Theorem rpexpcl 14223

Description: Closure law for integer exponentiation of positive reals. (Contributed by NM, 24-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpne0 13137	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	2	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ≠ 0)
4		simpr 490	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		rpssre 13128	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
6		ax-resscn 11257	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	5, 6	sstri 3917	. . 3 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
8		rpmulcl 13145	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
9		1rp 13124	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ+
10		rpreccl 13148	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
12	7, 8, 9, 11	expcl2lem 14216	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)
13	1, 3, 4, 12	syl3anc 1398	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   / cdiv 11973  ℤcz 12693  ℝ⁺crp 13120  ↑cexp 14204

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-seq 14145  df-exp 14205

This theorem is used by:  expgt0  14238  ltexp2a  14309  expcan  14312  ltexp2  14313  leexp2a  14315  ltexp2r  14316  expnlbnd2  14378  rpexpcld  14391  expcnv  16033  effsumlt  16279  ef01bndlem  16352  rpnnen2lem11  16392  iscmet3lem3  25611  iscmet3lem1  25612  iscmet3lem2  25613  iscmet3  25614  minveclem3  25750  pjthlem1  25758  aaliou3lem1  26669  aaliou3lem2  26670  aaliou3lem3  26671  aaliou3lem8  26672  aaliou3lem5  26674  aaliou3lem6  26675  aaliou3lem7  26676  aaliou3lem9  26677  tanregt0  26867  asinlem3  27199  cxp2limlem  27303  ftalem5  27404  basellem3  27410  basellem4  27411  basellem8  27415  chebbnd1lem3  27798  dchrisum0lem1a  27813  dchrisum0lem1b  27842  dchrisum0lem1  27843  dchrisum0lem2a  27844  dchrisum0lem2  27845  dchrisum0lem3  27846  pntlemd  27921  pntlema  27923  pntlemb  27924  pntlemh  27926  pntlemr  27929  pntlemi  27931  pntlemf  27932  pntlemo  27934  pntlem3  27936  pntleml  27938  ostth2lem1  27945  ostth3  27965  minvecolem3  31478  pjhthlem1  31993  dpexpp1  33516  dya2icoseg  34951  faclimlem3  36552  geomcau  38736  dignnld  49758