MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1eu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pj1eu 19642
Description: Uniqueness of a left projection. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1eu.a + = (+gโ€˜๐บ)
pj1eu.s โŠ• = (LSSumโ€˜๐บ)
pj1eu.o 0 = (0gโ€˜๐บ)
pj1eu.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
pj1eu.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
pj1eu.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
pj1eu.4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘ˆ) = { 0 })
pj1eu.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โІ (๐‘โ€˜๐‘ˆ))
Assertion
Ref Expression
pj1eu ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ, +   ๐‘ฅ, โŠ• ,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐บ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘‡,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘ˆ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘‹,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   0 (๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem pj1eu
Dummy variables ๐‘ฃ ๐‘ข are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pj1eu.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
2 pj1eu.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
3 pj1eu.a . . . . 5 + = (+gโ€˜๐บ)
4 pj1eu.s . . . . 5 โŠ• = (LSSumโ€˜๐บ)
53, 4lsmelval 19595 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ)))
61, 2, 5syl2anc 583 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ)))
76biimpa 476 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ))
8 reeanv 3221 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘ˆ (๐‘‹ = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆง ๐‘‹ = (๐‘ข + ๐‘ฃ)) โ†” (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ข + ๐‘ฃ)))
9 eqtr2 2751 . . . . . . 7 ((๐‘‹ = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆง ๐‘‹ = (๐‘ข + ๐‘ฃ)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ข + ๐‘ฃ))
10 pj1eu.o . . . . . . . . 9 0 = (0gโ€˜๐บ)
11 pj1eu.z . . . . . . . . 9 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
121ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘‡)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
132ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘‡)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
14 pj1eu.4 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘ˆ) = { 0 })
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘‡)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘ˆ) = { 0 })
16 pj1eu.5 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โІ (๐‘โ€˜๐‘ˆ))
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘‡)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘‡ โІ (๐‘โ€˜๐‘ˆ))
18 simplrl 776 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘‡)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡)
19 simplrr 777 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘‡)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ ๐‘‡)
20 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘‡)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)
21 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘‡)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘ˆ)
223, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 21subgdisjb 19639 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘‡)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ข + ๐‘ฃ) โ†” (๐‘ฅ = ๐‘ข โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ฃ)))
23 simpl 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐‘ข โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ฃ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ข)
2422, 23biimtrdi 252 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘‡)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ข + ๐‘ฃ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ข))
259, 24syl5 34 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘‡)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ((๐‘‹ = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆง ๐‘‹ = (๐‘ข + ๐‘ฃ)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ข))
2625rexlimdvva 3206 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘ˆ (๐‘‹ = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆง ๐‘‹ = (๐‘ข + ๐‘ฃ)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ข))
278, 26biimtrrid 242 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ข โˆˆ ๐‘‡)) โ†’ ((โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ข + ๐‘ฃ)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ข))
2827ralrimivva 3195 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐‘‡ ((โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ข + ๐‘ฃ)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ข))
2928adantr 480 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐‘‡ ((โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ข + ๐‘ฃ)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ข))
30 oveq1 7421 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ข + ๐‘ฆ))
3130eqeq2d 2738 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ (๐‘‹ = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โ†” ๐‘‹ = (๐‘ข + ๐‘ฆ)))
3231rexbidv 3173 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ข + ๐‘ฆ)))
33 oveq2 7422 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘ฃ โ†’ (๐‘ข + ๐‘ฆ) = (๐‘ข + ๐‘ฃ))
3433eqeq2d 2738 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘ฃ โ†’ (๐‘‹ = (๐‘ข + ๐‘ฆ) โ†” ๐‘‹ = (๐‘ข + ๐‘ฃ)))
3534cbvrexvw 3230 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ข + ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ข + ๐‘ฃ))
3632, 35bitrdi 287 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ข + ๐‘ฃ)))
3736reu4 3724 . 2 (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆ€๐‘ข โˆˆ ๐‘‡ ((โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ข + ๐‘ฃ)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ข)))
387, 29, 37sylanbrc 582 1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‡ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘‹ = (๐‘ฅ + ๐‘ฆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3056  โˆƒwrex 3065  โˆƒ!wreu 3369   โˆฉ cin 3943   โІ wss 3944  {csn 4624  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  +gcplusg 17224  0gc0g 17412  SubGrpcsubg 19066  Cntzccntz 19257  LSSumclsm 19580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-0g 17414  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-subg 19069  df-cntz 19259  df-lsm 19582
This theorem is referenced by:  pj1f  19643  pj1id  19645
  Copyright terms: Public domain W3C validator