Theorem lsmub1 19880

Description: Subgroup sum is an upper bound of its arguments. (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsmub1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmub1	⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))

Proof of Theorem lsmub1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 19346	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
3		subgsubm 19368	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺))
4		lsmub1.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
5	1, 4	lsmub1x 19869	. 2 ⊢ ((𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
6	2, 3, 5	syl2an 608	1 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Basecbs 17396  SubMndcsubmnd 18986  SubGrpcsubg 19339  LSSumclsm 19857

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-0g 17621  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-subg 19342  df-lsm 19859

This theorem is used by:  lsmunss  19882  lsmlub  19887  lsmss1b  19889  lsmss2  19890  lssnle  19897  lsmdisj  19904  lsmdisj2  19905  pj1lid  19924  dmdprdsplit2lem  20270  dprdsplit  20273  pgpfac1lem1  20299  pgpfac1lem3  20302  lspprabs  21379  lspindpi  21419  ssdifidlprm  21651  lshpnelb  40178  lcvexchlem1  40228  lsatexch  40237  lsatcvatlem  40243  dia2dimlem9  42266  dihord2a  42413  dihord6apre  42450  dihord5apre  42456  dochexmidlem6  42659  dochexmidlem7  42660  mapdlsm  42858