Theorem seqf2 14056

Description: Range of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqcl2.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝐶)
seqcl2.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)
seqf2.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
seqf2.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
seqf2.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
seqf2	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem seqf2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqf2.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		seqfn 14048	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀))
4		seqcl2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝐶)
5	4	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝐶)
6		seqcl2.2	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)
7	6	adantlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)
8		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9		elfzuz 13547	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑘) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
10		seqf2.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)
11	9, 10	sylan2 604	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑘)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)
12	11	adantlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑘)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)
13	5, 7, 8, 12	seqcl2 14055	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝐶)
14	13	ralrimiva 3163	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝐶)
15		ffnfv 7115	. . 3 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝐶 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝐶))
16	3, 14, 15	sylanbrc 594	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝐶)
17		seqf2.3	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
18	17	feq2i 6698	. 2 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝐶)
19	16, 18	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1c1 11100   + caddc 11102  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861  ...cfz 13534  seqcseq 14036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-seq 14037

This theorem is referenced by:  seqf  14058  ruclem6  16290  sadcf  16510  smupf  16535  sseqfv2  34728