Theorem wlkp 29685

Description: The mapping enumerating the vertices of a walk is a function. (Contributed by AV, 5-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
wlkp.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wlkp	⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)

Proof of Theorem wlkp

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkp.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	wlkprop 29680	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
4	3	simp2d 1144	1 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)

Syntax hints:   → wi 4  if-wif 1063   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3890  {csn 4568  {cpr 4570   class class class wbr 5086  dom cdm 5631  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  ...cfz 13461  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292  Word cword 14475  Vtxcvtx 29065  iEdgciedg 29066  Walkscwlks 29665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-wlks 29668

This theorem is referenced by:  wlkpwrd  29686  wlklenvp1  29687  wlkn0  29689  wlkv0  29718  wlkpvtx  29726  wlkepvtx  29727  wlkres  29737  wlkp1lem1  29740  wlkp1lem4  29743  wlkp1  29748  lfgriswlk  29755  pthdivtx  29795  dfpth2  29797  pthdifv  29798  spthdifv  29801  spthdep  29802  pthdepisspth  29803  spthonepeq  29820  uhgrwkspthlem2  29822  cyclnumvtx  29868  crctcshlem4  29888  crctcshwlkn0  29889  wpthswwlks2on  30032  upgr3v3e3cycl  30250  upgr4cycl4dv4e  30255  eupthpf  30283  eupth2lems  30308  eucrct2eupth  30315  pfxwlk  35306  pthhashvtx  35310  spthcycl  35311  upgrimwlklem5  48371  upgrimwlk  48372  upgrimpthslem2  48378  upgrimpths  48379  upgrimcycls  48381  cycl3grtri  48417