Theorem rpexpcl 14081

Description: Closure law for integer exponentiation of positive reals. (Contributed by NM, 24-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpne0 13025	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	2	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ≠ 0)
4		simpr 483	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		rpssre 13016	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
6		ax-resscn 11197	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	5, 6	sstri 3986	. . 3 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
8		rpmulcl 13032	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
9		1rp 13013	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ+
10		rpreccl 13035	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
11	10	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
12	7, 8, 9, 11	expcl2lem 14074	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)
13	1, 3, 4, 12	syl3anc 1368	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  (class class class)co 7419  ℂcc 11138  ℝcr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   / cdiv 11903  ℤcz 12591  ℝ⁺crp 13009  ↑cexp 14062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-seq 14003  df-exp 14063

This theorem is referenced by:  expgt0  14096  ltexp2a  14166  expcan  14169  ltexp2  14170  leexp2a  14172  ltexp2r  14173  expnlbnd2  14232  rpexpcld  14245  expcnv  15846  effsumlt  16091  ef01bndlem  16164  rpnnen2lem11  16204  iscmet3lem3  25262  iscmet3lem1  25263  iscmet3lem2  25264  iscmet3  25265  minveclem3  25401  pjthlem1  25409  aaliou3lem1  26322  aaliou3lem2  26323  aaliou3lem3  26324  aaliou3lem8  26325  aaliou3lem5  26327  aaliou3lem6  26328  aaliou3lem7  26329  aaliou3lem9  26330  tanregt0  26518  asinlem3  26848  cxp2limlem  26953  ftalem5  27054  basellem3  27060  basellem4  27061  basellem8  27065  chebbnd1lem3  27449  dchrisum0lem1a  27464  dchrisum0lem1b  27493  dchrisum0lem1  27494  dchrisum0lem2a  27495  dchrisum0lem2  27496  dchrisum0lem3  27497  pntlemd  27572  pntlema  27574  pntlemb  27575  pntlemh  27577  pntlemr  27580  pntlemi  27582  pntlemf  27583  pntlemo  27585  pntlem3  27587  pntleml  27589  ostth2lem1  27596  ostth3  27616  minvecolem3  30758  pjhthlem1  31273  dpexpp1  32716  dya2icoseg  34028  faclimlem3  35470  geomcau  37363  dignnld  47862