Theorem pj1eq 19828

Description: Any element of a direct subspace sum can be decomposed uniquely into projections onto the left and right factors. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pj1eu.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
pj1eu.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
pj1eu.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
pj1eu.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
pj1f.p	⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)
pj1eq.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
pj1eq.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑇)
pj1eq.7	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
pj1eq	⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐵 + 𝐶) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝐵 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 𝐶)))

Proof of Theorem pj1eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pj1eq.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
2		pj1eu.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		pj1eu.s	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
4		pj1eu.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		pj1eu.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
6		pj1eu.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7		pj1eu.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8		pj1eu.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
9		pj1eu.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
10		pj1f.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pj1id 19827	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → 𝑋 = (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) + ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋)))
12	1, 11	mpdan 700	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) + ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋)))
13	12	eqeq1d 2762	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐵 + 𝐶) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) + ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋)) = (𝐵 + 𝐶)))
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pj1f 19825	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈):(𝑇 ⊕ 𝑈)⟶𝑇)
15	14, 1	ffvelcdmd 7079	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) ∈ 𝑇)
16		pj1eq.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑇)
17	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pj2f 19826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝑃𝑇):(𝑇 ⊕ 𝑈)⟶𝑈)
18	17, 1	ffvelcdmd 7079	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) ∈ 𝑈)
19		pj1eq.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
20	2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 16, 18, 19	subgdisjb 19821	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) + ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋)) = (𝐵 + 𝐶) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝐵 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 𝐶)))
21	13, 20	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐵 + 𝐶) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝐵 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  +_gcplusg 17343  0_gc0g 17525  SubGrpcsubg 19244  Cntzccntz 19443  LSSumclsm 19762  proj₁cpj1 19763

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-0g 17527  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-subg 19247  df-cntz 19445  df-lsm 19764  df-pj1 19765

This theorem is used by:  pj1lid  19829  pj1rid  19830  pj1ghm  19831  lsmhash  19833  dpjidcl  20188  pj1lmhm  21285