Theorem dnibndlem11 36482

Description: Lemma for dnibnd 36485. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibndlem11.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem11.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem11	⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (1 / 2))

Proof of Theorem dnibndlem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibndlem11.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	dnicld1 36466	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ)
3		dnibndlem11.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	dnicld1 36466	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
5	2, 4	resubcld 11548	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℝ)
6		halfre 12337	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
8	2	recnd 11143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℂ)
9	4	recnd 11143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℂ)
10	8, 9	negsubdi2d 11491	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) = ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))))
11	4, 2	resubcld 11548	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ∈ ℝ)
12	1, 7	readdcld 11144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
13		reflcl 13700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
16	1	recnd 11143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
17	15, 16	subcld 11475	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) ∈ ℂ)
18	17	absge0d 15354	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
19	4, 2	subge02d 11712	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ↔ ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
20	18, 19	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
21		rddif 15248	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ (1 / 2))
22	3, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ (1 / 2))
23	11, 4, 7, 20, 22	letrd 11273	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ≤ (1 / 2))
24	10, 23	eqbrtrd 5114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (1 / 2))
25	5, 7, 24	lenegcon1d 11702	. . 3 ⊢ (𝜑 → -(1 / 2) ≤ ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
26	3, 7	readdcld 11144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
27		reflcl 13700	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
30	3	recnd 11143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
31	29, 30	subcld 11475	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) ∈ ℂ)
32	31	absge0d 15354	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
33	2, 4	subge02d 11712	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ↔ ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))))
34	32, 33	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
35		rddif 15248	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ≤ (1 / 2))
36	1, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ≤ (1 / 2))
37	5, 2, 7, 34, 36	letrd 11273	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (1 / 2))
38	25, 37	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (-(1 / 2) ≤ ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∧ ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (1 / 2)))
39	5, 7	absled 15340	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (1 / 2) ↔ (-(1 / 2) ≤ ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∧ ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (1 / 2))))
40	38, 39	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (1 / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   ≤ cle 11150   − cmin 11347  -cneg 11348   / cdiv 11777  2c2 12183  ⌊cfl 13694  abscabs 15141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143

This theorem is referenced by:  dnibndlem12  36483