Theorem logfac 26658

Description: The logarithm of a factorial can be expressed as a finite sum of logs. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
logfac	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (log‘(!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem logfac

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12526	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		rpmulcl 13056	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑘 · 𝑛) ∈ ℝ+)
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+)) → (𝑘 · 𝑛) ∈ ℝ+)
4		fvi 6985	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ V → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
5	4	elv 3483	. . . . . 6 ⊢ ( I ‘𝑘) = 𝑘
6		elfznn 13590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
7	6	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8	7	nnrpd 13073	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ+)
9	5, 8	eqeltrid 2843	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ( I ‘𝑘) ∈ ℝ+)
10		elnnuz 12920	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
11	10	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
12		relogmul 26649	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (log‘(𝑘 · 𝑛)) = ((log‘𝑘) + (log‘𝑛)))
13	12	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+)) → (log‘(𝑘 · 𝑛)) = ((log‘𝑘) + (log‘𝑛)))
14	5	fveq2i 6910	. . . . . 6 ⊢ (log‘( I ‘𝑘)) = (log‘𝑘)
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (log‘( I ‘𝑘)) = (log‘𝑘))
16	3, 9, 11, 13, 15	seqhomo 14087	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(seq1( · , I )‘𝑁)) = (seq1( + , log)‘𝑁))
17		facnn 14311	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
18	17	fveq2d 6911	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(!‘𝑁)) = (log‘(seq1( · , I )‘𝑁)))
19		eqidd 2736	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (log‘𝑘) = (log‘𝑘))
20		relogcl 26632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ+ → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
21	8, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
22	21	recnd 11287	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (log‘𝑘) ∈ ℂ)
23	19, 11, 22	fsumser 15763	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘) = (seq1( + , log)‘𝑁))
24	16, 18, 23	3eqtr4d 2785	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘))
25		log1 26642	. . . . 5 ⊢ (log‘1) = 0
26		sum0 15754	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ (log‘𝑘) = 0
27	25, 26	eqtr4i 2766	. . . 4 ⊢ (log‘1) = Σ𝑘 ∈ ∅ (log‘𝑘)
28		fveq2 6907	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = (!‘0))
29		fac0 14312	. . . . . 6 ⊢ (!‘0) = 1
30	28, 29	eqtrdi 2791	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = 1)
31	30	fveq2d 6911	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (log‘(!‘𝑁)) = (log‘1))
32		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = (1...0))
33		fz10 13582	. . . . . 6 ⊢ (1...0) = ∅
34	32, 33	eqtrdi 2791	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = ∅)
35	34	sumeq1d 15733	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ∅ (log‘𝑘))
36	27, 31, 35	3eqtr4a 2801	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (log‘(!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘))
37	24, 36	jaoi 857	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (log‘(!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘))
38	1, 37	sylbi 217	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (log‘(!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  ∅c0 4339   I cid 5582  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  ℤ_≥cuz 12876  ℝ⁺crp 13032  ...cfz 13544  seqcseq 14039  !cfa 14309  Σcsu 15719  logclog 26611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613

This theorem is referenced by:  birthdaylem2  27010  logfac2  27276  logfaclbnd  27281  logfacbnd3  27282