Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcbc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcbc 16304
 Description: Calculate the prime count of a binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcbc ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (𝑁C𝐾)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) − ((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))))))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑘   𝑘,𝑁   𝑘,𝐾

Proof of Theorem pcbc
StepHypRef Expression
1 simp3 1135 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
2 nnnn0 11954 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
323ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
43faccld 13707 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
54nnzd 12138 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
64nnne0d 11737 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝑁) ≠ 0)
7 fznn0sub 13001 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
873ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
98faccld 13707 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℕ)
10 elfznn0 13062 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
11103ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℕ0)
1211faccld 13707 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
139, 12nnmulcld 11740 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
14 pcdiv 16257 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ≠ 0) ∧ ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))) = ((𝑃 pCnt (!‘𝑁)) − (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))))
151, 5, 6, 13, 14syl121anc 1372 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))) = ((𝑃 pCnt (!‘𝑁)) − (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))))
16 bcval2 13728 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
17163ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
1817oveq2d 7172 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (𝑁C𝐾)) = (𝑃 pCnt ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))))
19 fzfid 13403 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (1...𝑁) ∈ Fin)
20 nnre 11694 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
21203ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
2221adantr 484 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
23 simpl3 1190 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑃 ∈ ℙ)
24 prmnn 16083 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑃 ∈ ℕ)
26 elfznn 12998 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
2726nnnn0d 12007 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2827adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2925, 28nnexpcld 13669 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
3022, 29nndivred 11741 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
3130flcld 13230 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℤ)
3231zcnd 12140 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℂ)
3311nn0red 12008 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℝ)
3421, 33resubcld 11119 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁𝐾) ∈ ℝ)
3534adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑁𝐾) ∈ ℝ)
3635, 29nndivred 11741 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
3736flcld 13230 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) ∈ ℤ)
3837zcnd 12140 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) ∈ ℂ)
3933adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
4039, 29nndivred 11741 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐾 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
4140flcld 13230 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))) ∈ ℤ)
4241zcnd 12140 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))) ∈ ℂ)
4338, 42addcld 10711 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘)))) ∈ ℂ)
4419, 32, 43fsumsub 15204 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) − ((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) − Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))))))
453nn0zd 12137 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
46 uzid 12310 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
4745, 46syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
48 pcfac 16303 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))
493, 47, 1, 48syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))
5011nn0ge0d 12010 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 ≤ 𝐾)
5121, 33subge02d 11283 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑁𝐾) ≤ 𝑁))
5250, 51mpbid 235 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁𝐾) ≤ 𝑁)
5311nn0zd 12137 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℤ)
5445, 53zsubcld 12144 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
55 eluz 12309 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁𝐾)) ↔ (𝑁𝐾) ≤ 𝑁))
5654, 45, 55syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁𝐾)) ↔ (𝑁𝐾) ≤ 𝑁))
5752, 56mpbird 260 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁𝐾)))
58 pcfac 16303 . . . . . . 7 (((𝑁𝐾) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁𝐾)) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (!‘(𝑁𝐾))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))))
598, 57, 1, 58syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (!‘(𝑁𝐾))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))))
60 elfzuz3 12966 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
61603ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
62 pcfac 16303 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (!‘𝐾)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))))
6311, 61, 1, 62syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (!‘𝐾)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))))
6459, 63oveq12d 7174 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 pCnt (!‘(𝑁𝐾))) + (𝑃 pCnt (!‘𝐾))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘)))))
659nnzd 12138 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℤ)
669nnne0d 11737 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘(𝑁𝐾)) ≠ 0)
6712nnzd 12138 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝐾) ∈ ℤ)
6812nnne0d 11737 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝐾) ≠ 0)
69 pcmul 16256 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑁𝐾)) ≠ 0) ∧ ((!‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (!‘𝐾) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) = ((𝑃 pCnt (!‘(𝑁𝐾))) + (𝑃 pCnt (!‘𝐾))))
701, 65, 66, 67, 68, 69syl122anc 1376 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) = ((𝑃 pCnt (!‘(𝑁𝐾))) + (𝑃 pCnt (!‘𝐾))))
7119, 38, 42fsumadd 15157 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘)))))
7264, 70, 713eqtr4d 2803 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘)))))
7349, 72oveq12d 7174 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 pCnt (!‘𝑁)) − (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) − Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))))))
7444, 73eqtr4d 2796 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) − ((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))))) = ((𝑃 pCnt (!‘𝑁)) − (𝑃 pCnt ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))))
7515, 18, 743eqtr4d 2803 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (𝑁C𝐾)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) − ((⌊‘((𝑁𝐾) / (𝑃𝑘))) + (⌊‘(𝐾 / (𝑃𝑘))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   class class class wbr 5036  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℝcr 10587  0cc0 10588  1c1 10589   + caddc 10591   · cmul 10593   ≤ cle 10727   − cmin 10921   / cdiv 11348  ℕcn 11687  ℕ0cn0 11947  ℤcz 12033  ℤ≥cuz 12295  ...cfz 12952  ⌊cfl 13222  ↑cexp 13492  !cfa 13696  Ccbc 13725  Σcsu 15103  ℙcprime 16080   pCnt cpc 16241 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-sup 8952  df-inf 8953  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-fl 13224  df-mod 13300  df-seq 13432  df-exp 13493  df-fac 13697  df-bc 13726  df-hash 13754  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-clim 14906  df-sum 15104  df-dvds 15669  df-gcd 15907  df-prm 16081  df-pc 16242 This theorem is referenced by:  pcbcctr  25972
 Copyright terms: Public domain W3C validator