MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcbc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcbc 16938
Description: Calculate the prime count of a binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcbc ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (𝑁C𝐾)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) − ((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))))))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑘   𝑘,𝑁   𝑘,𝐾

Proof of Theorem pcbc
StepHypRef Expression
1 simp3 1139 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
2 nnnn0 12533 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
323ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
43faccld 14323 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
54nnzd 12640 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
64nnne0d 12316 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝑁) ≠ 0)
7 fznn0sub 13596 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
873ad2ant2 1135 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
98faccld 14323 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℕ)
10 elfznn0 13660 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
11103ad2ant2 1135 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℕ0)
1211faccld 14323 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
139, 12nnmulcld 12319 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
14 pcdiv 16890 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ≠ 0) ∧ ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))) = ((𝑃 pCnt (!‘𝑁)) − (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))))
151, 5, 6, 13, 14syl121anc 1377 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))) = ((𝑃 pCnt (!‘𝑁)) − (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))))
16 bcval2 14344 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
17163ad2ant2 1135 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
1817oveq2d 7447 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (𝑁C𝐾)) = (𝑃 pCnt ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))))
19 fzfid 14014 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (1...𝑁) ∈ Fin)
20 nnre 12273 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
21203ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
2221adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
23 simpl3 1194 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑃 ∈ ℙ)
24 prmnn 16711 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑃 ∈ ℕ)
26 elfznn 13593 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
2726nnnn0d 12587 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2827adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2925, 28nnexpcld 14284 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
3022, 29nndivred 12320 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
3130flcld 13838 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℤ)
3231zcnd 12723 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℂ)
3311nn0red 12588 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℝ)
3421, 33resubcld 11691 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁𝐾) ∈ ℝ)
3534adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑁𝐾) ∈ ℝ)
3635, 29nndivred 12320 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
3736flcld 13838 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) ∈ ℤ)
3837zcnd 12723 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) ∈ ℂ)
3933adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
4039, 29nndivred 12320 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐾 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
4140flcld 13838 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))) ∈ ℤ)
4241zcnd 12723 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))) ∈ ℂ)
4338, 42addcld 11280 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘)))) ∈ ℂ)
4419, 32, 43fsumsub 15824 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) − ((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) − Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))))))
453nn0zd 12639 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
46 uzid 12893 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
4745, 46syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
48 pcfac 16937 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))
493, 47, 1, 48syl3anc 1373 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))
5011nn0ge0d 12590 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 ≤ 𝐾)
5121, 33subge02d 11855 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑁𝐾) ≤ 𝑁))
5250, 51mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁𝐾) ≤ 𝑁)
5311nn0zd 12639 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℤ)
5445, 53zsubcld 12727 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
55 eluz 12892 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁𝐾)) ↔ (𝑁𝐾) ≤ 𝑁))
5654, 45, 55syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁𝐾)) ↔ (𝑁𝐾) ≤ 𝑁))
5752, 56mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁𝐾)))
58 pcfac 16937 . . . . . . 7 (((𝑁𝐾) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁𝐾)) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (!‘(𝑁𝐾))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))))
598, 57, 1, 58syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (!‘(𝑁𝐾))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))))
60 elfzuz3 13561 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
61603ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
62 pcfac 16937 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (!‘𝐾)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))))
6311, 61, 1, 62syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (!‘𝐾)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))))
6459, 63oveq12d 7449 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 pCnt (!‘(𝑁𝐾))) + (𝑃 pCnt (!‘𝐾))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘)))))
659nnzd 12640 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℤ)
669nnne0d 12316 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘(𝑁𝐾)) ≠ 0)
6712nnzd 12640 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝐾) ∈ ℤ)
6812nnne0d 12316 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝐾) ≠ 0)
69 pcmul 16889 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁𝐾)) ≠ 0) ∧ ((!‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (!‘𝐾) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) = ((𝑃 pCnt (!‘(𝑁𝐾))) + (𝑃 pCnt (!‘𝐾))))
701, 65, 66, 67, 68, 69syl122anc 1381 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) = ((𝑃 pCnt (!‘(𝑁𝐾))) + (𝑃 pCnt (!‘𝐾))))
7119, 38, 42fsumadd 15776 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘)))))
7264, 70, 713eqtr4d 2787 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘)))))
7349, 72oveq12d 7449 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 pCnt (!‘𝑁)) − (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) − Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))))))
7444, 73eqtr4d 2780 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) − ((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))))) = ((𝑃 pCnt (!‘𝑁)) − (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))))
7515, 18, 743eqtr4d 2787 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (𝑁C𝐾)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) − ((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  cfl 13830  cexp 14102  !cfa 14312  Ccbc 14341  Σcsu 15722  cprime 16708   pCnt cpc 16874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-pc 16875
This theorem is referenced by:  pcbcctr  27320
  Copyright terms: Public domain W3C validator