Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s3eqs2s1eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s3eqs2s1eq 14300
 Description: Two length 3 words are equal iff the corresponding length 2 words and singleton words consisting of their symbols are equal. (Contributed by AV, 4-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
s3eqs2s1eq (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐷𝑉𝐸𝑉𝐹𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐷𝐸”⟩ ∧ ⟨“𝐶”⟩ = ⟨“𝐹”⟩)))

Proof of Theorem s3eqs2s1eq
StepHypRef Expression
1 df-s3 14211 . . . 4 ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩)
21a1i 11 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐷𝑉𝐸𝑉𝐹𝑉)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩))
3 df-s3 14211 . . . 4 ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ = (⟨“𝐷𝐸”⟩ ++ ⟨“𝐹”⟩)
43a1i 11 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐷𝑉𝐸𝑉𝐹𝑉)) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ = (⟨“𝐷𝐸”⟩ ++ ⟨“𝐹”⟩))
52, 4eqeq12d 2840 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐷𝑉𝐸𝑉𝐹𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩) = (⟨“𝐷𝐸”⟩ ++ ⟨“𝐹”⟩)))
6 s2cl 14240 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
7 s1cl 13956 . . . . . 6 (𝐶𝑉 → ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉)
86, 7anim12i 615 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐶𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉))
983impa 1107 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉))
109adantr 484 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐷𝑉𝐸𝑉𝐹𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉))
11 s2cl 14240 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝐸𝑉) → ⟨“𝐷𝐸”⟩ ∈ Word 𝑉)
12 s1cl 13956 . . . . . 6 (𝐹𝑉 → ⟨“𝐹”⟩ ∈ Word 𝑉)
1311, 12anim12i 615 . . . . 5 (((𝐷𝑉𝐸𝑉) ∧ 𝐹𝑉) → (⟨“𝐷𝐸”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐹”⟩ ∈ Word 𝑉))
14133impa 1107 . . . 4 ((𝐷𝑉𝐸𝑉𝐹𝑉) → (⟨“𝐷𝐸”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐹”⟩ ∈ Word 𝑉))
1514adantl 485 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐷𝑉𝐸𝑉𝐹𝑉)) → (⟨“𝐷𝐸”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐹”⟩ ∈ Word 𝑉))
16 s2len 14251 . . . . 5 (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
17 s2len 14251 . . . . 5 (♯‘⟨“𝐷𝐸”⟩) = 2
1816, 17eqtr4i 2850 . . . 4 (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = (♯‘⟨“𝐷𝐸”⟩)
1918a1i 11 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐷𝑉𝐸𝑉𝐹𝑉)) → (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = (♯‘⟨“𝐷𝐸”⟩))
20 ccatopth 14078 . . 3 (((⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉) ∧ (⟨“𝐷𝐸”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐹”⟩ ∈ Word 𝑉) ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = (♯‘⟨“𝐷𝐸”⟩)) → ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩) = (⟨“𝐷𝐸”⟩ ++ ⟨“𝐹”⟩) ↔ (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐷𝐸”⟩ ∧ ⟨“𝐶”⟩ = ⟨“𝐹”⟩)))
2110, 15, 19, 20syl3anc 1368 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐷𝑉𝐸𝑉𝐹𝑉)) → ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩) = (⟨“𝐷𝐸”⟩ ++ ⟨“𝐹”⟩) ↔ (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐷𝐸”⟩ ∧ ⟨“𝐶”⟩ = ⟨“𝐹”⟩)))
225, 21bitrd 282 1 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐷𝑉𝐸𝑉𝐹𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐷𝐸”⟩ ∧ ⟨“𝐶”⟩ = ⟨“𝐹”⟩)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  2c2 11689  ♯chash 13695  Word cword 13866   ++ cconcat 13922  ⟨“cs1 13949  ⟨“cs2 14203  ⟨“cs3 14204 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-hash 13696  df-word 13867  df-concat 13923  df-s1 13950  df-substr 14003  df-pfx 14033  df-s2 14210  df-s3 14211 This theorem is referenced by:  s3eq3seq  14301
 Copyright terms: Public domain W3C validator