Theorem swrds2 14979

Description: Extract two adjacent symbols from a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
swrds2	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘𝐼)(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩)

Proof of Theorem swrds2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s2 14887	. . 3 ⊢ ⟨“(𝑊‘𝐼)(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩ = (⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩ ++ ⟨“(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩)
2		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
3		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℕ0)
4		elfzo0 13731	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 1) < (♯‘𝑊)))
5	4	simp2bi 1164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
6	5	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
7	3	nn0red 12567	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℝ)
8		peano2nn0 12545	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
9	3, 8	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
10	9	nn0red 12567	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
11	6	nnred 12249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
12	7	lep1d 12147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ≤ (𝐼 + 1))
13		elfzolt2 13699	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 + 1) < (♯‘𝑊))
14	13	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) < (♯‘𝑊))
15	7, 10, 11, 12, 14	lelttrd 11369	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 < (♯‘𝑊))
16		elfzo0 13731	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)))
17	3, 6, 15, 16	syl3anbrc 1362	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
18		swrds1 14706	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)
19	2, 17, 18	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)
20		nn0cn 12515	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℂ)
21	20	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℂ)
22		df-2 12304	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = (1 + 1)
23	22	oveq2i 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 + 2) = (𝐼 + (1 + 1))
24		ax-1cn 11159	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
25		addass 11188	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 1) + 1) = (𝐼 + (1 + 1)))
26	24, 24, 25	mp3an23 1482	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 + 1) + 1) = (𝐼 + (1 + 1)))
27	23, 26	eqtr4id 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → (𝐼 + 2) = ((𝐼 + 1) + 1))
28	21, 27	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 2) = ((𝐼 + 1) + 1))
29	28	opeq2d 4846	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩ = ⟨(𝐼 + 1), ((𝐼 + 1) + 1)⟩)
30	29	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), ((𝐼 + 1) + 1)⟩))
31		swrds1 14706	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), ((𝐼 + 1) + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩)
32	31	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), ((𝐼 + 1) + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩)
33	30, 32	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩)
34	19, 33	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩)) = (⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩ ++ ⟨“(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩))
35	1, 34	eqtr4id 2817	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ⟨“(𝑊‘𝐼)(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩ = ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩)))
36		elfz2nn0 13648	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ≤ (𝐼 + 1)))
37	3, 9, 12, 36	syl3anbrc 1362	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)))
38		peano2nn0 12545	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
39	9, 38	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
40	28, 39	eqeltrd 2863	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 2) ∈ ℕ0)
41	10	lep1d 12147	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ≤ ((𝐼 + 1) + 1))
42	41, 28	breqtrrd 5140	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ≤ (𝐼 + 2))
43		elfz2nn0 13648	. . . 4 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (0...(𝐼 + 2)) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 2) ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ≤ (𝐼 + 2)))
44	9, 40, 42, 43	syl3anbrc 1362	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(𝐼 + 2)))
45		fzofzp1 13795	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐼 + 1) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
46	45	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 + 1) + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
47	28, 46	eqeltrd 2863	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 2) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
48		ccatswrd 14708	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(𝐼 + 2)) ∧ (𝐼 + 2) ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩)) = (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 2)⟩))
49	2, 37, 44, 47, 48	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩)) = (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 2)⟩))
50	35, 49	eqtr2d 2799	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘𝐼)(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ⟨cop 4596   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   < clt 11244   ≤ cle 11245  ℕcn 12234  2c2 12296  ℕ₀cn0 12505  ...cfz 13536  ..^cfzo 13684  ♯chash 14368  Word cword 14552   ++ cconcat 14609  ⟨“cs1 14635   substr csubstr 14680  ⟨“cs2 14880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-hash 14369  df-word 14553  df-concat 14610  df-s1 14636  df-substr 14681  df-s2 14887

This theorem is referenced by:  swrds2m  14980  swrd2lsw  14991  psgnunilem2  19566