Theorem subgdisjb 19297

Description: Vectors belonging to disjoint commuting subgroups are uniquely determined by their sum. Analogous to opth 5395, this theorem shows a way of representing a pair of vectors. (Contributed by NM, 5-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
subgdisj.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
subgdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
subgdisj.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
subgdisj.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.i	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
subgdisj.s	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
subgdisj.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑇)
subgdisj.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
subgdisj.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
subgdisj.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
subgdisjb	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))

Proof of Theorem subgdisjb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgdisj.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
2		subgdisj.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		subgdisj.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4		subgdisj.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5	4	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6		subgdisj.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8		subgdisj.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
9	8	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
10		subgdisj.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
11	10	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
12		subgdisj.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑇)
13	12	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑇)
14		subgdisj.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
15	14	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑇)
16		subgdisj.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
17	16	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝑈)
18		subgdisj.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
19	18	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑈)
20		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
21	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 20	subgdisj1 19295	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝐴 = 𝐶)
22	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 20	subgdisj2 19296	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝐵 = 𝐷)
23	21, 22	jca 512	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
24	23	ex 413	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
25		oveq12 7280	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
26	24, 25	impbid1 224	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ∩ cin 3891   ⊆ wss 3892  {csn 4567  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  +_gcplusg 16960  0_gc0g 17148  SubGrpcsubg 18747  Cntzccntz 18919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-0g 17150  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-sbg 18580  df-subg 18750  df-cntz 18921

This theorem is referenced by:  pj1eu  19300  pj1eq  19304  lvecindp2  20399