MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatmhm 20831
Description: There is a monoid homomorphism from the multiplicative group of a ring to the multiplicative group of the ring of scalar matrices over this ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatrhmval.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmatrhmval.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatrhmval.o 1 = (1r𝐴)
scmatrhmval.t = ( ·𝑠𝐴)
scmatrhmval.f 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 1 ))
scmatrhmval.c 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatghm.s 𝑆 = (𝐴s 𝐶)
scmatmhm.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
scmatmhm.t 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
scmatmhm ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥, 1   𝑥,   𝑥,𝐶   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem scmatmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatmhm.m . . . 4 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
21ringmgp 18997 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
32adantl 482 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑀 ∈ Mnd)
4 scmatrhmval.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5 eqid 2797 . . . 4 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
6 scmatrhmval.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
7 eqid 2797 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
8 scmatrhmval.c . . . 4 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
94, 5, 6, 7, 8scmatsrng 20817 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴))
10 scmatghm.s . . . 4 𝑆 = (𝐴s 𝐶)
1110subrgring 19232 . . 3 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝑆 ∈ Ring)
12 scmatmhm.t . . . 4 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
1312ringmgp 18997 . . 3 (𝑆 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd)
149, 11, 133syl 18 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ Mnd)
15 scmatrhmval.o . . . . 5 1 = (1r𝐴)
16 scmatrhmval.t . . . . 5 = ( ·𝑠𝐴)
17 scmatrhmval.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 1 ))
186, 4, 15, 16, 17, 8scmatf 20826 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾𝐶)
194, 8, 10scmatstrbas 20823 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑆) = 𝐶)
2019feq3d 6376 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ↔ 𝐹:𝐾𝐶))
2118, 20mpbird 258 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆))
22 eqid 2797 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
23 eqid 2797 . . . . . . 7 (.r𝐴) = (.r𝐴)
244, 6, 7, 15, 16, 22, 23scmatscmiddistr 20805 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑦 1 )(.r𝐴)(𝑧 1 )) = ((𝑦(.r𝑅)𝑧) 1 ))
2510, 23ressmulr 16458 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴) → (.r𝐴) = (.r𝑆))
269, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (.r𝐴) = (.r𝑆))
2726adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (.r𝐴) = (.r𝑆))
2827oveqd 7040 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑦 1 )(.r𝐴)(𝑧 1 )) = ((𝑦 1 )(.r𝑆)(𝑧 1 )))
2924, 28eqtr3d 2835 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑦(.r𝑅)𝑧) 1 ) = ((𝑦 1 )(.r𝑆)(𝑧 1 )))
30 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
3130adantr 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → 𝑅 ∈ Ring)
3230anim1i 614 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)))
33 3anass 1088 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐾𝑧𝐾) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)))
3432, 33sylibr 235 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐾𝑧𝐾))
356, 22ringcl 19005 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐾𝑧𝐾) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝐾)
3634, 35syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝐾)
376, 4, 15, 16, 17scmatrhmval 20824 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝑦(.r𝑅)𝑧) 1 ))
3831, 36, 37syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝑦(.r𝑅)𝑧) 1 ))
396, 4, 15, 16, 17scmatrhmval 20824 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐾) → (𝐹𝑦) = (𝑦 1 ))
4039ad2ant2lr 744 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝐹𝑦) = (𝑦 1 ))
416, 4, 15, 16, 17scmatrhmval 20824 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧𝐾) → (𝐹𝑧) = (𝑧 1 ))
4241ad2ant2l 742 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝐹𝑧) = (𝑧 1 ))
4340, 42oveq12d 7041 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝐹𝑦)(.r𝑆)(𝐹𝑧)) = ((𝑦 1 )(.r𝑆)(𝑧 1 )))
4429, 38, 433eqtr4d 2843 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹𝑦)(.r𝑆)(𝐹𝑧)))
4544ralrimivva 3160 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑦𝐾𝑧𝐾 (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹𝑦)(.r𝑆)(𝐹𝑧)))
46 eqid 2797 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (1r𝑅)
476, 46ringidcl 19012 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
486, 4, 15, 16, 17scmatrhmval 20824 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(1r𝑅)) = ((1r𝑅) 1 ))
4930, 47, 48syl2anc2 585 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹‘(1r𝑅)) = ((1r𝑅) 1 ))
504matsca2 20717 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
5150fveq2d 6549 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝐴)))
5251oveq1d 7038 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r𝑅) 1 ) = ((1r‘(Scalar‘𝐴)) 1 ))
534matlmod 20726 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
544matring 20740 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
555, 15ringidcl 19012 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐴))
5654, 55syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝐴))
57 eqid 2797 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
58 eqid 2797 . . . . . . . 8 (1r‘(Scalar‘𝐴)) = (1r‘(Scalar‘𝐴))
595, 57, 16, 58lmodvs1 19356 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴)) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) 1 ) = 1 )
6053, 56, 59syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) 1 ) = 1 )
6152, 60eqtrd 2833 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r𝑅) 1 ) = 1 )
6249, 61eqtrd 2833 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹‘(1r𝑅)) = 1 )
6310, 15subrg1 19239 . . . . 5 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴) → 1 = (1r𝑆))
649, 63syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 = (1r𝑆))
6562, 64eqtrd 2833 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
6621, 45, 653jca 1121 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑦𝐾𝑧𝐾 (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹𝑦)(.r𝑆)(𝐹𝑧)) ∧ (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆)))
671, 6mgpbas 18939 . . 3 𝐾 = (Base‘𝑀)
68 eqid 2797 . . . 4 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
6912, 68mgpbas 18939 . . 3 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑇)
701, 22mgpplusg 18937 . . 3 (.r𝑅) = (+g𝑀)
71 eqid 2797 . . . 4 (.r𝑆) = (.r𝑆)
7212, 71mgpplusg 18937 . . 3 (.r𝑆) = (+g𝑇)
731, 46ringidval 18947 . . 3 (1r𝑅) = (0g𝑀)
74 eqid 2797 . . . 4 (1r𝑆) = (1r𝑆)
7512, 74ringidval 18947 . . 3 (1r𝑆) = (0g𝑇)
7667, 69, 70, 72, 73, 75ismhm 17780 . 2 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑦𝐾𝑧𝐾 (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹𝑦)(.r𝑆)(𝐹𝑧)) ∧ (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))))
773, 14, 66, 76syl21anbrc 1337 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083  wral 3107  cmpt 5047  wf 6228  cfv 6232  (class class class)co 7023  Fincfn 8364  Basecbs 16316  s cress 16317  .rcmulr 16399  Scalarcsca 16401   ·𝑠 cvsca 16402  0gc0g 16546  Mndcmnd 17737   MndHom cmhm 17776  mulGrpcmgp 18933  1rcur 18945  Ringcrg 18991  SubRingcsubrg 19225  LModclmod 19328   Mat cmat 20704   ScMat cscmat 20786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-ot 4487  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-ixp 8318  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-sup 8759  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-seq 13224  df-hash 13545  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-ip 16416  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-hom 16422  df-cco 16423  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-prds 16554  df-pws 16556  df-mre 16690  df-mrc 16691  df-acs 16693  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-mhm 17778  df-submnd 17779  df-grp 17868  df-minusg 17869  df-sbg 17870  df-mulg 17986  df-subg 18034  df-ghm 18101  df-cntz 18192  df-cmn 18639  df-abl 18640  df-mgp 18934  df-ur 18946  df-ring 18993  df-subrg 19227  df-lmod 19330  df-lss 19398  df-sra 19638  df-rgmod 19639  df-dsmm 20562  df-frlm 20577  df-mamu 20681  df-mat 20705  df-dmat 20787  df-scmat 20788
This theorem is referenced by:  scmatrhm  20832
  Copyright terms: Public domain W3C validator