Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmidm 18429
 Description: Subgroup sum is idempotent. (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lsmub1.p = (LSSum‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lsmidm (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑈 𝑈) = 𝑈)

Proof of Theorem lsmidm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2826 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 eqid 2826 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 lsmub1.p . . . . 5 = (LSSum‘𝐺)
41, 2, 3lsmval 18415 . . . 4 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑈 𝑈) = ran (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)))
54anidms 564 . . 3 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑈 𝑈) = ran (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)))
62subgcl 17956 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑈𝑦𝑈) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑈)
763expb 1155 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑈)
87ralrimivva 3181 . . . . 5 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑈)
9 eqid 2826 . . . . . 6 (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) = (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦))
109fmpt2 7501 . . . . 5 (∀𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)):(𝑈 × 𝑈)⟶𝑈)
118, 10sylib 210 . . . 4 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)):(𝑈 × 𝑈)⟶𝑈)
1211frnd 6286 . . 3 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ran (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) ⊆ 𝑈)
135, 12eqsstrd 3865 . 2 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑈 𝑈) ⊆ 𝑈)
143lsmub1 18423 . . 3 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑈 ⊆ (𝑈 𝑈))
1514anidms 564 . 2 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (𝑈 𝑈))
1613, 15eqssd 3845 1 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑈 𝑈) = 𝑈)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∀wral 3118   ⊆ wss 3799   × cxp 5341  ran crn 5344  ⟶wf 6120  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906   ↦ cmpt2 6908  Basecbs 16223  +gcplusg 16306  SubGrpcsubg 17940  LSSumclsm 18401 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-0g 16456  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-submnd 17690  df-grp 17780  df-minusg 17781  df-subg 17943  df-lsm 18403 This theorem is referenced by:  lsmlub  18430  lspabs2  19480  lspabs3  19481  lsatcv0eq  35123  lsatcv1  35124  lsatcvat3  35128  dia2dimlem13  37152  dihjatcclem1  37494  dvh3dimatN  37515  dvh2dimatN  37516  mapdindp0  37795  mapdh6dN  37815  hdmap1l6d  37889
 Copyright terms: Public domain W3C validator