Theorem rpexpcl 14191

Description: Closure law for integer exponentiation of positive reals. (Contributed by NM, 24-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpne0 13106	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	2	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ≠ 0)
4		simpr 490	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		rpssre 13097	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
6		ax-resscn 11228	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	5, 6	sstri 3939	. . 3 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
8		rpmulcl 13114	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
9		1rp 13093	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ+
10		rpreccl 13117	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
12	7, 8, 9, 11	expcl2lem 14184	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)
13	1, 3, 4, 12	syl3anc 1398	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  (class class class)co 7408  ℂcc 11169  ℝcr 11170  0cc0 11171  1c1 11172   / cdiv 11942  ℤcz 12662  ℝ⁺crp 13089  ↑cexp 14172

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-rp 13090  df-seq 14113  df-exp 14173

This theorem is used by:  expgt0  14206  ltexp2a  14277  expcan  14280  ltexp2  14281  leexp2a  14283  ltexp2r  14284  expnlbnd2  14345  rpexpcld  14358  expcnv  16000  effsumlt  16246  ef01bndlem  16319  rpnnen2lem11  16359  iscmet3lem3  25572  iscmet3lem1  25573  iscmet3lem2  25574  iscmet3  25575  minveclem3  25711  pjthlem1  25719  aaliou3lem1  26632  aaliou3lem2  26633  aaliou3lem3  26634  aaliou3lem8  26635  aaliou3lem5  26637  aaliou3lem6  26638  aaliou3lem7  26639  aaliou3lem9  26640  tanregt0  26830  asinlem3  27162  cxp2limlem  27266  ftalem5  27367  basellem3  27373  basellem4  27374  basellem8  27378  chebbnd1lem3  27761  dchrisum0lem1a  27776  dchrisum0lem1b  27805  dchrisum0lem1  27806  dchrisum0lem2a  27807  dchrisum0lem2  27808  dchrisum0lem3  27809  pntlemd  27884  pntlema  27886  pntlemb  27887  pntlemh  27889  pntlemr  27892  pntlemi  27894  pntlemf  27895  pntlemo  27897  pntlem3  27899  pntleml  27901  ostth2lem1  27908  ostth3  27928  minvecolem3  31411  pjhthlem1  31926  dpexpp1  33407  dya2icoseg  34843  faclimlem3  36431  geomcau  38613  dignnld  49637