MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  spthdifv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spthdifv 27528
Description: The vertices of a simple path are distinct, so the vertex function is one-to-one. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.) (Revised by AV, 5-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
spthdifv (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺))

Proof of Theorem spthdifv
StepHypRef Expression
1 isspth 27519 . 2 (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃))
2 trliswlk 27493 . . . 4 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
3 eqid 2824 . . . . 5 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
43wlkp 27412 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
5 df-f1 6349 . . . . 5 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ↔ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun 𝑃))
65simplbi2 504 . . . 4 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (Fun 𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺)))
72, 4, 63syl 18 . . 3 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (Fun 𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺)))
87imp 410 . 2 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺))
91, 8sylbi 220 1 (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   class class class wbr 5053  ccnv 5542  Fun wfun 6338  wf 6340  1-1wf1 6341  cfv 6344  (class class class)co 7150  0cc0 10536  ...cfz 12897  chash 13698  Vtxcvtx 26795  Walkscwlks 27392  Trailsctrls 27486  SPathscspths 27508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-er 8286  df-map 8405  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-card 9366  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-n0 11898  df-z 11982  df-uz 12244  df-fz 12898  df-fzo 13041  df-hash 13699  df-word 13870  df-wlks 27395  df-trls 27488  df-spths 27512
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator