Theorem pj1eq 19606

Description: Any element of a direct subspace sum can be decomposed uniquely into projections onto the left and right factors. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pj1eu.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
pj1eu.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
pj1eu.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
pj1eu.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
pj1f.p	⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)
pj1eq.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
pj1eq.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑇)
pj1eq.7	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
pj1eq	⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐵 + 𝐶) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝐵 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 𝐶)))

Proof of Theorem pj1eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pj1eq.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
2		pj1eu.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		pj1eu.s	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
4		pj1eu.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		pj1eu.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
6		pj1eu.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7		pj1eu.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8		pj1eu.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
9		pj1eu.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
10		pj1f.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pj1id 19605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → 𝑋 = (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) + ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋)))
12	1, 11	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) + ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋)))
13	12	eqeq1d 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐵 + 𝐶) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) + ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋)) = (𝐵 + 𝐶)))
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pj1f 19603	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈):(𝑇 ⊕ 𝑈)⟶𝑇)
15	14, 1	ffvelcdmd 7039	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) ∈ 𝑇)
16		pj1eq.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑇)
17	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pj2f 19604	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝑃𝑇):(𝑇 ⊕ 𝑈)⟶𝑈)
18	17, 1	ffvelcdmd 7039	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) ∈ 𝑈)
19		pj1eq.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
20	2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 16, 18, 19	subgdisjb 19599	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) + ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋)) = (𝐵 + 𝐶) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝐵 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 𝐶)))
21	13, 20	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐵 + 𝐶) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝐵 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  {csn 4585  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  +_gcplusg 17196  0_gc0g 17378  SubGrpcsubg 19028  Cntzccntz 19223  LSSumclsm 19540  proj₁cpj1 19541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-subg 19031  df-cntz 19225  df-lsm 19542  df-pj1 19543

This theorem is referenced by:  pj1lid  19607  pj1rid  19608  pj1ghm  19609  lsmhash  19611  dpjidcl  19966  pj1lmhm  20983