Theorem pj1eq 19667

Description: Any element of a direct subspace sum can be decomposed uniquely into projections onto the left and right factors. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pj1eu.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
pj1eu.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
pj1eu.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
pj1eu.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
pj1f.p	⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)
pj1eq.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
pj1eq.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑇)
pj1eq.7	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
pj1eq	⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐵 + 𝐶) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝐵 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 𝐶)))

Proof of Theorem pj1eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pj1eq.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
2		pj1eu.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		pj1eu.s	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
4		pj1eu.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		pj1eu.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
6		pj1eu.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7		pj1eu.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8		pj1eu.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
9		pj1eu.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
10		pj1f.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pj1id 19666	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → 𝑋 = (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) + ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋)))
12	1, 11	mpdan 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) + ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋)))
13	12	eqeq1d 2741	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐵 + 𝐶) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) + ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋)) = (𝐵 + 𝐶)))
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pj1f 19664	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈):(𝑇 ⊕ 𝑈)⟶𝑇)
15	14, 1	ffvelcdmd 7027	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) ∈ 𝑇)
16		pj1eq.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑇)
17	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pj2f 19665	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝑃𝑇):(𝑇 ⊕ 𝑈)⟶𝑈)
18	17, 1	ffvelcdmd 7027	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) ∈ 𝑈)
19		pj1eq.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
20	2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 16, 18, 19	subgdisjb 19660	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) + ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋)) = (𝐵 + 𝐶) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝐵 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 𝐶)))
21	13, 20	bitrd 280	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐵 + 𝐶) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝐵 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  {csn 4556  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  +_gcplusg 17212  0_gc0g 17394  SubGrpcsubg 19088  Cntzccntz 19282  LSSumclsm 19601  proj₁cpj1 19602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-0g 17396  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-sbg 18906  df-subg 19091  df-cntz 19284  df-lsm 19603  df-pj1 19604

This theorem is referenced by:  pj1lid  19668  pj1rid  19669  pj1ghm  19670  lsmhash  19672  dpjidcl  20027  pj1lmhm  21091