MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolscalem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolscalem2 25549
Description: Lemma for ovolshft 25546. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolsca.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
ovolsca.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
ovolsca.3 (𝜑𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
ovolsca.4 (𝜑 → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ovolscalem2 (𝜑 → (vol*‘𝐵) ≤ ((vol*‘𝐴) / 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ovolscalem2
Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑦 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolsca.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3 ovolsca.4 . . . . . 6 (𝜑 → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
43adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
5 ovolsca.2 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
6 rpmulcl 13058 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐶 · 𝑦) ∈ ℝ+)
75, 6sylan 580 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐶 · 𝑦) ∈ ℝ+)
8 eqid 2737 . . . . . 6 seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))
98ovolgelb 25515 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑦) ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))
102, 4, 7, 9syl3anc 1373 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))
111ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
125ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → 𝐶 ∈ ℝ+)
13 ovolsca.3 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
1413ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
153ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
16 2fveq3 6911 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (1st ‘(𝑓𝑚)) = (1st ‘(𝑓𝑛)))
1716oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → ((1st ‘(𝑓𝑚)) / 𝐶) = ((1st ‘(𝑓𝑛)) / 𝐶))
18 2fveq3 6911 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (2nd ‘(𝑓𝑚)) = (2nd ‘(𝑓𝑛)))
1918oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → ((2nd ‘(𝑓𝑚)) / 𝐶) = ((2nd ‘(𝑓𝑛)) / 𝐶))
2017, 19opeq12d 4881 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → ⟨((1st ‘(𝑓𝑚)) / 𝐶), ((2nd ‘(𝑓𝑚)) / 𝐶)⟩ = ⟨((1st ‘(𝑓𝑛)) / 𝐶), ((2nd ‘(𝑓𝑛)) / 𝐶)⟩)
2120cbvmptv 5255 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ⟨((1st ‘(𝑓𝑚)) / 𝐶), ((2nd ‘(𝑓𝑚)) / 𝐶)⟩) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨((1st ‘(𝑓𝑛)) / 𝐶), ((2nd ‘(𝑓𝑛)) / 𝐶)⟩)
22 elmapi 8889 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2322ad2antrl 728 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
24 simprrl 781 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → 𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓))
25 simplr 769 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → 𝑦 ∈ ℝ+)
26 simprrr 782 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦)))
2711, 12, 14, 15, 8, 21, 23, 24, 25, 26ovolscalem1 25548 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → (vol*‘𝐵) ≤ (((vol*‘𝐴) / 𝐶) + 𝑦))
2810, 27rexlimddv 3161 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (vol*‘𝐵) ≤ (((vol*‘𝐴) / 𝐶) + 𝑦))
2928ralrimiva 3146 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ (vol*‘𝐵) ≤ (((vol*‘𝐴) / 𝐶) + 𝑦))
30 ssrab2 4080 . . . . 5 {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴} ⊆ ℝ
3113, 30eqsstrdi 4028 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
32 ovolcl 25513 . . . 4 (𝐵 ⊆ ℝ → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ*)
3331, 32syl 17 . . 3 (𝜑 → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ*)
343, 5rerpdivcld 13108 . . 3 (𝜑 → ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ∈ ℝ)
35 xralrple 13247 . . 3 (((vol*‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ∈ ℝ) → ((vol*‘𝐵) ≤ ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (vol*‘𝐵) ≤ (((vol*‘𝐴) / 𝐶) + 𝑦)))
3633, 34, 35syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((vol*‘𝐵) ≤ ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (vol*‘𝐵) ≤ (((vol*‘𝐴) / 𝐶) + 𝑦)))
3729, 36mpbird 257 1 (𝜑 → (vol*‘𝐵) ≤ ((vol*‘𝐴) / 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  cin 3950  wss 3951  cop 4632   cuni 4907   class class class wbr 5143  cmpt 5225   × cxp 5683  ran crn 5686  ccom 5689  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  1st c1st 8012  2nd c2nd 8013  m cmap 8866  supcsup 9480  cr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  +crp 13034  (,)cioo 13387  seqcseq 14042  abscabs 15273  vol*covol 25497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-ovol 25499
This theorem is referenced by:  ovolsca  25550
  Copyright terms: Public domain W3C validator