Theorem subrgring 19538

Description: A subring is a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgring.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subrgring	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)

Proof of Theorem subrgring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgring.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	2, 3	issubrg 19535	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)))
5	4	simplbi 500	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring))
6	5	simprd 498	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
7	1, 6	eqeltrid 2917	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3936  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483   ↾_s cress 16484  1_rcur 19251  Ringcrg 19297  SubRingcsubrg 19531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fv 6363  df-ov 7159  df-subrg 19533

This theorem is referenced by:  subrgcrng  19539  subrgsubg  19541  subrg1  19545  subrgmcl  19547  subrgsubm  19548  subrguss  19550  subrginv  19551  subrgunit  19553  subrgugrp  19554  issubdrg  19560  subsubrg  19561  resrhm  19564  subdrgint  19582  abvres  19610  sralmod  19959  subrgnzr  20041  issubassa3  20097  subrgpsr  20199  mplring  20232  subrgmvrf  20243  subrgascl  20278  subrgasclcl  20279  evlssca  20302  evlsvar  20303  evlsgsumadd  20304  evlsvarpw  20307  mpfconst  20314  mpfproj  20315  mpfsubrg  20316  gsumply1subr  20402  ply1ring  20416  evls1sca  20486  evls1gsumadd  20487  evls1varpw  20490  gzrngunitlem  20610  gzrngunit  20611  dmatcrng  21111  scmatcrng  21130  scmatsgrp1  21131  scmatsrng1  21132  scmatmhm  21143  scmatrhm  21144  scmatrngiso  21145  m2cpmrhm  21354  isclmp  23701  reefgim  25038  amgmlem  25567  cntrcrng  30697  amgmwlem  44923