MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumlem4 25545
Description: Lemma for dvfsumrlim 25547. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s ๐‘† = (๐‘‡(,)+โˆž)
dvfsum.z ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
dvfsum.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
dvfsum.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
dvfsum.md (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐ท + 1))
dvfsum.t (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
dvfsum.a ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
dvfsum.b1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
dvfsum.b2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
dvfsum.b3 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ๐ต))
dvfsum.c (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ๐ต = ๐ถ)
dvfsum.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„*)
dvfsum.l ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐ต)
dvfsumlem4.g ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด))
dvfsumlem4.0 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
dvfsumlem4.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†)
dvfsumlem4.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†)
dvfsumlem4.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰ค ๐‘‹)
dvfsumlem4.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰ค ๐‘Œ)
dvfsumlem4.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โ‰ค ๐‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐บโ€˜๐‘Œ) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘‹))) โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘˜   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐‘ฅ,๐‘˜,๐ท   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ฅ   ๐‘†,๐‘˜,๐‘ฅ   ๐‘˜,๐‘€,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘‡   ๐‘˜,๐‘Œ,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘   ๐‘ˆ,๐‘˜,๐‘ฅ   ๐‘˜,๐‘‹,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘˜)   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘˜)   ๐‘‡(๐‘˜)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘˜)   ๐‘‰(๐‘ฅ,๐‘˜)   ๐‘(๐‘˜)

Proof of Theorem dvfsumlem4
Dummy variable ๐‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsumlem4.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†)
2 fzfid 13937 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โˆˆ Fin)
3 dvfsum.b2 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
43ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ๐ต โˆˆ โ„)
5 elfzuz 13496 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
6 dvfsum.z . . . . . . . . 9 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
75, 6eleqtrrdi 2844 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
8 dvfsum.c . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ๐ต = ๐ถ)
98eleq1d 2818 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†” ๐ถ โˆˆ โ„))
109rspccva 3611 . . . . . . . 8 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
114, 7, 10syl2an 596 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
122, 11fsumrecl 15679 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆˆ โ„)
13 dvfsum.a . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1413ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ด โˆˆ โ„)
15 nfcsb1v 3918 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด
1615nfel1 2919 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„
17 csbeq1a 3907 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ๐ด = โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
1817eleq1d 2818 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„))
1916, 18rspc 3600 . . . . . . 7 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ด โˆˆ โ„ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„))
201, 14, 19sylc 65 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„)
2112, 20resubcld 11641 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆˆ โ„)
22 nfcv 2903 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ๐‘Œ
23 nfcv 2903 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ
24 nfcv 2903 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅ โˆ’
2523, 24, 15nfov 7438 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
26 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) = (โŒŠโ€˜๐‘Œ))
2726oveq2d 7424 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ)))
2827sumeq1d 15646 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ)
2928, 17oveq12d 7426 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
30 dvfsumlem4.g . . . . . 6 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด))
3122, 25, 29, 30fvmptf 7019 . . . . 5 ((๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐บโ€˜๐‘Œ) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
321, 21, 31syl2anc 584 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜๐‘Œ) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
33 dvfsumlem4.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†)
34 fzfid 13937 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹)) โˆˆ Fin)
35 elfzuz 13496 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
3635, 6eleqtrrdi 2844 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
374, 36, 10syl2an 596 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
3834, 37fsumrecl 15679 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆˆ โ„)
39 nfcsb1v 3918 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด
4039nfel1 2919 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„
41 csbeq1a 3907 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ๐ด = โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
4241eleq1d 2818 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„))
4340, 42rspc 3600 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ด โˆˆ โ„ โ†’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„))
4433, 14, 43sylc 65 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด โˆˆ โ„)
4538, 44resubcld 11641 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆˆ โ„)
46 nfcv 2903 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ๐‘‹
47 nfcv 2903 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘ฅฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ
4847, 24, 39nfov 7438 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘ฅ(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)
49 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) = (โŒŠโ€˜๐‘‹))
5049oveq2d 7424 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹)))
5150sumeq1d 15646 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ)
5251, 41oveq12d 7426 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
5346, 48, 52, 30fvmptf 7019 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐บโ€˜๐‘‹) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
5433, 45, 53syl2anc 584 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ€˜๐‘‹) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
5532, 54oveq12d 7426 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐บโ€˜๐‘Œ) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘‹)) = ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
5655fveq2d 6895 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐บโ€˜๐‘Œ) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘‹))) = (absโ€˜((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
57 dvfsum.s . . . . . . . . . . 11 ๐‘† = (๐‘‡(,)+โˆž)
58 ioossre 13384 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‡(,)+โˆž) โŠ† โ„
5957, 58eqsstri 4016 . . . . . . . . . 10 ๐‘† โŠ† โ„
6059a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โŠ† โ„)
61 dvfsum.b1 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
62 dvfsum.b3 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ๐ต))
6360, 13, 61, 62dvmptrecl 25540 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
6463ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ต โˆˆ โ„)
65 nfv 1917 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘š ๐ต โˆˆ โ„
66 nfcsb1v 3918 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต
6766nfel1 2919 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„
68 csbeq1a 3907 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
6968eleq1d 2818 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†” โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„))
7065, 67, 69cbvralw 3303 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐ต โˆˆ โ„ โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ ๐‘† โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„)
7164, 70sylib 217 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ ๐‘† โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„)
72 csbeq1 3896 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘‹ โ†’ โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต = โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
7372eleq1d 2818 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘‹ โ†’ (โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„ โ†” โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„))
7473rspcv 3608 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ ๐‘† โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„ โ†’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„))
7533, 71, 74sylc 65 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„)
7645, 75resubcld 11641 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ โ„)
7759, 33sselid 3980 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
78 reflcl 13760 . . . . . . . . 9 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„)
7977, 78syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„)
8077, 79resubcld 11641 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) โˆˆ โ„)
8180, 75remulcld 11243 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ โ„)
8281, 45readdcld 11242 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ โ„)
8382, 75resubcld 11641 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ โ„)
84 fracge0 13768 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)))
8577, 84syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)))
86 dvfsumlem4.3 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰ค ๐‘‹)
8777rexrd 11263 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„*)
8859, 1sselid 3980 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
8988rexrd 11263 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„*)
90 dvfsum.u . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„*)
91 dvfsumlem4.4 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰ค ๐‘Œ)
92 dvfsumlem4.5 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โ‰ค ๐‘ˆ)
9387, 89, 90, 91, 92xrletrd 13140 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰ค ๐‘ˆ)
9433, 86, 933jca 1128 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ โ‰ค ๐‘ˆ))
95 simpr1 1194 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†)
96 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅ(๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ โ‰ค ๐‘ˆ))
97 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฅ0
98 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฅ โ‰ค
99 nfcsb1v 3918 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต
10097, 98, 99nfbr 5195 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅ0 โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต
10196, 100nfim 1899 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฅ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
102 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†” ๐‘‹ โˆˆ ๐‘†))
103 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โ†” ๐ท โ‰ค ๐‘‹))
104 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ˆ โ†” ๐‘‹ โ‰ค ๐‘ˆ))
105102, 103, 1043anbi123d 1436 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ˆ) โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ โ‰ค ๐‘ˆ)))
106105anbi2d 629 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†” (๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ โ‰ค ๐‘ˆ))))
107 csbeq1a 3907 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
108107breq2d 5160 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” 0 โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
109106, 108imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต) โ†” ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)))
110 dvfsumlem4.0 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
111101, 109, 110vtoclg1f 3555 . . . . . . . . 9 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
11295, 111mpcom 38 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
11394, 112mpdan 685 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
11480, 75, 85, 113mulge0d 11790 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
11545, 81addge02d 11802 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ†” (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โ‰ค (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
116114, 115mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โ‰ค (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
11745, 82, 75, 116lesub1dd 11829 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค ((((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
118 reflcl 13760 . . . . . . . . . 10 (๐‘Œ โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„)
11988, 118syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„)
12088, 119resubcld 11641 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โˆˆ โ„)
121 csbeq1 3896 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘Œ โ†’ โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต = โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
122121eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘Œ โ†’ (โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„ โ†” โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„))
123122rspcv 3608 . . . . . . . . 9 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ ๐‘† โฆ‹๐‘š / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„))
1241, 71, 123sylc 65 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„)
125120, 124remulcld 11243 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ โ„)
126125, 21readdcld 11242 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ โ„)
127126, 124resubcld 11641 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ โ„)
128 dvfsum.m . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
129 dvfsum.d . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
130 dvfsum.md . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค (๐ท + 1))
131 dvfsum.t . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
132 dvfsum.l . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐ต)
133 eqid 2732 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))
13457, 6, 128, 129, 130, 131, 13, 61, 3, 62, 8, 90, 132, 133, 33, 1, 86, 91, 92dvfsumlem3 25544 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘Œ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘‹) โˆง (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘‹) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘Œ) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)))
135134simprd 496 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘‹) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘Œ) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
136 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅ(๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹))
137 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅ ยท
138136, 137, 99nfov 7438 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฅ((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
139 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฅ +
140138, 139, 48nfov 7438 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘ฅ(((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
141 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘‹)
142141, 49oveq12d 7426 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)))
143142, 107oveq12d 7426 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) = ((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
144143, 52oveq12d 7426 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)) = (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
14546, 140, 144, 133fvmptf 7019 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘‹) = (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
14633, 82, 145syl2anc 584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘‹) = (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
147146oveq1d 7423 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘‹) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = ((((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
148 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅ(๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ))
149 nfcsb1v 3918 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘ฅโฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต
150148, 137, 149nfov 7438 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘ฅ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
151150, 139, 25nfov 7438 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘ฅ(((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
152 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘Œ)
153152, 26oveq12d 7426 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)))
154 csbeq1a 3907 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
155153, 154oveq12d 7426 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) = ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
156155, 29oveq12d 7426 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
15722, 151, 156, 133fvmptf 7019 . . . . . . . 8 ((๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘Œ) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
1581, 126, 157syl2anc 584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘Œ) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
159158oveq1d 7423 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘Œ) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = ((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
160135, 147, 1593brtr3d 5179 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค ((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
16121recnd 11241 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆˆ โ„‚)
162124recnd 11241 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
163125recnd 11241 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โˆˆ โ„‚)
164161, 162, 163subsub3d 11600 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ (โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆ’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))) = (((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
165161, 163addcomd 11415 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) = (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
166165oveq1d 7423 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = ((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
167164, 166eqtrd 2772 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ (โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆ’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))) = ((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
168 1red 11214 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
169129, 77, 88, 86, 91letrd 11370 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰ค ๐‘Œ)
1701, 169, 923jca 1128 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘Œ โˆง ๐‘Œ โ‰ค ๐‘ˆ))
171 simpr1 1194 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘Œ โˆง ๐‘Œ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†)
172 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘ฅ(๐œ‘ โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘Œ โˆง ๐‘Œ โ‰ค ๐‘ˆ))
17397, 98, 149nfbr 5195 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘ฅ0 โ‰ค โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต
174172, 173nfim 1899 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘ฅ((๐œ‘ โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘Œ โˆง ๐‘Œ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
175 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†” ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†))
176 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โ†” ๐ท โ‰ค ๐‘Œ))
177 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ˆ โ†” ๐‘Œ โ‰ค ๐‘ˆ))
178175, 176, 1773anbi123d 1436 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ˆ) โ†” (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘Œ โˆง ๐‘Œ โ‰ค ๐‘ˆ)))
179178anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†” (๐œ‘ โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘Œ โˆง ๐‘Œ โ‰ค ๐‘ˆ))))
180154breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” 0 โ‰ค โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
181179, 180imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต) โ†” ((๐œ‘ โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘Œ โˆง ๐‘Œ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)))
182174, 181, 110vtoclg1f 3555 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘Œ โˆง ๐‘Œ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
183171, 182mpcom 38 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘Œ โˆง ๐‘Œ โ‰ค ๐‘ˆ)) โ†’ 0 โ‰ค โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
184170, 183mpdan 685 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
185 fracle1 13767 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Œ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โ‰ค 1)
18688, 185syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) โ‰ค 1)
187120, 168, 124, 184, 186lemul1ad 12152 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค (1 ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
188162mullidd 11231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
189187, 188breqtrd 5174 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
190124, 125subge0d 11803 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆ’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) โ†” ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
191189, 190mpbird 256 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆ’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)))
192124, 125resubcld 11641 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆ’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) โˆˆ โ„)
19321, 192subge02d 11805 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆ’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)) โ†” ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ (โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆ’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
194191, 193mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ (โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆ’ ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
195167, 194eqbrtrrd 5172 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
19683, 127, 21, 160, 195letrd 11370 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
19776, 83, 21, 117, 196letrd 11370 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))
19875, 45readdcld 11242 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โˆˆ โ„)
199 fracge0 13768 . . . . . . . . 9 (๐‘Œ โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)))
20088, 199syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)))
201120, 124, 200, 184mulge0d 11790 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
20221, 125addge02d 11802 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ†” (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โ‰ค (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))))
203201, 202mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โ‰ค (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
204134simpld 495 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘Œ) โ‰ค ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ (((๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) ยท ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ถ โˆ’ ๐ด)))โ€˜๐‘‹))
205204, 158, 1463brtr3d 5179 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘Œ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘Œ)) ยท โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โ‰ค (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
20621, 126, 82, 203, 205letrd 11370 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โ‰ค (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
207 fracle1 13767 . . . . . . . . 9 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) โ‰ค 1)
20877, 207syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) โ‰ค 1)
20980, 168, 75, 113, 208lemul1ad 12152 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค (1 ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
21075recnd 11241 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
211210mullidd 11231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) = โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
212209, 211breqtrd 5174 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
21381, 75, 45, 212leadd1dd 11827 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘‹)) ยท โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) โ‰ค (โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
21421, 82, 198, 206, 213letrd 11370 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โ‰ค (โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)))
21545recnd 11241 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆˆ โ„‚)
216210, 215addcomd 11415 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต + (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด)) = ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
217214, 216breqtrd 5174 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โ‰ค ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))
21821, 45, 75absdifled 15380 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))) โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต โ†” (((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต) โ‰ค (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆง (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โ‰ค ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) + โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต))))
219197, 217, 218mpbir2and 711 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘Œ))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘Œ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด) โˆ’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(โŒŠโ€˜๐‘‹))๐ถ โˆ’ โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ด))) โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
22056, 219eqbrtrd 5170 1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐บโ€˜๐‘Œ) โˆ’ (๐บโ€˜๐‘‹))) โ‰ค โฆ‹๐‘‹ / ๐‘ฅโฆŒ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  โฆ‹csb 3893   โŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114  +โˆžcpnf 11244  โ„*cxr 11246   โ‰ค cle 11248   โˆ’ cmin 11443  โ„คcz 12557  โ„คโ‰ฅcuz 12821  (,)cioo 13323  ...cfz 13483  โŒŠcfl 13754  abscabs 15180  ฮฃcsu 15631   D cdv 25379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-cmp 22890  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383
This theorem is referenced by:  dvfsumrlim  25547  dvfsumrlim2  25548  logexprlim  26725
  Copyright terms: Public domain W3C validator