Theorem seqf2 14177

Description: Range of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqcl2.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝐶)
seqcl2.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)
seqf2.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
seqf2.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
seqf2.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
seqf2	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑍(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem seqf2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqf2.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		seqfn 14169	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀))
4		seqcl2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝐶)
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝐶)
6		seqcl2.2	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)
7	6	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)
8		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9		elfzuz 13665	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑘) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
10		seqf2.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)
11	9, 10	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑘)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)
12	11	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑘)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)
13	5, 7, 8, 12	seqcl2 14176	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝐶)
14	13	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝐶)
15		ffnfv 7130	. . 3 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝐶 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝐶))
16	3, 14, 15	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝐶)
17		seqf2.3	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
18	17	feq2i 6712	. 2 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝐶)
19	16, 18	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3080   Fn wfn 6542  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  1c1 11214   + caddc 11216  ℤcz 12706  ℤ_≥cuz 12978  ...cfz 13652  seqcseq 14157

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-seq 14158

This theorem is used by:  seqf  14179  ruclem6  16418  sadcf  16638  smupf  16663  sseqfv2  35082