Theorem rprisefaccl 15996

Description: Closure law for rising factorial. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rprisefaccl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac 𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rprisefaccl

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 12966	. . 3 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
2		ax-resscn 11132	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	1, 2	sstri 3959	. 2 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
4		1rp 12962	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ+
5		rpmulcl 12983	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
6		rpre 12967	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
7		nn0re 12458	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
8		readdcl 11158	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝑘) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑘) ∈ ℝ)
10	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
11	7	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
12		rpgt0 12971	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < 𝐴)
14		nn0ge0 12474	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑘)
16	10, 11, 13, 15	addgtge0d 11759	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < (𝐴 + 𝑘))
17	9, 16	elrpd 12999	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑘) ∈ ℝ+)
18	3, 4, 5, 17	risefaccllem 15986	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac 𝑁) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075   + caddc 11078   < clt 11215   ≤ cle 11216  ℕ₀cn0 12449  ℝ⁺crp 12958   RiseFac crisefac 15978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-prod 15877  df-risefac 15979

This theorem is referenced by: (None)