Theorem logfac 26090

Description: The logarithm of a factorial can be expressed as a finite sum of logs. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
logfac	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (log‘(!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem logfac

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12469	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		rpmulcl 12992	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑘 · 𝑛) ∈ ℝ+)
3	2	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+)) → (𝑘 · 𝑛) ∈ ℝ+)
4		fvi 6962	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ V → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
5	4	elv 3481	. . . . . 6 ⊢ ( I ‘𝑘) = 𝑘
6		elfznn 13525	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
7	6	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8	7	nnrpd 13009	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ+)
9	5, 8	eqeltrid 2838	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ( I ‘𝑘) ∈ ℝ+)
10		elnnuz 12861	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
11	10	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
12		relogmul 26081	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (log‘(𝑘 · 𝑛)) = ((log‘𝑘) + (log‘𝑛)))
13	12	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+)) → (log‘(𝑘 · 𝑛)) = ((log‘𝑘) + (log‘𝑛)))
14	5	fveq2i 6890	. . . . . 6 ⊢ (log‘( I ‘𝑘)) = (log‘𝑘)
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (log‘( I ‘𝑘)) = (log‘𝑘))
16	3, 9, 11, 13, 15	seqhomo 14010	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(seq1( · , I )‘𝑁)) = (seq1( + , log)‘𝑁))
17		facnn 14230	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
18	17	fveq2d 6891	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(!‘𝑁)) = (log‘(seq1( · , I )‘𝑁)))
19		eqidd 2734	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (log‘𝑘) = (log‘𝑘))
20		relogcl 26065	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ+ → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
21	8, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
22	21	recnd 11237	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (log‘𝑘) ∈ ℂ)
23	19, 11, 22	fsumser 15671	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘) = (seq1( + , log)‘𝑁))
24	16, 18, 23	3eqtr4d 2783	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘))
25		log1 26075	. . . . 5 ⊢ (log‘1) = 0
26		sum0 15662	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ (log‘𝑘) = 0
27	25, 26	eqtr4i 2764	. . . 4 ⊢ (log‘1) = Σ𝑘 ∈ ∅ (log‘𝑘)
28		fveq2 6887	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = (!‘0))
29		fac0 14231	. . . . . 6 ⊢ (!‘0) = 1
30	28, 29	eqtrdi 2789	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = 1)
31	30	fveq2d 6891	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (log‘(!‘𝑁)) = (log‘1))
32		oveq2 7411	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = (1...0))
33		fz10 13517	. . . . . 6 ⊢ (1...0) = ∅
34	32, 33	eqtrdi 2789	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = ∅)
35	34	sumeq1d 15642	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ∅ (log‘𝑘))
36	27, 31, 35	3eqtr4a 2799	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (log‘(!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘))
37	24, 36	jaoi 856	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (log‘(!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘))
38	1, 37	sylbi 216	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (log‘(!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  ∅c0 4320   I cid 5571  ‘cfv 6539  (class class class)co 7403  ℝcr 11104  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   · cmul 11110  ℕcn 12207  ℕ₀cn0 12467  ℤ_≥cuz 12817  ℝ⁺crp 12969  ...cfz 13479  seqcseq 13961  !cfa 14228  Σcsu 15627  logclog 26044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-inf2 9631  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184  ax-mulf 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8141  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-div 11867  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12468  df-z 12554  df-dec 12673  df-uz 12818  df-q 12928  df-rp 12970  df-xneg 13087  df-xadd 13088  df-xmul 13089  df-ioo 13323  df-ioc 13324  df-ico 13325  df-icc 13326  df-fz 13480  df-fzo 13623  df-fl 13752  df-mod 13830  df-seq 13962  df-exp 14023  df-fac 14229  df-bc 14258  df-hash 14286  df-shft 15009  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15410  df-clim 15427  df-rlim 15428  df-sum 15628  df-ef 16006  df-sin 16008  df-cos 16009  df-pi 16011  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17140  df-ress 17169  df-plusg 17205  df-mulr 17206  df-starv 17207  df-sca 17208  df-vsca 17209  df-ip 17210  df-tset 17211  df-ple 17212  df-ds 17214  df-unif 17215  df-hom 17216  df-cco 17217  df-rest 17363  df-topn 17364  df-0g 17382  df-gsum 17383  df-topgen 17384  df-pt 17385  df-prds 17388  df-xrs 17443  df-qtop 17448  df-imas 17449  df-xps 17451  df-mre 17525  df-mrc 17526  df-acs 17528  df-mgm 18556  df-sgrp 18605  df-mnd 18621  df-submnd 18667  df-mulg 18944  df-cntz 19174  df-cmn 19642  df-psmet 20920  df-xmet 20921  df-met 20922  df-bl 20923  df-mopn 20924  df-fbas 20925  df-fg 20926  df-cnfld 20929  df-top 22377  df-topon 22394  df-topsp 22416  df-bases 22430  df-cld 22504  df-ntr 22505  df-cls 22506  df-nei 22583  df-lp 22621  df-perf 22622  df-cn 22712  df-cnp 22713  df-haus 22800  df-tx 23047  df-hmeo 23240  df-fil 23331  df-fm 23423  df-flim 23424  df-flf 23425  df-xms 23807  df-ms 23808  df-tms 23809  df-cncf 24375  df-limc 25364  df-dv 25365  df-log 26046

This theorem is referenced by:  birthdaylem2  26436  logfac2  26699  logfaclbnd  26704  logfacbnd3  26705