MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatmhm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem scmatmhm 22256
Description: There is a monoid homomorphism from the multiplicative group of a ring to the multiplicative group of the ring of scalar matrices over this ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatrhmval.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
scmatrhmval.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatrhmval.o 1 = (1rβ€˜π΄)
scmatrhmval.t βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π΄)
scmatrhmval.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ βˆ— 1 ))
scmatrhmval.c 𝐢 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatghm.s 𝑆 = (𝐴 β†Ύs 𝐢)
scmatmhm.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
scmatmhm.t 𝑇 = (mulGrpβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
scmatmhm ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑅   π‘₯, 1   π‘₯, βˆ—   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝑇(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝑀(π‘₯)
Proof of Theorem scmatmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatmhm.m . . . 4 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
21ringmgp 20133 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
32adantl 480 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
4 scmatrhmval.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5 eqid 2730 . . . 4 (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜π΄)
6 scmatrhmval.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
7 eqid 2730 . . . 4 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
8 scmatrhmval.c . . . 4 𝐢 = (𝑁 ScMat 𝑅)
94, 5, 6, 7, 8scmatsrng 22242 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐢 ∈ (SubRingβ€˜π΄))
10 scmatghm.s . . . 4 𝑆 = (𝐴 β†Ύs 𝐢)
1110subrgring 20464 . . 3 (𝐢 ∈ (SubRingβ€˜π΄) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
12 scmatmhm.t . . . 4 𝑇 = (mulGrpβ€˜π‘†)
1312ringmgp 20133 . . 3 (𝑆 ∈ Ring β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
149, 11, 133syl 18 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
15 scmatrhmval.o . . . . 5 1 = (1rβ€˜π΄)
16 scmatrhmval.t . . . . 5 βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π΄)
17 scmatrhmval.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ βˆ— 1 ))
186, 4, 15, 16, 17, 8scmatf 22251 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐹:𝐾⟢𝐢)
194, 8, 10scmatstrbas 22248 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (Baseβ€˜π‘†) = 𝐢)
2019feq3d 6703 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝐹:𝐾⟢(Baseβ€˜π‘†) ↔ 𝐹:𝐾⟢𝐢))
2118, 20mpbird 256 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐹:𝐾⟢(Baseβ€˜π‘†))
22 eqid 2730 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
23 eqid 2730 . . . . . . 7 (.rβ€˜π΄) = (.rβ€˜π΄)
244, 6, 7, 15, 16, 22, 23scmatscmiddistr 22230 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ ((𝑦 βˆ— 1 )(.rβ€˜π΄)(𝑧 βˆ— 1 )) = ((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) βˆ— 1 ))
2510, 23ressmulr 17256 . . . . . . . . 9 (𝐢 ∈ (SubRingβ€˜π΄) β†’ (.rβ€˜π΄) = (.rβ€˜π‘†))
269, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (.rβ€˜π΄) = (.rβ€˜π‘†))
2726adantr 479 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ (.rβ€˜π΄) = (.rβ€˜π‘†))
2827oveqd 7428 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ ((𝑦 βˆ— 1 )(.rβ€˜π΄)(𝑧 βˆ— 1 )) = ((𝑦 βˆ— 1 )(.rβ€˜π‘†)(𝑧 βˆ— 1 )))
2924, 28eqtr3d 2772 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ ((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) βˆ— 1 ) = ((𝑦 βˆ— 1 )(.rβ€˜π‘†)(𝑧 βˆ— 1 )))
30 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3130adantr 479 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3230anim1i 613 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)))
33 3anass 1093 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)))
3432, 33sylibr 233 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾))
356, 22ringcl 20144 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐾)
3634, 35syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐾)
376, 4, 15, 16, 17scmatrhmval 22249 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐾) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) βˆ— 1 ))
3831, 36, 37syl2anc 582 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) βˆ— 1 ))
396, 4, 15, 16, 17scmatrhmval 22249 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (𝑦 βˆ— 1 ))
4039ad2ant2lr 744 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (𝑦 βˆ— 1 ))
416, 4, 15, 16, 17scmatrhmval 22249 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (𝑧 βˆ— 1 ))
4241ad2ant2l 742 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (𝑧 βˆ— 1 ))
4340, 42oveq12d 7429 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘§)) = ((𝑦 βˆ— 1 )(.rβ€˜π‘†)(𝑧 βˆ— 1 )))
4429, 38, 433eqtr4d 2780 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘§)))
4544ralrimivva 3198 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘§)))
46 eqid 2730 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
476, 46ringidcl 20154 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐾)
486, 4, 15, 16, 17scmatrhmval 22249 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐾) β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = ((1rβ€˜π‘…) βˆ— 1 ))
4930, 47, 48syl2anc2 583 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = ((1rβ€˜π‘…) βˆ— 1 ))
504matsca2 22142 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π΄))
5150fveq2d 6894 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π΄)))
5251oveq1d 7426 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ ((1rβ€˜π‘…) βˆ— 1 ) = ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) βˆ— 1 ))
534matlmod 22151 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐴 ∈ LMod)
544matring 22165 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐴 ∈ Ring)
555, 15ringidcl 20154 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Ring β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π΄))
5654, 55syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π΄))
57 eqid 2730 . . . . . . . 8 (Scalarβ€˜π΄) = (Scalarβ€˜π΄)
58 eqid 2730 . . . . . . . 8 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π΄))
595, 57, 16, 58lmodvs1 20644 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π΄)) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) βˆ— 1 ) = 1 )
6053, 56, 59syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) βˆ— 1 ) = 1 )
6152, 60eqtrd 2770 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ ((1rβ€˜π‘…) βˆ— 1 ) = 1 )
6249, 61eqtrd 2770 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = 1 )
6310, 15subrg1 20472 . . . . 5 (𝐢 ∈ (SubRingβ€˜π΄) β†’ 1 = (1rβ€˜π‘†))
649, 63syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 1 = (1rβ€˜π‘†))
6562, 64eqtrd 2770 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘†))
6621, 45, 653jca 1126 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝐹:𝐾⟢(Baseβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘§)) ∧ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘†)))
671, 6mgpbas 20034 . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜π‘€)
68 eqid 2730 . . . 4 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
6912, 68mgpbas 20034 . . 3 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘‡)
701, 22mgpplusg 20032 . . 3 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘€)
71 eqid 2730 . . . 4 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
7212, 71mgpplusg 20032 . . 3 (.rβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘‡)
731, 46ringidval 20077 . . 3 (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘€)
74 eqid 2730 . . . 4 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
7512, 74ringidval 20077 . . 3 (1rβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘‡)
7667, 69, 70, 72, 73, 75ismhm 18707 . 2 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐾⟢(Baseβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘§)) ∧ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘†))))
773, 14, 66, 76syl21anbrc 1342 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  Basecbs 17148   β†Ύs cress 17177  .rcmulr 17202  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  0gc0g 17389  Mndcmnd 18659   MndHom cmhm 18703  mulGrpcmgp 20028  1rcur 20075  Ringcrg 20127  SubRingcsubrg 20457  LModclmod 20614   Mat cmat 22127   ScMat cscmat 22211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-dsmm 21506  df-frlm 21521  df-mamu 22106  df-mat 22128  df-dmat 22212  df-scmat 22213
This theorem is referenced by:  scmatrhm  22257
  Copyright terms: Public domain W3C validator