Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pclogsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pclogsum 25809
 Description: The logarithmic analogue of pcprod 16224. The sum of the logarithms of the primes dividing 𝐴 multiplied by their powers yields the logarithm of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
pclogsum (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)) = (log‘𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem pclogsum
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3897 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ↔ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ))
21baib 539 . . . . 5 (𝑝 ∈ (1...𝐴) → (𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ↔ 𝑝 ∈ ℙ))
32ifbid 4447 . . . 4 (𝑝 ∈ (1...𝐴) → if(𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))), 0) = if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))), 0))
4 fvif 6662 . . . . 5 (log‘if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1)) = if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))), (log‘1))
5 log1 25187 . . . . . 6 (log‘1) = 0
6 ifeq2 4430 . . . . . 6 ((log‘1) = 0 → if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))), (log‘1)) = if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))), 0))
75, 6ax-mp 5 . . . . 5 if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))), (log‘1)) = if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))), 0)
84, 7eqtri 2821 . . . 4 (log‘if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1)) = if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))), 0)
93, 8eqtr4di 2851 . . 3 (𝑝 ∈ (1...𝐴) → if(𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))), 0) = (log‘if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1)))
109sumeq2i 15051 . 2 Σ𝑝 ∈ (1...𝐴)if(𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))), 0) = Σ𝑝 ∈ (1...𝐴)(log‘if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1))
11 inss1 4155 . . . 4 ((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴)
12 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ))
1312elin1d 4125 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ (1...𝐴))
14 elfznn 12934 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (1...𝐴) → 𝑝 ∈ ℕ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
1612elin2d 4126 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
17 simpl 486 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → 𝐴 ∈ ℕ)
1816, 17pccld 16180 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
1915, 18nnexpcld 13605 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
2019nnrpd 12420 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℝ+)
2120relogcld 25224 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ)
2221recnd 10661 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) ∈ ℂ)
2322ralrimiva 3149 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) ∈ ℂ)
24 fzfi 13338 . . . . . 6 (1...𝐴) ∈ Fin
2524olci 863 . . . . 5 ((1...𝐴) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (1...𝐴) ∈ Fin)
26 sumss2 15078 . . . . 5 (((((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴) ∧ ∀𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) ∈ ℂ) ∧ ((1...𝐴) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (1...𝐴) ∈ Fin)) → Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = Σ𝑝 ∈ (1...𝐴)if(𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))), 0))
2725, 26mpan2 690 . . . 4 ((((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴) ∧ ∀𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) ∈ ℂ) → Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = Σ𝑝 ∈ (1...𝐴)if(𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))), 0))
2811, 23, 27sylancr 590 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = Σ𝑝 ∈ (1...𝐴)if(𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))), 0))
2915nnrpd 12420 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
3018nn0zd 12076 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
31 relogexp 25197 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℝ+ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ) → (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = ((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)))
3229, 30, 31syl2anc 587 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = ((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)))
3332sumeq2dv 15055 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)))
3428, 33eqtr3d 2835 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑝 ∈ (1...𝐴)if(𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))), 0) = Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)))
3514adantl 485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (1...𝐴)) → 𝑝 ∈ ℕ)
36 eleq1w 2872 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑝 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑝 ∈ ℙ))
37 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑝𝑛 = 𝑝)
38 oveq1 7143 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑝 → (𝑛 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐴))
3937, 38oveq12d 7154 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑝 → (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)) = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))
4036, 39ifbieq1d 4448 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑝 → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1) = if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1))
4140fveq2d 6650 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑝 → (log‘if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1)) = (log‘if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1)))
42 eqid 2798 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1)))
43 fvex 6659 . . . . . 6 (log‘if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1)) ∈ V
4441, 42, 43fvmpt 6746 . . . . 5 (𝑝 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1)))‘𝑝) = (log‘if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1)))
4535, 44syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (1...𝐴)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1)))‘𝑝) = (log‘if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1)))
46 elnnuz 12273 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (ℤ‘1))
4746biimpi 219 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (ℤ‘1))
4835adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (1...𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
49 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (1...𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
50 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (1...𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
5149, 50pccld 16180 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (1...𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
5248, 51nnexpcld 13605 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (1...𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
53 1nn 11639 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
5453a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (1...𝐴)) ∧ ¬ 𝑝 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℕ)
5552, 54ifclda 4459 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (1...𝐴)) → if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1) ∈ ℕ)
5655nnrpd 12420 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (1...𝐴)) → if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1) ∈ ℝ+)
5756relogcld 25224 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (1...𝐴)) → (log‘if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1)) ∈ ℝ)
5857recnd 10661 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (1...𝐴)) → (log‘if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1)) ∈ ℂ)
5945, 47, 58fsumser 15082 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑝 ∈ (1...𝐴)(log‘if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1)) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1))))‘𝐴))
60 rpmulcl 12403 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → (𝑝 · 𝑚) ∈ ℝ+)
6160adantl 485 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+)) → (𝑝 · 𝑚) ∈ ℝ+)
62 eqid 2798 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1))
63 ovex 7169 . . . . . . . 8 (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ V
64 1ex 10629 . . . . . . . 8 1 ∈ V
6563, 64ifex 4473 . . . . . . 7 if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1) ∈ V
6640, 62, 65fvmpt 6746 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1))‘𝑝) = if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1))
6735, 66syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (1...𝐴)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1))‘𝑝) = if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1))
6867, 56eqeltrd 2890 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (1...𝐴)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1))‘𝑝) ∈ ℝ+)
69 relogmul 25193 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → (log‘(𝑝 · 𝑚)) = ((log‘𝑝) + (log‘𝑚)))
7069adantl 485 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+)) → (log‘(𝑝 · 𝑚)) = ((log‘𝑝) + (log‘𝑚)))
7167fveq2d 6650 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (1...𝐴)) → (log‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1))‘𝑝)) = (log‘if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1)))
7271, 45eqtr4d 2836 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (1...𝐴)) → (log‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1))‘𝑝)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1)))‘𝑝))
7361, 68, 47, 70, 72seqhomo 13416 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (log‘(seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1)))‘𝐴)) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1))))‘𝐴))
7462pcprod 16224 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1)))‘𝐴) = 𝐴)
7574fveq2d 6650 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (log‘(seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1)))‘𝐴)) = (log‘𝐴))
7659, 73, 753eqtr2d 2839 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑝 ∈ (1...𝐴)(log‘if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1)) = (log‘𝐴))
7710, 34, 763eqtr3a 2857 1 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)) = (log‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ifcif 4425   ↦ cmpt 5111  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  Fincfn 8495  ℂcc 10527  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  ℕcn 11628  ℤcz 11972  ℤ≥cuz 12234  ℝ+crp 12380  ...cfz 12888  seqcseq 13367  ↑cexp 13428  Σcsu 15037  ℙcprime 16008   pCnt cpc 16166  logclog 25156 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-of 7391  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7817  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-pm 8395  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8821  df-fi 8862  df-sup 8893  df-inf 8894  df-oi 8961  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-q 12340  df-rp 12381  df-xneg 12498  df-xadd 12499  df-xmul 12500  df-ioo 12733  df-ioc 12734  df-ico 12735  df-icc 12736  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-fl 13160  df-mod 13236  df-seq 13368  df-exp 13429  df-fac 13633  df-bc 13662  df-hash 13690  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-sin 15418  df-cos 15419  df-pi 15421  df-dvds 15603  df-gcd 15837  df-prm 16009  df-pc 16167  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21509  df-topon 21526  df-topsp 21548  df-bases 21561  df-cld 21634  df-ntr 21635  df-cls 21636  df-nei 21713  df-lp 21751  df-perf 21752  df-cn 21842  df-cnp 21843  df-haus 21930  df-tx 22177  df-hmeo 22370  df-fil 22461  df-fm 22553  df-flim 22554  df-flf 22555  df-xms 22937  df-ms 22938  df-tms 22939  df-cncf 23493  df-limc 24479  df-dv 24480  df-log 25158 This theorem is referenced by:  vmasum  25810  chebbnd1lem1  26063
 Copyright terms: Public domain W3C validator