Theorem pj1eu 18467

Description: Uniqueness of a left projection. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pj1eu.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
pj1eu.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
pj1eu.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
pj1eu.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))

Assertion

Ref	Expression
pj1eu	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → ∃!𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥, ⊕ ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   0 (𝑥,𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem pj1eu

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pj1eu.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		pj1eu.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		pj1eu.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		pj1eu.s	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
5	3, 4	lsmelval 18422	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦)))
6	1, 2, 5	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦)))
7	6	biimpa 470	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → ∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦))
8		reeanv 3317	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑈 ∃𝑣 ∈ 𝑈 (𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)))
9		eqtr2 2847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑣))
10		pj1eu.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
11		pj1eu.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
12	1	ad2antrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
13	2	ad2antrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14		pj1eu.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
15	14	ad2antrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
16		pj1eu.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
17	16	ad2antrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
18		simplrl 795	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝑇)
19		simplrr 796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑢 ∈ 𝑇)
20		simprl 787	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
21		simprr 789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑣 ∈ 𝑈)
22	3, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 21	subgdisjb 18464	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → ((𝑥 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑣) ↔ (𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣)))
23		simpl 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣) → 𝑥 = 𝑢)
24	22, 23	syl6bi 245	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → ((𝑥 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑣) → 𝑥 = 𝑢))
25	9, 24	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → 𝑥 = 𝑢))
26	25	rexlimdvva 3248	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) → (∃𝑦 ∈ 𝑈 ∃𝑣 ∈ 𝑈 (𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → 𝑥 = 𝑢))
27	8, 26	syl5bir 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) → ((∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → 𝑥 = 𝑢))
28	27	ralrimivva 3180	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑇 ∀𝑢 ∈ 𝑇 ((∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → 𝑥 = 𝑢))
29	28	adantr 474	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → ∀𝑥 ∈ 𝑇 ∀𝑢 ∈ 𝑇 ((∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → 𝑥 = 𝑢))
30		oveq1 6917	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑦))
31	30	eqeq2d 2835	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ↔ 𝑋 = (𝑢 + 𝑦)))
32	31	rexbidv 3262	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑦)))
33		oveq2 6918	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑢 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑣))
34	33	eqeq2d 2835	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑋 = (𝑢 + 𝑦) ↔ 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)))
35	34	cbvrexv 3384	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑦) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣))
36	32, 35	syl6bb 279	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)))
37	36	reu4 3625	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 ∀𝑢 ∈ 𝑇 ((∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → 𝑥 = 𝑢)))
38	7, 29, 37	sylanbrc 578	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → ∃!𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∀wral 3117  ∃wrex 3118  ∃!wreu 3119   ∩ cin 3797   ⊆ wss 3798  {csn 4399  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  +_gcplusg 16312  0_gc0g 16460  SubGrpcsubg 17946  Cntzccntz 18105  LSSumclsm 18407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-0g 16462  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-subg 17949  df-cntz 18107  df-lsm 18409

This theorem is referenced by:  pj1f  18468  pj1id  18470