Theorem seqf 13029

Description: Range of the recursive sequence builder (special case of seqf2 13027). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqf.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
seqf.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
seqf.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
seqf.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
seqf	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem seqf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6332	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑀))
2	1	eleq1d 2835	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆))
3		seqf.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
4	3	ralrimiva 3115	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
5		seqf.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		uzid 11903	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		seqf.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
9	7, 8	syl6eleqr 2861	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
10	2, 4, 9	rspcdva 3466	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆)
11		seqf.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
12		peano2uzr 11945	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13	5, 12	sylan 569	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
14	13, 8	syl6eleqr 2861	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑥 ∈ 𝑍)
15	14, 3	syldan 579	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
16	10, 11, 8, 5, 15	seqf2 13027	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  1c1 10139   + caddc 10141  ℤcz 11579  ℤ_≥cuz 11888  seqcseq 13008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-seq 13009

This theorem is referenced by:  serf  13036  serfre  13037  bcval5  13309  prodf  14826  iprodrecl  14939  algrf  15494  pcmptcl  15802  ovolsf  23460  dvnff  23906  elqaalem2  24295  elqaalem3  24296  regamcl  25008  opsqrlem4  29342  sseqf  30794  fsumsermpt  40329  sge0isum  41161  sge0seq  41180