MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngisomring1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngisomring1 20370
Description: If there is a non-unital ring isomorphism between a unital ring and a non-unital ring, then the ring unity of the second ring is the function value of the ring unity of the first ring for the isomorphism. (Contributed by AV, 16-Mar-2025.)
Assertion
Ref Expression
rngisomring1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → (1r𝑆) = (𝐹‘(1r𝑅)))

Proof of Theorem rngisomring1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . 4 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2 eqid 2726 . . . 4 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3 eqid 2726 . . . 4 (.r𝑆) = (.r𝑆)
41, 2, 3rngisom1 20368 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((𝐹‘(1r𝑅))(.r𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑆)(𝐹‘(1r𝑅))) = 𝑥))
5 eqidd 2727 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((𝐹‘(1r𝑅))(.r𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑆)(𝐹‘(1r𝑅))) = 𝑥)) → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆))
6 eqidd 2727 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((𝐹‘(1r𝑅))(.r𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑆)(𝐹‘(1r𝑅))) = 𝑥)) → (.r𝑆) = (.r𝑆))
7 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
87, 2rngimf1o 20356 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆) → 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆))
9 f1of 6827 . . . . . . . 8 (𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
11103ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
127, 1ringidcl 20165 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
13123ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
1411, 13ffvelcdmd 7081 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → (𝐹‘(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑆))
1514adantr 480 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((𝐹‘(1r𝑅))(.r𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑆)(𝐹‘(1r𝑅))) = 𝑥)) → (𝐹‘(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑆))
16 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘(1r𝑅))(.r𝑆)𝑥) = ((𝐹‘(1r𝑅))(.r𝑆)𝑦))
17 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦)
1816, 17eqeq12d 2742 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐹‘(1r𝑅))(.r𝑆)𝑥) = 𝑥 ↔ ((𝐹‘(1r𝑅))(.r𝑆)𝑦) = 𝑦))
19 oveq1 7412 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(.r𝑆)(𝐹‘(1r𝑅))) = (𝑦(.r𝑆)(𝐹‘(1r𝑅))))
2019, 17eqeq12d 2742 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(.r𝑆)(𝐹‘(1r𝑅))) = 𝑥 ↔ (𝑦(.r𝑆)(𝐹‘(1r𝑅))) = 𝑦))
2118, 20anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((((𝐹‘(1r𝑅))(.r𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑆)(𝐹‘(1r𝑅))) = 𝑥) ↔ (((𝐹‘(1r𝑅))(.r𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑆)(𝐹‘(1r𝑅))) = 𝑦)))
2221rspccv 3603 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((𝐹‘(1r𝑅))(.r𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑆)(𝐹‘(1r𝑅))) = 𝑥) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑆) → (((𝐹‘(1r𝑅))(.r𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑆)(𝐹‘(1r𝑅))) = 𝑦)))
2322adantl 481 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((𝐹‘(1r𝑅))(.r𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑆)(𝐹‘(1r𝑅))) = 𝑥)) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑆) → (((𝐹‘(1r𝑅))(.r𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑆)(𝐹‘(1r𝑅))) = 𝑦)))
24 simpl 482 . . . . . 6 ((((𝐹‘(1r𝑅))(.r𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑆)(𝐹‘(1r𝑅))) = 𝑦) → ((𝐹‘(1r𝑅))(.r𝑆)𝑦) = 𝑦)
2523, 24syl6 35 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((𝐹‘(1r𝑅))(.r𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑆)(𝐹‘(1r𝑅))) = 𝑥)) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑆) → ((𝐹‘(1r𝑅))(.r𝑆)𝑦) = 𝑦))
2625imp 406 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((𝐹‘(1r𝑅))(.r𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑆)(𝐹‘(1r𝑅))) = 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝐹‘(1r𝑅))(.r𝑆)𝑦) = 𝑦)
27 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝐹‘(1r𝑅))(.r𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑆)(𝐹‘(1r𝑅))) = 𝑦) → (𝑦(.r𝑆)(𝐹‘(1r𝑅))) = 𝑦)
2823, 27syl6 35 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((𝐹‘(1r𝑅))(.r𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑆)(𝐹‘(1r𝑅))) = 𝑥)) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑆) → (𝑦(.r𝑆)(𝐹‘(1r𝑅))) = 𝑦))
2928imp 406 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((𝐹‘(1r𝑅))(.r𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑆)(𝐹‘(1r𝑅))) = 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑦(.r𝑆)(𝐹‘(1r𝑅))) = 𝑦)
305, 6, 15, 26, 29ringurd 20090 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((𝐹‘(1r𝑅))(.r𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑆)(𝐹‘(1r𝑅))) = 𝑥)) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
314, 30mpdan 684 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
3231eqcomd 2732 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → (1r𝑆) = (𝐹‘(1r𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3055  wf 6533  1-1-ontowf1o 6536  cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  .rcmulr 17207  Rngcrng 20057  1rcur 20086  Ringcrg 20138   RngIso crngim 20337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-mgmhm 18625  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-ghm 19139  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-rnghm 20338  df-rngim 20339
This theorem is referenced by:  rngqiprngu  21171
  Copyright terms: Public domain W3C validator