Theorem swrds2 14950

Description: Extract two adjacent symbols from a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
swrds2	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘𝐼)(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩)

Proof of Theorem swrds2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s2 14858	. . 3 ⊢ ⟨“(𝑊‘𝐼)(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩ = (⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩ ++ ⟨“(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩)
2		simp1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
3		simp2 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℕ0)
4		elfzo0 13703	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 1) < (♯‘𝑊)))
5	4	simp2bi 1158	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
6	5	3ad2ant3 1147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
7	3	nn0red 12540	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℝ)
8		peano2nn0 12518	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
9	3, 8	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
10	9	nn0red 12540	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
11	6	nnred 12222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
12	7	lep1d 12120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ≤ (𝐼 + 1))
13		elfzolt2 13671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 + 1) < (♯‘𝑊))
14	13	3ad2ant3 1147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) < (♯‘𝑊))
15	7, 10, 11, 12, 14	lelttrd 11338	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 < (♯‘𝑊))
16		elfzo0 13703	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)))
17	3, 6, 15, 16	syl3anbrc 1356	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
18		swrds1 14677	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)
19	2, 17, 18	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)
20		nn0cn 12488	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℂ)
21	20	3ad2ant2 1146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℂ)
22		df-2 12277	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = (1 + 1)
23	22	oveq2i 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 + 2) = (𝐼 + (1 + 1))
24		ax-1cn 11128	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
25		addass 11157	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 1) + 1) = (𝐼 + (1 + 1)))
26	24, 24, 25	mp3an23 1473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 + 1) + 1) = (𝐼 + (1 + 1)))
27	23, 26	eqtr4id 2815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → (𝐼 + 2) = ((𝐼 + 1) + 1))
28	21, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 2) = ((𝐼 + 1) + 1))
29	28	opeq2d 4837	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩ = ⟨(𝐼 + 1), ((𝐼 + 1) + 1)⟩)
30	29	oveq2d 7408	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), ((𝐼 + 1) + 1)⟩))
31		swrds1 14677	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), ((𝐼 + 1) + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩)
32	31	3adant2 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), ((𝐼 + 1) + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩)
33	30, 32	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩)
34	19, 33	oveq12d 7410	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩)) = (⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩ ++ ⟨“(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩))
35	1, 34	eqtr4id 2815	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ⟨“(𝑊‘𝐼)(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩ = ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩)))
36		elfz2nn0 13620	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ≤ (𝐼 + 1)))
37	3, 9, 12, 36	syl3anbrc 1356	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)))
38		peano2nn0 12518	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
39	9, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
40	28, 39	eqeltrd 2861	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 2) ∈ ℕ0)
41	10	lep1d 12120	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ≤ ((𝐼 + 1) + 1))
42	41, 28	breqtrrd 5127	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ≤ (𝐼 + 2))
43		elfz2nn0 13620	. . . 4 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (0...(𝐼 + 2)) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 2) ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ≤ (𝐼 + 2)))
44	9, 40, 42, 43	syl3anbrc 1356	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(𝐼 + 2)))
45		fzofzp1 13767	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐼 + 1) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
46	45	3ad2ant3 1147	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 + 1) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
47	28, 46	eqeltrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 2) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
48		ccatswrd 14679	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(𝐼 + 2)) ∧ (𝐼 + 2) ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩)) = (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 2)⟩))
49	2, 37, 44, 47, 48	syl13anc 1390	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩)) = (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 2)⟩))
50	35, 49	eqtr2d 2797	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘𝐼)(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ⟨cop 4587   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   < clt 11213   ≤ cle 11214  ℕcn 12207  2c2 12269  ℕ₀cn0 12478  ...cfz 13509  ..^cfzo 13656  ♯chash 14340  Word cword 14523   ++ cconcat 14580  ⟨“cs1 14606   substr csubstr 14651  ⟨“cs2 14851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-hash 14341  df-word 14524  df-concat 14581  df-s1 14607  df-substr 14652  df-s2 14858

This theorem is referenced by:  swrds2m  14951  swrd2lsw  14962  psgnunilem2  19518