 3 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥𝑦 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 10 )))
1312rexlimivv 3195 . 2 (∃𝑥𝐵𝑦𝐵 𝑥𝑦 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 10 ))
145, 13mpcom 38 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 10 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2942  wrex 3072  Vcvv 3444   class class class wbr 5104  cfv 6492  1c1 10986   < clt 11123  chash 14158  Basecbs 17018  0gc0g 17256  1rcur 19842  Ringcrg 19888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-card 9809  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-2 12150  df-n0 12348  df-xnn0 12420  df-z 12434  df-uz 12697  df-fz 13354  df-hash 14159  df-sets 16971  df-slot 16989  df-ndx 17001  df-base 17019  df-plusg 17081  df-0g 17258  df-mgm 18432  df-sgrp 18481  df-mnd 18492  df-grp 18686  df-minusg 18687  df-mgp 19826  df-ur 19843  df-ring 19890
This theorem is referenced by:  isnzr2hash  20657  01eq0ring  20665  el0ldep  46265
  Copyright terms: Public domain W3C validator