Theorem subrgring 20859

Description: A subring is a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgring.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subrgring	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)

Proof of Theorem subrgring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgring.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	2, 3	issubrg 20856	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)))
5	4	simplbi 502	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring))
6	5	simprd 501	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
7	1, 6	eqeltrid 2868	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Basecbs 17419   ↾_s cress 17440  1_rcur 20440  Ringcrg 20492  SubRingcsubrg 20854

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7449  df-subrg 20855

This theorem is used by:  subrgcrng  20860  subrgsubg  20862  subrg1  20867  subrgsubm  20870  subrguss  20872  subrginv  20873  subrgunit  20875  subrgugrp  20876  subrgnzr  20879  subsubrg  20883  resrhm  20886  resrhm2b  20887  issubdrg  21070  imadrhmcl  21087  subdrgint  21093  abvres  21121  sralmod  21495  ring2idlqus  21638  gzrngunitlem  21771  gzrngunit  21772  issubassa3  22207  subrgpsr  22318  mplring  22359  subrgmvrf  22376  subrgascl  22408  subrgasclcl  22409  evlssca  22436  evlsvar  22437  evlsgsumadd  22438  evlsvarpw  22441  mpfconst  22451  mpfproj  22452  mpfsubrg  22453  evlsscaval  22468  evlsvarval  22469  evlsmaprhm  22473  gsumply1subr  22584  ply1ring  22598  evls1sca  22674  evls1gsumadd  22675  evls1varpw  22678  evls1varpwval  22719  evls1fpws  22720  evls1addd  22722  evls1muld  22723  asclply1subcl  22725  evls1maplmhm  22728  dmatcrng  22850  scmatcrng  22869  scmatsgrp1  22870  scmatsrng1  22871  scmatmhm  22882  scmatrhm  22883  m2cpmrhm  23097  isclmp  25451  reefgim  26810  amgmlem  27350  cntrcrng  33718  ressply1evls1  34180  ressply10g  34182  evls1subd  34187  evls1monply1  34194  vr1nz  34208  evls1fldgencl  34385  0ringirng  34404  extdgfialglem2  34408  ply1annnr  34418  irngnminplynz  34427  minplyelirng  34430  algextdeglem6  34437  imacrhmcl  43785  evlsbagval  43818  amgmwlem  51299