Theorem pj1eq 19616

Description: Any element of a direct subspace sum can be decomposed uniquely into projections onto the left and right factors. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pj1eu.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
pj1eu.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
pj1eu.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
pj1eu.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
pj1f.p	⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)
pj1eq.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
pj1eq.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑇)
pj1eq.7	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
pj1eq	⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐵 + 𝐶) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝐵 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 𝐶)))

Proof of Theorem pj1eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pj1eq.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
2		pj1eu.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		pj1eu.s	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
4		pj1eu.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		pj1eu.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
6		pj1eu.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7		pj1eu.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8		pj1eu.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
9		pj1eu.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
10		pj1f.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pj1id 19615	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → 𝑋 = (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) + ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋)))
12	1, 11	mpdan 684	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) + ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋)))
13	12	eqeq1d 2726	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐵 + 𝐶) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) + ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋)) = (𝐵 + 𝐶)))
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pj1f 19613	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈):(𝑇 ⊕ 𝑈)⟶𝑇)
15	14, 1	ffvelcdmd 7078	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) ∈ 𝑇)
16		pj1eq.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑇)
17	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pj2f 19614	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝑃𝑇):(𝑇 ⊕ 𝑈)⟶𝑈)
18	17, 1	ffvelcdmd 7078	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) ∈ 𝑈)
19		pj1eq.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
20	2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 16, 18, 19	subgdisjb 19609	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) + ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋)) = (𝐵 + 𝐶) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝐵 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 𝐶)))
21	13, 20	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐵 + 𝐶) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝐵 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3940   ⊆ wss 3941  {csn 4621  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  +_gcplusg 17202  0_gc0g 17390  SubGrpcsubg 19043  Cntzccntz 19227  LSSumclsm 19550  proj₁cpj1 19551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-subg 19046  df-cntz 19229  df-lsm 19552  df-pj1 19553

This theorem is referenced by:  pj1lid  19617  pj1rid  19618  pj1ghm  19619  lsmhash  19621  dpjidcl  19976  pj1lmhm  20944