MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgdisjb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgdisjb 18822
Description: Vectors belonging to disjoint commuting subgroups are uniquely determined by their sum. Analogous to opth 5371, this theorem shows a way of representing a pair of vectors. (Contributed by NM, 5-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
subgdisj.p + = (+g𝐺)
subgdisj.o 0 = (0g𝐺)
subgdisj.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
subgdisj.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.i (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
subgdisj.s (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
subgdisj.a (𝜑𝐴𝑇)
subgdisj.c (𝜑𝐶𝑇)
subgdisj.b (𝜑𝐵𝑈)
subgdisj.d (𝜑𝐷𝑈)
Assertion
Ref Expression
subgdisjb (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))

Proof of Theorem subgdisjb
StepHypRef Expression
1 subgdisj.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
2 subgdisj.o . . . . 5 0 = (0g𝐺)
3 subgdisj.z . . . . 5 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4 subgdisj.t . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
54adantr 483 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 subgdisj.u . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
76adantr 483 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8 subgdisj.i . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
98adantr 483 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → (𝑇𝑈) = { 0 })
10 subgdisj.s . . . . . 6 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
1110adantr 483 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
12 subgdisj.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑇)
1312adantr 483 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝐴𝑇)
14 subgdisj.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑇)
1514adantr 483 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝐶𝑇)
16 subgdisj.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑈)
1716adantr 483 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝐵𝑈)
18 subgdisj.d . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑈)
1918adantr 483 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝐷𝑈)
20 simpr 487 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
211, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 20subgdisj1 18820 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝐴 = 𝐶)
221, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 20subgdisj2 18821 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝐵 = 𝐷)
2321, 22jca 514 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))
2423ex 415 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))
25 oveq12 7168 . 2 ((𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
2624, 25impbid1 227 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1536  wcel 2113  cin 3938  wss 3939  {csn 4570  cfv 6358  (class class class)co 7159  +gcplusg 16568  0gc0g 16716  SubGrpcsubg 18276  Cntzccntz 18448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-0g 16718  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-subg 18279  df-cntz 18450
This theorem is referenced by:  pj1eu  18825  pj1eq  18829  lvecindp2  19914
  Copyright terms: Public domain W3C validator