Theorem rpexpcl 14007

Description: Closure law for integer exponentiation of positive reals. (Contributed by NM, 24-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpne0 12926	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	2	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ≠ 0)
4		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		rpssre 12917	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
6		ax-resscn 11087	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	5, 6	sstri 3944	. . 3 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
8		rpmulcl 12934	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
9		1rp 12913	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ+
10		rpreccl 12937	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
12	7, 8, 9, 11	expcl2lem 14000	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)
13	1, 3, 4, 12	syl3anc 1374	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   / cdiv 11798  ℤcz 12492  ℝ⁺crp 12909  ↑cexp 13988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-seq 13929  df-exp 13989

This theorem is referenced by:  expgt0  14022  ltexp2a  14093  expcan  14096  ltexp2  14097  leexp2a  14099  ltexp2r  14100  expnlbnd2  14161  rpexpcld  14174  expcnv  15791  effsumlt  16040  ef01bndlem  16113  rpnnen2lem11  16153  iscmet3lem3  25250  iscmet3lem1  25251  iscmet3lem2  25252  iscmet3  25253  minveclem3  25389  pjthlem1  25397  aaliou3lem1  26310  aaliou3lem2  26311  aaliou3lem3  26312  aaliou3lem8  26313  aaliou3lem5  26315  aaliou3lem6  26316  aaliou3lem7  26317  aaliou3lem9  26318  tanregt0  26508  asinlem3  26841  cxp2limlem  26946  ftalem5  27047  basellem3  27053  basellem4  27054  basellem8  27058  chebbnd1lem3  27442  dchrisum0lem1a  27457  dchrisum0lem1b  27486  dchrisum0lem1  27487  dchrisum0lem2a  27488  dchrisum0lem2  27489  dchrisum0lem3  27490  pntlemd  27565  pntlema  27567  pntlemb  27568  pntlemh  27570  pntlemr  27573  pntlemi  27575  pntlemf  27576  pntlemo  27578  pntlem3  27580  pntleml  27582  ostth2lem1  27589  ostth3  27609  minvecolem3  30934  pjhthlem1  31449  dpexpp1  32970  dya2icoseg  34415  faclimlem3  35920  geomcau  37931  dignnld  48885