MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcbc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcbc 16834
Description: Calculate the prime count of a binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcbc ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘C๐พ)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ ((โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐พ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
Distinct variable groups:   ๐‘ƒ,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘   ๐‘˜,๐พ

Proof of Theorem pcbc
StepHypRef Expression
1 simp3 1135 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
2 nnnn0 12477 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
323ad2ant1 1130 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
43faccld 14242 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
54nnzd 12583 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค)
64nnne0d 12260 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (!โ€˜๐‘) โ‰  0)
7 fznn0sub 13531 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0)
873ad2ant2 1131 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0)
98faccld 14242 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆˆ โ„•)
10 elfznn0 13592 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
11103ad2ant2 1131 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
1211faccld 14242 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„•)
139, 12nnmulcld 12263 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„•)
14 pcdiv 16786 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (!โ€˜๐‘) โ‰  0) โˆง ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)))) = ((๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘)) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)))))
151, 5, 6, 13, 14syl121anc 1372 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)))) = ((๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘)) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)))))
16 bcval2 14263 . . . 4 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘C๐พ) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
17163ad2ant2 1131 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘C๐พ) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
1817oveq2d 7418 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘C๐พ)) = (๐‘ƒ pCnt ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)))))
19 fzfid 13936 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
20 nnre 12217 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
21203ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2221adantr 480 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
23 simpl3 1190 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
24 prmnn 16610 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
26 elfznn 13528 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
2726nnnn0d 12530 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
2827adantl 481 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
2925, 28nnexpcld 14206 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
3022, 29nndivred 12264 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
3130flcld 13761 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„ค)
3231zcnd 12665 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
3311nn0red 12531 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
3421, 33resubcld 11640 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„)
3534adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„)
3635, 29nndivred 12264 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
3736flcld 13761 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„ค)
3837zcnd 12665 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
3933adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
4039, 29nndivred 12264 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐พ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
4140flcld 13761 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐พ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„ค)
4241zcnd 12665 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐พ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
4338, 42addcld 11231 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐พ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) โˆˆ โ„‚)
4419, 32, 43fsumsub 15732 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ ((โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐พ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐พ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
453nn0zd 12582 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
46 uzid 12835 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
4745, 46syl 17 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
48 pcfac 16833 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
493, 47, 1, 48syl3anc 1368 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
5011nn0ge0d 12533 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ 0 โ‰ค ๐พ)
5121, 33subge02d 11804 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (0 โ‰ค ๐พ โ†” (๐‘ โˆ’ ๐พ) โ‰ค ๐‘))
5250, 51mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โ‰ค ๐‘)
5311nn0zd 12582 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
5445, 53zsubcld 12669 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„ค)
55 eluz 12834 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โ†” (๐‘ โˆ’ ๐พ) โ‰ค ๐‘))
5654, 45, 55syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โ†” (๐‘ โˆ’ ๐พ) โ‰ค ๐‘))
5752, 56mpbird 257 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)))
58 pcfac 16833 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
598, 57, 1, 58syl3anc 1368 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
60 elfzuz3 13496 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ))
61603ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ))
62 pcfac 16833 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐พ)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(โŒŠโ€˜(๐พ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
6311, 61, 1, 62syl3anc 1368 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐พ)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(โŒŠโ€˜(๐พ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
6459, 63oveq12d 7420 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ))) + (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐พ))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(โŒŠโ€˜(๐พ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
659nnzd 12583 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆˆ โ„ค)
669nnne0d 12260 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โ‰  0)
6712nnzd 12583 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค)
6812nnne0d 12260 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (!โ€˜๐พ) โ‰  0)
69 pcmul 16785 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆˆ โ„ค โˆง (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โ‰  0) โˆง ((!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง (!โ€˜๐พ) โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))) = ((๐‘ƒ pCnt (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ))) + (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐พ))))
701, 65, 66, 67, 68, 69syl122anc 1376 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))) = ((๐‘ƒ pCnt (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ))) + (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐พ))))
7119, 38, 42fsumadd 15684 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐พ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(โŒŠโ€˜(๐พ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
7264, 70, 713eqtr4d 2774 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐พ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
7349, 72oveq12d 7420 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘)) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐พ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
7444, 73eqtr4d 2767 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ ((โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐พ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) = ((๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘)) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)))))
7515, 18, 743eqtr4d 2774 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘C๐พ)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ ((โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐พ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932   class class class wbr 5139  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  โ„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   ยท cmul 11112   โ‰ค cle 11247   โˆ’ cmin 11442   / cdiv 11869  โ„•cn 12210  โ„•0cn0 12470  โ„คcz 12556  โ„คโ‰ฅcuz 12820  ...cfz 13482  โŒŠcfl 13753  โ†‘cexp 14025  !cfa 14231  Ccbc 14260  ฮฃcsu 15630  โ„™cprime 16607   pCnt cpc 16770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-q 12931  df-rp 12973  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-fl 13755  df-mod 13833  df-seq 13965  df-exp 14026  df-fac 14232  df-bc 14261  df-hash 14289  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-clim 15430  df-sum 15631  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-prm 16608  df-pc 16771
This theorem is referenced by:  pcbcctr  27128
  Copyright terms: Public domain W3C validator