MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rprisefaccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rprisefaccl 15585
Description: Closure law for rising factorial. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
rprisefaccl ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac 𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rprisefaccl
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 12593 . . 3 + ⊆ ℝ
2 ax-resscn 10786 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
31, 2sstri 3910 . 2 + ⊆ ℂ
4 1rp 12590 . 2 1 ∈ ℝ+
5 rpmulcl 12609 . 2 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
6 rpre 12594 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
7 nn0re 12099 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
8 readdcl 10812 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝑘) ∈ ℝ)
96, 7, 8syl2an 599 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑘) ∈ ℝ)
106adantr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
117adantl 485 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
12 rpgt0 12598 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
1312adantr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < 𝐴)
14 nn0ge0 12115 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
1514adantl 485 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑘)
1610, 11, 13, 15addgtge0d 11406 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < (𝐴 + 𝑘))
179, 16elrpd 12625 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑘) ∈ ℝ+)
183, 4, 5, 17risefaccllem 15575 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac 𝑁) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2110   class class class wbr 5053  (class class class)co 7213  cc 10727  cr 10728  0cc0 10729   + caddc 10732   < clt 10867  cle 10868  0cn0 12090  +crp 12586   RiseFac crisefac 15567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-prod 15468  df-risefac 15568
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator