MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  spthdep Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spthdep 29671
Description: A simple path (at least of length 1) has different start and end points (in an undirected graph). (Contributed by AV, 31-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
spthdep ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))

Proof of Theorem spthdep
StepHypRef Expression
1 isspth 29661 . . 3 (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃))
2 trliswlk 29634 . . . . . . . . 9 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
3 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
43wlkp 29553 . . . . . . . . 9 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
52, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
65anim1i 613 . . . . . . 7 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun 𝑃))
7 df-f1 6559 . . . . . . 7 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ↔ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun 𝑃))
86, 7sylibr 233 . . . . . 6 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺))
9 wlkcl 29552 . . . . . . . 8 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
10 nn0fz0 13653 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
1110biimpi 215 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
12 0elfz 13652 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
1311, 12jca 510 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹))))
142, 9, 133syl 18 . . . . . . 7 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹))))
1514adantr 479 . . . . . 6 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹))))
168, 15jca 510 . . . . 5 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))))
17 eqcom 2733 . . . . . 6 ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0))
18 f1veqaeq 7272 . . . . . 6 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))) → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) → (♯‘𝐹) = 0))
1917, 18biimtrid 241 . . . . 5 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) = 0))
2016, 19syl 17 . . . 4 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) = 0))
2120necon3d 2951 . . 3 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → ((♯‘𝐹) ≠ 0 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
221, 21sylbi 216 . 2 (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) ≠ 0 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
2322imp 405 1 ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930   class class class wbr 5153  ccnv 5681  Fun wfun 6548  wf 6550  1-1wf1 6551  cfv 6554  (class class class)co 7424  0cc0 11158  0cn0 12524  ...cfz 13538  chash 14347  Vtxcvtx 28932  Walkscwlks 29533  Trailsctrls 29627  SPathscspths 29650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-hash 14348  df-word 14523  df-wlks 29536  df-trls 29629  df-spths 29654
This theorem is referenced by:  cyclnspth  29737
  Copyright terms: Public domain W3C validator