![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > subgdisjb | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Vectors belonging to disjoint commuting subgroups are uniquely determined by their sum. Analogous to opth 5469, this theorem shows a way of representing a pair of vectors. (Contributed by NM, 5-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
subgdisj.p | โข + = (+gโ๐บ) |
subgdisj.o | โข 0 = (0gโ๐บ) |
subgdisj.z | โข ๐ = (Cntzโ๐บ) |
subgdisj.t | โข (๐ โ ๐ โ (SubGrpโ๐บ)) |
subgdisj.u | โข (๐ โ ๐ โ (SubGrpโ๐บ)) |
subgdisj.i | โข (๐ โ (๐ โฉ ๐) = { 0 }) |
subgdisj.s | โข (๐ โ ๐ โ (๐โ๐)) |
subgdisj.a | โข (๐ โ ๐ด โ ๐) |
subgdisj.c | โข (๐ โ ๐ถ โ ๐) |
subgdisj.b | โข (๐ โ ๐ต โ ๐) |
subgdisj.d | โข (๐ โ ๐ท โ ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
subgdisjb | โข (๐ โ ((๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท) โ (๐ด = ๐ถ โง ๐ต = ๐ท))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | subgdisj.p | . . . . 5 โข + = (+gโ๐บ) | |
2 | subgdisj.o | . . . . 5 โข 0 = (0gโ๐บ) | |
3 | subgdisj.z | . . . . 5 โข ๐ = (Cntzโ๐บ) | |
4 | subgdisj.t | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ (SubGrpโ๐บ)) | |
5 | 4 | adantr 480 | . . . . 5 โข ((๐ โง (๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท)) โ ๐ โ (SubGrpโ๐บ)) |
6 | subgdisj.u | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ (SubGrpโ๐บ)) | |
7 | 6 | adantr 480 | . . . . 5 โข ((๐ โง (๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท)) โ ๐ โ (SubGrpโ๐บ)) |
8 | subgdisj.i | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ โฉ ๐) = { 0 }) | |
9 | 8 | adantr 480 | . . . . 5 โข ((๐ โง (๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท)) โ (๐ โฉ ๐) = { 0 }) |
10 | subgdisj.s | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ (๐โ๐)) | |
11 | 10 | adantr 480 | . . . . 5 โข ((๐ โง (๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท)) โ ๐ โ (๐โ๐)) |
12 | subgdisj.a | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ด โ ๐) | |
13 | 12 | adantr 480 | . . . . 5 โข ((๐ โง (๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท)) โ ๐ด โ ๐) |
14 | subgdisj.c | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ถ โ ๐) | |
15 | 14 | adantr 480 | . . . . 5 โข ((๐ โง (๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท)) โ ๐ถ โ ๐) |
16 | subgdisj.b | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ต โ ๐) | |
17 | 16 | adantr 480 | . . . . 5 โข ((๐ โง (๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท)) โ ๐ต โ ๐) |
18 | subgdisj.d | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ท โ ๐) | |
19 | 18 | adantr 480 | . . . . 5 โข ((๐ โง (๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท)) โ ๐ท โ ๐) |
20 | simpr 484 | . . . . 5 โข ((๐ โง (๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท)) โ (๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท)) | |
21 | 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 20 | subgdisj1 19611 | . . . 4 โข ((๐ โง (๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท)) โ ๐ด = ๐ถ) |
22 | 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 20 | subgdisj2 19612 | . . . 4 โข ((๐ โง (๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท)) โ ๐ต = ๐ท) |
23 | 21, 22 | jca 511 | . . 3 โข ((๐ โง (๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท)) โ (๐ด = ๐ถ โง ๐ต = ๐ท)) |
24 | 23 | ex 412 | . 2 โข (๐ โ ((๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท) โ (๐ด = ๐ถ โง ๐ต = ๐ท))) |
25 | oveq12 7414 | . 2 โข ((๐ด = ๐ถ โง ๐ต = ๐ท) โ (๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท)) | |
26 | 24, 25 | impbid1 224 | 1 โข (๐ โ ((๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท) โ (๐ด = ๐ถ โง ๐ต = ๐ท))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 โฉ cin 3942 โ wss 3943 {csn 4623 โcfv 6537 (class class class)co 7405 +gcplusg 17206 0gc0g 17394 SubGrpcsubg 19047 Cntzccntz 19231 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7853 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-nn 12217 df-2 12279 df-sets 17106 df-slot 17124 df-ndx 17136 df-base 17154 df-ress 17183 df-plusg 17219 df-0g 17396 df-mgm 18573 df-sgrp 18652 df-mnd 18668 df-grp 18866 df-minusg 18867 df-sbg 18868 df-subg 19050 df-cntz 19233 |
This theorem is referenced by: pj1eu 19616 pj1eq 19620 lvecindp2 20990 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |