MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pclogsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pclogsum 26563
Description: The logarithmic analogue of pcprod 16767. The sum of the logarithms of the primes dividing 𝐴 multiplied by their powers yields the logarithm of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
pclogsum (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)) = (log‘𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem pclogsum
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3926 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ↔ (𝑝 ∈ (1...𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ))
21baib 536 . . . . 5 (𝑝 ∈ (1...𝐴) → (𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ) ↔ 𝑝 ∈ ℙ))
32ifbid 4509 . . . 4 (𝑝 ∈ (1...𝐴) → if(𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))), 0) = if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))), 0))
4 fvif 6858 . . . . 5 (log‘if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1)) = if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))), (log‘1))
5 log1 25941 . . . . . 6 (log‘1) = 0
6 ifeq2 4491 . . . . . 6 ((log‘1) = 0 → if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))), (log‘1)) = if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))), 0))
75, 6ax-mp 5 . . . . 5 if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))), (log‘1)) = if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))), 0)
84, 7eqtri 2764 . . . 4 (log‘if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1)) = if(𝑝 ∈ ℙ, (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))), 0)
93, 8eqtr4di 2794 . . 3 (𝑝 ∈ (1...𝐴) → if(𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))), 0) = (log‘if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1)))
109sumeq2i 15584 . 2 Σ𝑝 ∈ (1...𝐴)if(𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))), 0) = Σ𝑝 ∈ (1...𝐴)(log‘if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1))
11 inss1 4188 . . . 4 ((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴)
12 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ))
1312elin1d 4158 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ (1...𝐴))
14 elfznn 13470 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (1...𝐴) → 𝑝 ∈ ℕ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
1612elin2d 4159 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
17 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → 𝐴 ∈ ℕ)
1816, 17pccld 16722 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
1915, 18nnexpcld 14148 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
2019nnrpd 12955 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℝ+)
2120relogcld 25978 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ)
2221recnd 11183 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) ∈ ℂ)
2322ralrimiva 3143 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ∀𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) ∈ ℂ)
24 fzfi 13877 . . . . . 6 (1...𝐴) ∈ Fin
2524olci 864 . . . . 5 ((1...𝐴) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (1...𝐴) ∈ Fin)
26 sumss2 15611 . . . . 5 (((((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴) ∧ ∀𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) ∈ ℂ) ∧ ((1...𝐴) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (1...𝐴) ∈ Fin)) → Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = Σ𝑝 ∈ (1...𝐴)if(𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))), 0))
2725, 26mpan2 689 . . . 4 ((((1...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (1...𝐴) ∧ ∀𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) ∈ ℂ) → Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = Σ𝑝 ∈ (1...𝐴)if(𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))), 0))
2811, 23, 27sylancr 587 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = Σ𝑝 ∈ (1...𝐴)if(𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))), 0))
2915nnrpd 12955 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
3018nn0zd 12525 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
31 relogexp 25951 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℝ+ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ) → (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = ((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)))
3229, 30, 31syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = ((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)))
3332sumeq2dv 15588 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)(log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)))
3428, 33eqtr3d 2778 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑝 ∈ (1...𝐴)if(𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ), (log‘(𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))), 0) = Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)))
3514adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (1...𝐴)) → 𝑝 ∈ ℕ)
36 eleq1w 2820 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑝 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑝 ∈ ℙ))
37 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑝𝑛 = 𝑝)
38 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑝 → (𝑛 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐴))
3937, 38oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑝 → (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)) = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))
4036, 39ifbieq1d 4510 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑝 → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1) = if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1))
4140fveq2d 6846 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑝 → (log‘if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1)) = (log‘if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1)))
42 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1)))
43 fvex 6855 . . . . . 6 (log‘if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1)) ∈ V
4441, 42, 43fvmpt 6948 . . . . 5 (𝑝 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1)))‘𝑝) = (log‘if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1)))
4535, 44syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (1...𝐴)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1)))‘𝑝) = (log‘if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1)))
46 elnnuz 12807 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (ℤ‘1))
4746biimpi 215 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (ℤ‘1))
4835adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (1...𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
49 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (1...𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
50 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (1...𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
5149, 50pccld 16722 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (1...𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
5248, 51nnexpcld 14148 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (1...𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
53 1nn 12164 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
5453a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (1...𝐴)) ∧ ¬ 𝑝 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℕ)
5552, 54ifclda 4521 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (1...𝐴)) → if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1) ∈ ℕ)
5655nnrpd 12955 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (1...𝐴)) → if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1) ∈ ℝ+)
5756relogcld 25978 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (1...𝐴)) → (log‘if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1)) ∈ ℝ)
5857recnd 11183 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (1...𝐴)) → (log‘if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1)) ∈ ℂ)
5945, 47, 58fsumser 15615 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑝 ∈ (1...𝐴)(log‘if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1)) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1))))‘𝐴))
60 rpmulcl 12938 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → (𝑝 · 𝑚) ∈ ℝ+)
6160adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+)) → (𝑝 · 𝑚) ∈ ℝ+)
62 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1))
63 ovex 7390 . . . . . . . 8 (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ V
64 1ex 11151 . . . . . . . 8 1 ∈ V
6563, 64ifex 4536 . . . . . . 7 if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1) ∈ V
6640, 62, 65fvmpt 6948 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1))‘𝑝) = if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1))
6735, 66syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (1...𝐴)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1))‘𝑝) = if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1))
6867, 56eqeltrd 2838 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (1...𝐴)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1))‘𝑝) ∈ ℝ+)
69 relogmul 25947 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → (log‘(𝑝 · 𝑚)) = ((log‘𝑝) + (log‘𝑚)))
7069adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+)) → (log‘(𝑝 · 𝑚)) = ((log‘𝑝) + (log‘𝑚)))
7167fveq2d 6846 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (1...𝐴)) → (log‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1))‘𝑝)) = (log‘if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1)))
7271, 45eqtr4d 2779 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ (1...𝐴)) → (log‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1))‘𝑝)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1)))‘𝑝))
7361, 68, 47, 70, 72seqhomo 13955 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (log‘(seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1)))‘𝐴)) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1))))‘𝐴))
7462pcprod 16767 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1)))‘𝐴) = 𝐴)
7574fveq2d 6846 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (log‘(seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt 𝐴)), 1)))‘𝐴)) = (log‘𝐴))
7659, 73, 753eqtr2d 2782 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑝 ∈ (1...𝐴)(log‘if(𝑝 ∈ ℙ, (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)), 1)) = (log‘𝐴))
7710, 34, 763eqtr3a 2800 1 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑝 ∈ ((1...𝐴) ∩ ℙ)((𝑝 pCnt 𝐴) · (log‘𝑝)) = (log‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  cin 3909  wss 3910  ifcif 4486  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cn 12153  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  ...cfz 13424  seqcseq 13906  cexp 13967  Σcsu 15570  cprime 16547   pCnt cpc 16708  logclog 25910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-pc 16709  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912
This theorem is referenced by:  vmasum  26564  chebbnd1lem1  26817
  Copyright terms: Public domain W3C validator