Theorem pj1eu 19660

Description: Uniqueness of a left projection. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pj1eu.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
pj1eu.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
pj1eu.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
pj1eu.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))

Assertion

Ref	Expression
pj1eu	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → ∃!𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥, ⊕ ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   0 (𝑥,𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem pj1eu

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pj1eu.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		pj1eu.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		pj1eu.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		pj1eu.s	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
5	3, 4	lsmelval 19613	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦)))
6	1, 2, 5	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦)))
7	6	biimpa 476	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → ∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦))
8		reeanv 3210	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑈 ∃𝑣 ∈ 𝑈 (𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)))
9		eqtr2 2758	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑣))
10		pj1eu.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
11		pj1eu.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
12	1	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
13	2	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14		pj1eu.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
15	14	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
16		pj1eu.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
17	16	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
18		simplrl 777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝑇)
19		simplrr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑢 ∈ 𝑇)
20		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
21		simprr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → 𝑣 ∈ 𝑈)
22	3, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 21	subgdisjb 19657	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → ((𝑥 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑣) ↔ (𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣)))
23		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣) → 𝑥 = 𝑢)
24	22, 23	biimtrdi 253	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → ((𝑥 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑣) → 𝑥 = 𝑢))
25	9, 24	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑣 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → 𝑥 = 𝑢))
26	25	rexlimdvva 3195	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) → (∃𝑦 ∈ 𝑈 ∃𝑣 ∈ 𝑈 (𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → 𝑥 = 𝑢))
27	8, 26	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑢 ∈ 𝑇)) → ((∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → 𝑥 = 𝑢))
28	27	ralrimivva 3181	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑇 ∀𝑢 ∈ 𝑇 ((∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → 𝑥 = 𝑢))
29	28	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → ∀𝑥 ∈ 𝑇 ∀𝑢 ∈ 𝑇 ((∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → 𝑥 = 𝑢))
30		oveq1 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑦))
31	30	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ↔ 𝑋 = (𝑢 + 𝑦)))
32	31	rexbidv 3162	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑦)))
33		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑢 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑣))
34	33	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑋 = (𝑢 + 𝑦) ↔ 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)))
35	34	cbvrexvw 3217	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑦) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣))
36	32, 35	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)))
37	36	reu4 3678	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 ∀𝑢 ∈ 𝑇 ((∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → 𝑥 = 𝑢)))
38	7, 29, 37	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → ∃!𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  ∃!wreu 3341   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  {csn 4568  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  +_gcplusg 17209  0_gc0g 17391  SubGrpcsubg 19085  Cntzccntz 19279  LSSumclsm 19598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19088  df-cntz 19281  df-lsm 19600

This theorem is referenced by:  pj1f  19661  pj1id  19663