MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolscalem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolscalem2 25038
Description: Lemma for ovolshft 25035. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolsca.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
ovolsca.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
ovolsca.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด})
ovolsca.4 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
Assertion
Ref Expression
ovolscalem2 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ต) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ถ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem ovolscalem2
Dummy variables ๐‘“ ๐‘› ๐‘ฆ ๐‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolsca.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
21adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
3 ovolsca.4 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
43adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
5 ovolsca.2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
6 rpmulcl 12999 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„+)
75, 6sylan 580 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„+)
8 eqid 2732 . . . . . 6 seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)) = seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“))
98ovolgelb 25004 . . . . 5 ((๐ด โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•)(๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))
102, 4, 7, 9syl3anc 1371 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•)(๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))
111ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•) โˆง (๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
125ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•) โˆง (๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
13 ovolsca.3 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด})
1413ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•) โˆง (๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ ๐ต = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด})
153ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•) โˆง (๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
16 2fveq3 6896 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (1st โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) = (1st โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))
1716oveq1d 7426 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((1st โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) / ๐ถ) = ((1st โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) / ๐ถ))
18 2fveq3 6896 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (2nd โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) = (2nd โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))
1918oveq1d 7426 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((2nd โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) / ๐ถ) = ((2nd โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) / ๐ถ))
2017, 19opeq12d 4881 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘› โ†’ โŸจ((1st โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) / ๐ถ), ((2nd โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) / ๐ถ)โŸฉ = โŸจ((1st โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) / ๐ถ), ((2nd โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) / ๐ถ)โŸฉ)
2120cbvmptv 5261 . . . . 5 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ โŸจ((1st โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) / ๐ถ), ((2nd โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) / ๐ถ)โŸฉ) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โŸจ((1st โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) / ๐ถ), ((2nd โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) / ๐ถ)โŸฉ)
22 elmapi 8845 . . . . . 6 (๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•) โ†’ ๐‘“:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)))
2322ad2antrl 726 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•) โˆง (๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ ๐‘“:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)))
24 simprrl 779 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•) โˆง (๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ ๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“))
25 simplr 767 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•) โˆง (๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„+)
26 simprrr 780 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•) โˆง (๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ)))
2711, 12, 14, 15, 8, 21, 23, 24, 25, 26ovolscalem1 25037 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•) โˆง (๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ (vol*โ€˜๐ต) โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘ฆ))
2810, 27rexlimddv 3161 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (vol*โ€˜๐ต) โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘ฆ))
2928ralrimiva 3146 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„+ (vol*โ€˜๐ต) โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘ฆ))
30 ssrab2 4077 . . . . 5 {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด} โŠ† โ„
3113, 30eqsstrdi 4036 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† โ„)
32 ovolcl 25002 . . . 4 (๐ต โŠ† โ„ โ†’ (vol*โ€˜๐ต) โˆˆ โ„*)
3331, 32syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ต) โˆˆ โ„*)
343, 5rerpdivcld 13049 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) โˆˆ โ„)
35 xralrple 13186 . . 3 (((vol*โ€˜๐ต) โˆˆ โ„* โˆง ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) โˆˆ โ„) โ†’ ((vol*โ€˜๐ต) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„+ (vol*โ€˜๐ต) โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘ฆ)))
3633, 34, 35syl2anc 584 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((vol*โ€˜๐ต) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„+ (vol*โ€˜๐ต) โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘ฆ)))
3729, 36mpbird 256 1 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ต) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  {crab 3432   โˆฉ cin 3947   โŠ† wss 3948  โŸจcop 4634  โˆช cuni 4908   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231   ร— cxp 5674  ran crn 5677   โˆ˜ ccom 5680  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  1st c1st 7975  2nd c2nd 7976   โ†‘m cmap 8822  supcsup 9437  โ„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  โ„*cxr 11249   < clt 11250   โ‰ค cle 11251   โˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  โ„•cn 12214  โ„+crp 12976  (,)cioo 13326  seqcseq 13968  abscabs 15183  vol*covol 24986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-ovol 24988
This theorem is referenced by:  ovolsca  25039
  Copyright terms: Public domain W3C validator