Theorem rpexpcl 14103

Description: Closure law for integer exponentiation of positive reals. (Contributed by NM, 24-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpne0 13020	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	2	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ≠ 0)
4		simpr 488	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		rpssre 13011	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
6		ax-resscn 11141	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	5, 6	sstri 3946	. . 3 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
8		rpmulcl 13028	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
9		1rp 13007	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ+
10		rpreccl 13031	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
11	10	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
12	7, 8, 9, 11	expcl2lem 14096	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)
13	1, 3, 4, 12	syl3anc 1392	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  (class class class)co 7396  ℂcc 11082  ℝcr 11083  0cc0 11084  1c1 11085   / cdiv 11855  ℤcz 12578  ℝ⁺crp 13003  ↑cexp 14084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11856  df-nn 12221  df-n0 12492  df-z 12579  df-uz 12850  df-rp 13004  df-seq 14025  df-exp 14085

This theorem is referenced by:  expgt0  14118  ltexp2a  14189  expcan  14192  ltexp2  14193  leexp2a  14195  ltexp2r  14196  expnlbnd2  14257  rpexpcld  14270  expcnv  15904  effsumlt  16153  ef01bndlem  16226  rpnnen2lem11  16266  iscmet3lem3  25359  iscmet3lem1  25360  iscmet3lem2  25361  iscmet3  25362  minveclem3  25498  pjthlem1  25506  aaliou3lem1  26413  aaliou3lem2  26414  aaliou3lem3  26415  aaliou3lem8  26416  aaliou3lem5  26418  aaliou3lem6  26419  aaliou3lem7  26420  aaliou3lem9  26421  tanregt0  26611  asinlem3  26943  cxp2limlem  27047  ftalem5  27148  basellem3  27154  basellem4  27155  basellem8  27159  chebbnd1lem3  27542  dchrisum0lem1a  27557  dchrisum0lem1b  27586  dchrisum0lem1  27587  dchrisum0lem2a  27588  dchrisum0lem2  27589  dchrisum0lem3  27590  pntlemd  27665  pntlema  27667  pntlemb  27668  pntlemh  27670  pntlemr  27673  pntlemi  27675  pntlemf  27676  pntlemo  27678  pntlem3  27680  pntleml  27682  ostth2lem1  27689  ostth3  27709  minvecolem3  31086  pjhthlem1  31601  dpexpp1  33091  dya2icoseg  34576  faclimlem3  36100  geomcau  38263  dignnld  49216