MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smueqlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem smueqlem 16438
Description: Any element of a sequence multiplication only depends on the values of the argument sequences up to and including that point. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smueq.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
smueq.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
smueq.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
smueq.p 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)})), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
smueq.q 𝑄 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))})), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
Assertion
Ref Expression
smueqlem (πœ‘ β†’ ((𝐴 smul 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) smul (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
Distinct variable groups:   π‘š,𝑛,𝑝,𝐴   𝐡,π‘š,𝑛,𝑝   π‘š,𝑁,𝑛,𝑝   πœ‘,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑝)   𝑃(π‘š,𝑛,𝑝)   𝑄(π‘š,𝑛,𝑝)
Proof of Theorem smueqlem
Dummy variables π‘˜ 𝑖 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smueq.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
21adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
3 smueq.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
43adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
5 smueq.p . . . . . . 7 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)})), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
6 elfzouz 13642 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
76adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
8 nn0uz 12868 . . . . . . . 8 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
97, 8eleqtrrdi 2838 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
109nn0zd 12588 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
1110peano2zd 12673 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„€)
12 smueq.n . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1312adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1413nn0zd 12588 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
15 elfzolt2 13647 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ π‘˜ < 𝑁)
1615adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘˜ < 𝑁)
17 nn0ltp1le 12624 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ < 𝑁 ↔ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁))
189, 13, 17syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ < 𝑁 ↔ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁))
1916, 18mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁)
20 eluz2 12832 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1)) ↔ ((π‘˜ + 1) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁))
2111, 14, 19, 20syl3anbrc 1340 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1)))
222, 4, 5, 9, 21smuval2 16430 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜π‘)))
2312, 8eleqtrdi 2837 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
24 eluzfz2b 13516 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
2523, 24sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
26 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜0))
2726ineq1d 4206 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘ƒβ€˜0) ∩ (0..^𝑁)))
28 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘„β€˜π‘₯) = (π‘„β€˜0))
2928ineq1d 4206 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜0) ∩ (0..^𝑁)))
3027, 29eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 0 β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) ↔ ((π‘ƒβ€˜0) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜0) ∩ (0..^𝑁))))
3130imbi2d 340 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 0 β†’ ((πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁))) ↔ (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜0) ∩ (0..^𝑁)))))
32 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑖 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
3332ineq1d 4206 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑖 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)))
34 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑖 β†’ (π‘„β€˜π‘₯) = (π‘„β€˜π‘–))
3534ineq1d 4206 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑖 β†’ ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)))
3633, 35eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑖 β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) ↔ ((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁))))
3736imbi2d 340 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑖 β†’ ((πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁))) ↔ (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)))))
38 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = (𝑖 + 1) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))
3938ineq1d 4206 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (𝑖 + 1) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)))
40 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = (𝑖 + 1) β†’ (π‘„β€˜π‘₯) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
4140ineq1d 4206 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (𝑖 + 1) β†’ ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)))
4239, 41eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (𝑖 + 1) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) ↔ ((π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁))))
4342imbi2d 340 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (𝑖 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁))) ↔ (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)))))
44 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘))
4544ineq1d 4206 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘ƒβ€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)))
46 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘„β€˜π‘₯) = (π‘„β€˜π‘))
4746ineq1d 4206 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)))
4845, 47eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) ↔ ((π‘ƒβ€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘) ∩ (0..^𝑁))))
4948imbi2d 340 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁))) ↔ (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)))))
501, 3, 5smup0 16427 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) = βˆ…)
51 inss1 4223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† 𝐡
5251, 3sstrid 3988 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
53 smueq.q . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑄 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))})), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
541, 52, 53smup0 16427 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) = βˆ…)
5550, 54eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘„β€˜0))
5655ineq1d 4206 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜0) ∩ (0..^𝑁)))
5756a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜0) ∩ (0..^𝑁))))
58 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))) = (((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))))
5958ineq1d 4206 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) β†’ ((((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) = ((((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
601adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
613adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
62 elfzonn0 13683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
6362adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
6460, 61, 5, 63smupp1 16428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) = ((π‘ƒβ€˜π‘–) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)}))
6564ineq1d 4206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) = (((π‘ƒβ€˜π‘–) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)}) ∩ (0..^𝑁)))
661, 3, 5smupf 16426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑃:β„•0βŸΆπ’« β„•0)
67 ffvelcdm 7077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃:β„•0βŸΆπ’« β„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ 𝒫 β„•0)
6866, 62, 67syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ 𝒫 β„•0)
6968elpwid 4606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) βŠ† β„•0)
70 ssrab2 4072 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} βŠ† β„•0
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} βŠ† β„•0)
7212adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
7369, 71, 72sadeq 16420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘–) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)}) ∩ (0..^𝑁)) = ((((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
7465, 73eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) = ((((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
7552adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
7660, 75, 53, 63smupp1 16428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = ((π‘„β€˜π‘–) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))}))
7776ineq1d 4206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) = (((π‘„β€˜π‘–) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))}) ∩ (0..^𝑁)))
781, 52, 53smupf 16426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑄:β„•0βŸΆπ’« β„•0)
79 ffvelcdm 7077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑄:β„•0βŸΆπ’« β„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ 𝒫 β„•0)
8078, 62, 79syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ 𝒫 β„•0)
8180elpwid 4606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) βŠ† β„•0)
82 ssrab2 4072 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))} βŠ† β„•0
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))} βŠ† β„•0)
8481, 83, 72sadeq 16420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((π‘„β€˜π‘–) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))}) ∩ (0..^𝑁)) = ((((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))} ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
85 elinel2 4191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^𝑁)) β†’ 𝑛 ∈ (0..^𝑁))
8661adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
8786sseld 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡 β†’ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ β„•0))
88 elfzo0 13679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 < 𝑁))
8988simp2bi 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
9089adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
91 elfzonn0 13683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
9291adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
9392nn0red 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
9463adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
9594nn0red 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
9693, 95resubcld 11646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ ℝ)
9790nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
9894nn0ge0d 12539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 0 ≀ 𝑖)
9993, 95subge02d 11810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (0 ≀ 𝑖 ↔ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ≀ 𝑛))
10098, 99mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ≀ 𝑛)
101 elfzolt2 13647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑛 < 𝑁)
102101adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑛 < 𝑁)
10396, 93, 97, 100, 102lelttrd 11376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑛 βˆ’ 𝑖) < 𝑁)
10490, 103jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) < 𝑁))
105 elfzo0 13679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) < 𝑁))
106 3anass 1092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) < 𝑁) ↔ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ β„•0 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) < 𝑁)))
107105, 106bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ β„•0 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) < 𝑁)))
108107baib 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ β„•0 β†’ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) < 𝑁)))
109104, 108syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ β„•0 β†’ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (0..^𝑁)))
11087, 109syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡 β†’ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (0..^𝑁)))
111110pm4.71rd 562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡 ↔ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)))
112 ancom 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡) ↔ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (0..^𝑁)))
113 elin 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ↔ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (0..^𝑁)))
114112, 113bitr4i 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡) ↔ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))
115111, 114bitr2di 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ↔ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡))
116115anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ↔ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)))
11785, 116sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^𝑁))) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ↔ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)))
118117rabbidva 3433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ {𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^𝑁)) ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))} = {𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^𝑁)) ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)})
119 inrab2 4302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))} ∩ (0..^𝑁)) = {𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^𝑁)) ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))}
120 inrab2 4302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁)) = {𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^𝑁)) ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)}
121118, 119, 1203eqtr4g 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))} ∩ (0..^𝑁)) = ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁)))
122121oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))} ∩ (0..^𝑁))) = (((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))))
123122ineq1d 4206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))} ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) = ((((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
12477, 84, 1233eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) = ((((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
12574, 124eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) ↔ ((((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) = ((((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
12659, 125imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁))))
127126expcom 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (0..^𝑁) β†’ (πœ‘ β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)))))
128127a2d 29 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (0..^𝑁) β†’ ((πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁))) β†’ (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)))))
12931, 37, 43, 49, 57, 128fzind2 13756 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (0...𝑁) β†’ (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘) ∩ (0..^𝑁))))
13025, 129mpcom 38 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)))
131130adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)))
132131eleq2d 2813 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) ↔ π‘˜ ∈ ((π‘„β€˜π‘) ∩ (0..^𝑁))))
133 elin 3959 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) ↔ (π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)))
134133rbaib 538 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ (π‘˜ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) ↔ π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜π‘)))
135134adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) ↔ π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜π‘)))
136 elin 3959 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ ((π‘„β€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) ↔ (π‘˜ ∈ (π‘„β€˜π‘) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)))
137136rbaib 538 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ (π‘˜ ∈ ((π‘„β€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) ↔ π‘˜ ∈ (π‘„β€˜π‘)))
138137adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ ∈ ((π‘„β€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) ↔ π‘˜ ∈ (π‘„β€˜π‘)))
139132, 135, 1383bitr3d 309 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜π‘) ↔ π‘˜ ∈ (π‘„β€˜π‘)))
14052adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
1412, 140, 53, 13smupval 16436 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘„β€˜π‘) = ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) smul (𝐡 ∩ (0..^𝑁))))
142141eleq2d 2813 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ ∈ (π‘„β€˜π‘) ↔ π‘˜ ∈ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) smul (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))
14322, 139, 1423bitrd 305 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ π‘˜ ∈ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) smul (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))
144143ex 412 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ π‘˜ ∈ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) smul (𝐡 ∩ (0..^𝑁))))))
145144pm5.32rd 577 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (𝐴 smul 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ↔ (π‘˜ ∈ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) smul (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁))))
146 elin 3959 . . 3 (π‘˜ ∈ ((𝐴 smul 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ↔ (π‘˜ ∈ (𝐴 smul 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)))
147 elin 3959 . . 3 (π‘˜ ∈ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) smul (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ↔ (π‘˜ ∈ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) smul (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)))
148145, 146, 1473bitr4g 314 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ ((𝐴 smul 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ↔ π‘˜ ∈ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) smul (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
149148eqrdv 2724 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴 smul 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) smul (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  ifcif 4523  π’« cpw 4597   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633  seqcseq 13972   sadd csad 16368   smul csmu 16369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-had 1587  df-cad 1600  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-dvds 16205  df-bits 16370  df-sad 16399  df-smu 16424
This theorem is referenced by:  smueq  16439
  Copyright terms: Public domain W3C validator