MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqf2 13936
Description: Range of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcl2.1 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ 𝐶)
seqcl2.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐷)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)
seqf2.3 𝑍 = (ℤ𝑀)
seqf2.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
seqf2.5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
seqf2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem seqf2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqf2.4 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 seqfn 13927 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀))
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀))
4 seqcl2.1 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ 𝐶)
54adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑀) ∈ 𝐶)
6 seqcl2.2 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐷)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)
76adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐷)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)
8 simpr 486 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
9 elfzuz 13446 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑘) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
10 seqf2.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐷)
119, 10sylan2 594 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑘)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐷)
1211adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑘)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐷)
135, 7, 8, 12seqcl2 13935 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝐶)
1413ralrimiva 3140 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝐶)
15 ffnfv 7070 . . 3 (seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶𝐶 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝐶))
163, 14, 15sylanbrc 584 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶𝐶)
17 seqf2.3 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
1817feq2i 6664 . 2 (seq𝑀( + , 𝐹):𝑍𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶𝐶)
1916, 18sylibr 233 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061   Fn wfn 6495  wf 6496  cfv 6500  (class class class)co 7361  1c1 11060   + caddc 11062  cz 12507  cuz 12771  ...cfz 13433  seqcseq 13915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-seq 13916
This theorem is referenced by:  seqf  13938  ruclem6  16125  sadcf  16341  smupf  16366  sseqfv2  33058
  Copyright terms: Public domain W3C validator