MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrds2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrds2 14891
Description: Extract two adjacent symbols from a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
swrds2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 2)⟩) = ⟨“(𝑊𝐼)(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩)

Proof of Theorem swrds2
StepHypRef Expression
1 df-s2 14799 . . 3 ⟨“(𝑊𝐼)(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩ = (⟨“(𝑊𝐼)”⟩ ++ ⟨“(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩)
2 simp1 1137 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
3 simp2 1138 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℕ0)
4 elfzo0 13673 . . . . . . . 8 ((𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 1) < (♯‘𝑊)))
54simp2bi 1147 . . . . . . 7 ((𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
653ad2ant3 1136 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
73nn0red 12533 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℝ)
8 peano2nn0 12512 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
93, 8syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
109nn0red 12533 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
116nnred 12227 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
127lep1d 12145 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ≤ (𝐼 + 1))
13 elfzolt2 13641 . . . . . . . 8 ((𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 + 1) < (♯‘𝑊))
14133ad2ant3 1136 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) < (♯‘𝑊))
157, 10, 11, 12, 14lelttrd 11372 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 < (♯‘𝑊))
16 elfzo0 13673 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)))
173, 6, 15, 16syl3anbrc 1344 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
18 swrds1 14616 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)
192, 17, 18syl2anc 585 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)
20 nn0cn 12482 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℂ)
21203ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℂ)
22 df-2 12275 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
2322oveq2i 7420 . . . . . . . . 9 (𝐼 + 2) = (𝐼 + (1 + 1))
24 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
25 addass 11197 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 1) + 1) = (𝐼 + (1 + 1)))
2624, 24, 25mp3an23 1454 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 + 1) + 1) = (𝐼 + (1 + 1)))
2723, 26eqtr4id 2792 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℂ → (𝐼 + 2) = ((𝐼 + 1) + 1))
2821, 27syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 2) = ((𝐼 + 1) + 1))
2928opeq2d 4881 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩ = ⟨(𝐼 + 1), ((𝐼 + 1) + 1)⟩)
3029oveq2d 7425 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), ((𝐼 + 1) + 1)⟩))
31 swrds1 14616 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), ((𝐼 + 1) + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩)
32313adant2 1132 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), ((𝐼 + 1) + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩)
3330, 32eqtrd 2773 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩)
3419, 33oveq12d 7427 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩)) = (⟨“(𝑊𝐼)”⟩ ++ ⟨“(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩))
351, 34eqtr4id 2792 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ⟨“(𝑊𝐼)(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩ = ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩)))
36 elfz2nn0 13592 . . . 4 (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ0𝐼 ≤ (𝐼 + 1)))
373, 9, 12, 36syl3anbrc 1344 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)))
38 peano2nn0 12512 . . . . . 6 ((𝐼 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
399, 38syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
4028, 39eqeltrd 2834 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 2) ∈ ℕ0)
4110lep1d 12145 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ≤ ((𝐼 + 1) + 1))
4241, 28breqtrrd 5177 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ≤ (𝐼 + 2))
43 elfz2nn0 13592 . . . 4 ((𝐼 + 1) ∈ (0...(𝐼 + 2)) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 2) ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ≤ (𝐼 + 2)))
449, 40, 42, 43syl3anbrc 1344 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(𝐼 + 2)))
45 fzofzp1 13729 . . . . 5 ((𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐼 + 1) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
46453ad2ant3 1136 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 + 1) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
4728, 46eqeltrd 2834 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 2) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
48 ccatswrd 14618 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(𝐼 + 2)) ∧ (𝐼 + 2) ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩)) = (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 2)⟩))
492, 37, 44, 47, 48syl13anc 1373 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩)) = (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 2)⟩))
5035, 49eqtr2d 2774 1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 2)⟩) = ⟨“(𝑊𝐼)(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cop 4635   class class class wbr 5149  cfv 6544  (class class class)co 7409  cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248  cle 11249  cn 12212  2c2 12267  0cn0 12472  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627  chash 14290  Word cword 14464   ++ cconcat 14520  ⟨“cs1 14545   substr csubstr 14590  ⟨“cs2 14792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-substr 14591  df-s2 14799
This theorem is referenced by:  swrds2m  14892  swrd2lsw  14903  psgnunilem2  19363
  Copyright terms: Public domain W3C validator