MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rprisefaccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rprisefaccl 15866
Description: Closure law for rising factorial. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
rprisefaccl ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac 𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rprisefaccl
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 12876 . . 3 + ⊆ ℝ
2 ax-resscn 11066 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
31, 2sstri 3951 . 2 + ⊆ ℂ
4 1rp 12873 . 2 1 ∈ ℝ+
5 rpmulcl 12892 . 2 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
6 rpre 12877 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
7 nn0re 12380 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
8 readdcl 11092 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝑘) ∈ ℝ)
96, 7, 8syl2an 596 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑘) ∈ ℝ)
106adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
117adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
12 rpgt0 12881 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
1312adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < 𝐴)
14 nn0ge0 12396 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
1514adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑘)
1610, 11, 13, 15addgtge0d 11687 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < (𝐴 + 𝑘))
179, 16elrpd 12908 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑘) ∈ ℝ+)
183, 4, 5, 17risefaccllem 15856 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac 𝑁) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106   class class class wbr 5103  (class class class)co 7351  cc 11007  cr 11008  0cc0 11009   + caddc 11012   < clt 11147  cle 11148  0cn0 12371  +crp 12869   RiseFac crisefac 15848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-sup 9336  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-rp 12870  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-seq 13861  df-exp 13922  df-hash 14185  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-clim 15330  df-prod 15749  df-risefac 15849
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator