MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumlem4 25982
Description: Lemma for dvfsumrlim 25984. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s ๐‘† = (๐‘‡(,)+โˆž)
dvfsum.z ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
dvfsum.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
dvfsum.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
dvfsum.md (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐ท + 1))
dvfsum.t (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
dvfsum.a ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
dvfsum.b1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
dvfsum.b2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
dvfsum.b3 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ๐ต))
dvfsum.c (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ๐ต = ๐ถ)
dvfsum.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„*)
dvfsum.l ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐ต)
dvfsumlem4.g ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด))
dvfsumlem4.0 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
dvfsumlem4.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†)
dvfsumlem4.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†)
dvfsumlem4.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰ค ๐‘‹)
dvfsumlem4.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰ค ๐‘Œ)
dvfsumlem4.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โ‰ค ๐‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐บโ€˜๐‘Œ) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘‹))) โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘˜   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐‘ฅ,๐‘˜,๐ท   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ฅ   ๐‘†,๐‘˜,๐‘ฅ   ๐‘˜,๐‘€,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘‡   ๐‘˜,๐‘Œ,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘   ๐‘ˆ,๐‘˜,๐‘ฅ   ๐‘˜,๐‘‹,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘˜)   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘˜)   ๐‘‡(๐‘˜)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘˜)   ๐‘‰(๐‘ฅ,๐‘˜)   ๐‘(๐‘˜)

Proof of Theorem dvfsumlem4
Dummy variable ๐‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsumlem4.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†)
2 fzfid 13970 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โˆˆ Fin)
3 dvfsum.b2 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
43ralrimiva 3136 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ๐ต โˆˆ โ„)
5 elfzuz 13529 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
6 dvfsum.z . . . . . . . . 9 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
75, 6eleqtrrdi 2836 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
8 dvfsum.c . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ๐ต = ๐ถ)
98eleq1d 2810 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†” ๐ถ โˆˆ โ„))
109rspccva 3600 . . . . . . . 8 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
114, 7, 10syl2an 594 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
122, 11fsumrecl 15712 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆˆ โ„)
13 dvfsum.a . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1413ralrimiva 3136 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ด โˆˆ โ„)
15 nfcsb1v 3909 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด
1615nfel1 2909 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„
17 csbeq1a 3898 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ๐ด = โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
1817eleq1d 2810 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„))
1916, 18rspc 3589 . . . . . . 7 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ด โˆˆ โ„ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„))
201, 14, 19sylc 65 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„)
2112, 20resubcld 11672 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆˆ โ„)
22 nfcv 2892 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ๐‘Œ
23 nfcv 2892 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ
24 nfcv 2892 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅ โˆ’
2523, 24, 15nfov 7446 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
26 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) = (โŒŠโ€˜๐‘Œ))
2726oveq2d 7432 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)))
2827sumeq1d 15679 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ)
2928, 17oveq12d 7434 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
30 dvfsumlem4.g . . . . . 6 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด))
3122, 25, 29, 30fvmptf 7021 . . . . 5 ((๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐บโ€˜๐‘Œ) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
321, 21, 31syl2anc 582 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜๐‘Œ) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
33 dvfsumlem4.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†)
34 fzfid 13970 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹)) โˆˆ Fin)
35 elfzuz 13529 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
3635, 6eleqtrrdi 2836 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
374, 36, 10syl2an 594 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
3834, 37fsumrecl 15712 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆˆ โ„)
39 nfcsb1v 3909 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด
4039nfel1 2909 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„
41 csbeq1a 3898 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ๐ด = โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
4241eleq1d 2810 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„))
4340, 42rspc 3589 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ด โˆˆ โ„ โ†’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„))
4433, 14, 43sylc 65 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„)
4538, 44resubcld 11672 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆˆ โ„)
46 nfcv 2892 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ๐‘‹
47 nfcv 2892 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ
4847, 24, 39nfov 7446 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
49 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) = (โŒŠโ€˜๐‘‹))
5049oveq2d 7432 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹)))
5150sumeq1d 15679 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ)
5251, 41oveq12d 7434 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
5346, 48, 52, 30fvmptf 7021 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐บโ€˜๐‘‹) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
5433, 45, 53syl2anc 582 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜๐‘‹) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
5532, 54oveq12d 7434 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐บโ€˜๐‘Œ) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘‹)) = ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
5655fveq2d 6896 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐บโ€˜๐‘Œ) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘‹))) = (absโ€˜((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
57 dvfsum.s . . . . . . . . . . 11 ๐‘† = (๐‘‡(,)+โˆž)
58 ioossre 13417 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‡(,)+โˆž) โІ โ„
5957, 58eqsstri 4007 . . . . . . . . . 10 ๐‘† โІ โ„
6059a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โІ โ„)
61 dvfsum.b1 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
62 dvfsum.b3 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ๐ต))
6360, 13, 61, 62dvmptrecl 25976 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
6463ralrimiva 3136 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ต โˆˆ โ„)
65 nfv 1909 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘š ๐ต โˆˆ โ„
66 nfcsb1v 3909 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต
6766nfel1 2909 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„
68 csbeq1a 3898 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
6968eleq1d 2810 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†” โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„))
7065, 67, 69cbvralw 3294 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ต โˆˆ โ„ โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ ๐‘† โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„)
7164, 70sylib 217 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ ๐‘† โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„)
72 csbeq1 3887 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘‹ โ†’ โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต = โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
7372eleq1d 2810 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘‹ โ†’ (โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„ โ†” โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„))
7473rspcv 3597 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ ๐‘† โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„ โ†’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„))
7533, 71, 74sylc 65 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„)
7645, 75resubcld 11672 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ โ„)
7759, 33sselid 3970 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
78 reflcl 13793 . . . . . . . . 9 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„)
7977, 78syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„)
8077, 79resubcld 11672 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) โˆˆ โ„)
8180, 75remulcld 11274 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ โ„)
8281, 45readdcld 11273 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ โ„)
8382, 75resubcld 11672 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ โ„)
84 fracge0 13801 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)))
8577, 84syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)))
86 dvfsumlem4.3 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰ค ๐‘‹)
8777rexrd 11294 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„*)
8859, 1sselid 3970 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
8988rexrd 11294 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„*)
90 dvfsum.u . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„*)
91 dvfsumlem4.4 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰ค ๐‘Œ)
92 dvfsumlem4.5 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โ‰ค ๐‘ˆ)
9387, 89, 90, 91, 92xrletrd 13173 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰ค ๐‘ˆ)
9433, 86, 933jca 1125 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ โ‰ค ๐‘ˆ))
95 simpr1 1191 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†)
96 nfv 1909 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅ(๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ โ‰ค ๐‘ˆ))
97 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฅ0
98 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฅ โ‰ค
99 nfcsb1v 3909 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต
10097, 98, 99nfbr 5190 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅ0 โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต
10196, 100nfim 1891 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฅ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
102 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†” ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†))
103 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โ†” ๐ท โ‰ค ๐‘‹))
104 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ˆ โ†” ๐‘‹ โ‰ค ๐‘ˆ))
105102, 103, 1043anbi123d 1432 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ˆ) โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ โ‰ค ๐‘ˆ)))
106105anbi2d 628 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†” (๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ โ‰ค ๐‘ˆ))))
107 csbeq1a 3898 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
108107breq2d 5155 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” 0 โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
109106, 108imbi12d 343 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต) โ†” ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)))
110 dvfsumlem4.0 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
111101, 109, 110vtoclg1f 3548 . . . . . . . . 9 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
11295, 111mpcom 38 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
11394, 112mpdan 685 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
11480, 75, 85, 113mulge0d 11821 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
11545, 81addge02d 11833 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ†” (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โ‰ค (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
116114, 115mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โ‰ค (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
11745, 82, 75, 116lesub1dd 11860 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค ((((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
118 reflcl 13793 . . . . . . . . . 10 (๐‘Œ โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„)
11988, 118syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„)
12088, 119resubcld 11672 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โˆˆ โ„)
121 csbeq1 3887 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘Œ โ†’ โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต = โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
122121eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘Œ โ†’ (โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„ โ†” โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„))
123122rspcv 3597 . . . . . . . . 9 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ ๐‘† โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„))
1241, 71, 123sylc 65 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„)
125120, 124remulcld 11274 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ โ„)
126125, 21readdcld 11273 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ โ„)
127126, 124resubcld 11672 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ โ„)
128 dvfsum.m . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
129 dvfsum.d . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
130 dvfsum.md . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐ท + 1))
131 dvfsum.t . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
132 dvfsum.l . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐ต)
133 eqid 2725 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))
13457, 6, 128, 129, 130, 131, 13, 61, 3, 62, 8, 90, 132, 133, 33, 1, 86, 91, 92dvfsumlem3 25981 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘Œ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘‹) โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘‹) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘Œ) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)))
135134simprd 494 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘‹) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘Œ) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
136 nfcv 2892 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅ(๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹))
137 nfcv 2892 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅ ยท
138136, 137, 99nfov 7446 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฅ((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
139 nfcv 2892 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฅ +
140138, 139, 48nfov 7446 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘ฅ(((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
141 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘‹)
142141, 49oveq12d 7434 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)))
143142, 107oveq12d 7434 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) = ((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
144143, 52oveq12d 7434 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)) = (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
14546, 140, 144, 133fvmptf 7021 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘‹) = (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
14633, 82, 145syl2anc 582 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘‹) = (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
147146oveq1d 7431 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘‹) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = ((((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
148 nfcv 2892 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅ(๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ))
149 nfcsb1v 3909 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต
150148, 137, 149nfov 7446 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฅ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
151150, 139, 25nfov 7446 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘ฅ(((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
152 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘Œ)
153152, 26oveq12d 7434 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)))
154 csbeq1a 3898 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
155153, 154oveq12d 7434 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) = ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
156155, 29oveq12d 7434 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
15722, 151, 156, 133fvmptf 7021 . . . . . . . 8 ((๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘Œ) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
1581, 126, 157syl2anc 582 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘Œ) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
159158oveq1d 7431 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘Œ) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = ((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
160135, 147, 1593brtr3d 5174 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค ((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
16121recnd 11272 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆˆ โ„‚)
162124recnd 11272 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
163125recnd 11272 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ โ„‚)
164161, 162, 163subsub3d 11631 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ (โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆ’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))) = (((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
165161, 163addcomd 11446 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
166165oveq1d 7431 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = ((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
167164, 166eqtrd 2765 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ (โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆ’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))) = ((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
168 1red 11245 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
169129, 77, 88, 86, 91letrd 11401 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰ค ๐‘Œ)
1701, 169, 923jca 1125 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘Œ โˆง ๐‘Œ โ‰ค ๐‘ˆ))
171 simpr1 1191 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘Œ โˆง ๐‘Œ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†)
172 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘ฅ(๐œ‘ โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘Œ โˆง ๐‘Œ โ‰ค ๐‘ˆ))
17397, 98, 149nfbr 5190 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘ฅ0 โ‰ค โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต
174172, 173nfim 1891 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘ฅ((๐œ‘ โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘Œ โˆง ๐‘Œ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
175 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†” ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†))
176 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โ†” ๐ท โ‰ค ๐‘Œ))
177 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ˆ โ†” ๐‘Œ โ‰ค ๐‘ˆ))
178175, 176, 1773anbi123d 1432 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ˆ) โ†” (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘Œ โˆง ๐‘Œ โ‰ค ๐‘ˆ)))
179178anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†” (๐œ‘ โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘Œ โˆง ๐‘Œ โ‰ค ๐‘ˆ))))
180154breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” 0 โ‰ค โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
181179, 180imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต) โ†” ((๐œ‘ โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘Œ โˆง ๐‘Œ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)))
182174, 181, 110vtoclg1f 3548 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘Œ โˆง ๐‘Œ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
183171, 182mpcom 38 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘Œ โˆง ๐‘Œ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
184170, 183mpdan 685 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
185 fracle1 13800 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Œ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โ‰ค 1)
18688, 185syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โ‰ค 1)
187120, 168, 124, 184, 186lemul1ad 12183 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค (1 ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
188162mullidd 11262 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
189187, 188breqtrd 5169 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
190124, 125subge0d 11834 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆ’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) โ†” ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
191189, 190mpbird 256 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆ’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)))
192124, 125resubcld 11672 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆ’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) โˆˆ โ„)
19321, 192subge02d 11836 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆ’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) โ†” ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ (โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆ’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
194191, 193mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ (โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆ’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
195167, 194eqbrtrrd 5167 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
19683, 127, 21, 160, 195letrd 11401 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
19776, 83, 21, 117, 196letrd 11401 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
19875, 45readdcld 11273 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ โ„)
199 fracge0 13801 . . . . . . . . 9 (๐‘Œ โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)))
20088, 199syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)))
201120, 124, 200, 184mulge0d 11821 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
20221, 125addge02d 11833 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ†” (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โ‰ค (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
203201, 202mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โ‰ค (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
204134simpld 493 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘Œ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘‹))
205204, 158, 1463brtr3d 5174 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โ‰ค (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
20621, 126, 82, 203, 205letrd 11401 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โ‰ค (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
207 fracle1 13800 . . . . . . . . 9 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) โ‰ค 1)
20877, 207syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) โ‰ค 1)
20980, 168, 75, 113, 208lemul1ad 12183 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค (1 ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
21075recnd 11272 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
211210mullidd 11262 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
212209, 211breqtrd 5169 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
21381, 75, 45, 212leadd1dd 11858 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โ‰ค (โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
21421, 82, 198, 206, 213letrd 11401 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โ‰ค (โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
21545recnd 11272 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆˆ โ„‚)
216210, 215addcomd 11446 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
217214, 216breqtrd 5169 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โ‰ค ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
21821, 45, 75absdifled 15413 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))) โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โ†” (((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆง (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โ‰ค ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))))
219197, 217, 218mpbir2and 711 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))) โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
22056, 219eqbrtrd 5165 1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐บโ€˜๐‘Œ) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘‹))) โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3051  โฆ‹csb 3884   โІ wss 3939   class class class wbr 5143   โ†ฆ cmpt 5226  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  โ„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   ยท cmul 11143  +โˆžcpnf 11275  โ„*cxr 11277   โ‰ค cle 11279   โˆ’ cmin 11474  โ„คcz 12588  โ„คโ‰ฅcuz 12852  (,)cioo 13356  ...cfz 13516  โŒŠcfl 13787  abscabs 15213  ฮฃcsu 15664   D cdv 25810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-cmp 23309  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814
This theorem is referenced by:  dvfsumrlim  25984  dvfsumrlim2  25985  logexprlim  27176
  Copyright terms: Public domain W3C validator