Theorem s4dom 14928

Description: The domain of a length 4 word is the union of two (disjunct) pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
s4dom	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ → dom 𝐸 = ({0, 1} ∪ {2, 3})))

Proof of Theorem s4dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmeq 5910	. . 3 ⊢ (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ → dom 𝐸 = dom ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)
2		s4prop 14919	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))
3	2	dmeqd 5912	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → dom ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = dom ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))
4		dmun 5917	. . . . 5 ⊢ dom ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}) = (dom {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ dom {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩})
5		dmpropg 6226	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → dom {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} = {0, 1})
6	5	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → dom {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} = {0, 1})
7		dmpropg 6226	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆) → dom {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩} = {2, 3})
8	7	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → dom {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩} = {2, 3})
9	6, 8	uneq12d 4164	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (dom {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ dom {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}) = ({0, 1} ∪ {2, 3}))
10	4, 9	eqtrid 2778	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → dom ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}) = ({0, 1} ∪ {2, 3}))
11	3, 10	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → dom ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = ({0, 1} ∪ {2, 3}))
12	1, 11	sylan9eqr 2788	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) → dom 𝐸 = ({0, 1} ∪ {2, 3}))
13	12	ex 411	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ → dom 𝐸 = ({0, 1} ∪ {2, 3})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∪ cun 3945  {cpr 4635  ⟨cop 4639  dom cdm 5682  0cc0 11158  1c1 11159  2c2 12319  3c3 12320  ⟨“cs4 14852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-hash 14348  df-word 14523  df-concat 14579  df-s1 14604  df-s2 14857  df-s3 14858  df-s4 14859

This theorem is referenced by: (None)