Theorem subrgring 20273

Description: A subring is a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgring.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subrgring	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)

Proof of Theorem subrgring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgring.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	2, 3	issubrg 20270	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)))
5	4	simplbi 498	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring))
6	5	simprd 496	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
7	1, 6	eqeltrid 2836	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17094   ↾_s cress 17123  1_rcur 19927  Ringcrg 19978  SubRingcsubrg 20266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fv 6509  df-ov 7365  df-subrg 20268

This theorem is referenced by:  subrgcrng  20274  subrgsubg  20276  subrg1  20280  subrgmcl  20282  subrgsubm  20283  subrguss  20285  subrginv  20286  subrgunit  20288  subrgugrp  20289  subrgnzr  20292  issubdrg  20296  subsubrg  20297  resrhm  20300  resrhm2b  20301  imadrhmcl  20320  subdrgint  20326  abvres  20354  sralmod  20715  gzrngunitlem  20899  gzrngunit  20900  issubassa3  21308  subrgpsr  21425  mplring  21461  subrgmvrf  21472  subrgascl  21511  subrgasclcl  21512  evlssca  21536  evlsvar  21537  evlsgsumadd  21538  evlsvarpw  21541  mpfconst  21548  mpfproj  21549  mpfsubrg  21550  gsumply1subr  21642  ply1ring  21656  evls1sca  21726  evls1gsumadd  21727  evls1varpw  21730  dmatcrng  21888  scmatcrng  21907  scmatsgrp1  21908  scmatsrng1  21909  scmatmhm  21920  scmatrhm  21921  m2cpmrhm  22132  isclmp  24497  reefgim  25846  amgmlem  26376  cntrcrng  31974  evls1varpwval  32347  evls1fpws  32348  evls1addd  32350  evls1muld  32351  ressply10g  32355  asclply1subcl  32359  0ringirng  32450  evls1maplmhm  32456  imacrhmcl  40762  evlsscaval  40804  evlsvarval  40805  evlsbagval  40806  mhphf  40829  amgmwlem  47369