Theorem s3eq3seq 14333

Description: Two length 3 words are equal iff the corresponding symbols are equal. (Contributed by AV, 4-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
s3eq3seq	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ (𝐴 = 𝐷 ∧ 𝐵 = 𝐸 ∧ 𝐶 = 𝐹)))

Proof of Theorem s3eq3seq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s3eqs2s1eq 14332	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐷𝐸”⟩ ∧ ⟨“𝐶”⟩ = ⟨“𝐹”⟩)))
2		3simpa 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
3		3simpa 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉))
4		s2eq2seq 14331	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐷𝐸”⟩ ↔ (𝐴 = 𝐷 ∧ 𝐵 = 𝐸)))
5	2, 3, 4	syl2an 599	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐷𝐸”⟩ ↔ (𝐴 = 𝐷 ∧ 𝐵 = 𝐸)))
6		simp3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ 𝑉)
7		simp3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ 𝑉)
8		s111 14001	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐶”⟩ = ⟨“𝐹”⟩ ↔ 𝐶 = 𝐹))
9	6, 7, 8	syl2an 599	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐶”⟩ = ⟨“𝐹”⟩ ↔ 𝐶 = 𝐹))
10	5, 9	anbi12d 634	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → ((⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐷𝐸”⟩ ∧ ⟨“𝐶”⟩ = ⟨“𝐹”⟩) ↔ ((𝐴 = 𝐷 ∧ 𝐵 = 𝐸) ∧ 𝐶 = 𝐹)))
11		df-3an 1087	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 𝐷 ∧ 𝐵 = 𝐸 ∧ 𝐶 = 𝐹) ↔ ((𝐴 = 𝐷 ∧ 𝐵 = 𝐸) ∧ 𝐶 = 𝐹))
12	10, 11	bitr4di 293	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → ((⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐷𝐸”⟩ ∧ ⟨“𝐶”⟩ = ⟨“𝐹”⟩) ↔ (𝐴 = 𝐷 ∧ 𝐵 = 𝐸 ∧ 𝐶 = 𝐹)))
13	1, 12	bitrd 282	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ (𝐴 = 𝐷 ∧ 𝐵 = 𝐸 ∧ 𝐶 = 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ⟨“cs1 13981  ⟨“cs2 14235  ⟨“cs3 14236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-int 4832  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-fin 8524  df-card 9386  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-2 11722  df-n0 11920  df-z 12006  df-uz 12268  df-fz 12925  df-fzo 13068  df-hash 13726  df-word 13899  df-concat 13955  df-s1 13982  df-substr 14035  df-pfx 14065  df-s2 14242  df-s3 14243

This theorem is referenced by: (None)