Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnibndlem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnibndlem11 33724
Description: Lemma for dnibnd 33727. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dnibndlem11.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem11.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
dnibndlem11 (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (1 / 2))

Proof of Theorem dnibndlem11
StepHypRef Expression
1 dnibndlem11.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
21dnicld1 33708 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ)
3 dnibndlem11.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
43dnicld1 33708 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
52, 4resubcld 11056 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℝ)
6 halfre 11839 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℝ
76a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
82recnd 10657 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℂ)
94recnd 10657 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℂ)
108, 9negsubdi2d 11001 . . . . 5 (𝜑 → -((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) = ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))))
114, 2resubcld 11056 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ∈ ℝ)
121, 7readdcld 10658 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
13 reflcl 13154 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
1514recnd 10657 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
161recnd 10657 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1715, 16subcld 10985 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) ∈ ℂ)
1817absge0d 14792 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
194, 2subge02d 11220 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 ≤ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ↔ ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
2018, 19mpbid 233 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
21 rddif 14688 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ (1 / 2))
223, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ (1 / 2))
2311, 4, 7, 20, 22letrd 10785 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ≤ (1 / 2))
2410, 23eqbrtrd 5079 . . . 4 (𝜑 → -((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (1 / 2))
255, 7, 24lenegcon1d 11210 . . 3 (𝜑 → -(1 / 2) ≤ ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
263, 7readdcld 10658 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
27 reflcl 13154 . . . . . . . . 9 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
2928recnd 10657 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
303recnd 10657 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3129, 30subcld 10985 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) ∈ ℂ)
3231absge0d 14792 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
332, 4subge02d 11220 . . . . 5 (𝜑 → (0 ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ↔ ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))))
3432, 33mpbid 233 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
35 rddif 14688 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ≤ (1 / 2))
361, 35syl 17 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ≤ (1 / 2))
375, 2, 7, 34, 36letrd 10785 . . 3 (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (1 / 2))
3825, 37jca 512 . 2 (𝜑 → (-(1 / 2) ≤ ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∧ ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (1 / 2)))
395, 7absled 14778 . 2 (𝜑 → ((abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (1 / 2) ↔ (-(1 / 2) ≤ ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∧ ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (1 / 2))))
4038, 39mpbird 258 1 (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (1 / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528  cle 10664  cmin 10858  -cneg 10859   / cdiv 11285  2c2 11680  cfl 13148  abscabs 14581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583
This theorem is referenced by:  dnibndlem12  33725
  Copyright terms: Public domain W3C validator