Theorem subgdisjb 19907

Description: Vectors belonging to disjoint commuting subgroups are uniquely determined by their sum. Analogous to opth 5445, this theorem shows a way of representing a pair of vectors. (Contributed by NM, 5-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
subgdisj.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
subgdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
subgdisj.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
subgdisj.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.i	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
subgdisj.s	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
subgdisj.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑇)
subgdisj.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
subgdisj.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
subgdisj.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
subgdisjb	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))

Proof of Theorem subgdisjb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgdisj.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
2		subgdisj.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		subgdisj.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4		subgdisj.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6		subgdisj.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8		subgdisj.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
10		subgdisj.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
11	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
12		subgdisj.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑇)
13	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑇)
14		subgdisj.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
15	14	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑇)
16		subgdisj.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
17	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝑈)
18		subgdisj.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
19	18	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑈)
20		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
21	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 20	subgdisj1 19905	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝐴 = 𝐶)
22	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 20	subgdisj2 19906	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝐵 = 𝐷)
23	21, 22	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
24	23	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
25		oveq12 7429	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
26	24, 25	impbid1 228	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  +_gcplusg 17428  0_gc0g 17610  SubGrpcsubg 19330  Cntzccntz 19529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-cntz 19531

This theorem is used by:  pj1eu  19910  pj1eq  19914  lvecindp2  21417