Theorem seqf2 13239

Description: Range of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqcl2.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝐶)
seqcl2.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)
seqf2.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
seqf2.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
seqf2.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
seqf2	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem seqf2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqf2.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		seqfn 13231	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀))
4		seqcl2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝐶)
5	4	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝐶)
6		seqcl2.2	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)
7	6	adantlr 711	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)
8		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9		elfzuz 12754	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑘) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
10		seqf2.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)
11	9, 10	sylan2 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑘)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)
12	11	adantlr 711	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑘)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)
13	5, 7, 8, 12	seqcl2 13238	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝐶)
14	13	ralrimiva 3149	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝐶)
15		ffnfv 6745	. . 3 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝐶 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝐶))
16	3, 14, 15	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝐶)
17		seqf2.3	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
18	17	feq2i 6374	. 2 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝐶)
19	16, 18	sylibr 235	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ∀wral 3105   Fn wfn 6220  ⟶wf 6221  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  1c1 10384   + caddc 10386  ℤcz 11829  ℤ_≥cuz 12093  ...cfz 12742  seqcseq 13219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-seq 13220

This theorem is referenced by:  seqf  13241  ruclem6  15421  sadcf  15635  smupf  15660  sseqfv2  31269