Theorem subrgring 19942

Description: A subring is a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgring.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subrgring	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)

Proof of Theorem subrgring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgring.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	2, 3	issubrg 19939	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)))
5	4	simplbi 497	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring))
6	5	simprd 495	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
7	1, 6	eqeltrid 2843	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  SubRingcsubrg 19935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-ov 7258  df-subrg 19937

This theorem is referenced by:  subrgcrng  19943  subrgsubg  19945  subrg1  19949  subrgmcl  19951  subrgsubm  19952  subrguss  19954  subrginv  19955  subrgunit  19957  subrgugrp  19958  issubdrg  19964  subsubrg  19965  resrhm  19968  subdrgint  19986  abvres  20014  sralmod  20370  subrgnzr  20452  gzrngunitlem  20575  gzrngunit  20576  issubassa3  20982  subrgpsr  21098  mplring  21134  subrgmvrf  21145  subrgascl  21184  subrgasclcl  21185  evlssca  21209  evlsvar  21210  evlsgsumadd  21211  evlsvarpw  21214  mpfconst  21221  mpfproj  21222  mpfsubrg  21223  gsumply1subr  21315  ply1ring  21329  evls1sca  21399  evls1gsumadd  21400  evls1varpw  21403  dmatcrng  21559  scmatcrng  21578  scmatsgrp1  21579  scmatsrng1  21580  scmatmhm  21591  scmatrhm  21592  scmatrngiso  21593  m2cpmrhm  21803  isclmp  24166  reefgim  25514  amgmlem  26044  cntrcrng  31224  evlsscaval  40196  evlsvarval  40197  evlsbagval  40198  mhphf  40208  amgmwlem  46392