MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolscalem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolscalem2 24878
Description: Lemma for ovolshft 24875. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolsca.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
ovolsca.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
ovolsca.3 (𝜑𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
ovolsca.4 (𝜑 → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ovolscalem2 (𝜑 → (vol*‘𝐵) ≤ ((vol*‘𝐴) / 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ovolscalem2
Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑦 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolsca.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
21adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3 ovolsca.4 . . . . . 6 (𝜑 → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
43adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
5 ovolsca.2 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
6 rpmulcl 12938 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐶 · 𝑦) ∈ ℝ+)
75, 6sylan 580 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐶 · 𝑦) ∈ ℝ+)
8 eqid 2736 . . . . . 6 seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))
98ovolgelb 24844 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝑦) ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))
102, 4, 7, 9syl3anc 1371 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))
111ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
125ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → 𝐶 ∈ ℝ+)
13 ovolsca.3 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
1413ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴})
153ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
16 2fveq3 6847 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (1st ‘(𝑓𝑚)) = (1st ‘(𝑓𝑛)))
1716oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → ((1st ‘(𝑓𝑚)) / 𝐶) = ((1st ‘(𝑓𝑛)) / 𝐶))
18 2fveq3 6847 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (2nd ‘(𝑓𝑚)) = (2nd ‘(𝑓𝑛)))
1918oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → ((2nd ‘(𝑓𝑚)) / 𝐶) = ((2nd ‘(𝑓𝑛)) / 𝐶))
2017, 19opeq12d 4838 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → ⟨((1st ‘(𝑓𝑚)) / 𝐶), ((2nd ‘(𝑓𝑚)) / 𝐶)⟩ = ⟨((1st ‘(𝑓𝑛)) / 𝐶), ((2nd ‘(𝑓𝑛)) / 𝐶)⟩)
2120cbvmptv 5218 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ⟨((1st ‘(𝑓𝑚)) / 𝐶), ((2nd ‘(𝑓𝑚)) / 𝐶)⟩) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨((1st ‘(𝑓𝑛)) / 𝐶), ((2nd ‘(𝑓𝑛)) / 𝐶)⟩)
22 elmapi 8787 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) → 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2322ad2antrl 726 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
24 simprrl 779 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → 𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓))
25 simplr 767 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → 𝑦 ∈ ℝ+)
26 simprrr 780 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦)))
2711, 12, 14, 15, 8, 21, 23, 24, 25, 26ovolscalem1 24877 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐴) + (𝐶 · 𝑦))))) → (vol*‘𝐵) ≤ (((vol*‘𝐴) / 𝐶) + 𝑦))
2810, 27rexlimddv 3158 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (vol*‘𝐵) ≤ (((vol*‘𝐴) / 𝐶) + 𝑦))
2928ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ (vol*‘𝐵) ≤ (((vol*‘𝐴) / 𝐶) + 𝑦))
30 ssrab2 4037 . . . . 5 {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐴} ⊆ ℝ
3113, 30eqsstrdi 3998 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
32 ovolcl 24842 . . . 4 (𝐵 ⊆ ℝ → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ*)
3331, 32syl 17 . . 3 (𝜑 → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ*)
343, 5rerpdivcld 12988 . . 3 (𝜑 → ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ∈ ℝ)
35 xralrple 13124 . . 3 (((vol*‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ∈ ℝ) → ((vol*‘𝐵) ≤ ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (vol*‘𝐵) ≤ (((vol*‘𝐴) / 𝐶) + 𝑦)))
3633, 34, 35syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((vol*‘𝐵) ≤ ((vol*‘𝐴) / 𝐶) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (vol*‘𝐵) ≤ (((vol*‘𝐴) / 𝐶) + 𝑦)))
3729, 36mpbird 256 1 (𝜑 → (vol*‘𝐵) ≤ ((vol*‘𝐴) / 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  cin 3909  wss 3910  cop 4592   cuni 4865   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  ran crn 5634  ccom 5637  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  1st c1st 7919  2nd c2nd 7920  m cmap 8765  supcsup 9376  cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  +crp 12915  (,)cioo 13264  seqcseq 13906  abscabs 15119  vol*covol 24826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-ovol 24828
This theorem is referenced by:  ovolsca  24879
  Copyright terms: Public domain W3C validator