Theorem subgdisjb 19758

Description: Vectors belonging to disjoint commuting subgroups are uniquely determined by their sum. Analogous to opth 5458, this theorem shows a way of representing a pair of vectors. (Contributed by NM, 5-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
subgdisj.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
subgdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
subgdisj.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
subgdisj.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.i	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
subgdisj.s	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
subgdisj.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑇)
subgdisj.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
subgdisj.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
subgdisj.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
subgdisjb	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))

Proof of Theorem subgdisjb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgdisj.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
2		subgdisj.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		subgdisj.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4		subgdisj.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5	4	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6		subgdisj.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7	6	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8		subgdisj.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
9	8	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
10		subgdisj.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
11	10	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
12		subgdisj.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑇)
13	12	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑇)
14		subgdisj.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
15	14	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑇)
16		subgdisj.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
17	16	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝑈)
18		subgdisj.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
19	18	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑈)
20		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
21	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 20	subgdisj1 19756	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝐴 = 𝐶)
22	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 20	subgdisj2 19757	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝐵 = 𝐷)
23	21, 22	jca 520	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
24	23	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
25		oveq12 7419	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
26	24, 25	impbid1 228	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  {csn 4589  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  +_gcplusg 17305  0_gc0g 17487  SubGrpcsubg 19181  Cntzccntz 19380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-subg 19184  df-cntz 19382

This theorem is referenced by:  pj1eu  19761  pj1eq  19765  lvecindp2  21263