MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smueqlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem smueqlem 16427
Description: Any element of a sequence multiplication only depends on the values of the argument sequences up to and including that point. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smueq.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
smueq.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
smueq.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
smueq.p 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)})), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
smueq.q 𝑄 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))})), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
Assertion
Ref Expression
smueqlem (πœ‘ β†’ ((𝐴 smul 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) smul (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
Distinct variable groups:   π‘š,𝑛,𝑝,𝐴   𝐡,π‘š,𝑛,𝑝   π‘š,𝑁,𝑛,𝑝   πœ‘,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑝)   𝑃(π‘š,𝑛,𝑝)   𝑄(π‘š,𝑛,𝑝)
Proof of Theorem smueqlem
Dummy variables π‘˜ 𝑖 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smueq.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
21adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
3 smueq.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
43adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
5 smueq.p . . . . . . 7 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)})), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
6 elfzouz 13632 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
76adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
8 nn0uz 12860 . . . . . . . 8 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
97, 8eleqtrrdi 2844 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
109nn0zd 12580 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
1110peano2zd 12665 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„€)
12 smueq.n . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1312adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1413nn0zd 12580 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
15 elfzolt2 13637 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ π‘˜ < 𝑁)
1615adantl 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘˜ < 𝑁)
17 nn0ltp1le 12616 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ < 𝑁 ↔ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁))
189, 13, 17syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ < 𝑁 ↔ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁))
1916, 18mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁)
20 eluz2 12824 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1)) ↔ ((π‘˜ + 1) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁))
2111, 14, 19, 20syl3anbrc 1343 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1)))
222, 4, 5, 9, 21smuval2 16419 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜π‘)))
2312, 8eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
24 eluzfz2b 13506 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
2523, 24sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
26 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜0))
2726ineq1d 4210 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘ƒβ€˜0) ∩ (0..^𝑁)))
28 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘„β€˜π‘₯) = (π‘„β€˜0))
2928ineq1d 4210 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜0) ∩ (0..^𝑁)))
3027, 29eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 0 β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) ↔ ((π‘ƒβ€˜0) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜0) ∩ (0..^𝑁))))
3130imbi2d 340 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 0 β†’ ((πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁))) ↔ (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜0) ∩ (0..^𝑁)))))
32 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑖 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
3332ineq1d 4210 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑖 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)))
34 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑖 β†’ (π‘„β€˜π‘₯) = (π‘„β€˜π‘–))
3534ineq1d 4210 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑖 β†’ ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)))
3633, 35eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑖 β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) ↔ ((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁))))
3736imbi2d 340 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑖 β†’ ((πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁))) ↔ (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)))))
38 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = (𝑖 + 1) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)))
3938ineq1d 4210 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (𝑖 + 1) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)))
40 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = (𝑖 + 1) β†’ (π‘„β€˜π‘₯) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
4140ineq1d 4210 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (𝑖 + 1) β†’ ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)))
4239, 41eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (𝑖 + 1) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) ↔ ((π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁))))
4342imbi2d 340 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (𝑖 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁))) ↔ (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)))))
44 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘))
4544ineq1d 4210 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘ƒβ€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)))
46 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘„β€˜π‘₯) = (π‘„β€˜π‘))
4746ineq1d 4210 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)))
4845, 47eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) ↔ ((π‘ƒβ€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘) ∩ (0..^𝑁))))
4948imbi2d 340 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘₯) ∩ (0..^𝑁))) ↔ (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)))))
501, 3, 5smup0 16416 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) = βˆ…)
51 inss1 4227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† 𝐡
5251, 3sstrid 3992 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
53 smueq.q . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑄 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))})), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
541, 52, 53smup0 16416 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) = βˆ…)
5550, 54eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘„β€˜0))
5655ineq1d 4210 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜0) ∩ (0..^𝑁)))
5756a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜0) ∩ (0..^𝑁))))
58 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))) = (((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))))
5958ineq1d 4210 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) β†’ ((((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) = ((((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
601adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
613adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
62 elfzonn0 13673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
6362adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
6460, 61, 5, 63smupp1 16417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) = ((π‘ƒβ€˜π‘–) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)}))
6564ineq1d 4210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) = (((π‘ƒβ€˜π‘–) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)}) ∩ (0..^𝑁)))
661, 3, 5smupf 16415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑃:β„•0βŸΆπ’« β„•0)
67 ffvelcdm 7080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃:β„•0βŸΆπ’« β„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ 𝒫 β„•0)
6866, 62, 67syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ 𝒫 β„•0)
6968elpwid 4610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) βŠ† β„•0)
70 ssrab2 4076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} βŠ† β„•0
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} βŠ† β„•0)
7212adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
7369, 71, 72sadeq 16409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘–) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)}) ∩ (0..^𝑁)) = ((((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
7465, 73eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) = ((((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
7552adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
7660, 75, 53, 63smupp1 16417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = ((π‘„β€˜π‘–) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))}))
7776ineq1d 4210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) = (((π‘„β€˜π‘–) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))}) ∩ (0..^𝑁)))
781, 52, 53smupf 16415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑄:β„•0βŸΆπ’« β„•0)
79 ffvelcdm 7080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑄:β„•0βŸΆπ’« β„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ 𝒫 β„•0)
8078, 62, 79syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ 𝒫 β„•0)
8180elpwid 4610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) βŠ† β„•0)
82 ssrab2 4076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))} βŠ† β„•0
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))} βŠ† β„•0)
8481, 83, 72sadeq 16409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((π‘„β€˜π‘–) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))}) ∩ (0..^𝑁)) = ((((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))} ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
85 elinel2 4195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^𝑁)) β†’ 𝑛 ∈ (0..^𝑁))
8661adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
8786sseld 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡 β†’ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ β„•0))
88 elfzo0 13669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑛 < 𝑁))
8988simp2bi 1146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
9089adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
91 elfzonn0 13673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
9291adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
9392nn0red 12529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
9463adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
9594nn0red 12529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
9693, 95resubcld 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ ℝ)
9790nnred 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
9894nn0ge0d 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 0 ≀ 𝑖)
9993, 95subge02d 11802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (0 ≀ 𝑖 ↔ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ≀ 𝑛))
10098, 99mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ≀ 𝑛)
101 elfzolt2 13637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑛 < 𝑁)
102101adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑛 < 𝑁)
10396, 93, 97, 100, 102lelttrd 11368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑛 βˆ’ 𝑖) < 𝑁)
10490, 103jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) < 𝑁))
105 elfzo0 13669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) < 𝑁))
106 3anass 1095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) < 𝑁) ↔ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ β„•0 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) < 𝑁)))
107105, 106bitri 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ β„•0 ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) < 𝑁)))
108107baib 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ β„•0 β†’ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) < 𝑁)))
109104, 108syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ β„•0 β†’ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (0..^𝑁)))
11087, 109syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡 β†’ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (0..^𝑁)))
111110pm4.71rd 563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡 ↔ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)))
112 ancom 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡) ↔ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (0..^𝑁)))
113 elin 3963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ↔ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (0..^𝑁)))
114112, 113bitr4i 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡) ↔ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))
115111, 114bitr2di 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) ↔ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡))
116115anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ↔ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)))
11785, 116sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^𝑁))) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ↔ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)))
118117rabbidva 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ {𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^𝑁)) ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))} = {𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^𝑁)) ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)})
119 inrab2 4306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))} ∩ (0..^𝑁)) = {𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^𝑁)) ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))}
120 inrab2 4306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁)) = {𝑛 ∈ (β„•0 ∩ (0..^𝑁)) ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)}
121118, 119, 1203eqtr4g 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))} ∩ (0..^𝑁)) = ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁)))
122121oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))} ∩ (0..^𝑁))) = (((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))))
123122ineq1d 4210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))} ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) = ((((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
12477, 84, 1233eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) = ((((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
12574, 124eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) ↔ ((((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) = ((((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) sadd ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (𝑖 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ 𝑖) ∈ 𝐡)} ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
12659, 125imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁))))
127126expcom 414 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (0..^𝑁) β†’ (πœ‘ β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)))))
128127a2d 29 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (0..^𝑁) β†’ ((πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘–) ∩ (0..^𝑁))) β†’ (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∩ (0..^𝑁)))))
12931, 37, 43, 49, 57, 128fzind2 13746 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (0...𝑁) β†’ (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘) ∩ (0..^𝑁))))
13025, 129mpcom 38 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)))
131130adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) = ((π‘„β€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)))
132131eleq2d 2819 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) ↔ π‘˜ ∈ ((π‘„β€˜π‘) ∩ (0..^𝑁))))
133 elin 3963 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) ↔ (π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜π‘) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)))
134133rbaib 539 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ (π‘˜ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) ↔ π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜π‘)))
135134adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ ∈ ((π‘ƒβ€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) ↔ π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜π‘)))
136 elin 3963 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ ((π‘„β€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) ↔ (π‘˜ ∈ (π‘„β€˜π‘) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)))
137136rbaib 539 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ (π‘˜ ∈ ((π‘„β€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) ↔ π‘˜ ∈ (π‘„β€˜π‘)))
138137adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ ∈ ((π‘„β€˜π‘) ∩ (0..^𝑁)) ↔ π‘˜ ∈ (π‘„β€˜π‘)))
139132, 135, 1383bitr3d 308 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜π‘) ↔ π‘˜ ∈ (π‘„β€˜π‘)))
14052adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝐡 ∩ (0..^𝑁)) βŠ† β„•0)
1412, 140, 53, 13smupval 16425 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘„β€˜π‘) = ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) smul (𝐡 ∩ (0..^𝑁))))
142141eleq2d 2819 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ ∈ (π‘„β€˜π‘) ↔ π‘˜ ∈ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) smul (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))
14322, 139, 1423bitrd 304 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ π‘˜ ∈ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) smul (𝐡 ∩ (0..^𝑁)))))
144143ex 413 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ π‘˜ ∈ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) smul (𝐡 ∩ (0..^𝑁))))))
145144pm5.32rd 578 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (𝐴 smul 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ↔ (π‘˜ ∈ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) smul (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁))))
146 elin 3963 . . 3 (π‘˜ ∈ ((𝐴 smul 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ↔ (π‘˜ ∈ (𝐴 smul 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)))
147 elin 3963 . . 3 (π‘˜ ∈ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) smul (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)) ↔ (π‘˜ ∈ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) smul (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)))
148145, 146, 1473bitr4g 313 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ ((𝐴 smul 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) ↔ π‘˜ ∈ (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) smul (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁))))
149148eqrdv 2730 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴 smul 𝐡) ∩ (0..^𝑁)) = (((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) smul (𝐡 ∩ (0..^𝑁))) ∩ (0..^𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  ifcif 4527  π’« cpw 4601   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  ...cfz 13480  ..^cfzo 13623  seqcseq 13962   sadd csad 16357   smul csmu 16358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-had 1595  df-cad 1608  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-dvds 16194  df-bits 16359  df-sad 16388  df-smu 16413
This theorem is referenced by:  smueq  16428
  Copyright terms: Public domain W3C validator