Theorem pj1eu 19564

Description: Uniqueness of a left projection. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pj1eu.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
pj1eu.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
pj1eu.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
pj1eu.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))

Assertion

Ref	Expression
pj1eu	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → ∃!𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥, ⊕ ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   0 (𝑥,𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem pj1eu

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pj1eu.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		pj1eu.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		pj1eu.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		pj1eu.s	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
5	3, 4	lsmelval 19517	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦)))
6	1, 2, 5	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦)))
7	6	biimpa 478	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → ∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦))
8		reeanv 3227	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑈 ∃𝑣 ∈ 𝑈 (𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)))
9		eqtr2 2757	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑣))
10		pj1eu.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
11		pj1eu.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
12	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
13	2	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14		pj1eu.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
15	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
16		pj1eu.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
17	16	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
18		simplrl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝑇)
19		simplrr 777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑢 ∈ 𝑇)
20		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
21		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑣 ∈ 𝑈)
22	3, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 21	subgdisjb 19561	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → ((𝑥 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑣) ↔ (𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣)))
23		simpl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣) → 𝑥 = 𝑢)
24	22, 23	syl6bi 253	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → ((𝑥 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑣) → 𝑥 = 𝑢))
25	9, 24	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → 𝑥 = 𝑢))
26	25	rexlimdvva 3212	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) → (∃𝑦 ∈ 𝑈 ∃𝑣 ∈ 𝑈 (𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → 𝑥 = 𝑢))
27	8, 26	biimtrrid 242	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) → ((∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → 𝑥 = 𝑢))
28	27	ralrimivva 3201	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑇 ∀𝑢 ∈ 𝑇 ((∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → 𝑥 = 𝑢))
29	28	adantr 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → ∀𝑥 ∈ 𝑇 ∀𝑢 ∈ 𝑇 ((∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → 𝑥 = 𝑢))
30		oveq1 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑦))
31	30	eqeq2d 2744	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ↔ 𝑋 = (𝑢 + 𝑦)))
32	31	rexbidv 3179	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑦)))
33		oveq2 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑢 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑣))
34	33	eqeq2d 2744	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑋 = (𝑢 + 𝑦) ↔ 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)))
35	34	cbvrexvw 3236	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑦) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣))
36	32, 35	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)))
37	36	reu4 3728	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 ∀𝑢 ∈ 𝑇 ((∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → 𝑥 = 𝑢)))
38	7, 29, 37	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → ∃!𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  ∃!wreu 3375   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  {csn 4629  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  +_gcplusg 17197  0_gc0g 17385  SubGrpcsubg 19000  Cntzccntz 19179  LSSumclsm 19502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-lsm 19504

This theorem is referenced by:  pj1f  19565  pj1id  19567