Theorem s3eqs2s1eq 13892

Description: Two length 3 words are equal iff the corresponding length 2 words and singleton words consisting of their symbols are equal. (Contributed by AV, 4-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
s3eqs2s1eq	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐷𝐸”⟩ ∧ ⟨“𝐶”⟩ = ⟨“𝐹”⟩)))

Proof of Theorem s3eqs2s1eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s3 13803	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩))
3		df-s3 13803	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ = (⟨“𝐷𝐸”⟩ ++ ⟨“𝐹”⟩)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ = (⟨“𝐷𝐸”⟩ ++ ⟨“𝐹”⟩))
5	2, 4	eqeq12d 2786	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩) = (⟨“𝐷𝐸”⟩ ++ ⟨“𝐹”⟩)))
6		s2cl 13832	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
7		s1cl 13582	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉)
8	6, 7	anim12i 600	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉))
9	8	3impa 1100	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉))
10	9	adantr 466	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉))
11		s2cl 13832	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ⟨“𝐷𝐸”⟩ ∈ Word 𝑉)
12		s1cl 13582	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ⟨“𝐹”⟩ ∈ Word 𝑉)
13	11, 12	anim12i 600	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐷𝐸”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐹”⟩ ∈ Word 𝑉))
14	13	3impa 1100	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐷𝐸”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐹”⟩ ∈ Word 𝑉))
15	14	adantl 467	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐷𝐸”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐹”⟩ ∈ Word 𝑉))
16		s2len 13843	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
17		s2len 13843	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐷𝐸”⟩) = 2
18	16, 17	eqtr4i 2796	. . . 4 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = (♯‘⟨“𝐷𝐸”⟩)
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = (♯‘⟨“𝐷𝐸”⟩))
20		ccatopth 13679	. . 3 ⊢ (((⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉) ∧ (⟨“𝐷𝐸”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐹”⟩ ∈ Word 𝑉) ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = (♯‘⟨“𝐷𝐸”⟩)) → ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩) = (⟨“𝐷𝐸”⟩ ++ ⟨“𝐹”⟩) ↔ (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐷𝐸”⟩ ∧ ⟨“𝐶”⟩ = ⟨“𝐹”⟩)))
21	10, 15, 19, 20	syl3anc 1476	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩) = (⟨“𝐷𝐸”⟩ ++ ⟨“𝐹”⟩) ↔ (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐷𝐸”⟩ ∧ ⟨“𝐶”⟩ = ⟨“𝐹”⟩)))
22	5, 21	bitrd 268	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐷𝐸”⟩ ∧ ⟨“𝐶”⟩ = ⟨“𝐹”⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  2c2 11272  ♯chash 13321  Word cword 13487   ++ cconcat 13489  ⟨“cs1 13490  ⟨“cs2 13795  ⟨“cs3 13796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497  df-s1 13498  df-substr 13499  df-s2 13802  df-s3 13803

This theorem is referenced by:  s3eq3seq  13893