Theorem s3eqs2s1eq 14982

Description: Two length 3 words are equal iff the corresponding length 2 words and singleton words consisting of their symbols are equal. (Contributed by AV, 4-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
s3eqs2s1eq	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐷𝐸”⟩ ∧ ⟨“𝐶”⟩ = ⟨“𝐹”⟩)))

Proof of Theorem s3eqs2s1eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s3 14893	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩))
3		df-s3 14893	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ = (⟨“𝐷𝐸”⟩ ++ ⟨“𝐹”⟩)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ = (⟨“𝐷𝐸”⟩ ++ ⟨“𝐹”⟩))
5	2, 4	eqeq12d 2778	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩) = (⟨“𝐷𝐸”⟩ ++ ⟨“𝐹”⟩)))
6		s2cl 14922	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
7		s1cl 14647	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉)
8	6, 7	anim12i 624	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉))
9	8	3impa 1126	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉))
10	9	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉))
11		s2cl 14922	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ⟨“𝐷𝐸”⟩ ∈ Word 𝑉)
12		s1cl 14647	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ⟨“𝐹”⟩ ∈ Word 𝑉)
13	11, 12	anim12i 624	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐷𝐸”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐹”⟩ ∈ Word 𝑉))
14	13	3impa 1126	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐷𝐸”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐹”⟩ ∈ Word 𝑉))
15	14	adantl 486	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐷𝐸”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐹”⟩ ∈ Word 𝑉))
16		s2len 14933	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
17		s2len 14933	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐷𝐸”⟩) = 2
18	16, 17	eqtr4i 2788	. . . 4 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = (♯‘⟨“𝐷𝐸”⟩)
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = (♯‘⟨“𝐷𝐸”⟩))
20		ccatopth 14760	. . 3 ⊢ (((⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉) ∧ (⟨“𝐷𝐸”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐹”⟩ ∈ Word 𝑉) ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = (♯‘⟨“𝐷𝐸”⟩)) → ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩) = (⟨“𝐷𝐸”⟩ ++ ⟨“𝐹”⟩) ↔ (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐷𝐸”⟩ ∧ ⟨“𝐶”⟩ = ⟨“𝐹”⟩)))
21	10, 15, 19, 20	syl3anc 1397	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩) = (⟨“𝐷𝐸”⟩ ++ ⟨“𝐹”⟩) ↔ (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐷𝐸”⟩ ∧ ⟨“𝐶”⟩ = ⟨“𝐹”⟩)))
22	5, 21	bitrd 282	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐷𝐸”⟩ ∧ ⟨“𝐶”⟩ = ⟨“𝐹”⟩)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  2c2 12301  ♯chash 14373  Word cword 14557   ++ cconcat 14614  ⟨“cs1 14640  ⟨“cs2 14885  ⟨“cs3 14886

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-hash 14374  df-word 14558  df-concat 14615  df-s1 14641  df-substr 14686  df-pfx 14716  df-s2 14892  df-s3 14893

This theorem is used by:  s3eq3seq  14983