MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatmhm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem scmatmhm 22256
Description: There is a monoid homomorphism from the multiplicative group of a ring to the multiplicative group of the ring of scalar matrices over this ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatrhmval.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
scmatrhmval.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatrhmval.o 1 = (1rβ€˜π΄)
scmatrhmval.t βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π΄)
scmatrhmval.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ βˆ— 1 ))
scmatrhmval.c 𝐢 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatghm.s 𝑆 = (𝐴 β†Ύs 𝐢)
scmatmhm.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
scmatmhm.t 𝑇 = (mulGrpβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
scmatmhm ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑅   π‘₯, 1   π‘₯, βˆ—   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝑇(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝑀(π‘₯)
Proof of Theorem scmatmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatmhm.m . . . 4 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
21ringmgp 20133 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
32adantl 482 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
4 scmatrhmval.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜π΄)
6 scmatrhmval.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
7 eqid 2732 . . . 4 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
8 scmatrhmval.c . . . 4 𝐢 = (𝑁 ScMat 𝑅)
94, 5, 6, 7, 8scmatsrng 22242 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐢 ∈ (SubRingβ€˜π΄))
10 scmatghm.s . . . 4 𝑆 = (𝐴 β†Ύs 𝐢)
1110subrgring 20464 . . 3 (𝐢 ∈ (SubRingβ€˜π΄) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
12 scmatmhm.t . . . 4 𝑇 = (mulGrpβ€˜π‘†)
1312ringmgp 20133 . . 3 (𝑆 ∈ Ring β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
149, 11, 133syl 18 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
15 scmatrhmval.o . . . . 5 1 = (1rβ€˜π΄)
16 scmatrhmval.t . . . . 5 βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π΄)
17 scmatrhmval.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ βˆ— 1 ))
186, 4, 15, 16, 17, 8scmatf 22251 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐹:𝐾⟢𝐢)
194, 8, 10scmatstrbas 22248 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (Baseβ€˜π‘†) = 𝐢)
2019feq3d 6704 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝐹:𝐾⟢(Baseβ€˜π‘†) ↔ 𝐹:𝐾⟢𝐢))
2118, 20mpbird 256 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐹:𝐾⟢(Baseβ€˜π‘†))
22 eqid 2732 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
23 eqid 2732 . . . . . . 7 (.rβ€˜π΄) = (.rβ€˜π΄)
244, 6, 7, 15, 16, 22, 23scmatscmiddistr 22230 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ ((𝑦 βˆ— 1 )(.rβ€˜π΄)(𝑧 βˆ— 1 )) = ((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) βˆ— 1 ))
2510, 23ressmulr 17256 . . . . . . . . 9 (𝐢 ∈ (SubRingβ€˜π΄) β†’ (.rβ€˜π΄) = (.rβ€˜π‘†))
269, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (.rβ€˜π΄) = (.rβ€˜π‘†))
2726adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ (.rβ€˜π΄) = (.rβ€˜π‘†))
2827oveqd 7428 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ ((𝑦 βˆ— 1 )(.rβ€˜π΄)(𝑧 βˆ— 1 )) = ((𝑦 βˆ— 1 )(.rβ€˜π‘†)(𝑧 βˆ— 1 )))
2924, 28eqtr3d 2774 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ ((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) βˆ— 1 ) = ((𝑦 βˆ— 1 )(.rβ€˜π‘†)(𝑧 βˆ— 1 )))
30 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3130adantr 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3230anim1i 615 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)))
33 3anass 1095 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)))
3432, 33sylibr 233 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾))
356, 22ringcl 20144 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐾)
3634, 35syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐾)
376, 4, 15, 16, 17scmatrhmval 22249 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐾) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) βˆ— 1 ))
3831, 36, 37syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) βˆ— 1 ))
396, 4, 15, 16, 17scmatrhmval 22249 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (𝑦 βˆ— 1 ))
4039ad2ant2lr 746 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (𝑦 βˆ— 1 ))
416, 4, 15, 16, 17scmatrhmval 22249 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (𝑧 βˆ— 1 ))
4241ad2ant2l 744 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (𝑧 βˆ— 1 ))
4340, 42oveq12d 7429 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘§)) = ((𝑦 βˆ— 1 )(.rβ€˜π‘†)(𝑧 βˆ— 1 )))
4429, 38, 433eqtr4d 2782 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘§)))
4544ralrimivva 3200 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘§)))
46 eqid 2732 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
476, 46ringidcl 20154 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐾)
486, 4, 15, 16, 17scmatrhmval 22249 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐾) β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = ((1rβ€˜π‘…) βˆ— 1 ))
4930, 47, 48syl2anc2 585 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = ((1rβ€˜π‘…) βˆ— 1 ))
504matsca2 22142 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π΄))
5150fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π΄)))
5251oveq1d 7426 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ ((1rβ€˜π‘…) βˆ— 1 ) = ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) βˆ— 1 ))
534matlmod 22151 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐴 ∈ LMod)
544matring 22165 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐴 ∈ Ring)
555, 15ringidcl 20154 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Ring β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π΄))
5654, 55syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π΄))
57 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Scalarβ€˜π΄) = (Scalarβ€˜π΄)
58 eqid 2732 . . . . . . . 8 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π΄))
595, 57, 16, 58lmodvs1 20644 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π΄)) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) βˆ— 1 ) = 1 )
6053, 56, 59syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) βˆ— 1 ) = 1 )
6152, 60eqtrd 2772 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ ((1rβ€˜π‘…) βˆ— 1 ) = 1 )
6249, 61eqtrd 2772 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = 1 )
6310, 15subrg1 20472 . . . . 5 (𝐢 ∈ (SubRingβ€˜π΄) β†’ 1 = (1rβ€˜π‘†))
649, 63syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 1 = (1rβ€˜π‘†))
6562, 64eqtrd 2772 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘†))
6621, 45, 653jca 1128 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝐹:𝐾⟢(Baseβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘§)) ∧ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘†)))
671, 6mgpbas 20034 . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜π‘€)
68 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
6912, 68mgpbas 20034 . . 3 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘‡)
701, 22mgpplusg 20032 . . 3 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘€)
71 eqid 2732 . . . 4 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
7212, 71mgpplusg 20032 . . 3 (.rβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘‡)
731, 46ringidval 20077 . . 3 (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘€)
74 eqid 2732 . . . 4 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
7512, 74ringidval 20077 . . 3 (1rβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘‡)
7667, 69, 70, 72, 73, 75ismhm 18707 . 2 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐾⟢(Baseβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (πΉβ€˜(𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘§)) ∧ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘†))))
773, 14, 66, 76syl21anbrc 1344 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  Basecbs 17148   β†Ύs cress 17177  .rcmulr 17202  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  0gc0g 17389  Mndcmnd 18659   MndHom cmhm 18703  mulGrpcmgp 20028  1rcur 20075  Ringcrg 20127  SubRingcsubrg 20457  LModclmod 20614   Mat cmat 22127   ScMat cscmat 22211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-dsmm 21506  df-frlm 21521  df-mamu 22106  df-mat 22128  df-dmat 22212  df-scmat 22213
This theorem is referenced by:  scmatrhm  22257
  Copyright terms: Public domain W3C validator