Theorem scmatmhm 22477

Description: There is a monoid homomorphism from the multiplicative group of a ring to the multiplicative group of the ring of scalar matrices over this ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatrhmval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmatrhmval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatrhmval.o	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
scmatrhmval.t	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
scmatrhmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
scmatrhmval.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatghm.s	⊢ 𝑆 = (𝐴 ↾s 𝐶)
scmatmhm.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
scmatmhm.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
scmatmhm	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥, 1   𝑥, ∗   𝑥,𝐶   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem scmatmhm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatmhm.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20204	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑀 ∈ Mnd)
4		scmatrhmval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
6		scmatrhmval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
7		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8		scmatrhmval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
9	4, 5, 6, 7, 8	scmatsrng 22463	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴))
10		scmatghm.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐴 ↾s 𝐶)
11	10	subrgring 20539	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝑆 ∈ Ring)
12		scmatmhm.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
13	12	ringmgp 20204	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd)
14	9, 11, 13	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ Mnd)
15		scmatrhmval.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
16		scmatrhmval.t	. . . . 5 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
17		scmatrhmval.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
18	6, 4, 15, 16, 17, 8	scmatf 22472	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
19	4, 8, 10	scmatstrbas 22469	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑆) = 𝐶)
20	19	feq3d 6698	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ↔ 𝐹:𝐾⟶𝐶))
21	18, 20	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆))
22		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
23		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
24	4, 6, 7, 15, 16, 22, 23	scmatscmiddistr 22451	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦 ∗ 1 )(.r‘𝐴)(𝑧 ∗ 1 )) = ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ))
25	10, 23	ressmulr 17326	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴) → (.r‘𝐴) = (.r‘𝑆))
26	9, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (.r‘𝐴) = (.r‘𝑆))
27	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (.r‘𝐴) = (.r‘𝑆))
28	27	oveqd 7427	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦 ∗ 1 )(.r‘𝐴)(𝑧 ∗ 1 )) = ((𝑦 ∗ 1 )(.r‘𝑆)(𝑧 ∗ 1 )))
29	24, 28	eqtr3d 2773	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ) = ((𝑦 ∗ 1 )(.r‘𝑆)(𝑧 ∗ 1 )))
30		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 𝑅 ∈ Ring)
32	30	anim1i 615	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)))
33		3anass 1094	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)))
34	32, 33	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾))
35	6, 22	ringcl 20215	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐾)
36	34, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐾)
37	6, 4, 15, 16, 17	scmatrhmval 22470	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ))
38	31, 36, 37	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ))
39	6, 4, 15, 16, 17	scmatrhmval 22470	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ∗ 1 ))
40	39	ad2ant2lr 748	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ∗ 1 ))
41	6, 4, 15, 16, 17	scmatrhmval 22470	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 ∗ 1 ))
42	41	ad2ant2l 746	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 ∗ 1 ))
43	40, 42	oveq12d 7428	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘𝑦)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑧)) = ((𝑦 ∗ 1 )(.r‘𝑆)(𝑧 ∗ 1 )))
44	29, 38, 43	3eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑧)))
45	44	ralrimivva 3188	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐾 (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑧)))
46		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
47	6, 46	ringidcl 20230	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
48	6, 4, 15, 16, 17	scmatrhmval 22470	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = ((1r‘𝑅) ∗ 1 ))
49	30, 47, 48	syl2anc2 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = ((1r‘𝑅) ∗ 1 ))
50	4	matsca2 22363	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
51	50	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝐴)))
52	51	oveq1d 7425	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘𝑅) ∗ 1 ) = ((1r‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 1 ))
53	4	matlmod 22372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
54	4	matring 22386	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
55	5, 15	ringidcl 20230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐴))
56	54, 55	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝐴))
57		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
58		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐴)) = (1r‘(Scalar‘𝐴))
59	5, 57, 16, 58	lmodvs1 20852	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴)) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 1 ) = 1 )
60	53, 56, 59	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 1 ) = 1 )
61	52, 60	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘𝑅) ∗ 1 ) = 1 )
62	49, 61	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1 )
63	10, 15	subrg1 20547	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴) → 1 = (1r‘𝑆))
64	9, 63	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 = (1r‘𝑆))
65	62, 64	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
66	21, 45, 65	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐾 (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑧)) ∧ (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆)))
67	1, 6	mgpbas 20110	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
68		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
69	12, 68	mgpbas 20110	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑇)
70	1, 22	mgpplusg 20109	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
71		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
72	12, 71	mgpplusg 20109	. . 3 ⊢ (.r‘𝑆) = (+g‘𝑇)
73	1, 46	ringidval 20148	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
74		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
75	12, 74	ringidval 20148	. . 3 ⊢ (1r‘𝑆) = (0g‘𝑇)
76	67, 69, 70, 72, 73, 75	ismhm 18768	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐾 (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑧)) ∧ (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))))
77	3, 14, 66, 76	syl21anbrc 1345	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052   ↦ cmpt 5206  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8964  Basecbs 17233   ↾_s cress 17256  ._rcmulr 17277  Scalarcsca 17279   ·_𝑠 cvsca 17280  0_gc0g 17458  Mndcmnd 18717   MndHom cmhm 18764  mulGrpcmgp 20105  1_rcur 20146  Ringcrg 20198  SubRingcsubrg 20534  LModclmod 20822   Mat cmat 22350   ScMat cscmat 22432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-ot 4615  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-sup 9459  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14354  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-hom 17300  df-cco 17301  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-prds 17466  df-pws 17468  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-ghm 19201  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-subrng 20511  df-subrg 20535  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-sra 21136  df-rgmod 21137  df-dsmm 21697  df-frlm 21712  df-mamu 22334  df-mat 22351  df-dmat 22433  df-scmat 22434

This theorem is referenced by:  scmatrhm  22478