Theorem scmatmhm 22556

Description: There is a monoid homomorphism from the multiplicative group of a ring to the multiplicative group of the ring of scalar matrices over this ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatrhmval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmatrhmval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatrhmval.o	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
scmatrhmval.t	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
scmatrhmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
scmatrhmval.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatghm.s	⊢ 𝑆 = (𝐴 ↾s 𝐶)
scmatmhm.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
scmatmhm.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
scmatmhm	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥, 1   𝑥, ∗   𝑥,𝐶   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem scmatmhm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatmhm.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20257	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑀 ∈ Mnd)
4		scmatrhmval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
6		scmatrhmval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
7		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8		scmatrhmval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
9	4, 5, 6, 7, 8	scmatsrng 22542	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴))
10		scmatghm.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐴 ↾s 𝐶)
11	10	subrgring 20591	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝑆 ∈ Ring)
12		scmatmhm.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
13	12	ringmgp 20257	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd)
14	9, 11, 13	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ Mnd)
15		scmatrhmval.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
16		scmatrhmval.t	. . . . 5 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
17		scmatrhmval.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
18	6, 4, 15, 16, 17, 8	scmatf 22551	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
19	4, 8, 10	scmatstrbas 22548	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑆) = 𝐶)
20	19	feq3d 6724	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ↔ 𝐹:𝐾⟶𝐶))
21	18, 20	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆))
22		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
23		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
24	4, 6, 7, 15, 16, 22, 23	scmatscmiddistr 22530	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦 ∗ 1 )(.r‘𝐴)(𝑧 ∗ 1 )) = ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ))
25	10, 23	ressmulr 17353	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴) → (.r‘𝐴) = (.r‘𝑆))
26	9, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (.r‘𝐴) = (.r‘𝑆))
27	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (.r‘𝐴) = (.r‘𝑆))
28	27	oveqd 7448	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦 ∗ 1 )(.r‘𝐴)(𝑧 ∗ 1 )) = ((𝑦 ∗ 1 )(.r‘𝑆)(𝑧 ∗ 1 )))
29	24, 28	eqtr3d 2777	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ) = ((𝑦 ∗ 1 )(.r‘𝑆)(𝑧 ∗ 1 )))
30		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 𝑅 ∈ Ring)
32	30	anim1i 615	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)))
33		3anass 1094	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)))
34	32, 33	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾))
35	6, 22	ringcl 20268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐾)
36	34, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐾)
37	6, 4, 15, 16, 17	scmatrhmval 22549	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ))
38	31, 36, 37	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ))
39	6, 4, 15, 16, 17	scmatrhmval 22549	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ∗ 1 ))
40	39	ad2ant2lr 748	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ∗ 1 ))
41	6, 4, 15, 16, 17	scmatrhmval 22549	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 ∗ 1 ))
42	41	ad2ant2l 746	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 ∗ 1 ))
43	40, 42	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘𝑦)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑧)) = ((𝑦 ∗ 1 )(.r‘𝑆)(𝑧 ∗ 1 )))
44	29, 38, 43	3eqtr4d 2785	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑧)))
45	44	ralrimivva 3200	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐾 (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑧)))
46		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
47	6, 46	ringidcl 20280	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
48	6, 4, 15, 16, 17	scmatrhmval 22549	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = ((1r‘𝑅) ∗ 1 ))
49	30, 47, 48	syl2anc2 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = ((1r‘𝑅) ∗ 1 ))
50	4	matsca2 22442	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
51	50	fveq2d 6911	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝐴)))
52	51	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘𝑅) ∗ 1 ) = ((1r‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 1 ))
53	4	matlmod 22451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
54	4	matring 22465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
55	5, 15	ringidcl 20280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐴))
56	54, 55	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝐴))
57		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
58		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐴)) = (1r‘(Scalar‘𝐴))
59	5, 57, 16, 58	lmodvs1 20905	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴)) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 1 ) = 1 )
60	53, 56, 59	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 1 ) = 1 )
61	52, 60	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘𝑅) ∗ 1 ) = 1 )
62	49, 61	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1 )
63	10, 15	subrg1 20599	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴) → 1 = (1r‘𝑆))
64	9, 63	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 = (1r‘𝑆))
65	62, 64	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
66	21, 45, 65	3jca 1127	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐾 (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑧)) ∧ (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆)))
67	1, 6	mgpbas 20158	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
68		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
69	12, 68	mgpbas 20158	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑇)
70	1, 22	mgpplusg 20156	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
71		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
72	12, 71	mgpplusg 20156	. . 3 ⊢ (.r‘𝑆) = (+g‘𝑇)
73	1, 46	ringidval 20201	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
74		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
75	12, 74	ringidval 20201	. . 3 ⊢ (1r‘𝑆) = (0g‘𝑇)
76	67, 69, 70, 72, 73, 75	ismhm 18811	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐾 (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑧)) ∧ (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))))
77	3, 14, 66, 76	syl21anbrc 1343	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   ↦ cmpt 5231  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274  ._rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  0_gc0g 17486  Mndcmnd 18760   MndHom cmhm 18807  mulGrpcmgp 20152  1_rcur 20199  Ringcrg 20251  SubRingcsubrg 20586  LModclmod 20875   Mat cmat 22427   ScMat cscmat 22511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-mamu 22411  df-mat 22428  df-dmat 22512  df-scmat 22513

This theorem is referenced by:  scmatrhm  22557