MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smueqlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem smueqlem 16474
Description: Any element of a sequence multiplication only depends on the values of the argument sequences up to and including that point. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smueq.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
smueq.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
smueq.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
smueq.p 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)})), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
smueq.q 𝑄 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))})), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
Assertion
Ref Expression
smueqlem (πœ‘ β†’ ((𝐴 smul 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) smul (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
Distinct variable groups:   π‘š,𝑛,𝑝,𝐴   𝐡,π‘š,𝑛,𝑝   π‘š,𝑁,𝑛,𝑝   πœ‘,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑝)   𝑃(π‘š,𝑛,𝑝)   𝑄(π‘š,𝑛,𝑝)
Proof of Theorem smueqlem
Dummy variables π‘˜ 𝑖 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smueq.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
21adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
3 smueq.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
43adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
5 smueq.p . . . . . . 7 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)})), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
6 elfzouz 13678 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
76adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
8 nn0uz 12904 . . . . . . . 8 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
97, 8eleqtrrdi 2840 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
109nn0zd 12624 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
1110peano2zd 12709 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„€)
12 smueq.n . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1312adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1413nn0zd 12624 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
15 elfzolt2 13683 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ π‘˜ < 𝑁)
1615adantl 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘˜ < 𝑁)
17 nn0ltp1le 12660 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ < 𝑁 ↔ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁))
189, 13, 17syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ < 𝑁 ↔ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁))
1916, 18mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁)
20 eluz2 12868 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1)) ↔ ((π‘˜ + 1) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁))
2111, 14, 19, 20syl3anbrc 1340 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1)))
222, 4, 5, 9, 21smuval2 16466 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜π‘)))
2312, 8eleqtrdi 2839 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
24 eluzfz2b 13552 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
2523, 24sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
26 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜0))
2726ineq1d 4213 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘ƒβ€˜0) ∩ (0..^𝑁)))
28 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘„β€˜π‘₯) = (π‘„β€˜0))
2928ineq1d 4213 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜0) ∩ (0..^𝑁)))
3027, 29eqeq12d 2744 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 0 β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) ↔ ((π‘ƒβ€˜0) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜0) ∩ (0..^𝑁))))
3130imbi2d 339 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 0 β†’ ((πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁))) ↔ (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜0) ∩ (0..^𝑁)))))
32 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑖 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
3332ineq1d 4213 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑖 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)))
34 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑖 β†’ (π‘„β€˜π‘₯) = (π‘„β€˜π‘–))
3534ineq1d 4213 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑖 β†’ ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)))
3633, 35eqeq12d 2744 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑖 β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) ↔ ((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁))))
3736imbi2d 339 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑖 β†’ ((πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁))) ↔ (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)))))
38 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = (𝑖 + 1) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))
3938ineq1d 4213 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (𝑖 + 1) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)))
40 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = (𝑖 + 1) β†’ (π‘„β€˜π‘₯) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
4140ineq1d 4213 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (𝑖 + 1) β†’ ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)))
4239, 41eqeq12d 2744 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (𝑖 + 1) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) ↔ ((π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁))))
4342imbi2d 339 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (𝑖 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁))) ↔ (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)))))
44 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘))
4544ineq1d 4213 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘ƒβ€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)))
46 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘„β€˜π‘₯) = (π‘„β€˜π‘))
4746ineq1d 4213 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)))
4845, 47eqeq12d 2744 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) ↔ ((π‘ƒβ€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘) ∩ (0..^𝑁))))
4948imbi2d 339 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁))) ↔ (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)))))
501, 3, 5smup0 16463 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) = βˆ…)
51 inss1 4231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† 𝐡
5251, 3sstrid 3993 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
53 smueq.q . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑄 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))})), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
541, 52, 53smup0 16463 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) = βˆ…)
5550, 54eqtr4d 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘„β€˜0))
5655ineq1d 4213 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜0) ∩ (0..^𝑁)))
5756a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜0) ∩ (0..^𝑁))))
58 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))) = (((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))))
5958ineq1d 4213 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) β†’ ((((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) = ((((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
601adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
613adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
62 elfzonn0 13719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
6362adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
6460, 61, 5, 63smupp1 16464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) = ((π‘ƒβ€˜π‘–) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)}))
6564ineq1d 4213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) = (((π‘ƒβ€˜π‘–) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)}) ∩ (0..^𝑁)))
661, 3, 5smupf 16462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑃:β„•0βŸΆπ’« β„•0)
67 ffvelcdm 7096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃:β„•0βŸΆπ’« β„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ 𝒫 β„•0)
6866, 62, 67syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ 𝒫 β„•0)
6968elpwid 4615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) βŠ† β„•0)
70 ssrab2 4077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} βŠ† β„•0
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} βŠ† β„•0)
7212adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
7369, 71, 72sadeq 16456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘–) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)}) ∩ (0..^𝑁)) = ((((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
7465, 73eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) = ((((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
7552adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
7660, 75, 53, 63smupp1 16464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = ((π‘„β€˜π‘–) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))}))
7776ineq1d 4213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) = (((π‘„β€˜π‘–) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))}) ∩ (0..^𝑁)))
781, 52, 53smupf 16462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑄:β„•0βŸΆπ’« β„•0)
79 ffvelcdm 7096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑄:β„•0βŸΆπ’« β„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ 𝒫 β„•0)
8078, 62, 79syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ 𝒫 β„•0)
8180elpwid 4615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) βŠ† β„•0)
82 ssrab2 4077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))} βŠ† β„•0
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))} βŠ† β„•0)
8481, 83, 72sadeq 16456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((π‘„β€˜π‘–) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))}) ∩ (0..^𝑁)) = ((((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))} ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
85 elinel2 4198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^𝑁)) β†’ 𝑛 ∈ (0..^𝑁))
8661adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
8786sseld 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡 β†’ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ β„•0))
88 elfzo0 13715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 < 𝑁))
8988simp2bi 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
9089adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
91 elfzonn0 13719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
9291adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
9392nn0red 12573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
9463adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
9594nn0red 12573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
9693, 95resubcld 11682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ ℝ)
9790nnred 12267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
9894nn0ge0d 12575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 0 ≀ 𝑖)
9993, 95subge02d 11846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (0 ≀ 𝑖 ↔ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ≀ 𝑛))
10098, 99mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ≀ 𝑛)
101 elfzolt2 13683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑛 < 𝑁)
102101adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑛 < 𝑁)
10396, 93, 97, 100, 102lelttrd 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑛 βˆ’ 𝑖) < 𝑁)
10490, 103jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) < 𝑁))
105 elfzo0 13715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) < 𝑁))
106 3anass 1092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) < 𝑁) ↔ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ β„•0 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) < 𝑁)))
107105, 106bitri 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ β„•0 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) < 𝑁)))
108107baib 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ β„•0 β†’ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) < 𝑁)))
109104, 108syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ β„•0 β†’ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (0..^𝑁)))
11087, 109syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡 β†’ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (0..^𝑁)))
111110pm4.71rd 561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡 ↔ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)))
112 ancom 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡) ↔ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (0..^𝑁)))
113 elin 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ↔ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (0..^𝑁)))
114112, 113bitr4i 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡) ↔ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))
115111, 114bitr2di 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ↔ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡))
116115anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ↔ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)))
11785, 116sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^𝑁))) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ↔ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)))
118117rabbidva 3437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ {𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^𝑁)) ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))} = {𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^𝑁)) ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)})
119 inrab2 4310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))} ∩ (0..^𝑁)) = {𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^𝑁)) ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))}
120 inrab2 4310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁)) = {𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^𝑁)) ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)}
121118, 119, 1203eqtr4g 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))} ∩ (0..^𝑁)) = ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁)))
122121oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))} ∩ (0..^𝑁))) = (((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))))
123122ineq1d 4213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))} ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) = ((((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
12477, 84, 1233eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) = ((((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
12574, 124eqeq12d 2744 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) ↔ ((((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) = ((((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
12659, 125imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁))))
127126expcom 412 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (0..^𝑁) β†’ (πœ‘ β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)))))
128127a2d 29 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (0..^𝑁) β†’ ((πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁))) β†’ (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)))))
12931, 37, 43, 49, 57, 128fzind2 13792 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (0...𝑁) β†’ (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘) ∩ (0..^𝑁))))
13025, 129mpcom 38 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)))
131130adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)))
132131eleq2d 2815 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) ↔ π‘˜ ∈ ((π‘„β€˜π‘) ∩ (0..^𝑁))))
133 elin 3965 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) ↔ (π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)))
134133rbaib 537 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ (π‘˜ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) ↔ π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜π‘)))
135134adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) ↔ π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜π‘)))
136 elin 3965 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ ((π‘„β€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) ↔ (π‘˜ ∈ (π‘„β€˜π‘) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)))
137136rbaib 537 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ (π‘˜ ∈ ((π‘„β€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) ↔ π‘˜ ∈ (π‘„β€˜π‘)))
138137adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ ∈ ((π‘„β€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) ↔ π‘˜ ∈ (π‘„β€˜π‘)))
139132, 135, 1383bitr3d 308 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜π‘) ↔ π‘˜ ∈ (π‘„β€˜π‘)))
14052adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
1412, 140, 53, 13smupval 16472 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘„β€˜π‘) = ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) smul (𝐡 ∩ (0..^𝑁))))
142141eleq2d 2815 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ ∈ (π‘„β€˜π‘) ↔ π‘˜ ∈ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) smul (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))
14322, 139, 1423bitrd 304 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ π‘˜ ∈ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) smul (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))
144143ex 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ π‘˜ ∈ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) smul (𝐡 ∩ (0..^𝑁))))))
145144pm5.32rd 576 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (𝐴 smul 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ↔ (π‘˜ ∈ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) smul (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁))))
146 elin 3965 . . 3 (π‘˜ ∈ ((𝐴 smul 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ↔ (π‘˜ ∈ (𝐴 smul 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)))
147 elin 3965 . . 3 (π‘˜ ∈ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) smul (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ↔ (π‘˜ ∈ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) smul (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)))
148145, 146, 1473bitr4g 313 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ ((𝐴 smul 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ↔ π‘˜ ∈ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) smul (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
149148eqrdv 2726 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴 smul 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) smul (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4326  ifcif 4532  π’« cpw 4606   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   < clt 11288   ≀ cle 11289   βˆ’ cmin 11484  β„•cn 12252  β„•0cn0 12512  β„€cz 12598  β„€β‰₯cuz 12862  ...cfz 13526  ..^cfzo 13669  seqcseq 14008   sadd csad 16404   smul csmu 16405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-had 1587  df-cad 1600  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-oadd 8499  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-dju 9934  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-xnn0 12585  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474  df-sum 15675  df-dvds 16241  df-bits 16406  df-sad 16435  df-smu 16460
This theorem is referenced by:  smueq  16475
  Copyright terms: Public domain W3C validator