MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolscalem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolscalem2 25031
Description: Lemma for ovolshft 25028. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolsca.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
ovolsca.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
ovolsca.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด})
ovolsca.4 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
Assertion
Ref Expression
ovolscalem2 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ต) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ถ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem ovolscalem2
Dummy variables ๐‘“ ๐‘› ๐‘ฆ ๐‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolsca.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
21adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
3 ovolsca.4 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
43adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
5 ovolsca.2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
6 rpmulcl 12997 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„+)
75, 6sylan 581 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„+)
8 eqid 2733 . . . . . 6 seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)) = seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“))
98ovolgelb 24997 . . . . 5 ((๐ด โŠ† โ„ โˆง (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•)(๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))
102, 4, 7, 9syl3anc 1372 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•)(๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))
111ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•) โˆง (๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
125ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•) โˆง (๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
13 ovolsca.3 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด})
1413ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•) โˆง (๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ ๐ต = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด})
153ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•) โˆง (๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
16 2fveq3 6897 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (1st โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) = (1st โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))
1716oveq1d 7424 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((1st โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) / ๐ถ) = ((1st โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) / ๐ถ))
18 2fveq3 6897 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (2nd โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) = (2nd โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))
1918oveq1d 7424 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((2nd โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) / ๐ถ) = ((2nd โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) / ๐ถ))
2017, 19opeq12d 4882 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘› โ†’ โŸจ((1st โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) / ๐ถ), ((2nd โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) / ๐ถ)โŸฉ = โŸจ((1st โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) / ๐ถ), ((2nd โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) / ๐ถ)โŸฉ)
2120cbvmptv 5262 . . . . 5 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ โŸจ((1st โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) / ๐ถ), ((2nd โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘š)) / ๐ถ)โŸฉ) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โŸจ((1st โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) / ๐ถ), ((2nd โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) / ๐ถ)โŸฉ)
22 elmapi 8843 . . . . . 6 (๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•) โ†’ ๐‘“:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)))
2322ad2antrl 727 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•) โˆง (๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ ๐‘“:โ„•โŸถ( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)))
24 simprrl 780 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•) โˆง (๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ ๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“))
25 simplr 768 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•) โˆง (๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„+)
26 simprrr 781 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•) โˆง (๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ)))
2711, 12, 14, 15, 8, 21, 23, 24, 25, 26ovolscalem1 25030 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘“ โˆˆ (( โ‰ค โˆฉ (โ„ ร— โ„)) โ†‘m โ„•) โˆง (๐ด โŠ† โˆช ran ((,) โˆ˜ ๐‘“) โˆง sup(ran seq1( + , ((abs โˆ˜ โˆ’ ) โˆ˜ ๐‘“)), โ„*, < ) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) + (๐ถ ยท ๐‘ฆ))))) โ†’ (vol*โ€˜๐ต) โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘ฆ))
2810, 27rexlimddv 3162 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (vol*โ€˜๐ต) โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘ฆ))
2928ralrimiva 3147 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„+ (vol*โ€˜๐ต) โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘ฆ))
30 ssrab2 4078 . . . . 5 {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ด} โŠ† โ„
3113, 30eqsstrdi 4037 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† โ„)
32 ovolcl 24995 . . . 4 (๐ต โŠ† โ„ โ†’ (vol*โ€˜๐ต) โˆˆ โ„*)
3331, 32syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ต) โˆˆ โ„*)
343, 5rerpdivcld 13047 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) โˆˆ โ„)
35 xralrple 13184 . . 3 (((vol*โ€˜๐ต) โˆˆ โ„* โˆง ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) โˆˆ โ„) โ†’ ((vol*โ€˜๐ต) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„+ (vol*โ€˜๐ต) โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘ฆ)))
3633, 34, 35syl2anc 585 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((vol*โ€˜๐ต) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„+ (vol*โ€˜๐ต) โ‰ค (((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ) + ๐‘ฆ)))
3729, 36mpbird 257 1 (๐œ‘ โ†’ (vol*โ€˜๐ต) โ‰ค ((vol*โ€˜๐ด) / ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  โˆƒwrex 3071  {crab 3433   โˆฉ cin 3948   โŠ† wss 3949  โŸจcop 4635  โˆช cuni 4909   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232   ร— cxp 5675  ran crn 5678   โˆ˜ ccom 5681  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1st c1st 7973  2nd c2nd 7974   โ†‘m cmap 8820  supcsup 9435  โ„cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115  โ„*cxr 11247   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  โ„+crp 12974  (,)cioo 13324  seqcseq 13966  abscabs 15181  vol*covol 24979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-ovol 24981
This theorem is referenced by:  ovolsca  25032
  Copyright terms: Public domain W3C validator