Theorem dnibndlem11 32815

Description: Lemma for dnibnd 32818. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibndlem11.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem11.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem11	⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (1 / 2))

Proof of Theorem dnibndlem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibndlem11.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	dnicld1 32799	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ)
3		dnibndlem11.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	dnicld1 32799	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
5	2, 4	resubcld 10664	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℝ)
6		halfre 11453	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
8	2	recnd 10274	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℂ)
9	4	recnd 10274	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℂ)
10	8, 9	negsubdi2d 10614	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) = ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))))
11	4, 2	resubcld 10664	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ∈ ℝ)
12	1, 7	readdcld 10275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
13		reflcl 12805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
15	14	recnd 10274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
16	1	recnd 10274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
17	15, 16	subcld 10598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) ∈ ℂ)
18	17	absge0d 14391	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
19	4, 2	subge02d 10825	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ↔ ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
20	18, 19	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
21		rddif 14288	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ (1 / 2))
22	3, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ (1 / 2))
23	11, 4, 7, 20, 22	letrd 10400	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ≤ (1 / 2))
24	10, 23	eqbrtrd 4809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (1 / 2))
25	5, 7, 24	lenegcon1d 10815	. . 3 ⊢ (𝜑 → -(1 / 2) ≤ ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
26	3, 7	readdcld 10275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
27		reflcl 12805	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
29	28	recnd 10274	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
30	3	recnd 10274	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
31	29, 30	subcld 10598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) ∈ ℂ)
32	31	absge0d 14391	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
33	2, 4	subge02d 10825	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ↔ ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))))
34	32, 33	mpbid 222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
35		rddif 14288	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ≤ (1 / 2))
36	1, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ≤ (1 / 2))
37	5, 2, 7, 34, 36	letrd 10400	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (1 / 2))
38	25, 37	jca 501	. 2 ⊢ (𝜑 → (-(1 / 2) ≤ ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∧ ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (1 / 2)))
39	5, 7	absled 14377	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (1 / 2) ↔ (-(1 / 2) ≤ ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∧ ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (1 / 2))))
40	38, 39	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (1 / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4787  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  ℝcr 10141  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   ≤ cle 10281   − cmin 10472  -cneg 10473   / cdiv 10890  2c2 11276  ⌊cfl 12799  abscabs 14182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8508  df-inf 8509  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184

This theorem is referenced by:  dnibndlem12  32816