Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logfac 25305
 Description: The logarithm of a factorial can be expressed as a finite sum of logs. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
logfac (𝑁 ∈ ℕ0 → (log‘(!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘))
Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem logfac
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 11949 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 rpmulcl 12466 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑘 · 𝑛) ∈ ℝ+)
32adantl 485 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+)) → (𝑘 · 𝑛) ∈ ℝ+)
4 fvi 6733 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ V → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
54elv 3415 . . . . . 6 ( I ‘𝑘) = 𝑘
6 elfznn 12998 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
76adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
87nnrpd 12483 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ+)
95, 8eqeltrid 2856 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ( I ‘𝑘) ∈ ℝ+)
10 elnnuz 12335 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
1110biimpi 219 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
12 relogmul 25296 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (log‘(𝑘 · 𝑛)) = ((log‘𝑘) + (log‘𝑛)))
1312adantl 485 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+)) → (log‘(𝑘 · 𝑛)) = ((log‘𝑘) + (log‘𝑛)))
145fveq2i 6666 . . . . . 6 (log‘( I ‘𝑘)) = (log‘𝑘)
1514a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (log‘( I ‘𝑘)) = (log‘𝑘))
163, 9, 11, 13, 15seqhomo 13480 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(seq1( · , I )‘𝑁)) = (seq1( + , log)‘𝑁))
17 facnn 13698 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
1817fveq2d 6667 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(!‘𝑁)) = (log‘(seq1( · , I )‘𝑁)))
19 eqidd 2759 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (log‘𝑘) = (log‘𝑘))
20 relogcl 25280 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ+ → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
218, 20syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
2221recnd 10720 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (log‘𝑘) ∈ ℂ)
2319, 11, 22fsumser 15148 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘) = (seq1( + , log)‘𝑁))
2416, 18, 233eqtr4d 2803 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘))
25 log1 25290 . . . . 5 (log‘1) = 0
26 sum0 15139 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ (log‘𝑘) = 0
2725, 26eqtr4i 2784 . . . 4 (log‘1) = Σ𝑘 ∈ ∅ (log‘𝑘)
28 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = (!‘0))
29 fac0 13699 . . . . . 6 (!‘0) = 1
3028, 29eqtrdi 2809 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = 1)
3130fveq2d 6667 . . . 4 (𝑁 = 0 → (log‘(!‘𝑁)) = (log‘1))
32 oveq2 7164 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = (1...0))
33 fz10 12990 . . . . . 6 (1...0) = ∅
3432, 33eqtrdi 2809 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = ∅)
3534sumeq1d 15119 . . . 4 (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ∅ (log‘𝑘))
3627, 31, 353eqtr4a 2819 . . 3 (𝑁 = 0 → (log‘(!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘))
3724, 36jaoi 854 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (log‘(!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘))
381, 37sylbi 220 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (log‘(!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409  ∅c0 4227   I cid 5433  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℝcr 10587  0cc0 10588  1c1 10589   + caddc 10591   · cmul 10593  ℕcn 11687  ℕ0cn0 11947  ℤ≥cuz 12295  ℝ+crp 12443  ...cfz 12952  seqcseq 13431  !cfa 13696  Σcsu 15103  logclog 25259 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666  ax-addf 10667  ax-mulf 10668 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-fi 8921  df-sup 8952  df-inf 8953  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-ioo 12796  df-ioc 12797  df-ico 12798  df-icc 12799  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-fl 13224  df-mod 13300  df-seq 13432  df-exp 13493  df-fac 13697  df-bc 13726  df-hash 13754  df-shft 14487  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-limsup 14889  df-clim 14906  df-rlim 14907  df-sum 15104  df-ef 15482  df-sin 15484  df-cos 15485  df-pi 15487  df-struct 16557  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-sets 16562  df-ress 16563  df-plusg 16650  df-mulr 16651  df-starv 16652  df-sca 16653  df-vsca 16654  df-ip 16655  df-tset 16656  df-ple 16657  df-ds 16659  df-unif 16660  df-hom 16661  df-cco 16662  df-rest 16768  df-topn 16769  df-0g 16787  df-gsum 16788  df-topgen 16789  df-pt 16790  df-prds 16793  df-xrs 16847  df-qtop 16852  df-imas 16853  df-xps 16855  df-mre 16929  df-mrc 16930  df-acs 16932  df-mgm 17932  df-sgrp 17981  df-mnd 17992  df-submnd 18037  df-mulg 18306  df-cntz 18528  df-cmn 18989  df-psmet 20172  df-xmet 20173  df-met 20174  df-bl 20175  df-mopn 20176  df-fbas 20177  df-fg 20178  df-cnfld 20181  df-top 21608  df-topon 21625  df-topsp 21647  df-bases 21660  df-cld 21733  df-ntr 21734  df-cls 21735  df-nei 21812  df-lp 21850  df-perf 21851  df-cn 21941  df-cnp 21942  df-haus 22029  df-tx 22276  df-hmeo 22469  df-fil 22560  df-fm 22652  df-flim 22653  df-flf 22654  df-xms 23036  df-ms 23037  df-tms 23038  df-cncf 23593  df-limc 24579  df-dv 24580  df-log 25261 This theorem is referenced by:  birthdaylem2  25651  logfac2  25914  logfaclbnd  25919  logfacbnd3  25920
 Copyright terms: Public domain W3C validator