Theorem uzsubsubfz 12924

Description: Membership of an integer greater than L decreased by ( L - M ) in an M-based finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
uzsubsubfz	⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿)) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem uzsubsubfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 12237	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿))
2		eluz2 12237	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))
3		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		zsubcl 12012	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
7	6	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
8	5, 7	zsubcld 12080	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ)
9	3, 5, 8	3jca 1125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ))
10	9	ex 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ)))
11	10	3adant3 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ)))
12	11	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ)))
13	12	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ)))
14	13	imp 410	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ))
15		zre 11973	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16	15	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
17	16	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → 𝑁 ∈ ℝ)
18		zre 11973	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
19	18	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
20	19	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → 𝐿 ∈ ℝ)
21	17, 20	subge0d 11219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑁))
22	21	exbiri 810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝐿 ≤ 𝑁 → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿))))
23	22	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿))))
24	23	3impia 1114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿)))
25	24	impcom 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿))
26		zre 11973	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
27	26	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → 𝑀 ∈ ℝ)
28	27	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
29		resubcl 10939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℝ)
30	15, 18, 29	syl2anr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℝ)
31	30	3adant3 1129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℝ)
32	31	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℝ)
33	28, 32	addge02d 11218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐿) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 𝐿) + 𝑀)))
34	25, 33	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ ((𝑁 − 𝐿) + 𝑀))
35		zcn 11974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
36	35	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
37	36	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
38		zcn 11974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℂ)
39	38	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝐿 ∈ ℂ)
40	39	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝐿 ∈ ℂ)
41		zcn 11974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
42	41	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → 𝑀 ∈ ℂ)
43	42	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℂ)
44	37, 40, 43	subsubd 11014	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) = ((𝑁 − 𝐿) + 𝑀))
45	34, 44	breqtrrd 5058	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)))
46	18	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝐿 ∈ ℝ)
47		subge0 11142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐿 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐿))
48	46, 26, 47	syl2anr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (0 ≤ (𝐿 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐿))
49	48	exbiri 810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐿 → 0 ≤ (𝐿 − 𝑀))))
50	49	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝐿 → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 0 ≤ (𝐿 − 𝑀))))
51	50	imp31 421	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 0 ≤ (𝐿 − 𝑀))
52	15	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
53	52	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
54		resubcl 10939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℝ)
55	46, 27, 54	syl2anr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℝ)
56	53, 55	subge02d 11221	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (0 ≤ (𝐿 − 𝑀) ↔ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ≤ 𝑁))
57	51, 56	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ≤ 𝑁)
58	45, 57	jca 515	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑀 ≤ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ≤ 𝑁))
59		elfz2 12892	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ≤ 𝑁)))
60	14, 58, 59	sylanbrc 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁))
61	60	ex 416	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)))
62	61	3adant2 1128	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)))
63	2, 62	syl5bi 245	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)))
64	1, 63	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)))
65	64	imp 410	1 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿)) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526   + caddc 10529   ≤ cle 10665   − cmin 10859  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ...cfz 12885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886

This theorem is referenced by:  uzsubsubfz1  12925