MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrds2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrds2 14126
Description: Extract two adjacent symbols from a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
swrds2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 2)⟩) = ⟨“(𝑊𝐼)(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩)

Proof of Theorem swrds2
StepHypRef Expression
1 simp1 1127 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
2 simp2 1128 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℕ0)
3 elfzo0 12916 . . . . . . . 8 ((𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 1) < (♯‘𝑊)))
43simp2bi 1137 . . . . . . 7 ((𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
543ad2ant3 1126 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
62nn0red 11793 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℝ)
7 peano2nn0 11774 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
82, 7syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
98nn0red 11793 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
105nnred 11490 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
116lep1d 11408 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ≤ (𝐼 + 1))
12 elfzolt2 12886 . . . . . . . 8 ((𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 + 1) < (♯‘𝑊))
13123ad2ant3 1126 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) < (♯‘𝑊))
146, 9, 10, 11, 13lelttrd 10634 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 < (♯‘𝑊))
15 elfzo0 12916 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)))
162, 5, 14, 15syl3anbrc 1334 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
17 swrds1 13852 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)
181, 16, 17syl2anc 584 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)
19 nn0cn 11744 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℂ)
20193ad2ant2 1125 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℂ)
21 ax-1cn 10430 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
22 addass 10459 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 1) + 1) = (𝐼 + (1 + 1)))
2321, 21, 22mp3an23 1443 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 + 1) + 1) = (𝐼 + (1 + 1)))
24 df-2 11537 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
2524oveq2i 7018 . . . . . . . . 9 (𝐼 + 2) = (𝐼 + (1 + 1))
2623, 25syl6reqr 2848 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℂ → (𝐼 + 2) = ((𝐼 + 1) + 1))
2720, 26syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 2) = ((𝐼 + 1) + 1))
2827opeq2d 4711 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩ = ⟨(𝐼 + 1), ((𝐼 + 1) + 1)⟩)
2928oveq2d 7023 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), ((𝐼 + 1) + 1)⟩))
30 swrds1 13852 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), ((𝐼 + 1) + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩)
31303adant2 1122 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), ((𝐼 + 1) + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩)
3229, 31eqtrd 2829 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩)
3318, 32oveq12d 7025 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩)) = (⟨“(𝑊𝐼)”⟩ ++ ⟨“(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩))
34 df-s2 14034 . . 3 ⟨“(𝑊𝐼)(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩ = (⟨“(𝑊𝐼)”⟩ ++ ⟨“(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩)
3533, 34syl6reqr 2848 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ⟨“(𝑊𝐼)(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩ = ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩)))
36 elfz2nn0 12837 . . . 4 (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ0𝐼 ≤ (𝐼 + 1)))
372, 8, 11, 36syl3anbrc 1334 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)))
38 peano2nn0 11774 . . . . . 6 ((𝐼 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
398, 38syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
4027, 39eqeltrd 2881 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 2) ∈ ℕ0)
419lep1d 11408 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ≤ ((𝐼 + 1) + 1))
4241, 27breqtrrd 4984 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ≤ (𝐼 + 2))
43 elfz2nn0 12837 . . . 4 ((𝐼 + 1) ∈ (0...(𝐼 + 2)) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 2) ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ≤ (𝐼 + 2)))
448, 40, 42, 43syl3anbrc 1334 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(𝐼 + 2)))
45 fzofzp1 12972 . . . . 5 ((𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐼 + 1) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
46453ad2ant3 1126 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 + 1) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
4727, 46eqeltrd 2881 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 2) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
48 ccatswrd 13854 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(𝐼 + 2)) ∧ (𝐼 + 2) ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩)) = (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 2)⟩))
491, 37, 44, 47, 48syl13anc 1363 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩)) = (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 2)⟩))
5035, 49eqtr2d 2830 1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 2)⟩) = ⟨“(𝑊𝐼)(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1078   = wceq 1520  wcel 2079  cop 4472   class class class wbr 4956  cfv 6217  (class class class)co 7007  cc 10370  0cc0 10372  1c1 10373   + caddc 10375   < clt 10510  cle 10511  cn 11475  2c2 11529  0cn0 11734  ...cfz 12731  ..^cfzo 12872  chash 13528  Word cword 13695   ++ cconcat 13756  ⟨“cs1 13781   substr csubstr 13826  ⟨“cs2 14027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-oadd 7948  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-card 9203  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-2 11537  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-hash 13529  df-word 13696  df-concat 13757  df-s1 13782  df-substr 13827  df-s2 14034
This theorem is referenced by:  swrds2m  14127  swrd2lsw  14138  psgnunilem2  18342
  Copyright terms: Public domain W3C validator