Theorem spthdep 29733

Description: A simple path (at least of length 1) has different start and end points (in an undirected graph). (Contributed by AV, 31-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
spthdep	⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))

Proof of Theorem spthdep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isspth 29721	. . 3 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
2		trliswlk 29695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
3		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4	3	wlkp 29616	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
5	2, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
6	5	anim1i 615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun ◡𝑃))
7		df-f1 6494	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ↔ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun ◡𝑃))
8	6, 7	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺))
9		wlkcl 29615	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
10		nn0fz0 13532	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
11	10	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
12		0elfz 13531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
13	11, 12	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹))))
14	2, 9, 13	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹))))
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹))))
16	8, 15	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))))
17		eqcom 2740	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0))
18		f1veqaeq 7199	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))) → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) → (♯‘𝐹) = 0))
19	17, 18	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) = 0))
20	16, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) = 0))
21	20	necon3d 2950	. . 3 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → ((♯‘𝐹) ≠ 0 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
22	1, 21	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) ≠ 0 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
23	22	imp 406	1 ⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   class class class wbr 5095  ^◡ccnv 5620  Fun wfun 6483  ⟶wf 6485  –1-1→wf1 6486  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  0cc0 11017  ℕ₀cn0 12392  ...cfz 13414  ♯chash 14244  Vtxcvtx 28995  Walkscwlks 29596  Trailsctrls 29688  SPathscspths 29710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-hash 14245  df-word 14428  df-wlks 29599  df-trls 29690  df-spths 29714

This theorem is referenced by:  cyclnspth  29800