Theorem scmatmhm 20831

Description: There is a monoid homomorphism from the multiplicative group of a ring to the multiplicative group of the ring of scalar matrices over this ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatrhmval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmatrhmval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatrhmval.o	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
scmatrhmval.t	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
scmatrhmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
scmatrhmval.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatghm.s	⊢ 𝑆 = (𝐴 ↾s 𝐶)
scmatmhm.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
scmatmhm.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
scmatmhm	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥, 1   𝑥, ∗   𝑥,𝐶   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem scmatmhm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatmhm.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 18997	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
3	2	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑀 ∈ Mnd)
4		scmatrhmval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5		eqid 2797	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
6		scmatrhmval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
7		eqid 2797	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8		scmatrhmval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
9	4, 5, 6, 7, 8	scmatsrng 20817	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴))
10		scmatghm.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐴 ↾s 𝐶)
11	10	subrgring 19232	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝑆 ∈ Ring)
12		scmatmhm.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
13	12	ringmgp 18997	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd)
14	9, 11, 13	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ Mnd)
15		scmatrhmval.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
16		scmatrhmval.t	. . . . 5 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
17		scmatrhmval.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
18	6, 4, 15, 16, 17, 8	scmatf 20826	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
19	4, 8, 10	scmatstrbas 20823	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑆) = 𝐶)
20	19	feq3d 6376	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ↔ 𝐹:𝐾⟶𝐶))
21	18, 20	mpbird 258	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆))
22		eqid 2797	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
23		eqid 2797	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
24	4, 6, 7, 15, 16, 22, 23	scmatscmiddistr 20805	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦 ∗ 1 )(.r‘𝐴)(𝑧 ∗ 1 )) = ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ))
25	10, 23	ressmulr 16458	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴) → (.r‘𝐴) = (.r‘𝑆))
26	9, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (.r‘𝐴) = (.r‘𝑆))
27	26	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (.r‘𝐴) = (.r‘𝑆))
28	27	oveqd 7040	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦 ∗ 1 )(.r‘𝐴)(𝑧 ∗ 1 )) = ((𝑦 ∗ 1 )(.r‘𝑆)(𝑧 ∗ 1 )))
29	24, 28	eqtr3d 2835	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ) = ((𝑦 ∗ 1 )(.r‘𝑆)(𝑧 ∗ 1 )))
30		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
31	30	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 𝑅 ∈ Ring)
32	30	anim1i 614	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)))
33		3anass 1088	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)))
34	32, 33	sylibr 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾))
35	6, 22	ringcl 19005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐾)
36	34, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐾)
37	6, 4, 15, 16, 17	scmatrhmval 20824	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ))
38	31, 36, 37	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ))
39	6, 4, 15, 16, 17	scmatrhmval 20824	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ∗ 1 ))
40	39	ad2ant2lr 744	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ∗ 1 ))
41	6, 4, 15, 16, 17	scmatrhmval 20824	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 ∗ 1 ))
42	41	ad2ant2l 742	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 ∗ 1 ))
43	40, 42	oveq12d 7041	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘𝑦)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑧)) = ((𝑦 ∗ 1 )(.r‘𝑆)(𝑧 ∗ 1 )))
44	29, 38, 43	3eqtr4d 2843	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑧)))
45	44	ralrimivva 3160	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐾 (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑧)))
46		eqid 2797	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
47	6, 46	ringidcl 19012	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
48	6, 4, 15, 16, 17	scmatrhmval 20824	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = ((1r‘𝑅) ∗ 1 ))
49	30, 47, 48	syl2anc2 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = ((1r‘𝑅) ∗ 1 ))
50	4	matsca2 20717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
51	50	fveq2d 6549	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝐴)))
52	51	oveq1d 7038	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘𝑅) ∗ 1 ) = ((1r‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 1 ))
53	4	matlmod 20726	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
54	4	matring 20740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
55	5, 15	ringidcl 19012	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐴))
56	54, 55	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝐴))
57		eqid 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
58		eqid 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐴)) = (1r‘(Scalar‘𝐴))
59	5, 57, 16, 58	lmodvs1 19356	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴)) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 1 ) = 1 )
60	53, 56, 59	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 1 ) = 1 )
61	52, 60	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘𝑅) ∗ 1 ) = 1 )
62	49, 61	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1 )
63	10, 15	subrg1 19239	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴) → 1 = (1r‘𝑆))
64	9, 63	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 = (1r‘𝑆))
65	62, 64	eqtrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
66	21, 45, 65	3jca 1121	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐾 (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑧)) ∧ (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆)))
67	1, 6	mgpbas 18939	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
68		eqid 2797	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
69	12, 68	mgpbas 18939	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑇)
70	1, 22	mgpplusg 18937	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
71		eqid 2797	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
72	12, 71	mgpplusg 18937	. . 3 ⊢ (.r‘𝑆) = (+g‘𝑇)
73	1, 46	ringidval 18947	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
74		eqid 2797	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
75	12, 74	ringidval 18947	. . 3 ⊢ (1r‘𝑆) = (0g‘𝑇)
76	67, 69, 70, 72, 73, 75	ismhm 17780	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐾 (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑧)) ∧ (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))))
77	3, 14, 66, 76	syl21anbrc 1337	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  ∀wral 3107   ↦ cmpt 5047  ⟶wf 6228  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  Fincfn 8364  Basecbs 16316   ↾_s cress 16317  ._rcmulr 16399  Scalarcsca 16401   ·_𝑠 cvsca 16402  0_gc0g 16546  Mndcmnd 17737   MndHom cmhm 17776  mulGrpcmgp 18933  1_rcur 18945  Ringcrg 18991  SubRingcsubrg 19225  LModclmod 19328   Mat cmat 20704   ScMat cscmat 20786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-ot 4487  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-ixp 8318  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-sup 8759  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-seq 13224  df-hash 13545  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-ip 16416  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-hom 16422  df-cco 16423  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-prds 16554  df-pws 16556  df-mre 16690  df-mrc 16691  df-acs 16693  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-mhm 17778  df-submnd 17779  df-grp 17868  df-minusg 17869  df-sbg 17870  df-mulg 17986  df-subg 18034  df-ghm 18101  df-cntz 18192  df-cmn 18639  df-abl 18640  df-mgp 18934  df-ur 18946  df-ring 18993  df-subrg 19227  df-lmod 19330  df-lss 19398  df-sra 19638  df-rgmod 19639  df-dsmm 20562  df-frlm 20577  df-mamu 20681  df-mat 20705  df-dmat 20787  df-scmat 20788

This theorem is referenced by:  scmatrhm  20832