Theorem ring1ne0 20229

Description: If a ring has at least two elements, its one and zero are different. (Contributed by AV, 13-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring1ne0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring1ne0.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ring1ne0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ring1ne0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 1 ≠ 0 )

Proof of Theorem ring1ne0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ring1ne0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	fvexi 6906	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		hashgt12el 14408	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≠ 𝑦)
4	2, 3	mpan 689	. . 3 ⊢ (1 < (♯‘𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≠ 𝑦)
5	4	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≠ 𝑦)
6		ring1ne0.u	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7		ring1ne0.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8	1, 6, 7	ring1eq0 20228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ( 1 = 0 → 𝑥 = 𝑦))
9	8	necon3d 2957	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≠ 𝑦 → 1 ≠ 0 ))
10	9	3expib 1120	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≠ 𝑦 → 1 ≠ 0 )))
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≠ 𝑦 → 1 ≠ 0 )))
12	11	com3l 89	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≠ 𝑦 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 1 ≠ 0 )))
13	12	rexlimivv 3195	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≠ 𝑦 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 1 ≠ 0 ))
14	5, 13	mpcom 38	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 1 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2936  ∃wrex 3066  Vcvv 3470   class class class wbr 5143  ‘cfv 6543  1c1 11134   < clt 11273  ♯chash 14316  Basecbs 17174  0_gc0g 17415  1_rcur 20115  Ringcrg 20167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-hash 14317  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-plusg 17240  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18887  df-minusg 18888  df-cmn 19731  df-abl 19732  df-mgp 20069  df-rng 20087  df-ur 20116  df-ring 20169

This theorem is referenced by:  isnzr2hash  20452  01eq0ringOLD  20462  el0ldep  47525