Theorem subge02d 11733

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge02d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − 𝐵) ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge02d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge02 11657	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − 𝐵) ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − 𝐵) ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029   ≤ cle 11171   − cmin 11368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371

This theorem is referenced by:  uzsubsubfz  13491  modsubdir  13893  iseraltlem3  15637  fsum0diaglem  15729  mertenslem1  15840  fallfacval4  15999  bitsinv1lem  16401  smueqlem  16450  pcbc  16862  psrbagcon  21915  coe1tmmul2  22251  ovoliunlem1  25479  ioorcl2  25549  vitalilem2  25586  dvfsumlem4  26006  cosordlem  26507  efif1olem2  26520  basellem3  27060  chpub  27197  gausslemma2dlem1a  27342  lgsquadlem1  27357  rplogsumlem2  27462  rpvmasumlem  27464  pntrlog2bnd  27561  pntleml  27588  dnibndlem11  36764  aks6d1c5lem1  42589  jm2.17b  43407  dvnprodlem1  46392  dvnprodlem2  46393  fourierdlem107  46659  etransclem3  46683  etransclem7  46687  etransclem10  46690  etransclem24  46704