MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatmhm 21867
Description: There is a monoid homomorphism from the multiplicative group of a ring to the multiplicative group of the ring of scalar matrices over this ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatrhmval.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmatrhmval.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatrhmval.o 1 = (1r𝐴)
scmatrhmval.t = ( ·𝑠𝐴)
scmatrhmval.f 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 1 ))
scmatrhmval.c 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatghm.s 𝑆 = (𝐴s 𝐶)
scmatmhm.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
scmatmhm.t 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
scmatmhm ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥, 1   𝑥,   𝑥,𝐶   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem scmatmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatmhm.m . . . 4 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
21ringmgp 19956 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
32adantl 482 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑀 ∈ Mnd)
4 scmatrhmval.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5 eqid 2736 . . . 4 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
6 scmatrhmval.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
7 eqid 2736 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
8 scmatrhmval.c . . . 4 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
94, 5, 6, 7, 8scmatsrng 21853 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴))
10 scmatghm.s . . . 4 𝑆 = (𝐴s 𝐶)
1110subrgring 20210 . . 3 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝑆 ∈ Ring)
12 scmatmhm.t . . . 4 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
1312ringmgp 19956 . . 3 (𝑆 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd)
149, 11, 133syl 18 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ Mnd)
15 scmatrhmval.o . . . . 5 1 = (1r𝐴)
16 scmatrhmval.t . . . . 5 = ( ·𝑠𝐴)
17 scmatrhmval.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 1 ))
186, 4, 15, 16, 17, 8scmatf 21862 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾𝐶)
194, 8, 10scmatstrbas 21859 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑆) = 𝐶)
2019feq3d 6652 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ↔ 𝐹:𝐾𝐶))
2118, 20mpbird 256 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆))
22 eqid 2736 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
23 eqid 2736 . . . . . . 7 (.r𝐴) = (.r𝐴)
244, 6, 7, 15, 16, 22, 23scmatscmiddistr 21841 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑦 1 )(.r𝐴)(𝑧 1 )) = ((𝑦(.r𝑅)𝑧) 1 ))
2510, 23ressmulr 17180 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴) → (.r𝐴) = (.r𝑆))
269, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (.r𝐴) = (.r𝑆))
2726adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (.r𝐴) = (.r𝑆))
2827oveqd 7370 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑦 1 )(.r𝐴)(𝑧 1 )) = ((𝑦 1 )(.r𝑆)(𝑧 1 )))
2924, 28eqtr3d 2778 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑦(.r𝑅)𝑧) 1 ) = ((𝑦 1 )(.r𝑆)(𝑧 1 )))
30 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
3130adantr 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → 𝑅 ∈ Ring)
3230anim1i 615 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)))
33 3anass 1095 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐾𝑧𝐾) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)))
3432, 33sylibr 233 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐾𝑧𝐾))
356, 22ringcl 19967 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐾𝑧𝐾) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝐾)
3634, 35syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝐾)
376, 4, 15, 16, 17scmatrhmval 21860 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝑦(.r𝑅)𝑧) 1 ))
3831, 36, 37syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝑦(.r𝑅)𝑧) 1 ))
396, 4, 15, 16, 17scmatrhmval 21860 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐾) → (𝐹𝑦) = (𝑦 1 ))
4039ad2ant2lr 746 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝐹𝑦) = (𝑦 1 ))
416, 4, 15, 16, 17scmatrhmval 21860 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧𝐾) → (𝐹𝑧) = (𝑧 1 ))
4241ad2ant2l 744 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝐹𝑧) = (𝑧 1 ))
4340, 42oveq12d 7371 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝐹𝑦)(.r𝑆)(𝐹𝑧)) = ((𝑦 1 )(.r𝑆)(𝑧 1 )))
4429, 38, 433eqtr4d 2786 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹𝑦)(.r𝑆)(𝐹𝑧)))
4544ralrimivva 3195 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑦𝐾𝑧𝐾 (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹𝑦)(.r𝑆)(𝐹𝑧)))
46 eqid 2736 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (1r𝑅)
476, 46ringidcl 19975 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
486, 4, 15, 16, 17scmatrhmval 21860 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(1r𝑅)) = ((1r𝑅) 1 ))
4930, 47, 48syl2anc2 585 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹‘(1r𝑅)) = ((1r𝑅) 1 ))
504matsca2 21753 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
5150fveq2d 6843 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝐴)))
5251oveq1d 7368 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r𝑅) 1 ) = ((1r‘(Scalar‘𝐴)) 1 ))
534matlmod 21762 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
544matring 21776 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
555, 15ringidcl 19975 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐴))
5654, 55syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝐴))
57 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
58 eqid 2736 . . . . . . . 8 (1r‘(Scalar‘𝐴)) = (1r‘(Scalar‘𝐴))
595, 57, 16, 58lmodvs1 20335 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴)) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) 1 ) = 1 )
6053, 56, 59syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) 1 ) = 1 )
6152, 60eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r𝑅) 1 ) = 1 )
6249, 61eqtrd 2776 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹‘(1r𝑅)) = 1 )
6310, 15subrg1 20217 . . . . 5 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴) → 1 = (1r𝑆))
649, 63syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 = (1r𝑆))
6562, 64eqtrd 2776 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
6621, 45, 653jca 1128 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑦𝐾𝑧𝐾 (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹𝑦)(.r𝑆)(𝐹𝑧)) ∧ (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆)))
671, 6mgpbas 19893 . . 3 𝐾 = (Base‘𝑀)
68 eqid 2736 . . . 4 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
6912, 68mgpbas 19893 . . 3 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑇)
701, 22mgpplusg 19891 . . 3 (.r𝑅) = (+g𝑀)
71 eqid 2736 . . . 4 (.r𝑆) = (.r𝑆)
7212, 71mgpplusg 19891 . . 3 (.r𝑆) = (+g𝑇)
731, 46ringidval 19906 . . 3 (1r𝑅) = (0g𝑀)
74 eqid 2736 . . . 4 (1r𝑆) = (1r𝑆)
7512, 74ringidval 19906 . . 3 (1r𝑆) = (0g𝑇)
7667, 69, 70, 72, 73, 75ismhm 18595 . 2 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑦𝐾𝑧𝐾 (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹𝑦)(.r𝑆)(𝐹𝑧)) ∧ (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))))
773, 14, 66, 76syl21anbrc 1344 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  cmpt 5186  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  Basecbs 17075  s cress 17104  .rcmulr 17126  Scalarcsca 17128   ·𝑠 cvsca 17129  0gc0g 17313  Mndcmnd 18548   MndHom cmhm 18591  mulGrpcmgp 19887  1rcur 19904  Ringcrg 19950  SubRingcsubrg 20203  LModclmod 20307   Mat cmat 21738   ScMat cscmat 21822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7613  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-supp 8089  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-map 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9302  df-sup 9374  df-oi 9442  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-seq 13899  df-hash 14223  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-ip 17143  df-tset 17144  df-ple 17145  df-ds 17147  df-hom 17149  df-cco 17150  df-0g 17315  df-gsum 17316  df-prds 17321  df-pws 17323  df-mre 17458  df-mrc 17459  df-acs 17461  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-mhm 18593  df-submnd 18594  df-grp 18743  df-minusg 18744  df-sbg 18745  df-mulg 18864  df-subg 18916  df-ghm 18997  df-cntz 19088  df-cmn 19555  df-abl 19556  df-mgp 19888  df-ur 19905  df-ring 19952  df-subrg 20205  df-lmod 20309  df-lss 20378  df-sra 20618  df-rgmod 20619  df-dsmm 21123  df-frlm 21138  df-mamu 21717  df-mat 21739  df-dmat 21823  df-scmat 21824
This theorem is referenced by:  scmatrhm  21868
  Copyright terms: Public domain W3C validator