Theorem ring1ne0 19828

Description: If a ring has at least two elements, its one and zero are different. (Contributed by AV, 13-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring1ne0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring1ne0.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ring1ne0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ring1ne0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 1 ≠ 0 )

Proof of Theorem ring1ne0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ring1ne0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	fvexi 6785	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		hashgt12el 14135	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≠ 𝑦)
4	2, 3	mpan 687	. . 3 ⊢ (1 < (♯‘𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≠ 𝑦)
5	4	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≠ 𝑦)
6		ring1ne0.u	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7		ring1ne0.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8	1, 6, 7	ring1eq0 19827	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ( 1 = 0 → 𝑥 = 𝑦))
9	8	necon3d 2966	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≠ 𝑦 → 1 ≠ 0 ))
10	9	3expib 1121	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≠ 𝑦 → 1 ≠ 0 )))
11	10	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≠ 𝑦 → 1 ≠ 0 )))
12	11	com3l 89	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≠ 𝑦 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 1 ≠ 0 )))
13	12	rexlimivv 3223	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≠ 𝑦 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 1 ≠ 0 ))
14	5, 13	mpcom 38	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 1 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  ∃wrex 3067  Vcvv 3431   class class class wbr 5079  ‘cfv 6432  1c1 10873   < clt 11010  ♯chash 14042  Basecbs 16910  0_gc0g 17148  1_rcur 19735  Ringcrg 19781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12582  df-fz 13239  df-hash 14043  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-plusg 16973  df-0g 17150  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783

This theorem is referenced by:  isnzr2hash  20533  01eq0ring  20541  el0ldep  45776