MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumlem4 25393
Description: Lemma for dvfsumrlim 25395. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvfsum.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
dvfsum.b2 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
dvfsum.c (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
dvfsum.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
dvfsum.l ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
dvfsumlem4.g 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))
dvfsumlem4.0 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥𝑥𝑈)) → 0 ≤ 𝐵)
dvfsumlem4.1 (𝜑𝑋𝑆)
dvfsumlem4.2 (𝜑𝑌𝑆)
dvfsumlem4.3 (𝜑𝐷𝑋)
dvfsumlem4.4 (𝜑𝑋𝑌)
dvfsumlem4.5 (𝜑𝑌𝑈)
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem4 (𝜑 → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑘,𝑌,𝑥   𝑥,𝑍   𝑈,𝑘,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumlem4
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsumlem4.2 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑆)
2 fzfid 13878 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑌)) ∈ Fin)
3 dvfsum.b2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
43ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
5 elfzuz 13437 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
6 dvfsum.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
75, 6eleqtrrdi 2849 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌)) → 𝑘𝑍)
8 dvfsum.c . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
98eleq1d 2822 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
109rspccva 3580 . . . . . . . 8 ((∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
114, 7, 10syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))) → 𝐶 ∈ ℝ)
122, 11fsumrecl 15619 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 ∈ ℝ)
13 dvfsum.a . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
1413ralrimiva 3143 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ)
15 nfcsb1v 3880 . . . . . . . . 9 𝑥𝑌 / 𝑥𝐴
1615nfel1 2923 . . . . . . . 8 𝑥𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ
17 csbeq1a 3869 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑌𝐴 = 𝑌 / 𝑥𝐴)
1817eleq1d 2822 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑌 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
1916, 18rspc 3569 . . . . . . 7 (𝑌𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ → 𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
201, 14, 19sylc 65 . . . . . 6 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
2112, 20resubcld 11583 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ)
22 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑥𝑌
23 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶
24 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑥
2523, 24, 15nfov 7387 . . . . . 6 𝑥𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)
26 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑌 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝑌))
2726oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑌 → (𝑀...(⌊‘𝑥)) = (𝑀...(⌊‘𝑌)))
2827sumeq1d 15586 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶)
2928, 17oveq12d 7375 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑌 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
30 dvfsumlem4.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))
3122, 25, 29, 30fvmptf 6969 . . . . 5 ((𝑌𝑆 ∧ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ) → (𝐺𝑌) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
321, 21, 31syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑌) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
33 dvfsumlem4.1 . . . . 5 (𝜑𝑋𝑆)
34 fzfid 13878 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑋)) ∈ Fin)
35 elfzuz 13437 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3635, 6eleqtrrdi 2849 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘𝑍)
374, 36, 10syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))) → 𝐶 ∈ ℝ)
3834, 37fsumrecl 15619 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℝ)
39 nfcsb1v 3880 . . . . . . . . 9 𝑥𝑋 / 𝑥𝐴
4039nfel1 2923 . . . . . . . 8 𝑥𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ
41 csbeq1a 3869 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋𝐴 = 𝑋 / 𝑥𝐴)
4241eleq1d 2822 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
4340, 42rspc 3569 . . . . . . 7 (𝑋𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℝ → 𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
4433, 14, 43sylc 65 . . . . . 6 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
4538, 44resubcld 11583 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ)
46 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑥𝑋
47 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶
4847, 24, 39nfov 7387 . . . . . 6 𝑥𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)
49 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝑋))
5049oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑀...(⌊‘𝑥)) = (𝑀...(⌊‘𝑋)))
5150sumeq1d 15586 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
5251, 41oveq12d 7375 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))
5346, 48, 52, 30fvmptf 6969 . . . . 5 ((𝑋𝑆 ∧ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ) → (𝐺𝑋) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))
5433, 45, 53syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑋) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))
5532, 54oveq12d 7375 . . 3 (𝜑 → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
5655fveq2d 6846 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) = (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))))
57 dvfsum.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
58 ioossre 13325 . . . . . . . . . . 11 (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
5957, 58eqsstri 3978 . . . . . . . . . 10 𝑆 ⊆ ℝ
6059a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
61 dvfsum.b1 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
62 dvfsum.b3 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
6360, 13, 61, 62dvmptrecl 25388 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
6463ralrimiva 3143 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ)
65 nfv 1917 . . . . . . . 8 𝑚 𝐵 ∈ ℝ
66 nfcsb1v 3880 . . . . . . . . 9 𝑥𝑚 / 𝑥𝐵
6766nfel1 2923 . . . . . . . 8 𝑥𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ
68 csbeq1a 3869 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑚𝐵 = 𝑚 / 𝑥𝐵)
6968eleq1d 2822 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
7065, 67, 69cbvralw 3289 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℝ ↔ ∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
7164, 70sylib 217 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
72 csbeq1 3858 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑋𝑚 / 𝑥𝐵 = 𝑋 / 𝑥𝐵)
7372eleq1d 2822 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑋 → (𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
7473rspcv 3577 . . . . . 6 (𝑋𝑆 → (∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ → 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
7533, 71, 74sylc 65 . . . . 5 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
7645, 75resubcld 11583 . . . 4 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
7759, 33sselid 3942 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
78 reflcl 13701 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
7977, 78syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
8077, 79resubcld 11583 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ)
8180, 75remulcld 11185 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
8281, 45readdcld 11184 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
8382, 75resubcld 11583 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
84 fracge0 13709 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
8577, 84syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
86 dvfsumlem4.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷𝑋)
8777rexrd 11205 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
8859, 1sselid 3942 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
8988rexrd 11205 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ℝ*)
90 dvfsum.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
91 dvfsumlem4.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑌)
92 dvfsumlem4.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝑈)
9387, 89, 90, 91, 92xrletrd 13081 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑈)
9433, 86, 933jca 1128 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝑆𝐷𝑋𝑋𝑈))
95 simpr1 1194 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝐷𝑋𝑋𝑈)) → 𝑋𝑆)
96 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝐷𝑋𝑋𝑈))
97 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . 12 𝑥0
98 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . 12 𝑥
99 nfcsb1v 3880 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑋 / 𝑥𝐵
10097, 98, 99nfbr 5152 . . . . . . . . . . 11 𝑥0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵
10196, 100nfim 1899 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝐷𝑋𝑋𝑈)) → 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
102 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝑆𝑋𝑆))
103 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑋 → (𝐷𝑥𝐷𝑋))
104 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝑈𝑋𝑈))
105102, 103, 1043anbi123d 1436 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥𝑆𝐷𝑥𝑥𝑈) ↔ (𝑋𝑆𝐷𝑋𝑋𝑈)))
106105anbi2d 629 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥𝑥𝑈)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝐷𝑋𝑋𝑈))))
107 csbeq1a 3869 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋𝐵 = 𝑋 / 𝑥𝐵)
108107breq2d 5117 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵))
109106, 108imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥𝑥𝑈)) → 0 ≤ 𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝐷𝑋𝑋𝑈)) → 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)))
110 dvfsumlem4.0 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥𝑥𝑈)) → 0 ≤ 𝐵)
111101, 109, 110vtoclg1f 3524 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑆 → ((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝐷𝑋𝑋𝑈)) → 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵))
11295, 111mpcom 38 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝐷𝑋𝑋𝑈)) → 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
11394, 112mpdan 685 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
11480, 75, 85, 113mulge0d 11732 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵))
11545, 81addge02d 11744 . . . . . 6 (𝜑 → (0 ≤ ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))))
116114, 115mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
11745, 82, 75, 116lesub1dd 11771 . . . 4 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵))
118 reflcl 13701 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ ℝ → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
11988, 118syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
12088, 119resubcld 11583 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ∈ ℝ)
121 csbeq1 3858 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑌𝑚 / 𝑥𝐵 = 𝑌 / 𝑥𝐵)
122121eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑌 → (𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
123122rspcv 3577 . . . . . . . . 9 (𝑌𝑆 → (∀𝑚𝑆 𝑚 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ → 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
1241, 71, 123sylc 65 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
125120, 124remulcld 11185 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
126125, 21readdcld 11184 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
127126, 124resubcld 11583 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
128 dvfsum.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
129 dvfsum.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
130 dvfsum.md . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
131 dvfsum.t . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
132 dvfsum.l . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
133 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))) = (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))
13457, 6, 128, 129, 130, 131, 13, 61, 3, 62, 8, 90, 132, 133, 33, 1, 86, 91, 92dvfsumlem3 25392 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑌) ≤ ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑋) ∧ (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵)))
135134simprd 496 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
136 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑋 − (⌊‘𝑋))
137 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ·
138136, 137, 99nfov 7387 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵)
139 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑥 +
140138, 139, 48nfov 7387 . . . . . . . . 9 𝑥(((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))
141 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
142141, 49oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) = (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
143142, 107oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) = ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵))
144143, 52oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
14546, 140, 144, 133fvmptf 6969 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑆 ∧ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ) → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑋) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
14633, 82, 145syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑋) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
147146oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) = ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵))
148 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑌 − (⌊‘𝑌))
149 nfcsb1v 3880 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑌 / 𝑥𝐵
150148, 137, 149nfov 7387 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)
151150, 139, 25nfov 7387 . . . . . . . . 9 𝑥(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
152 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑌𝑥 = 𝑌)
153152, 26oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) = (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
154 csbeq1a 3869 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑌𝐵 = 𝑌 / 𝑥𝐵)
155153, 154oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) = ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))
156155, 29oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑌 → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
15722, 151, 156, 133fvmptf 6969 . . . . . . . 8 ((𝑌𝑆 ∧ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ) → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
1581, 126, 157syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
159158oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
160135, 147, 1593brtr3d 5136 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
16121recnd 11183 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ)
162124recnd 11183 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
163125recnd 11183 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℂ)
164161, 162, 163subsub3d 11542 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (𝑌 / 𝑥𝐵 − ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))) = (((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
165161, 163addcomd 11357 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
166165oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝜑 → (((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)) − 𝑌 / 𝑥𝐵) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
167164, 166eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (𝑌 / 𝑥𝐵 − ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
168 1red 11156 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
169129, 77, 88, 86, 91letrd 11312 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷𝑌)
1701, 169, 923jca 1128 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌𝑆𝐷𝑌𝑌𝑈))
171 simpr1 1194 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑌𝑆𝐷𝑌𝑌𝑈)) → 𝑌𝑆)
172 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝜑 ∧ (𝑌𝑆𝐷𝑌𝑌𝑈))
17397, 98, 149nfbr 5152 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥0 ≤ 𝑌 / 𝑥𝐵
174172, 173nfim 1899 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥((𝜑 ∧ (𝑌𝑆𝐷𝑌𝑌𝑈)) → 0 ≤ 𝑌 / 𝑥𝐵)
175 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥𝑆𝑌𝑆))
176 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑌 → (𝐷𝑥𝐷𝑌))
177 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥𝑈𝑌𝑈))
178175, 176, 1773anbi123d 1436 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥𝑆𝐷𝑥𝑥𝑈) ↔ (𝑌𝑆𝐷𝑌𝑌𝑈)))
179178anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑌 → ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥𝑥𝑈)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑌𝑆𝐷𝑌𝑌𝑈))))
180154breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑌 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ 𝑌 / 𝑥𝐵))
181179, 180imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑌 → (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥𝑥𝑈)) → 0 ≤ 𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑌𝑆𝐷𝑌𝑌𝑈)) → 0 ≤ 𝑌 / 𝑥𝐵)))
182174, 181, 110vtoclg1f 3524 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌𝑆 → ((𝜑 ∧ (𝑌𝑆𝐷𝑌𝑌𝑈)) → 0 ≤ 𝑌 / 𝑥𝐵))
183171, 182mpcom 38 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝑆𝐷𝑌𝑌𝑈)) → 0 ≤ 𝑌 / 𝑥𝐵)
184170, 183mpdan 685 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝑌 / 𝑥𝐵)
185 fracle1 13708 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ ℝ → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ≤ 1)
18688, 185syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) ≤ 1)
187120, 168, 124, 184, 186lemul1ad 12094 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ≤ (1 · 𝑌 / 𝑥𝐵))
188162mulid2d 11173 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 · 𝑌 / 𝑥𝐵) = 𝑌 / 𝑥𝐵)
189187, 188breqtrd 5131 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ≤ 𝑌 / 𝑥𝐵)
190124, 125subge0d 11745 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ (𝑌 / 𝑥𝐵 − ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)) ↔ ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ≤ 𝑌 / 𝑥𝐵))
191189, 190mpbird 256 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝑌 / 𝑥𝐵 − ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)))
192124, 125resubcld 11583 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 / 𝑥𝐵 − ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)) ∈ ℝ)
19321, 192subge02d 11747 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 ≤ (𝑌 / 𝑥𝐵 − ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)) ↔ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (𝑌 / 𝑥𝐵 − ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
194191, 193mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (𝑌 / 𝑥𝐵 − ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
195167, 194eqbrtrrd 5129 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) − 𝑌 / 𝑥𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
19683, 127, 21, 160, 195letrd 11312 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
19776, 83, 21, 117, 196letrd 11312 . . 3 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
19875, 45readdcld 11184 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 / 𝑥𝐵 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
199 fracge0 13709 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
20088, 199syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
201120, 124, 200, 184mulge0d 11732 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))
20221, 125addge02d 11744 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 ≤ ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))))
203201, 202mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
204134simpld 495 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑌) ≤ ((𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))‘𝑋))
205204, 158, 1463brtr3d 5136 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
20621, 126, 82, 203, 205letrd 11312 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
207 fracle1 13708 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1)
20877, 207syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1)
20980, 168, 75, 113, 208lemul1ad 12094 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (1 · 𝑋 / 𝑥𝐵))
21075recnd 11183 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
211210mulid2d 11173 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 · 𝑋 / 𝑥𝐵) = 𝑋 / 𝑥𝐵)
212209, 211breqtrd 5131 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
21381, 75, 45, 212leadd1dd 11769 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) ≤ (𝑋 / 𝑥𝐵 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
21421, 82, 198, 206, 213letrd 11312 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ≤ (𝑋 / 𝑥𝐵 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)))
21545recnd 11183 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ)
216210, 215addcomd 11357 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 / 𝑥𝐵 + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴)) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) + 𝑋 / 𝑥𝐵))
217214, 216breqtrd 5131 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) + 𝑋 / 𝑥𝐵))
21821, 45, 75absdifled 15319 . . 3 (𝜑 → ((abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵 ↔ (((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ∧ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ≤ ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴) + 𝑋 / 𝑥𝐵))))
219197, 217, 218mpbir2and 711 . 2 (𝜑 → (abs‘((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) − (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑋 / 𝑥𝐴))) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
22056, 219eqbrtrd 5127 1 (𝜑 → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  csb 3855  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  *cxr 11188  cle 11190  cmin 11385  cz 12499  cuz 12763  (,)cioo 13264  ...cfz 13424  cfl 13695  abscabs 15119  Σcsu 15570   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  dvfsumrlim  25395  dvfsumrlim2  25396  logexprlim  26573
  Copyright terms: Public domain W3C validator