Theorem rpexpcl 13303

Description: Closure law for exponentiation of positive reals. (Contributed by NM, 24-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpne0 12260	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	2	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ≠ 0)
4		simpr 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		rpssre 12251	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
6		ax-resscn 10445	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	5, 6	sstri 3902	. . 3 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
8		rpmulcl 12267	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
9		1rp 12248	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ+
10		rpreccl 12270	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
11	10	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
12	7, 8, 9, 11	expcl2lem 13296	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)
13	1, 3, 4, 12	syl3anc 1364	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  (class class class)co 7021  ℂcc 10386  ℝcr 10387  0cc0 10388  1c1 10389   / cdiv 11150  ℤcz 11834  ℝ⁺crp 12244  ↑cexp 13284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-er 8144  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-n0 11751  df-z 11835  df-uz 12099  df-rp 12245  df-seq 13225  df-exp 13285

This theorem is referenced by:  expgt0  13317  ltexp2a  13385  expcan  13388  ltexp2  13389  leexp2a  13391  ltexp2r  13392  expnlbnd2  13450  rpexpcld  13463  expcnv  15057  effsumlt  15302  ef01bndlem  15375  rpnnen2lem11  15415  iscmet3lem3  23581  iscmet3lem1  23582  iscmet3lem2  23583  iscmet3  23584  minveclem3  23720  pjthlem1  23728  aaliou3lem1  24619  aaliou3lem2  24620  aaliou3lem3  24621  aaliou3lem8  24622  aaliou3lem5  24624  aaliou3lem6  24625  aaliou3lem7  24626  aaliou3lem9  24627  tanregt0  24809  asinlem3  25135  cxp2limlem  25240  ftalem5  25341  basellem3  25347  basellem4  25348  basellem8  25352  chebbnd1lem3  25734  dchrisum0lem1a  25749  dchrisum0lem1b  25778  dchrisum0lem1  25779  dchrisum0lem2a  25780  dchrisum0lem2  25781  dchrisum0lem3  25782  pntlemd  25857  pntlema  25859  pntlemb  25860  pntlemh  25862  pntlemr  25865  pntlemi  25867  pntlemf  25868  pntlemo  25870  pntlem3  25872  pntleml  25874  ostth2lem1  25881  ostth3  25901  minvecolem3  28349  pjhthlem1  28864  dpexpp1  30273  dya2icoseg  31157  faclimlem3  32591  geomcau  34591  dignnld  44170