Proof of Theorem uzsubsubfz
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | eluz2 12884 |
. . 3
⊢ (𝐿 ∈
(ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) |
| 2 | | eluz2 12884 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝐿) ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) |
| 3 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈
ℤ) |
| 4 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈
ℤ) |
| 5 | 4 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈
ℤ) |
| 6 | | zsubcl 12659 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ) |
| 7 | 6 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ) |
| 8 | 5, 7 | zsubcld 12727 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ) |
| 9 | 3, 5, 8 | 3jca 1129 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ)) |
| 10 | 9 | ex 412 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ))) |
| 11 | 10 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ))) |
| 12 | 11 | com12 32 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ))) |
| 13 | 12 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ))) |
| 14 | 13 | imp 406 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ)) |
| 15 | | zre 12617 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈
ℝ) |
| 16 | 15 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈
ℝ) |
| 17 | 16 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → 𝑁 ∈ ℝ) |
| 18 | | zre 12617 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈
ℝ) |
| 19 | 18 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈
ℝ) |
| 20 | 19 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → 𝐿 ∈ ℝ) |
| 21 | 17, 20 | subge0d 11853 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑁)) |
| 22 | 21 | exbiri 811 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝐿 ≤ 𝑁 → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿)))) |
| 23 | 22 | com23 86 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿)))) |
| 24 | 23 | 3impia 1118 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿))) |
| 25 | 24 | impcom 407 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿)) |
| 26 | | zre 12617 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈
ℝ) |
| 27 | 26 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → 𝑀 ∈ ℝ) |
| 28 | 27 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ) |
| 29 | | resubcl 11573 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℝ) |
| 30 | 15, 18, 29 | syl2anr 597 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℝ) |
| 31 | 30 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℝ) |
| 32 | 31 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℝ) |
| 33 | 28, 32 | addge02d 11852 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐿) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 𝐿) + 𝑀))) |
| 34 | 25, 33 | mpbid 232 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ ((𝑁 − 𝐿) + 𝑀)) |
| 35 | | zcn 12618 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈
ℂ) |
| 36 | 35 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ) |
| 37 | 36 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ) |
| 38 | | zcn 12618 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈
ℂ) |
| 39 | 38 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝐿 ∈ ℂ) |
| 40 | 39 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝐿 ∈ ℂ) |
| 41 | | zcn 12618 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈
ℂ) |
| 42 | 41 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → 𝑀 ∈ ℂ) |
| 43 | 42 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℂ) |
| 44 | 37, 40, 43 | subsubd 11648 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) = ((𝑁 − 𝐿) + 𝑀)) |
| 45 | 34, 44 | breqtrrd 5171 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀))) |
| 46 | 18 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝐿 ∈ ℝ) |
| 47 | | subge0 11776 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤
(𝐿 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐿)) |
| 48 | 46, 26, 47 | syl2anr 597 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (0 ≤ (𝐿 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐿)) |
| 49 | 48 | exbiri 811 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐿 → 0 ≤ (𝐿 − 𝑀)))) |
| 50 | 49 | com23 86 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝐿 → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 0 ≤ (𝐿 − 𝑀)))) |
| 51 | 50 | imp31 417 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 0 ≤ (𝐿 − 𝑀)) |
| 52 | 15 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ) |
| 53 | 52 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ) |
| 54 | | resubcl 11573 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℝ) |
| 55 | 46, 27, 54 | syl2anr 597 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℝ) |
| 56 | 53, 55 | subge02d 11855 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (0 ≤ (𝐿 − 𝑀) ↔ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ≤ 𝑁)) |
| 57 | 51, 56 | mpbid 232 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ≤ 𝑁) |
| 58 | 45, 57 | jca 511 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑀 ≤ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ≤ 𝑁)) |
| 59 | | elfz2 13554 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ≤ 𝑁))) |
| 60 | 14, 58, 59 | sylanbrc 583 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)) |
| 61 | 60 | ex 412 |
. . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁))) |
| 62 | 61 | 3adant2 1132 |
. . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁))) |
| 63 | 2, 62 | biimtrid 242 |
. . 3
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁))) |
| 64 | 1, 63 | sylbi 217 |
. 2
⊢ (𝐿 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁))) |
| 65 | 64 | imp 406 |
1
⊢ ((𝐿 ∈
(ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿)) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)) |