Theorem subrgring 20660

Description: A subring is a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgring.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subrgring	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)

Proof of Theorem subrgring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgring.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	2, 3	issubrg 20657	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)))
5	4	simplbi 501	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring))
6	5	simprd 500	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
7	1, 6	eqeltrid 2867	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270   ↾_s cress 17291  1_rcur 20264  Ringcrg 20316  SubRingcsubrg 20655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-ov 7415  df-subrg 20656

This theorem is referenced by:  subrgcrng  20661  subrgsubg  20663  subrg1  20668  subrgsubm  20671  subrguss  20673  subrginv  20674  subrgunit  20676  subrgugrp  20677  subrgnzr  20680  subsubrg  20684  resrhm  20687  resrhm2b  20688  issubdrg  20864  imadrhmcl  20881  subdrgint  20887  abvres  20915  sralmod  21289  ring2idlqus  21430  gzrngunitlem  21563  gzrngunit  21564  issubassa3  21997  subrgpsr  22108  mplring  22149  subrgmvrf  22166  subrgascl  22198  subrgasclcl  22199  evlssca  22226  evlsvar  22227  evlsgsumadd  22228  evlsvarpw  22231  mpfconst  22241  mpfproj  22242  mpfsubrg  22243  evlsscaval  22258  evlsvarval  22259  evlsmaprhm  22263  gsumply1subr  22374  ply1ring  22388  evls1sca  22464  evls1gsumadd  22465  evls1varpw  22468  evls1varpwval  22509  evls1fpws  22510  evls1addd  22512  evls1muld  22513  asclply1subcl  22515  evls1maplmhm  22518  dmatcrng  22640  scmatcrng  22659  scmatsgrp1  22660  scmatsrng1  22661  scmatmhm  22672  scmatrhm  22673  m2cpmrhm  22884  isclmp  25237  reefgim  26594  amgmlem  27135  cntrcrng  33382  ressply1evls1  33836  ressply10g  33838  evls1subd  33843  evls1monply1  33850  vr1nz  33864  evls1fldgencl  34041  0ringirng  34060  extdgfialglem2  34064  ply1annnr  34074  irngnminplynz  34083  minplyelirng  34086  algextdeglem6  34093  imacrhmcl  43269  evlsbagval  43301  amgmwlem  50585