MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rprisefaccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rprisefaccl 16059
Description: Closure law for rising factorial. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
rprisefaccl ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac 𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rprisefaccl
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 13042 . . 3 + ⊆ ℝ
2 ax-resscn 11212 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
31, 2sstri 3993 . 2 + ⊆ ℂ
4 1rp 13038 . 2 1 ∈ ℝ+
5 rpmulcl 13058 . 2 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
6 rpre 13043 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
7 nn0re 12535 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
8 readdcl 11238 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝑘) ∈ ℝ)
96, 7, 8syl2an 596 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑘) ∈ ℝ)
106adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
117adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
12 rpgt0 13047 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
1312adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < 𝐴)
14 nn0ge0 12551 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
1514adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑘)
1610, 11, 13, 15addgtge0d 11837 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < (𝐴 + 𝑘))
179, 16elrpd 13074 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑘) ∈ ℝ+)
183, 4, 5, 17risefaccllem 16049 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac 𝑁) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  0cn0 12526  +crp 13034   RiseFac crisefac 16041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-prod 15940  df-risefac 16042
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator