Theorem pj1eq 19662

Description: Any element of a direct subspace sum can be decomposed uniquely into projections onto the left and right factors. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pj1eu.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
pj1eu.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
pj1eu.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
pj1eu.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
pj1f.p	⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)
pj1eq.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
pj1eq.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑇)
pj1eq.7	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
pj1eq	⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐵 + 𝐶) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝐵 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 𝐶)))

Proof of Theorem pj1eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pj1eq.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
2		pj1eu.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		pj1eu.s	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
4		pj1eu.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		pj1eu.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
6		pj1eu.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7		pj1eu.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8		pj1eu.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
9		pj1eu.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
10		pj1f.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pj1id 19661	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → 𝑋 = (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) + ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋)))
12	1, 11	mpdan 685	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) + ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋)))
13	12	eqeq1d 2730	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐵 + 𝐶) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) + ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋)) = (𝐵 + 𝐶)))
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pj1f 19659	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈):(𝑇 ⊕ 𝑈)⟶𝑇)
15	14, 1	ffvelcdmd 7100	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) ∈ 𝑇)
16		pj1eq.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑇)
17	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pj2f 19660	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝑃𝑇):(𝑇 ⊕ 𝑈)⟶𝑈)
18	17, 1	ffvelcdmd 7100	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) ∈ 𝑈)
19		pj1eq.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
20	2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 16, 18, 19	subgdisjb 19655	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) + ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋)) = (𝐵 + 𝐶) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝐵 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 𝐶)))
21	13, 20	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐵 + 𝐶) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝐵 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  {csn 4632  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  +_gcplusg 17240  0_gc0g 17428  SubGrpcsubg 19082  Cntzccntz 19273  LSSumclsm 19596  proj₁cpj1 19597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-cntz 19275  df-lsm 19598  df-pj1 19599

This theorem is referenced by:  pj1lid  19663  pj1rid  19664  pj1ghm  19665  lsmhash  19667  dpjidcl  20022  pj1lmhm  20992