Theorem spthdep 29637

Description: A simple path (at least of length 1) has different start and end points (in an undirected graph). (Contributed by AV, 31-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
spthdep	⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))

Proof of Theorem spthdep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isspth 29625	. . 3 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
2		trliswlk 29599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
3		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4	3	wlkp 29520	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
5	2, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
6	5	anim1i 615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun ◡𝑃))
7		df-f1 6504	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ↔ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun ◡𝑃))
8	6, 7	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺))
9		wlkcl 29519	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
10		nn0fz0 13562	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
11	10	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
12		0elfz 13561	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
13	11, 12	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹))))
14	2, 9, 13	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹))))
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹))))
16	8, 15	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))))
17		eqcom 2736	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0))
18		f1veqaeq 7213	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))) → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) → (♯‘𝐹) = 0))
19	17, 18	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) = 0))
20	16, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) = 0))
21	20	necon3d 2946	. . 3 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → ((♯‘𝐹) ≠ 0 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
22	1, 21	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) ≠ 0 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
23	22	imp 406	1 ⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5630  Fun wfun 6493  ⟶wf 6495  –1-1→wf1 6496  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044  ℕ₀cn0 12418  ...cfz 13444  ♯chash 14271  Vtxcvtx 28899  Walkscwlks 29500  Trailsctrls 29592  SPathscspths 29614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-hash 14272  df-word 14455  df-wlks 29503  df-trls 29594  df-spths 29618

This theorem is referenced by:  cyclnspth  29704