MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pclogsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pclogsum 26708
Description: The logarithmic analogue of pcprod 16825. The sum of the logarithms of the primes dividing ๐ด multiplied by their powers yields the logarithm of ๐ด. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
pclogsum (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)((๐‘ pCnt ๐ด) ยท (logโ€˜๐‘)) = (logโ€˜๐ด))
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘

Proof of Theorem pclogsum
Dummy variables ๐‘š ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3964 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™) โ†” (๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™))
21baib 537 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โ†’ (๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™) โ†” ๐‘ โˆˆ โ„™))
32ifbid 4551 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โ†’ if(๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™), (logโ€˜(๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด))), 0) = if(๐‘ โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด))), 0))
4 fvif 6905 . . . . 5 (logโ€˜if(๐‘ โˆˆ โ„™, (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด)), 1)) = if(๐‘ โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด))), (logโ€˜1))
5 log1 26086 . . . . . 6 (logโ€˜1) = 0
6 ifeq2 4533 . . . . . 6 ((logโ€˜1) = 0 โ†’ if(๐‘ โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด))), (logโ€˜1)) = if(๐‘ โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด))), 0))
75, 6ax-mp 5 . . . . 5 if(๐‘ โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด))), (logโ€˜1)) = if(๐‘ โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด))), 0)
84, 7eqtri 2761 . . . 4 (logโ€˜if(๐‘ โˆˆ โ„™, (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด)), 1)) = if(๐‘ โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด))), 0)
93, 8eqtr4di 2791 . . 3 (๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โ†’ if(๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™), (logโ€˜(๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด))), 0) = (logโ€˜if(๐‘ โˆˆ โ„™, (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด)), 1)))
109sumeq2i 15642 . 2 ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)if(๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™), (logโ€˜(๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด))), 0) = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(logโ€˜if(๐‘ โˆˆ โ„™, (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด)), 1))
11 inss1 4228 . . . 4 ((1...๐ด) โˆฉ โ„™) โŠ† (1...๐ด)
12 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™))
1312elin1d 4198 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (1...๐ด))
14 elfznn 13527 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (1...๐ด) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1612elin2d 4199 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
17 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
1816, 17pccld 16780 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•0)
1915, 18nnexpcld 14205 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด)) โˆˆ โ„•)
2019nnrpd 13011 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด)) โˆˆ โ„+)
2120relogcld 26123 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (logโ€˜(๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด))) โˆˆ โ„)
2221recnd 11239 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (logโ€˜(๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
2322ralrimiva 3147 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)(logโ€˜(๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
24 fzfi 13934 . . . . . 6 (1...๐ด) โˆˆ Fin
2524olci 865 . . . . 5 ((1...๐ด) โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆจ (1...๐ด) โˆˆ Fin)
26 sumss2 15669 . . . . 5 (((((1...๐ด) โˆฉ โ„™) โŠ† (1...๐ด) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)(logโ€˜(๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด))) โˆˆ โ„‚) โˆง ((1...๐ด) โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆจ (1...๐ด) โˆˆ Fin)) โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)(logโ€˜(๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด))) = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)if(๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™), (logโ€˜(๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด))), 0))
2725, 26mpan2 690 . . . 4 ((((1...๐ด) โˆฉ โ„™) โŠ† (1...๐ด) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)(logโ€˜(๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด))) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)(logโ€˜(๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด))) = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)if(๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™), (logโ€˜(๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด))), 0))
2811, 23, 27sylancr 588 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)(logโ€˜(๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด))) = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)if(๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™), (logโ€˜(๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด))), 0))
2915nnrpd 13011 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
3018nn0zd 12581 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„ค)
31 relogexp 26096 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„ค) โ†’ (logโ€˜(๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด))) = ((๐‘ pCnt ๐ด) ยท (logโ€˜๐‘)))
3229, 30, 31syl2anc 585 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (logโ€˜(๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด))) = ((๐‘ pCnt ๐ด) ยท (logโ€˜๐‘)))
3332sumeq2dv 15646 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)(logโ€˜(๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด))) = ฮฃ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)((๐‘ pCnt ๐ด) ยท (logโ€˜๐‘)))
3428, 33eqtr3d 2775 . 2 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)if(๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™), (logโ€˜(๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด))), 0) = ฮฃ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)((๐‘ pCnt ๐ด) ยท (logโ€˜๐‘)))
3514adantl 483 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
36 eleq1w 2817 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„™ โ†” ๐‘ โˆˆ โ„™))
37 id 22 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ๐‘› = ๐‘)
38 oveq1 7413 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘› pCnt ๐ด) = (๐‘ pCnt ๐ด))
3937, 38oveq12d 7424 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘›โ†‘(๐‘› pCnt ๐ด)) = (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด)))
4036, 39ifbieq1d 4552 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘ โ†’ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (๐‘›โ†‘(๐‘› pCnt ๐ด)), 1) = if(๐‘ โˆˆ โ„™, (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด)), 1))
4140fveq2d 6893 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (logโ€˜if(๐‘› โˆˆ โ„™, (๐‘›โ†‘(๐‘› pCnt ๐ด)), 1)) = (logโ€˜if(๐‘ โˆˆ โ„™, (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด)), 1)))
42 eqid 2733 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (logโ€˜if(๐‘› โˆˆ โ„™, (๐‘›โ†‘(๐‘› pCnt ๐ด)), 1))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (logโ€˜if(๐‘› โˆˆ โ„™, (๐‘›โ†‘(๐‘› pCnt ๐ด)), 1)))
43 fvex 6902 . . . . . 6 (logโ€˜if(๐‘ โˆˆ โ„™, (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด)), 1)) โˆˆ V
4441, 42, 43fvmpt 6996 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (logโ€˜if(๐‘› โˆˆ โ„™, (๐‘›โ†‘(๐‘› pCnt ๐ด)), 1)))โ€˜๐‘) = (logโ€˜if(๐‘ โˆˆ โ„™, (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด)), 1)))
4535, 44syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (logโ€˜if(๐‘› โˆˆ โ„™, (๐‘›โ†‘(๐‘› pCnt ๐ด)), 1)))โ€˜๐‘) = (logโ€˜if(๐‘ โˆˆ โ„™, (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด)), 1)))
46 elnnuz 12863 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†” ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
4746biimpi 215 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
4835adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
49 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
50 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
5149, 50pccld 16780 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•0)
5248, 51nnexpcld 14205 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด)) โˆˆ โ„•)
53 1nn 12220 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„•
5453a1i 11 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โˆง ยฌ ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ 1 โˆˆ โ„•)
5552, 54ifclda 4563 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ if(๐‘ โˆˆ โ„™, (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด)), 1) โˆˆ โ„•)
5655nnrpd 13011 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ if(๐‘ โˆˆ โ„™, (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด)), 1) โˆˆ โ„+)
5756relogcld 26123 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (logโ€˜if(๐‘ โˆˆ โ„™, (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด)), 1)) โˆˆ โ„)
5857recnd 11239 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (logโ€˜if(๐‘ โˆˆ โ„™, (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด)), 1)) โˆˆ โ„‚)
5945, 47, 58fsumser 15673 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(logโ€˜if(๐‘ โˆˆ โ„™, (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด)), 1)) = (seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (logโ€˜if(๐‘› โˆˆ โ„™, (๐‘›โ†‘(๐‘› pCnt ๐ด)), 1))))โ€˜๐ด))
60 rpmulcl 12994 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘š) โˆˆ โ„+)
6160adantl 483 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„+)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘š) โˆˆ โ„+)
62 eqid 2733 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (๐‘›โ†‘(๐‘› pCnt ๐ด)), 1)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (๐‘›โ†‘(๐‘› pCnt ๐ด)), 1))
63 ovex 7439 . . . . . . . 8 (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด)) โˆˆ V
64 1ex 11207 . . . . . . . 8 1 โˆˆ V
6563, 64ifex 4578 . . . . . . 7 if(๐‘ โˆˆ โ„™, (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด)), 1) โˆˆ V
6640, 62, 65fvmpt 6996 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (๐‘›โ†‘(๐‘› pCnt ๐ด)), 1))โ€˜๐‘) = if(๐‘ โˆˆ โ„™, (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด)), 1))
6735, 66syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (๐‘›โ†‘(๐‘› pCnt ๐ด)), 1))โ€˜๐‘) = if(๐‘ โˆˆ โ„™, (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด)), 1))
6867, 56eqeltrd 2834 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (๐‘›โ†‘(๐‘› pCnt ๐ด)), 1))โ€˜๐‘) โˆˆ โ„+)
69 relogmul 26092 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜(๐‘ ยท ๐‘š)) = ((logโ€˜๐‘) + (logโ€˜๐‘š)))
7069adantl 483 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„+)) โ†’ (logโ€˜(๐‘ ยท ๐‘š)) = ((logโ€˜๐‘) + (logโ€˜๐‘š)))
7167fveq2d 6893 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (logโ€˜((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (๐‘›โ†‘(๐‘› pCnt ๐ด)), 1))โ€˜๐‘)) = (logโ€˜if(๐‘ โˆˆ โ„™, (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด)), 1)))
7271, 45eqtr4d 2776 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ (logโ€˜((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (๐‘›โ†‘(๐‘› pCnt ๐ด)), 1))โ€˜๐‘)) = ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (logโ€˜if(๐‘› โˆˆ โ„™, (๐‘›โ†‘(๐‘› pCnt ๐ด)), 1)))โ€˜๐‘))
7361, 68, 47, 70, 72seqhomo 14012 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜(seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (๐‘›โ†‘(๐‘› pCnt ๐ด)), 1)))โ€˜๐ด)) = (seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (logโ€˜if(๐‘› โˆˆ โ„™, (๐‘›โ†‘(๐‘› pCnt ๐ด)), 1))))โ€˜๐ด))
7462pcprod 16825 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (๐‘›โ†‘(๐‘› pCnt ๐ด)), 1)))โ€˜๐ด) = ๐ด)
7574fveq2d 6893 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜(seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (๐‘›โ†‘(๐‘› pCnt ๐ด)), 1)))โ€˜๐ด)) = (logโ€˜๐ด))
7659, 73, 753eqtr2d 2779 . 2 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐ด)(logโ€˜if(๐‘ โˆˆ โ„™, (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt ๐ด)), 1)) = (logโ€˜๐ด))
7710, 34, 763eqtr3a 2797 1 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ ((1...๐ด) โˆฉ โ„™)((๐‘ pCnt ๐ด) ยท (logโ€˜๐‘)) = (logโ€˜๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062   โˆฉ cin 3947   โŠ† wss 3948  ifcif 4528   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  Fincfn 8936  โ„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   ยท cmul 11112  โ„•cn 12209  โ„คcz 12555  โ„คโ‰ฅcuz 12819  โ„+crp 12971  ...cfz 13481  seqcseq 13963  โ†‘cexp 14024  ฮฃcsu 15629  โ„™cprime 16605   pCnt cpc 16766  logclog 26055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-dvds 16195  df-gcd 16433  df-prm 16606  df-pc 16767  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-lp 22632  df-perf 22633  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-haus 22811  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386  df-limc 25375  df-dv 25376  df-log 26057
This theorem is referenced by:  vmasum  26709  chebbnd1lem1  26962
  Copyright terms: Public domain W3C validator