Theorem s3eqs2s1eq 14921

Description: Two length 3 words are equal iff the corresponding length 2 words and singleton words consisting of their symbols are equal. (Contributed by AV, 4-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
s3eqs2s1eq	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐷𝐸”⟩ ∧ ⟨“𝐶”⟩ = ⟨“𝐹”⟩)))

Proof of Theorem s3eqs2s1eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s3 14832	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩))
3		df-s3 14832	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ = (⟨“𝐷𝐸”⟩ ++ ⟨“𝐹”⟩)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ = (⟨“𝐷𝐸”⟩ ++ ⟨“𝐹”⟩))
5	2, 4	eqeq12d 2741	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩) = (⟨“𝐷𝐸”⟩ ++ ⟨“𝐹”⟩)))
6		s2cl 14861	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
7		s1cl 14584	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉)
8	6, 7	anim12i 611	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉))
9	8	3impa 1107	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉))
10	9	adantr 479	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉))
11		s2cl 14861	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ⟨“𝐷𝐸”⟩ ∈ Word 𝑉)
12		s1cl 14584	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ⟨“𝐹”⟩ ∈ Word 𝑉)
13	11, 12	anim12i 611	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐷𝐸”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐹”⟩ ∈ Word 𝑉))
14	13	3impa 1107	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐷𝐸”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐹”⟩ ∈ Word 𝑉))
15	14	adantl 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐷𝐸”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐹”⟩ ∈ Word 𝑉))
16		s2len 14872	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
17		s2len 14872	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐷𝐸”⟩) = 2
18	16, 17	eqtr4i 2756	. . . 4 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = (♯‘⟨“𝐷𝐸”⟩)
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = (♯‘⟨“𝐷𝐸”⟩))
20		ccatopth 14698	. . 3 ⊢ (((⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉) ∧ (⟨“𝐷𝐸”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐹”⟩ ∈ Word 𝑉) ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = (♯‘⟨“𝐷𝐸”⟩)) → ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩) = (⟨“𝐷𝐸”⟩ ++ ⟨“𝐹”⟩) ↔ (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐷𝐸”⟩ ∧ ⟨“𝐶”⟩ = ⟨“𝐹”⟩)))
21	10, 15, 19, 20	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩) = (⟨“𝐷𝐸”⟩ ++ ⟨“𝐹”⟩) ↔ (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐷𝐸”⟩ ∧ ⟨“𝐶”⟩ = ⟨“𝐹”⟩)))
22	5, 21	bitrd 278	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐷𝐸”⟩ ∧ ⟨“𝐶”⟩ = ⟨“𝐹”⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  2c2 12297  ♯chash 14321  Word cword 14496   ++ cconcat 14552  ⟨“cs1 14577  ⟨“cs2 14824  ⟨“cs3 14825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-word 14497  df-concat 14553  df-s1 14578  df-substr 14623  df-pfx 14653  df-s2 14831  df-s3 14832

This theorem is referenced by:  s3eq3seq  14922