MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pj1eq 19654
Description: Any element of a direct subspace sum can be decomposed uniquely into projections onto the left and right factors. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1eu.a + = (+gโ€˜๐บ)
pj1eu.s โŠ• = (LSSumโ€˜๐บ)
pj1eu.o 0 = (0gโ€˜๐บ)
pj1eu.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
pj1eu.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
pj1eu.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
pj1eu.4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘ˆ) = { 0 })
pj1eu.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โІ (๐‘โ€˜๐‘ˆ))
pj1f.p ๐‘ƒ = (proj1โ€˜๐บ)
pj1eq.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))
pj1eq.6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‡)
pj1eq.7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
pj1eq (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ = (๐ต + ๐ถ) โ†” (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) = ๐ต โˆง ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘‹) = ๐ถ)))

Proof of Theorem pj1eq
StepHypRef Expression
1 pj1eq.5 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ))
2 pj1eu.a . . . . 5 + = (+gโ€˜๐บ)
3 pj1eu.s . . . . 5 โŠ• = (LSSumโ€˜๐บ)
4 pj1eu.o . . . . 5 0 = (0gโ€˜๐บ)
5 pj1eu.z . . . . 5 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
6 pj1eu.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
7 pj1eu.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
8 pj1eu.4 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘ˆ) = { 0 })
9 pj1eu.5 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โІ (๐‘โ€˜๐‘ˆ))
10 pj1f.p . . . . 5 ๐‘ƒ = (proj1โ€˜๐บ)
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pj1id 19653 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘‹)))
121, 11mpdan 686 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ = (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘‹)))
1312eqeq1d 2730 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ = (๐ต + ๐ถ) โ†” (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘‹)) = (๐ต + ๐ถ)))
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pj1f 19651 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ):(๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)โŸถ๐‘‡)
1514, 1ffvelcdmd 7095 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐‘‡)
16 pj1eq.6 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‡)
172, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pj2f 19652 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡):(๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ)โŸถ๐‘ˆ)
1817, 1ffvelcdmd 7095 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐‘ˆ)
19 pj1eq.7 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘ˆ)
202, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 16, 18, 19subgdisjb 19647 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) + ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘‹)) = (๐ต + ๐ถ) โ†” (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) = ๐ต โˆง ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘‹) = ๐ถ)))
2113, 20bitrd 279 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ = (๐ต + ๐ถ) โ†” (((๐‘‡๐‘ƒ๐‘ˆ)โ€˜๐‘‹) = ๐ต โˆง ((๐‘ˆ๐‘ƒ๐‘‡)โ€˜๐‘‹) = ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โˆฉ cin 3946   โІ wss 3947  {csn 4629  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  +gcplusg 17232  0gc0g 17420  SubGrpcsubg 19074  Cntzccntz 19265  LSSumclsm 19588  proj1cpj1 19589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-subg 19077  df-cntz 19267  df-lsm 19590  df-pj1 19591
This theorem is referenced by:  pj1lid  19655  pj1rid  19656  pj1ghm  19657  lsmhash  19659  dpjidcl  20014  pj1lmhm  20984
  Copyright terms: Public domain W3C validator