Theorem dnibndlem11 35668

Description: Lemma for dnibnd 35671. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibndlem11.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem11.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem11	⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (1 / 2))

Proof of Theorem dnibndlem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibndlem11.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	dnicld1 35652	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ)
3		dnibndlem11.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	dnicld1 35652	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
5	2, 4	resubcld 11647	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℝ)
6		halfre 12431	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
8	2	recnd 11247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℂ)
9	4	recnd 11247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℂ)
10	8, 9	negsubdi2d 11592	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) = ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))))
11	4, 2	resubcld 11647	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ∈ ℝ)
12	1, 7	readdcld 11248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
13		reflcl 13766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
16	1	recnd 11247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
17	15, 16	subcld 11576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) ∈ ℂ)
18	17	absge0d 15396	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
19	4, 2	subge02d 11811	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ↔ ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
20	18, 19	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
21		rddif 15292	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ (1 / 2))
22	3, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ (1 / 2))
23	11, 4, 7, 20, 22	letrd 11376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ≤ (1 / 2))
24	10, 23	eqbrtrd 5170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (1 / 2))
25	5, 7, 24	lenegcon1d 11801	. . 3 ⊢ (𝜑 → -(1 / 2) ≤ ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
26	3, 7	readdcld 11248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
27		reflcl 13766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11247	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
30	3	recnd 11247	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
31	29, 30	subcld 11576	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) ∈ ℂ)
32	31	absge0d 15396	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
33	2, 4	subge02d 11811	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ↔ ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))))
34	32, 33	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
35		rddif 15292	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ≤ (1 / 2))
36	1, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ≤ (1 / 2))
37	5, 2, 7, 34, 36	letrd 11376	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (1 / 2))
38	25, 37	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (-(1 / 2) ≤ ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∧ ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (1 / 2)))
39	5, 7	absled 15382	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (1 / 2) ↔ (-(1 / 2) ≤ ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∧ ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (1 / 2))))
40	38, 39	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (1 / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℝcr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   ≤ cle 11254   − cmin 11449  -cneg 11450   / cdiv 11876  2c2 12272  ⌊cfl 13760  abscabs 15186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188

This theorem is referenced by:  dnibndlem12  35669