Theorem logfac 26673

Description: The logarithm of a factorial can be expressed as a finite sum of logs. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
logfac	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (log‘(!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem logfac

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12493	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		rpmulcl 13028	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑘 · 𝑛) ∈ ℝ+)
3	2	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+)) → (𝑘 · 𝑛) ∈ ℝ+)
4		fvi 6943	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ V → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
5	4	elv 3460	. . . . . 6 ⊢ ( I ‘𝑘) = 𝑘
6		elfznn 13568	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
7	6	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8	7	nnrpd 13045	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ+)
9	5, 8	eqeltrid 2867	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ( I ‘𝑘) ∈ ℝ+)
10		elnnuz 12889	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
11	10	biimpi 218	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
12		relogmul 26664	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (log‘(𝑘 · 𝑛)) = ((log‘𝑘) + (log‘𝑛)))
13	12	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+)) → (log‘(𝑘 · 𝑛)) = ((log‘𝑘) + (log‘𝑛)))
14	5	fveq2i 6870	. . . . . 6 ⊢ (log‘( I ‘𝑘)) = (log‘𝑘)
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (log‘( I ‘𝑘)) = (log‘𝑘))
16	3, 9, 11, 13, 15	seqhomo 14072	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(seq1( · , I )‘𝑁)) = (seq1( + , log)‘𝑁))
17		facnn 14298	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
18	17	fveq2d 6871	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(!‘𝑁)) = (log‘(seq1( · , I )‘𝑁)))
19		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (log‘𝑘) = (log‘𝑘))
20		relogcl 26647	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ+ → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
21	8, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
22	21	recnd 11221	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (log‘𝑘) ∈ ℂ)
23	19, 11, 22	fsumser 15767	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘) = (seq1( + , log)‘𝑁))
24	16, 18, 23	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘))
25		log1 26657	. . . . 5 ⊢ (log‘1) = 0
26		sum0 15758	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ (log‘𝑘) = 0
27	25, 26	eqtr4i 2789	. . . 4 ⊢ (log‘1) = Σ𝑘 ∈ ∅ (log‘𝑘)
28		fveq2 6867	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = (!‘0))
29		fac0 14299	. . . . . 6 ⊢ (!‘0) = 1
30	28, 29	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = 1)
31	30	fveq2d 6871	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (log‘(!‘𝑁)) = (log‘1))
32		oveq2 7404	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = (1...0))
33		fz10 13560	. . . . . 6 ⊢ (1...0) = ∅
34	32, 33	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = ∅)
35	34	sumeq1d 15737	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ∅ (log‘𝑘))
36	27, 31, 35	3eqtr4a 2824	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (log‘(!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘))
37	24, 36	jaoi 868	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (log‘(!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘))
38	1, 37	sylbi 219	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (log‘(!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ∅c0 4286   I cid 5542  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℝcr 11083  0cc0 11084  1c1 11085   + caddc 11087   · cmul 11089  ℕcn 12220  ℕ₀cn0 12491  ℤ_≥cuz 12849  ℝ⁺crp 13003  ...cfz 13522  seqcseq 14024  !cfa 14296  Σcsu 15723  logclog 26626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-inf2 9594  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161  ax-pre-sup 11162  ax-addf 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9306  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9456  df-card 9909  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11856  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-7 12295  df-8 12296  df-9 12297  df-n0 12492  df-z 12579  df-dec 12699  df-uz 12850  df-q 12960  df-rp 13004  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13363  df-ioc 13364  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14025  df-exp 14085  df-fac 14297  df-bc 14326  df-hash 14354  df-shft 15090  df-cj 15136  df-re 15137  df-im 15138  df-sqrt 15272  df-abs 15273  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-ef 16107  df-sin 16109  df-cos 16110  df-pi 16112  df-struct 17193  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-ress 17277  df-plusg 17309  df-mulr 17310  df-starv 17311  df-sca 17312  df-vsca 17313  df-ip 17314  df-tset 17315  df-ple 17316  df-ds 17318  df-unif 17319  df-hom 17320  df-cco 17321  df-rest 17461  df-topn 17462  df-0g 17480  df-gsum 17481  df-topgen 17482  df-pt 17483  df-prds 17486  df-xrs 17542  df-qtop 17547  df-imas 17548  df-xps 17550  df-mre 17624  df-mrc 17625  df-acs 17627  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-submnd 18828  df-mulg 19120  df-cntz 19367  df-cmn 19832  df-psmet 21423  df-xmet 21424  df-met 21425  df-bl 21426  df-mopn 21427  df-fbas 21428  df-fg 21429  df-cnfld 21432  df-top 22961  df-topon 22978  df-topsp 23000  df-bases 23013  df-cld 23086  df-ntr 23087  df-cls 23088  df-nei 23165  df-lp 23203  df-perf 23204  df-cn 23294  df-cnp 23295  df-haus 23382  df-tx 23629  df-hmeo 23822  df-fil 23913  df-fm 24005  df-flim 24006  df-flf 24007  df-xms 24387  df-ms 24388  df-tms 24389  df-cncf 24947  df-limc 25935  df-dv 25936  df-log 26628

This theorem is referenced by:  birthdaylem2  27024  logfac2  27288  logfaclbnd  27293  logfacbnd3  27294