MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolscalem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolscalem2 24894
Description: Lemma for ovolshft 24891. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolsca.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
ovolsca.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
ovolsca.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด})
ovolsca.4 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
Assertion
Ref Expression
ovolscalem2 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ต) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ถ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem ovolscalem2
Dummy variables ๐‘“ ๐‘› ๐‘ฆ ๐‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolsca.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
21adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
3 ovolsca.4 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
43adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
5 ovolsca.2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
6 rpmulcl 12943 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„+)
75, 6sylan 581 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„+)
8 eqid 2733 . . . . . 6 seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)) = seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“))
98ovolgelb 24860 . . . . 5 ((๐ด โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•)(๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))
102, 4, 7, 9syl3anc 1372 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•)(๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))
111ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•) โˆง (๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
125ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•) โˆง (๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
13 ovolsca.3 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด})
1413ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•) โˆง (๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ ๐ต = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด})
153ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•) โˆง (๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
16 2fveq3 6848 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (1st โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) = (1st โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))
1716oveq1d 7373 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((1st โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) / ๐ถ) = ((1st โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) / ๐ถ))
18 2fveq3 6848 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (2nd โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) = (2nd โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))
1918oveq1d 7373 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((2nd โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) / ๐ถ) = ((2nd โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) / ๐ถ))
2017, 19opeq12d 4839 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘› โ†’ โŸจ((1st โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) / ๐ถ), ((2nd โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) / ๐ถ)โŸฉ = โŸจ((1st โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) / ๐ถ), ((2nd โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) / ๐ถ)โŸฉ)
2120cbvmptv 5219 . . . . 5 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ โŸจ((1st โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) / ๐ถ), ((2nd โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) / ๐ถ)โŸฉ) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โŸจ((1st โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) / ๐ถ), ((2nd โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) / ๐ถ)โŸฉ)
22 elmapi 8790 . . . . . 6 (๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•) โ†’ ๐‘“:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)))
2322ad2antrl 727 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•) โˆง (๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ ๐‘“:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)))
24 simprrl 780 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•) โˆง (๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ ๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“))
25 simplr 768 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•) โˆง (๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„+)
26 simprrr 781 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•) โˆง (๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ)))
2711, 12, 14, 15, 8, 21, 23, 24, 25, 26ovolscalem1 24893 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•) โˆง (๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ (vol*โ€˜๐ต) โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘ฆ))
2810, 27rexlimddv 3155 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (vol*โ€˜๐ต) โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘ฆ))
2928ralrimiva 3140 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„+ (vol*โ€˜๐ต) โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘ฆ))
30 ssrab2 4038 . . . . 5 {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด} โŠ† โ„
3113, 30eqsstrdi 3999 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† โ„)
32 ovolcl 24858 . . . 4 (๐ต โŠ† โ„ โ†’ (vol*โ€˜๐ต) โˆˆ โ„*)
3331, 32syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ต) โˆˆ โ„*)
343, 5rerpdivcld 12993 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) โˆˆ โ„)
35 xralrple 13130 . . 3 (((vol*โ€˜๐ต) โˆˆ โ„* โˆง ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) โˆˆ โ„) โ†’ ((vol*โ€˜๐ต) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„+ (vol*โ€˜๐ต) โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘ฆ)))
3633, 34, 35syl2anc 585 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((vol*โ€˜๐ต) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„+ (vol*โ€˜๐ต) โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘ฆ)))
3729, 36mpbird 257 1 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ต) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  {crab 3406   โˆฉ cin 3910   โŠ† wss 3911  โŸจcop 4593  โˆช cuni 4866   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189   ร— cxp 5632  ran crn 5635   โˆ˜ ccom 5638  โŸถwf 6493  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  1st c1st 7920  2nd c2nd 7921   โ†‘m cmap 8768  supcsup 9381  โ„cr 11055  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061  โ„*cxr 11193   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  โ„+crp 12920  (,)cioo 13270  seqcseq 13912  abscabs 15125  vol*covol 24842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-ovol 24844
This theorem is referenced by:  ovolsca  24895
  Copyright terms: Public domain W3C validator