Theorem rpexpcl 13911

Description: Closure law for exponentiation of positive reals. (Contributed by NM, 24-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpne0 12856	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	2	adantr 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ≠ 0)
4		simpr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		rpssre 12847	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
6		ax-resscn 11038	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	5, 6	sstri 3948	. . 3 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
8		rpmulcl 12863	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
9		1rp 12844	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ+
10		rpreccl 12866	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
11	10	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
12	7, 8, 9, 11	expcl2lem 13904	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)
13	1, 3, 4, 12	syl3anc 1371	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2941  (class class class)co 7346  ℂcc 10979  ℝcr 10980  0cc0 10981  1c1 10982   / cdiv 11742  ℤcz 12429  ℝ⁺crp 12840  ↑cexp 13892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-cnex 11037  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057  ax-pre-mulgt0 11058

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3924  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4861  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-tr 5218  df-id 5525  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5582  df-we 5584  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-pred 6246  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7790  df-2nd 7909  df-frecs 8176  df-wrecs 8207  df-recs 8281  df-rdg 8320  df-er 8578  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-xr 11123  df-ltxr 11124  df-le 11125  df-sub 11317  df-neg 11318  df-div 11743  df-nn 12084  df-n0 12344  df-z 12430  df-uz 12693  df-rp 12841  df-seq 13832  df-exp 13893

This theorem is referenced by:  expgt0  13926  ltexp2a  13994  expcan  13997  ltexp2  13998  leexp2a  14000  ltexp2r  14001  expnlbnd2  14059  rpexpcld  14072  expcnv  15680  effsumlt  15924  ef01bndlem  15997  rpnnen2lem11  16037  iscmet3lem3  24564  iscmet3lem1  24565  iscmet3lem2  24566  iscmet3  24567  minveclem3  24703  pjthlem1  24711  aaliou3lem1  25612  aaliou3lem2  25613  aaliou3lem3  25614  aaliou3lem8  25615  aaliou3lem5  25617  aaliou3lem6  25618  aaliou3lem7  25619  aaliou3lem9  25620  tanregt0  25805  asinlem3  26131  cxp2limlem  26235  ftalem5  26336  basellem3  26342  basellem4  26343  basellem8  26347  chebbnd1lem3  26729  dchrisum0lem1a  26744  dchrisum0lem1b  26773  dchrisum0lem1  26774  dchrisum0lem2a  26775  dchrisum0lem2  26776  dchrisum0lem3  26777  pntlemd  26852  pntlema  26854  pntlemb  26855  pntlemh  26857  pntlemr  26860  pntlemi  26862  pntlemf  26863  pntlemo  26865  pntlem3  26867  pntleml  26869  ostth2lem1  26876  ostth3  26896  minvecolem3  29592  pjhthlem1  30107  dpexpp1  31533  dya2icoseg  32608  faclimlem3  34066  geomcau  36073  dignnld  46367