Theorem s3eqs2s1eq 14930

Description: Two length 3 words are equal iff the corresponding length 2 words and singleton words consisting of their symbols are equal. (Contributed by AV, 4-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
s3eqs2s1eq	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐷𝐸”⟩ ∧ ⟨“𝐶”⟩ = ⟨“𝐹”⟩)))

Proof of Theorem s3eqs2s1eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s3 14841	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩))
3		df-s3 14841	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ = (⟨“𝐷𝐸”⟩ ++ ⟨“𝐹”⟩)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ = (⟨“𝐷𝐸”⟩ ++ ⟨“𝐹”⟩))
5	2, 4	eqeq12d 2741	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩) = (⟨“𝐷𝐸”⟩ ++ ⟨“𝐹”⟩)))
6		s2cl 14870	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
7		s1cl 14593	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉)
8	6, 7	anim12i 611	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉))
9	8	3impa 1107	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉))
10	9	adantr 479	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉))
11		s2cl 14870	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ⟨“𝐷𝐸”⟩ ∈ Word 𝑉)
12		s1cl 14593	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ⟨“𝐹”⟩ ∈ Word 𝑉)
13	11, 12	anim12i 611	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐷𝐸”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐹”⟩ ∈ Word 𝑉))
14	13	3impa 1107	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐷𝐸”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐹”⟩ ∈ Word 𝑉))
15	14	adantl 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐷𝐸”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐹”⟩ ∈ Word 𝑉))
16		s2len 14881	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
17		s2len 14881	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐷𝐸”⟩) = 2
18	16, 17	eqtr4i 2756	. . . 4 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = (♯‘⟨“𝐷𝐸”⟩)
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = (♯‘⟨“𝐷𝐸”⟩))
20		ccatopth 14707	. . 3 ⊢ (((⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉) ∧ (⟨“𝐷𝐸”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐹”⟩ ∈ Word 𝑉) ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = (♯‘⟨“𝐷𝐸”⟩)) → ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩) = (⟨“𝐷𝐸”⟩ ++ ⟨“𝐹”⟩) ↔ (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐷𝐸”⟩ ∧ ⟨“𝐶”⟩ = ⟨“𝐹”⟩)))
21	10, 15, 19, 20	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩) = (⟨“𝐷𝐸”⟩ ++ ⟨“𝐹”⟩) ↔ (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐷𝐸”⟩ ∧ ⟨“𝐶”⟩ = ⟨“𝐹”⟩)))
22	5, 21	bitrd 278	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐷𝐸”⟩ ∧ ⟨“𝐶”⟩ = ⟨“𝐹”⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  2c2 12305  ♯chash 14330  Word cword 14505   ++ cconcat 14561  ⟨“cs1 14586  ⟨“cs2 14833  ⟨“cs3 14834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9969  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-hash 14331  df-word 14506  df-concat 14562  df-s1 14587  df-substr 14632  df-pfx 14662  df-s2 14840  df-s3 14841

This theorem is referenced by:  s3eq3seq  14931