MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcbc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcbc 16862
Description: Calculate the prime count of a binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcbc ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘C๐พ)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ ((โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐พ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
Distinct variable groups:   ๐‘ƒ,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘   ๐‘˜,๐พ

Proof of Theorem pcbc
StepHypRef Expression
1 simp3 1136 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
2 nnnn0 12503 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
323ad2ant1 1131 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
43faccld 14269 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
54nnzd 12609 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค)
64nnne0d 12286 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (!โ€˜๐‘) โ‰  0)
7 fznn0sub 13559 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0)
873ad2ant2 1132 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0)
98faccld 14269 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆˆ โ„•)
10 elfznn0 13620 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
11103ad2ant2 1132 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
1211faccld 14269 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„•)
139, 12nnmulcld 12289 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„•)
14 pcdiv 16814 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (!โ€˜๐‘) โ‰  0) โˆง ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)))) = ((๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘)) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)))))
151, 5, 6, 13, 14syl121anc 1373 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)))) = ((๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘)) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)))))
16 bcval2 14290 . . . 4 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘C๐พ) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
17163ad2ant2 1132 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘C๐พ) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
1817oveq2d 7430 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘C๐พ)) = (๐‘ƒ pCnt ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)))))
19 fzfid 13964 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
20 nnre 12243 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
21203ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2221adantr 480 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
23 simpl3 1191 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
24 prmnn 16638 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
26 elfznn 13556 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
2726nnnn0d 12556 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
2827adantl 481 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
2925, 28nnexpcld 14233 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
3022, 29nndivred 12290 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
3130flcld 13789 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„ค)
3231zcnd 12691 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
3311nn0red 12557 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
3421, 33resubcld 11666 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„)
3534adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„)
3635, 29nndivred 12290 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
3736flcld 13789 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„ค)
3837zcnd 12691 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
3933adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
4039, 29nndivred 12290 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐พ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
4140flcld 13789 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐พ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„ค)
4241zcnd 12691 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐พ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
4338, 42addcld 11257 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐พ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) โˆˆ โ„‚)
4419, 32, 43fsumsub 15760 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ ((โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐พ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐พ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
453nn0zd 12608 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
46 uzid 12861 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
4745, 46syl 17 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
48 pcfac 16861 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
493, 47, 1, 48syl3anc 1369 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
5011nn0ge0d 12559 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ 0 โ‰ค ๐พ)
5121, 33subge02d 11830 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (0 โ‰ค ๐พ โ†” (๐‘ โˆ’ ๐พ) โ‰ค ๐‘))
5250, 51mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โ‰ค ๐‘)
5311nn0zd 12608 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
5445, 53zsubcld 12695 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„ค)
55 eluz 12860 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โ†” (๐‘ โˆ’ ๐พ) โ‰ค ๐‘))
5654, 45, 55syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โ†” (๐‘ โˆ’ ๐พ) โ‰ค ๐‘))
5752, 56mpbird 257 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)))
58 pcfac 16861 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
598, 57, 1, 58syl3anc 1369 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
60 elfzuz3 13524 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ))
61603ad2ant2 1132 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ))
62 pcfac 16861 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐พ)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(โŒŠโ€˜(๐พ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
6311, 61, 1, 62syl3anc 1369 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐พ)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(โŒŠโ€˜(๐พ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
6459, 63oveq12d 7432 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ))) + (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐พ))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(โŒŠโ€˜(๐พ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
659nnzd 12609 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆˆ โ„ค)
669nnne0d 12286 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โ‰  0)
6712nnzd 12609 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค)
6812nnne0d 12286 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (!โ€˜๐พ) โ‰  0)
69 pcmul 16813 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆˆ โ„ค โˆง (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โ‰  0) โˆง ((!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง (!โ€˜๐พ) โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))) = ((๐‘ƒ pCnt (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ))) + (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐พ))))
701, 65, 66, 67, 68, 69syl122anc 1377 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))) = ((๐‘ƒ pCnt (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ))) + (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐พ))))
7119, 38, 42fsumadd 15712 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐พ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(โŒŠโ€˜(๐พ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
7264, 70, 713eqtr4d 2778 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐พ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
7349, 72oveq12d 7432 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘)) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐พ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
7444, 73eqtr4d 2771 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ ((โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐พ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) = ((๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘)) โˆ’ (๐‘ƒ pCnt ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)))))
7515, 18, 743eqtr4d 2778 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘C๐พ)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ ((โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (โŒŠโ€˜(๐พ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2936   class class class wbr 5142  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„cr 11131  0cc0 11132  1c1 11133   + caddc 11135   ยท cmul 11137   โ‰ค cle 11273   โˆ’ cmin 11468   / cdiv 11895  โ„•cn 12236  โ„•0cn0 12496  โ„คcz 12582  โ„คโ‰ฅcuz 12846  ...cfz 13510  โŒŠcfl 13781  โ†‘cexp 14052  !cfa 14258  Ccbc 14287  ฮฃcsu 15658  โ„™cprime 16635   pCnt cpc 16798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-fl 13783  df-mod 13861  df-seq 13993  df-exp 14053  df-fac 14259  df-bc 14288  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15458  df-sum 15659  df-dvds 16225  df-gcd 16463  df-prm 16636  df-pc 16799
This theorem is referenced by:  pcbcctr  27202
  Copyright terms: Public domain W3C validator