Theorem ovolscalem2 25491

Description: Lemma for ovolshft 25488. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovolsca.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
ovolsca.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
ovolsca.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
ovolsca.4	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ovolscalem2	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐵) ≤ ((vol*‘𝐴) / 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ovolscalem2

Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑦 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolsca.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		ovolsca.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
5		ovolsca.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
6		rpmulcl 12958	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐶 · 𝑦) ∈ ℝ+)
7	5, 6	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐶 · 𝑦) ∈ ℝ+)
8		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))
9	8	ovolgelb 25457	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑦) ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))
10	2, 4, 7, 9	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))
11	1	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
12	5	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → 𝐶 ∈ ℝ+)
13		ovolsca.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
14	13	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
15	3	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
16		2fveq3 6839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (1st ‘(𝑓‘𝑚)) = (1st ‘(𝑓‘𝑛)))
17	16	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((1st ‘(𝑓‘𝑚)) / 𝐶) = ((1st ‘(𝑓‘𝑛)) / 𝐶))
18		2fveq3 6839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (2nd ‘(𝑓‘𝑚)) = (2nd ‘(𝑓‘𝑛)))
19	18	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((2nd ‘(𝑓‘𝑚)) / 𝐶) = ((2nd ‘(𝑓‘𝑛)) / 𝐶))
20	17, 19	opeq12d 4825	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ⟨((1st ‘(𝑓‘𝑚)) / 𝐶), ((2nd ‘(𝑓‘𝑚)) / 𝐶)⟩ = ⟨((1st ‘(𝑓‘𝑛)) / 𝐶), ((2nd ‘(𝑓‘𝑛)) / 𝐶)⟩)
21	20	cbvmptv 5190	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ⟨((1st ‘(𝑓‘𝑚)) / 𝐶), ((2nd ‘(𝑓‘𝑚)) / 𝐶)⟩) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨((1st ‘(𝑓‘𝑛)) / 𝐶), ((2nd ‘(𝑓‘𝑛)) / 𝐶)⟩)
22		elmapi 8789	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
23	22	ad2antrl 729	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
24		simprrl 781	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → 𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓))
25		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → 𝑦 ∈ ℝ+)
26		simprrr 782	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦)))
27	11, 12, 14, 15, 8, 21, 23, 24, 25, 26	ovolscalem1 25490	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → (vol*‘𝐵) ≤ (((vol*‘𝐴) / 𝐶) + 𝑦))
28	10, 27	rexlimddv 3145	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (vol*‘𝐵) ≤ (((vol*‘𝐴) / 𝐶) + 𝑦))
29	28	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ (vol*‘𝐵) ≤ (((vol*‘𝐴) / 𝐶) + 𝑦))
30		ssrab2 4021	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴} ⊆ ℝ
31	13, 30	eqsstrdi 3967	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
32		ovolcl 25455	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ ℝ → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ*)
33	31, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ*)
34	3, 5	rerpdivcld 13008	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ∈ ℝ)
35		xralrple 13148	. . 3 ⊢ (((vol*‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ∈ ℝ) → ((vol*‘𝐵) ≤ ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (vol*‘𝐵) ≤ (((vol*‘𝐴) / 𝐶) + 𝑦)))
36	33, 34, 35	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘𝐵) ≤ ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (vol*‘𝐵) ≤ (((vol*‘𝐴) / 𝐶) + 𝑦)))
37	29, 36	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐵) ≤ ((vol*‘𝐴) / 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3390   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ⟨cop 4574  ∪ cuni 4851   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   × cxp 5622  ran crn 5625   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  1^st c1st 7933  2^nd c2nd 7934   ↑_m cmap 8766  supcsup 9346  ℝcr 11028  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12165  ℝ⁺crp 12933  (,)cioo 13289  seqcseq 13954  abscabs 15187  vol*covol 25439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-ovol 25441

This theorem is referenced by:  ovolsca  25492