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Theorem dvfsumlem4 24012
Description: Lemma for dvfsumrlim 24014. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvfsum.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
dvfsum.b2 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
dvfsum.c (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
dvfsum.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
dvfsum.l ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
dvfsumlem4.g 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))
dvfsumlem4.0 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥𝑥𝑈)) → 0 ≤ 𝐵)
dvfsumlem4.1 (𝜑𝑋𝑆)
dvfsumlem4.2 (𝜑𝑌𝑆)
dvfsumlem4.3 (𝜑𝐷𝑋)
dvfsumlem4.4 (𝜑𝑋𝑌)
dvfsumlem4.5 (𝜑𝑌𝑈)
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem4 (𝜑 → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑘,𝑌,𝑥   𝑥,𝑍   𝑈,𝑘,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumlem4
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsumlem4.2 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑆)
2 fzfid 12980 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑌)) ∈ Fin)
3 dvfsum.b2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
43ralrimiva 3115 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
5 elfzuz 12545 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
6 dvfsum.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
75, 6syl6eleqr 2861 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌)) → 𝑘𝑍)
8 dvfsum.c . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
98eleq1d 2835 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
109rspccva 3459 . . . . . . . 8 ((∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
114, 7, 10syl2an 575 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))) → 𝐶 ∈ ℝ)
122, 11fsumrecl 14673 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 ∈ ℝ)
13 dvfsum.a . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
1413ralrimiva 3115 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ)
15 nfcsb1v 3698 . . . . . . . . 9 𝑥𝑌 / 𝑥𝐴
1615nfel1 2928 . . . . . . . 8 𝑥𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ
17 csbeq1a 3691 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑌𝐴 = 𝑌 / 𝑥𝐴)
1817eleq1d 2835 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑌 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
1916, 18rspc 3454 . . . . . . 7 (𝑌𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ → 𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
201, 14, 19sylc 65 . . . . . 6 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
2112, 20resubcld 10660 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ)
22 nfcv 2913 . . . . . 6 𝑥𝑌
23 nfcv 2913 . . . . . . 7 𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶
24 nfcv 2913 . . . . . . 7 𝑥
2523, 24, 15nfov 6821 . . . . . 6 𝑥𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)
26 fveq2 6332 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑌 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝑌))
2726oveq2d 6809 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑌 → (𝑀...(⌊‘𝑥)) = (𝑀...(⌊‘𝑌)))
2827sumeq1d 14639 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶)
2928, 17oveq12d 6811 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑌 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
30 dvfsumlem4.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))
3122, 25, 29, 30fvmptf 6443 . . . . 5 ((𝑌𝑆 ∧ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ) → (𝐺𝑌) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
321, 21, 31syl2anc 565 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑌) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
33 dvfsumlem4.1 . . . . 5 (𝜑𝑋𝑆)
34 fzfid 12980 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑋)) ∈ Fin)
35 elfzuz 12545 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3635, 6syl6eleqr 2861 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘𝑍)
374, 36, 10syl2an 575 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))) → 𝐶 ∈ ℝ)
3834, 37fsumrecl 14673 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℝ)
39 nfcsb1v 3698 . . . . . . . . 9 𝑥𝑋 / 𝑥𝐴
4039nfel1 2928 . . . . . . . 8 𝑥𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ
41 csbeq1a 3691 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋𝐴 = 𝑋 / 𝑥𝐴)
4241eleq1d 2835 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
4340, 42rspc 3454 . . . . . . 7 (𝑋𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ → 𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
4433, 14, 43sylc 65 . . . . . 6 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
4538, 44resubcld 10660 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ)
46 nfcv 2913 . . . . . 6 𝑥𝑋
47 nfcv 2913 . . . . . . 7 𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶
4847, 24, 39nfov 6821 . . . . . 6 𝑥𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)
49 fveq2 6332 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝑋))
5049oveq2d 6809 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑀...(⌊‘𝑥)) = (𝑀...(⌊‘𝑋)))
5150sumeq1d 14639 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
5251, 41oveq12d 6811 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))
5346, 48, 52, 30fvmptf 6443 . . . . 5 ((𝑋𝑆 ∧ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ) → (𝐺𝑋) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))
5433, 45, 53syl2anc 565 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑋) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))
5532, 54oveq12d 6811 . . 3 (𝜑 → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
5655fveq2d 6336 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) = (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))))
57 dvfsum.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
58 ioossre 12440 . . . . . . . . . . 11 (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
5957, 58eqsstri 3784 . . . . . . . . . 10 𝑆 ⊆ ℝ
6059a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
61 dvfsum.b1 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
62 dvfsum.b3 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
6360, 13, 61, 62dvmptrecl 24007 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
6463ralrimiva 3115 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
65 nfv 1995 . . . . . . . 8 𝑚 𝐵 ∈ ℝ
66 nfcsb1v 3698 . . . . . . . . 9 𝑥𝑚 / 𝑥𝐵
6766nfel1 2928 . . . . . . . 8 𝑥𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ
68 csbeq1a 3691 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑚𝐵 = 𝑚 / 𝑥𝐵)
6968eleq1d 2835 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
7065, 67, 69cbvral 3316 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ ↔ ∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
7164, 70sylib 208 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
72 csbeq1 3685 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑋𝑚 / 𝑥𝐵 = 𝑋 / 𝑥𝐵)
7372eleq1d 2835 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑋 → (𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
7473rspcv 3456 . . . . . 6 (𝑋𝑆 → (∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ → 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
7533, 71, 74sylc 65 . . . . 5 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
7645, 75resubcld 10660 . . . 4 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
7759, 33sseldi 3750 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
78 reflcl 12805 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
7977, 78syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
8077, 79resubcld 10660 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ)
8180, 75remulcld 10272 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
8281, 45readdcld 10271 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
8382, 75resubcld 10660 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
84 fracge0 12813 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
8577, 84syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
86 dvfsumlem4.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷𝑋)
8777rexrd 10291 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
8859, 1sseldi 3750 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
8988rexrd 10291 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ℝ*)
90 dvfsum.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
91 dvfsumlem4.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑌)
92 dvfsumlem4.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝑈)
9387, 89, 90, 91, 92xrletrd 12198 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑈)
9433, 86, 933jca 1122 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝑆𝐷𝑋𝑋𝑈))
95 simpr1 1233 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝐷𝑋𝑋𝑈)) → 𝑋𝑆)
96 nfv 1995 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝐷𝑋𝑋𝑈))
97 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . 12 𝑥0
98 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . 12 𝑥
99 nfcsb1v 3698 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑋 / 𝑥𝐵
10097, 98, 99nfbr 4833 . . . . . . . . . . 11 𝑥0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵
10196, 100nfim 1977 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝐷𝑋𝑋𝑈)) → 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
102 eleq1 2838 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝑆𝑋𝑆))
103 breq2 4790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑋 → (𝐷𝑥𝐷𝑋))
104 breq1 4789 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝑈𝑋𝑈))
105102, 103, 1043anbi123d 1547 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥𝑆𝐷𝑥𝑥𝑈) ↔ (𝑋𝑆𝐷𝑋𝑋𝑈)))
106105anbi2d 606 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥𝑥𝑈)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝐷𝑋𝑋𝑈))))
107 csbeq1a 3691 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋𝐵 = 𝑋 / 𝑥𝐵)
108107breq2d 4798 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵))
109106, 108imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥𝑥𝑈)) → 0 ≤ 𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝐷𝑋𝑋𝑈)) → 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)))
110 dvfsumlem4.0 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥𝑥𝑈)) → 0 ≤ 𝐵)
111101, 109, 110vtoclg1f 3416 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑆 → ((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝐷𝑋𝑋𝑈)) → 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵))
11295, 111mpcom 38 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝐷𝑋𝑋𝑈)) → 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
11394, 112mpdan 659 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
11480, 75, 85, 113mulge0d 10806 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵))
11545, 81addge02d 10818 . . . . . 6 (𝜑 → (0 ≤ ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))))
116114, 115mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
11745, 82, 75, 116lesub1dd 10845 . . . 4 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵))
118 reflcl 12805 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
11988, 118syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
12088, 119resubcld 10660 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ∈ ℝ)
121 csbeq1 3685 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑌𝑚 / 𝑥𝐵 = 𝑌 / 𝑥𝐵)
122121eleq1d 2835 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑌 → (𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
123122rspcv 3456 . . . . . . . . 9 (𝑌𝑆 → (∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ → 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
1241, 71, 123sylc 65 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
125120, 124remulcld 10272 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
126125, 21readdcld 10271 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
127126, 124resubcld 10660 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
128 dvfsum.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
129 dvfsum.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
130 dvfsum.md . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
131 dvfsum.t . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
132 dvfsum.l . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
133 eqid 2771 . . . . . . . 8 (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))) = (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))
13457, 6, 128, 129, 130, 131, 13, 61, 3, 62, 8, 90, 132, 133, 33, 1, 86, 91, 92dvfsumlem3 24011 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑌) ≤ ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑋) ∧ (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵)))
135134simprd 477 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
136 nfcv 2913 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑋 − (⌊‘𝑋))
137 nfcv 2913 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ·
138136, 137, 99nfov 6821 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵)
139 nfcv 2913 . . . . . . . . . 10 𝑥 +
140138, 139, 48nfov 6821 . . . . . . . . 9 𝑥(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))
141 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
142141, 49oveq12d 6811 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) = (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
143142, 107oveq12d 6811 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) = ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵))
144143, 52oveq12d 6811 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
14546, 140, 144, 133fvmptf 6443 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑆 ∧ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ) → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑋) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
14633, 82, 145syl2anc 565 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑋) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
147146oveq1d 6808 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) = ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵))
148 nfcv 2913 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑌 − (⌊‘𝑌))
149 nfcsb1v 3698 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑌 / 𝑥𝐵
150148, 137, 149nfov 6821 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)
151150, 139, 25nfov 6821 . . . . . . . . 9 𝑥(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
152 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑌𝑥 = 𝑌)
153152, 26oveq12d 6811 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) = (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
154 csbeq1a 3691 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑌𝐵 = 𝑌 / 𝑥𝐵)
155153, 154oveq12d 6811 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) = ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))
156155, 29oveq12d 6811 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑌 → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
15722, 151, 156, 133fvmptf 6443 . . . . . . . 8 ((𝑌𝑆 ∧ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ) → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
1581, 126, 157syl2anc 565 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
159158oveq1d 6808 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
160135, 147, 1593brtr3d 4817 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
16121recnd 10270 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ)
162124recnd 10270 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
163125recnd 10270 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℂ)
164161, 162, 163subsub3d 10624 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (𝑌 / 𝑥𝐵 − ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))) = (((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
165161, 163addcomd 10440 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
166165oveq1d 6808 . . . . . . 7 (𝜑 → (((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)) − 𝑌 / 𝑥𝐵) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
167164, 166eqtrd 2805 . . . . . 6 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (𝑌 / 𝑥𝐵 − ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
168 1red 10257 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
169129, 77, 88, 86, 91letrd 10396 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷𝑌)
1701, 169, 923jca 1122 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌𝑆𝐷𝑌𝑌𝑈))
171 simpr1 1233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑌𝑆𝐷𝑌𝑌𝑈)) → 𝑌𝑆)
172 nfv 1995 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝜑 ∧ (𝑌𝑆𝐷𝑌𝑌𝑈))
17397, 98, 149nfbr 4833 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥0 ≤ 𝑌 / 𝑥𝐵
174172, 173nfim 1977 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥((𝜑 ∧ (𝑌𝑆𝐷𝑌𝑌𝑈)) → 0 ≤ 𝑌 / 𝑥𝐵)
175 eleq1 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥𝑆𝑌𝑆))
176 breq2 4790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑌 → (𝐷𝑥𝐷𝑌))
177 breq1 4789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥𝑈𝑌𝑈))
178175, 176, 1773anbi123d 1547 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥𝑆𝐷𝑥𝑥𝑈) ↔ (𝑌𝑆𝐷𝑌𝑌𝑈)))
179178anbi2d 606 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑌 → ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥𝑥𝑈)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑌𝑆𝐷𝑌𝑌𝑈))))
180154breq2d 4798 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑌 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ 𝑌 / 𝑥𝐵))
181179, 180imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑌 → (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥𝑥𝑈)) → 0 ≤ 𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑌𝑆𝐷𝑌𝑌𝑈)) → 0 ≤ 𝑌 / 𝑥𝐵)))
182174, 181, 110vtoclg1f 3416 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌𝑆 → ((𝜑 ∧ (𝑌𝑆𝐷𝑌𝑌𝑈)) → 0 ≤ 𝑌 / 𝑥𝐵))
183171, 182mpcom 38 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝑆𝐷𝑌𝑌𝑈)) → 0 ≤ 𝑌 / 𝑥𝐵)
184170, 183mpdan 659 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝑌 / 𝑥𝐵)
185 fracle1 12812 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ ℝ → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ≤ 1)
18688, 185syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ≤ 1)
187120, 168, 124, 184, 186lemul1ad 11165 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ≤ (1 · 𝑌 / 𝑥𝐵))
188162mulid2d 10260 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 · 𝑌 / 𝑥𝐵) = 𝑌 / 𝑥𝐵)
189187, 188breqtrd 4812 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ≤ 𝑌 / 𝑥𝐵)
190124, 125subge0d 10819 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ (𝑌 / 𝑥𝐵 − ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)) ↔ ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ≤ 𝑌 / 𝑥𝐵))
191189, 190mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝑌 / 𝑥𝐵 − ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)))
192124, 125resubcld 10660 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 / 𝑥𝐵 − ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)) ∈ ℝ)
19321, 192subge02d 10821 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 ≤ (𝑌 / 𝑥𝐵 − ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)) ↔ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (𝑌 / 𝑥𝐵 − ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
194191, 193mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (𝑌 / 𝑥𝐵 − ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
195167, 194eqbrtrrd 4810 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝑌 / 𝑥𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
19683, 127, 21, 160, 195letrd 10396 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
19776, 83, 21, 117, 196letrd 10396 . . 3 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
19875, 45readdcld 10271 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 / 𝑥𝐵 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
199 fracge0 12813 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
20088, 199syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
201120, 124, 200, 184mulge0d 10806 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))
20221, 125addge02d 10818 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 ≤ ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))))
203201, 202mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
204134simpld 476 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑌) ≤ ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑋))
205204, 158, 1463brtr3d 4817 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
20621, 126, 82, 203, 205letrd 10396 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
207 fracle1 12812 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1)
20877, 207syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1)
20980, 168, 75, 113, 208lemul1ad 11165 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (1 · 𝑋 / 𝑥𝐵))
21075recnd 10270 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
211210mulid2d 10260 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 · 𝑋 / 𝑥𝐵) = 𝑋 / 𝑥𝐵)
212209, 211breqtrd 4812 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
21381, 75, 45, 212leadd1dd 10843 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ≤ (𝑋 / 𝑥𝐵 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
21421, 82, 198, 206, 213letrd 10396 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ≤ (𝑋 / 𝑥𝐵 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
21545recnd 10270 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ)
216210, 215addcomd 10440 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 / 𝑥𝐵 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) + 𝑋 / 𝑥𝐵))
217214, 216breqtrd 4812 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) + 𝑋 / 𝑥𝐵))
21821, 45, 75absdifled 14381 . . 3 (𝜑 → ((abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵 ↔ (((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ∧ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) + 𝑋 / 𝑥𝐵))))
219197, 217, 218mpbir2and 684 . 2 (𝜑 → (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
22056, 219eqbrtrd 4808 1 (𝜑 → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  csb 3682  wss 3723   class class class wbr 4786  cmpt 4863  cfv 6031  (class class class)co 6793  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  +∞cpnf 10273  *cxr 10275  cle 10277  cmin 10468  cz 11579  cuz 11888  (,)cioo 12380  ...cfz 12533  cfl 12799  abscabs 14182  Σcsu 14624   D cdv 23847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-cmp 21411  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-limc 23850  df-dv 23851
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