![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > logfac | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The logarithm of a factorial can be expressed as a finite sum of logs. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
logfac | โข (๐ โ โ0 โ (logโ(!โ๐)) = ฮฃ๐ โ (1...๐)(logโ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | elnn0 12512 | . 2 โข (๐ โ โ0 โ (๐ โ โ โจ ๐ = 0)) | |
2 | rpmulcl 13037 | . . . . . 6 โข ((๐ โ โ+ โง ๐ โ โ+) โ (๐ ยท ๐) โ โ+) | |
3 | 2 | adantl 480 | . . . . 5 โข ((๐ โ โ โง (๐ โ โ+ โง ๐ โ โ+)) โ (๐ ยท ๐) โ โ+) |
4 | fvi 6979 | . . . . . . 7 โข (๐ โ V โ ( I โ๐) = ๐) | |
5 | 4 | elv 3479 | . . . . . 6 โข ( I โ๐) = ๐ |
6 | elfznn 13570 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ (1...๐) โ ๐ โ โ) | |
7 | 6 | adantl 480 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ (1...๐)) โ ๐ โ โ) |
8 | 7 | nnrpd 13054 | . . . . . 6 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ (1...๐)) โ ๐ โ โ+) |
9 | 5, 8 | eqeltrid 2833 | . . . . 5 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ (1...๐)) โ ( I โ๐) โ โ+) |
10 | elnnuz 12904 | . . . . . 6 โข (๐ โ โ โ ๐ โ (โคโฅโ1)) | |
11 | 10 | biimpi 215 | . . . . 5 โข (๐ โ โ โ ๐ โ (โคโฅโ1)) |
12 | relogmul 26546 | . . . . . 6 โข ((๐ โ โ+ โง ๐ โ โ+) โ (logโ(๐ ยท ๐)) = ((logโ๐) + (logโ๐))) | |
13 | 12 | adantl 480 | . . . . 5 โข ((๐ โ โ โง (๐ โ โ+ โง ๐ โ โ+)) โ (logโ(๐ ยท ๐)) = ((logโ๐) + (logโ๐))) |
14 | 5 | fveq2i 6905 | . . . . . 6 โข (logโ( I โ๐)) = (logโ๐) |
15 | 14 | a1i 11 | . . . . 5 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ (1...๐)) โ (logโ( I โ๐)) = (logโ๐)) |
16 | 3, 9, 11, 13, 15 | seqhomo 14054 | . . . 4 โข (๐ โ โ โ (logโ(seq1( ยท , I )โ๐)) = (seq1( + , log)โ๐)) |
17 | facnn 14274 | . . . . 5 โข (๐ โ โ โ (!โ๐) = (seq1( ยท , I )โ๐)) | |
18 | 17 | fveq2d 6906 | . . . 4 โข (๐ โ โ โ (logโ(!โ๐)) = (logโ(seq1( ยท , I )โ๐))) |
19 | eqidd 2729 | . . . . 5 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ (1...๐)) โ (logโ๐) = (logโ๐)) | |
20 | relogcl 26529 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โ+ โ (logโ๐) โ โ) | |
21 | 8, 20 | syl 17 | . . . . . 6 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ (1...๐)) โ (logโ๐) โ โ) |
22 | 21 | recnd 11280 | . . . . 5 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ (1...๐)) โ (logโ๐) โ โ) |
23 | 19, 11, 22 | fsumser 15716 | . . . 4 โข (๐ โ โ โ ฮฃ๐ โ (1...๐)(logโ๐) = (seq1( + , log)โ๐)) |
24 | 16, 18, 23 | 3eqtr4d 2778 | . . 3 โข (๐ โ โ โ (logโ(!โ๐)) = ฮฃ๐ โ (1...๐)(logโ๐)) |
25 | log1 26539 | . . . . 5 โข (logโ1) = 0 | |
26 | sum0 15707 | . . . . 5 โข ฮฃ๐ โ โ (logโ๐) = 0 | |
27 | 25, 26 | eqtr4i 2759 | . . . 4 โข (logโ1) = ฮฃ๐ โ โ (logโ๐) |
28 | fveq2 6902 | . . . . . 6 โข (๐ = 0 โ (!โ๐) = (!โ0)) | |
29 | fac0 14275 | . . . . . 6 โข (!โ0) = 1 | |
30 | 28, 29 | eqtrdi 2784 | . . . . 5 โข (๐ = 0 โ (!โ๐) = 1) |
31 | 30 | fveq2d 6906 | . . . 4 โข (๐ = 0 โ (logโ(!โ๐)) = (logโ1)) |
32 | oveq2 7434 | . . . . . 6 โข (๐ = 0 โ (1...๐) = (1...0)) | |
33 | fz10 13562 | . . . . . 6 โข (1...0) = โ | |
34 | 32, 33 | eqtrdi 2784 | . . . . 5 โข (๐ = 0 โ (1...๐) = โ ) |
35 | 34 | sumeq1d 15687 | . . . 4 โข (๐ = 0 โ ฮฃ๐ โ (1...๐)(logโ๐) = ฮฃ๐ โ โ (logโ๐)) |
36 | 27, 31, 35 | 3eqtr4a 2794 | . . 3 โข (๐ = 0 โ (logโ(!โ๐)) = ฮฃ๐ โ (1...๐)(logโ๐)) |
37 | 24, 36 | jaoi 855 | . 2 โข ((๐ โ โ โจ ๐ = 0) โ (logโ(!โ๐)) = ฮฃ๐ โ (1...๐)(logโ๐)) |
38 | 1, 37 | sylbi 216 | 1 โข (๐ โ โ0 โ (logโ(!โ๐)) = ฮฃ๐ โ (1...๐)(logโ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 โจ wo 845 = wceq 1533 โ wcel 2098 Vcvv 3473 โ c0 4326 I cid 5579 โcfv 6553 (class class class)co 7426 โcr 11145 0cc0 11146 1c1 11147 + caddc 11149 ยท cmul 11151 โcn 12250 โ0cn0 12510 โคโฅcuz 12860 โ+crp 13014 ...cfz 13524 seqcseq 14006 !cfa 14272 ฮฃcsu 15672 logclog 26508 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-rep 5289 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-inf2 9672 ax-cnex 11202 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222 ax-pre-mulgt0 11223 ax-pre-sup 11224 ax-addf 11225 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-tp 4637 df-op 4639 df-uni 4913 df-int 4954 df-iun 5002 df-iin 5003 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-se 5638 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-isom 6562 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-of 7691 df-om 7877 df-1st 7999 df-2nd 8000 df-supp 8172 df-frecs 8293 df-wrecs 8324 df-recs 8398 df-rdg 8437 df-1o 8493 df-2o 8494 df-er 8731 df-map 8853 df-pm 8854 df-ixp 8923 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-fin 8974 df-fsupp 9394 df-fi 9442 df-sup 9473 df-inf 9474 df-oi 9541 df-card 9970 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-xr 11290 df-ltxr 11291 df-le 11292 df-sub 11484 df-neg 11485 df-div 11910 df-nn 12251 df-2 12313 df-3 12314 df-4 12315 df-5 12316 df-6 12317 df-7 12318 df-8 12319 df-9 12320 df-n0 12511 df-z 12597 df-dec 12716 df-uz 12861 df-q 12971 df-rp 13015 df-xneg 13132 df-xadd 13133 df-xmul 13134 df-ioo 13368 df-ioc 13369 df-ico 13370 df-icc 13371 df-fz 13525 df-fzo 13668 df-fl 13797 df-mod 13875 df-seq 14007 df-exp 14067 df-fac 14273 df-bc 14302 df-hash 14330 df-shft 15054 df-cj 15086 df-re 15087 df-im 15088 df-sqrt 15222 df-abs 15223 df-limsup 15455 df-clim 15472 df-rlim 15473 df-sum 15673 df-ef 16051 df-sin 16053 df-cos 16054 df-pi 16056 df-struct 17123 df-sets 17140 df-slot 17158 df-ndx 17170 df-base 17188 df-ress 17217 df-plusg 17253 df-mulr 17254 df-starv 17255 df-sca 17256 df-vsca 17257 df-ip 17258 df-tset 17259 df-ple 17260 df-ds 17262 df-unif 17263 df-hom 17264 df-cco 17265 df-rest 17411 df-topn 17412 df-0g 17430 df-gsum 17431 df-topgen 17432 df-pt 17433 df-prds 17436 df-xrs 17491 df-qtop 17496 df-imas 17497 df-xps 17499 df-mre 17573 df-mrc 17574 df-acs 17576 df-mgm 18607 df-sgrp 18686 df-mnd 18702 df-submnd 18748 df-mulg 19031 df-cntz 19275 df-cmn 19744 df-psmet 21278 df-xmet 21279 df-met 21280 df-bl 21281 df-mopn 21282 df-fbas 21283 df-fg 21284 df-cnfld 21287 df-top 22816 df-topon 22833 df-topsp 22855 df-bases 22869 df-cld 22943 df-ntr 22944 df-cls 22945 df-nei 23022 df-lp 23060 df-perf 23061 df-cn 23151 df-cnp 23152 df-haus 23239 df-tx 23486 df-hmeo 23679 df-fil 23770 df-fm 23862 df-flim 23863 df-flf 23864 df-xms 24246 df-ms 24247 df-tms 24248 df-cncf 24818 df-limc 25815 df-dv 25816 df-log 26510 |
This theorem is referenced by: birthdaylem2 26904 logfac2 27170 logfaclbnd 27175 logfacbnd3 27176 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |