Theorem rpexpcl 14031

Description: Closure law for integer exponentiation of positive reals. (Contributed by NM, 24-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpne0 12948	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	2	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ≠ 0)
4		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		rpssre 12939	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
6		ax-resscn 11084	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	5, 6	sstri 3926	. . 3 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
8		rpmulcl 12956	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
9		1rp 12935	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ+
10		rpreccl 12959	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
12	7, 8, 9, 11	expcl2lem 14024	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)
13	1, 3, 4, 12	syl3anc 1374	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2930  (class class class)co 7356  ℂcc 11025  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   / cdiv 11796  ℤcz 12513  ℝ⁺crp 12931  ↑cexp 14012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-seq 13953  df-exp 14013

This theorem is referenced by:  expgt0  14046  ltexp2a  14117  expcan  14120  ltexp2  14121  leexp2a  14123  ltexp2r  14124  expnlbnd2  14185  rpexpcld  14198  expcnv  15818  effsumlt  16067  ef01bndlem  16140  rpnnen2lem11  16180  iscmet3lem3  25245  iscmet3lem1  25246  iscmet3lem2  25247  iscmet3  25248  minveclem3  25384  pjthlem1  25392  aaliou3lem1  26296  aaliou3lem2  26297  aaliou3lem3  26298  aaliou3lem8  26299  aaliou3lem5  26301  aaliou3lem6  26302  aaliou3lem7  26303  aaliou3lem9  26304  tanregt0  26491  asinlem3  26823  cxp2limlem  26927  ftalem5  27028  basellem3  27034  basellem4  27035  basellem8  27039  chebbnd1lem3  27422  dchrisum0lem1a  27437  dchrisum0lem1b  27466  dchrisum0lem1  27467  dchrisum0lem2a  27468  dchrisum0lem2  27469  dchrisum0lem3  27470  pntlemd  27545  pntlema  27547  pntlemb  27548  pntlemh  27550  pntlemr  27553  pntlemi  27555  pntlemf  27556  pntlemo  27558  pntlem3  27560  pntleml  27562  ostth2lem1  27569  ostth3  27589  minvecolem3  30935  pjhthlem1  31450  dpexpp1  32955  dya2icoseg  34409  faclimlem3  35915  geomcau  38068  dignnld  49067