Theorem uzsubsubfz 13464

Description: Membership of an integer greater than L decreased by ( L - M ) in an M-based finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
uzsubsubfz	⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿)) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem uzsubsubfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 12759	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿))
2		eluz2 12759	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))
3		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		zsubcl 12535	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
7	6	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
8	5, 7	zsubcld 12603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ)
9	3, 5, 8	3jca 1129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ))
10	9	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ)))
11	10	3adant3 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ)))
12	11	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ)))
13	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ)))
14	13	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ))
15		zre 12494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16	15	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → 𝑁 ∈ ℝ)
18		zre 12494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → 𝐿 ∈ ℝ)
21	17, 20	subge0d 11729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑁))
22	21	exbiri 811	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝐿 ≤ 𝑁 → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿))))
23	22	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿))))
24	23	3impia 1118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿)))
25	24	impcom 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿))
26		zre 12494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → 𝑀 ∈ ℝ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
29		resubcl 11447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℝ)
30	15, 18, 29	syl2anr 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℝ)
31	30	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℝ)
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℝ)
33	28, 32	addge02d 11728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐿) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 𝐿) + 𝑀)))
34	25, 33	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ ((𝑁 − 𝐿) + 𝑀))
35		zcn 12495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
36	35	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
38		zcn 12495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℂ)
39	38	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝐿 ∈ ℂ)
40	39	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝐿 ∈ ℂ)
41		zcn 12495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → 𝑀 ∈ ℂ)
43	42	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℂ)
44	37, 40, 43	subsubd 11522	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) = ((𝑁 − 𝐿) + 𝑀))
45	34, 44	breqtrrd 5125	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)))
46	18	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝐿 ∈ ℝ)
47		subge0 11652	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐿 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐿))
48	46, 26, 47	syl2anr 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (0 ≤ (𝐿 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐿))
49	48	exbiri 811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐿 → 0 ≤ (𝐿 − 𝑀))))
50	49	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝐿 → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 0 ≤ (𝐿 − 𝑀))))
51	50	imp31 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 0 ≤ (𝐿 − 𝑀))
52	15	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
54		resubcl 11447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℝ)
55	46, 27, 54	syl2anr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℝ)
56	53, 55	subge02d 11731	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (0 ≤ (𝐿 − 𝑀) ↔ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ≤ 𝑁))
57	51, 56	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ≤ 𝑁)
58	45, 57	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑀 ≤ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ≤ 𝑁))
59		elfz2 13432	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ≤ 𝑁)))
60	14, 58, 59	sylanbrc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁))
61	60	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)))
62	61	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)))
63	2, 62	biimtrid 242	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)))
64	1, 63	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)))
65	64	imp 406	1 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿)) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5097  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028   + caddc 11031   ≤ cle 11169   − cmin 11366  ℤcz 12490  ℤ_≥cuz 12753  ...cfz 13425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-fz 13426

This theorem is referenced by:  uzsubsubfz1  13465