Theorem subge02d 11830

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge02d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − 𝐵) ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge02d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge02 11754	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − 𝐵) ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − 𝐵) ≤ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  0cc0 11124   ≤ cle 11268   − cmin 11465

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468

This theorem is used by:  uzsubsubfz  13601  modsubdir  14004  iseraltlem3  15771  fsum0diaglem  15862  mertenslem1  15973  fallfacval4  16129  bitsinv1lem  16531  smueqlem  16580  pcbc  16992  psrbagcon  22140  coe1tmmul2  22502  ovoliunlem1  25730  ioorcl2  25800  vitalilem2  25837  dvfsumlem4  26256  cosordlem  26767  efif1olem2  26780  basellem3  27319  chpub  27456  gausslemma2dlem1a  27601  lgsquadlem1  27616  rplogsumlem2  27721  rpvmasumlem  27723  pntrlog2bnd  27820  pntleml  27847  dnibndlem11  37185  aks6d1c5lem1  43002  jm2.17b  43802  dvnprodlem1  46774  dvnprodlem2  46775  fourierdlem107  47041  etransclem3  47065  etransclem7  47069  etransclem10  47072  etransclem24  47086