Theorem rpexpcl 14079

Description: Closure law for integer exponentiation of positive reals. (Contributed by NM, 24-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpne0 12996	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	2	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ≠ 0)
4		simpr 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		rpssre 12987	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
6		ax-resscn 11116	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	5, 6	sstri 3936	. . 3 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
8		rpmulcl 13004	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
9		1rp 12983	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ+
10		rpreccl 13007	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
11	10	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
12	7, 8, 9, 11	expcl2lem 14072	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)
13	1, 3, 4, 12	syl3anc 1382	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2132   ≠ wne 2947  (class class class)co 7381  ℂcc 11057  ℝcr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   / cdiv 11830  ℤcz 12554  ℝ⁺crp 12979  ↑cexp 14060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-rp 12980  df-seq 14001  df-exp 14061

This theorem is referenced by:  expgt0  14094  ltexp2a  14165  expcan  14168  ltexp2  14169  leexp2a  14171  ltexp2r  14172  expnlbnd2  14233  rpexpcld  14246  expcnv  15866  effsumlt  16115  ef01bndlem  16188  rpnnen2lem11  16228  iscmet3lem3  25321  iscmet3lem1  25322  iscmet3lem2  25323  iscmet3  25324  minveclem3  25460  pjthlem1  25468  aaliou3lem1  26372  aaliou3lem2  26373  aaliou3lem3  26374  aaliou3lem8  26375  aaliou3lem5  26377  aaliou3lem6  26378  aaliou3lem7  26379  aaliou3lem9  26380  tanregt0  26570  asinlem3  26902  cxp2limlem  27006  ftalem5  27107  basellem3  27113  basellem4  27114  basellem8  27118  chebbnd1lem3  27501  dchrisum0lem1a  27516  dchrisum0lem1b  27545  dchrisum0lem1  27546  dchrisum0lem2a  27547  dchrisum0lem2  27548  dchrisum0lem3  27549  pntlemd  27624  pntlema  27626  pntlemb  27627  pntlemh  27629  pntlemr  27632  pntlemi  27634  pntlemf  27635  pntlemo  27637  pntlem3  27639  pntleml  27641  ostth2lem1  27648  ostth3  27668  minvecolem3  31014  pjhthlem1  31529  dpexpp1  33035  dya2icoseg  34518  faclimlem3  36033  geomcau  38196  dignnld  49163