MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzsubsubfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzsubsubfz 13583
Description: Membership of an integer greater than L decreased by ( L - M ) in an M-based finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
uzsubsubfz ((𝐿 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐿)) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem uzsubsubfz
StepHypRef Expression
1 eluz2 12882 . . 3 (𝐿 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿))
2 eluz2 12882 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝐿) ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁))
3 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
54adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 zsubcl 12657 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿𝑀) ∈ ℤ)
76adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿𝑀) ∈ ℤ)
85, 7zsubcld 12725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ ℤ)
93, 5, 83jca 1127 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ ℤ))
109ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ ℤ)))
11103adant3 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ ℤ)))
1211com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ ℤ)))
1312adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ ℤ)))
1413imp 406 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ ℤ))
15 zre 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
1615adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿)) → 𝑁 ∈ ℝ)
18 zre 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
1918adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿)) → 𝐿 ∈ ℝ)
2117, 20subge0d 11851 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿)) → (0 ≤ (𝑁𝐿) ↔ 𝐿𝑁))
2221exbiri 811 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) → (𝐿𝑁 → 0 ≤ (𝑁𝐿))))
2322com23 86 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿𝑁 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) → 0 ≤ (𝑁𝐿))))
24233impia 1116 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) → 0 ≤ (𝑁𝐿)))
2524impcom 407 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → 0 ≤ (𝑁𝐿))
26 zre 12615 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) → 𝑀 ∈ ℝ)
2827adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
29 resubcl 11571 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁𝐿) ∈ ℝ)
3015, 18, 29syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁𝐿) ∈ ℝ)
31303adant3 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → (𝑁𝐿) ∈ ℝ)
3231adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → (𝑁𝐿) ∈ ℝ)
3328, 32addge02d 11850 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → (0 ≤ (𝑁𝐿) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁𝐿) + 𝑀)))
3425, 33mpbid 232 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → 𝑀 ≤ ((𝑁𝐿) + 𝑀))
35 zcn 12616 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
36353ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
3736adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
38 zcn 12616 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℂ)
39383ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → 𝐿 ∈ ℂ)
4039adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → 𝐿 ∈ ℂ)
41 zcn 12616 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
4241adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) → 𝑀 ∈ ℂ)
4342adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → 𝑀 ∈ ℂ)
4437, 40, 43subsubd 11646 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) = ((𝑁𝐿) + 𝑀))
4534, 44breqtrrd 5176 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − (𝐿𝑀)))
46183ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → 𝐿 ∈ ℝ)
47 subge0 11774 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐿𝑀) ↔ 𝑀𝐿))
4846, 26, 47syl2anr 597 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → (0 ≤ (𝐿𝑀) ↔ 𝑀𝐿))
4948exbiri 811 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → (𝑀𝐿 → 0 ≤ (𝐿𝑀))))
5049com23 86 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀𝐿 → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → 0 ≤ (𝐿𝑀))))
5150imp31 417 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → 0 ≤ (𝐿𝑀))
52153ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
5352adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
54 resubcl 11571 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐿𝑀) ∈ ℝ)
5546, 27, 54syl2anr 597 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → (𝐿𝑀) ∈ ℝ)
5653, 55subge02d 11853 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → (0 ≤ (𝐿𝑀) ↔ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ≤ 𝑁))
5751, 56mpbid 232 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) ≤ 𝑁)
5845, 57jca 511 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → (𝑀 ≤ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∧ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ≤ 𝑁))
59 elfz2 13551 . . . . . . 7 ((𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∧ (𝑁 − (𝐿𝑀)) ≤ 𝑁)))
6014, 58, 59sylanbrc 583 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁)) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁))
6160ex 412 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)))
62613adant2 1130 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿𝑁) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)))
632, 62biimtrid 242 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐿) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐿) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)))
641, 63sylbi 217 . 2 (𝐿 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐿) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)))
6564imp 406 1 ((𝐿 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐿)) → (𝑁 − (𝐿𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156  cle 11294  cmin 11490  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545
This theorem is referenced by:  uzsubsubfz1  13584
  Copyright terms: Public domain W3C validator