Theorem uzsubsubfz 13488

Description: Membership of an integer greater than L decreased by ( L - M ) in an M-based finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
uzsubsubfz	⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿)) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem uzsubsubfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 12793	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿))
2		eluz2 12793	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))
3		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		zsubcl 12569	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
7	6	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
8	5, 7	zsubcld 12636	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ)
9	3, 5, 8	3jca 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ))
10	9	ex 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ)))
11	10	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ)))
12	11	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ)))
13	12	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ)))
14	13	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ))
15		zre 12527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16	15	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → 𝑁 ∈ ℝ)
18		zre 12527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → 𝐿 ∈ ℝ)
21	17, 20	subge0d 11769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑁))
22	21	exbiri 809	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝐿 ≤ 𝑁 → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿))))
23	22	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿))))
24	23	3impia 1117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿)))
25	24	impcom 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿))
26		zre 12527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → 𝑀 ∈ ℝ)
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
29		resubcl 11489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℝ)
30	15, 18, 29	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℝ)
31	30	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℝ)
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℝ)
33	28, 32	addge02d 11768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐿) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 𝐿) + 𝑀)))
34	25, 33	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ ((𝑁 − 𝐿) + 𝑀))
35		zcn 12528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
36	35	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
38		zcn 12528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℂ)
39	38	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝐿 ∈ ℂ)
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝐿 ∈ ℂ)
41		zcn 12528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → 𝑀 ∈ ℂ)
43	42	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℂ)
44	37, 40, 43	subsubd 11564	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) = ((𝑁 − 𝐿) + 𝑀))
45	34, 44	breqtrrd 5153	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)))
46	18	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝐿 ∈ ℝ)
47		subge0 11692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐿 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐿))
48	46, 26, 47	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (0 ≤ (𝐿 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐿))
49	48	exbiri 809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐿 → 0 ≤ (𝐿 − 𝑀))))
50	49	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝐿 → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 0 ≤ (𝐿 − 𝑀))))
51	50	imp31 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 0 ≤ (𝐿 − 𝑀))
52	15	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
54		resubcl 11489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℝ)
55	46, 27, 54	syl2anr 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℝ)
56	53, 55	subge02d 11771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (0 ≤ (𝐿 − 𝑀) ↔ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ≤ 𝑁))
57	51, 56	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ≤ 𝑁)
58	45, 57	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑀 ≤ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ≤ 𝑁))
59		elfz2 13456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ≤ 𝑁)))
60	14, 58, 59	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁))
61	60	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)))
62	61	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)))
63	2, 62	biimtrid 241	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)))
64	1, 63	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)))
65	64	imp 407	1 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿)) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5125  ‘cfv 6516  (class class class)co 7377  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075   + caddc 11078   ≤ cle 11214   − cmin 11409  ℤcz 12523  ℤ_≥cuz 12787  ...cfz 13449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-fz 13450

This theorem is referenced by:  uzsubsubfz1  13489