Theorem rprisefaccl 15944

Description: Closure law for rising factorial. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rprisefaccl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac 𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rprisefaccl

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 12911	. . 3 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
2		ax-resscn 11081	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	1, 2	sstri 3941	. 2 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
4		1rp 12907	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ+
5		rpmulcl 12928	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
6		rpre 12912	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
7		nn0re 12408	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
8		readdcl 11107	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝑘) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑘) ∈ ℝ)
10	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
11	7	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
12		rpgt0 12916	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < 𝐴)
14		nn0ge0 12424	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑘)
16	10, 11, 13, 15	addgtge0d 11709	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < (𝐴 + 𝑘))
17	9, 16	elrpd 12944	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑘) ∈ ℝ+)
18	3, 4, 5, 17	risefaccllem 15934	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac 𝑁) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  ℝcr 11023  0cc0 11024   + caddc 11027   < clt 11164   ≤ cle 11165  ℕ₀cn0 12399  ℝ⁺crp 12903   RiseFac crisefac 15926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-clim 15409  df-prod 15825  df-risefac 15927

This theorem is referenced by: (None)