MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatmhm 22480
Description: There is a monoid homomorphism from the multiplicative group of a ring to the multiplicative group of the ring of scalar matrices over this ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatrhmval.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmatrhmval.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatrhmval.o 1 = (1r𝐴)
scmatrhmval.t = ( ·𝑠𝐴)
scmatrhmval.f 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 1 ))
scmatrhmval.c 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatghm.s 𝑆 = (𝐴s 𝐶)
scmatmhm.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
scmatmhm.t 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
scmatmhm ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥, 1   𝑥,   𝑥,𝐶   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem scmatmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatmhm.m . . . 4 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
21ringmgp 20191 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
32adantl 480 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑀 ∈ Mnd)
4 scmatrhmval.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5 eqid 2725 . . . 4 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
6 scmatrhmval.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
7 eqid 2725 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
8 scmatrhmval.c . . . 4 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
94, 5, 6, 7, 8scmatsrng 22466 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴))
10 scmatghm.s . . . 4 𝑆 = (𝐴s 𝐶)
1110subrgring 20525 . . 3 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝑆 ∈ Ring)
12 scmatmhm.t . . . 4 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
1312ringmgp 20191 . . 3 (𝑆 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd)
149, 11, 133syl 18 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ Mnd)
15 scmatrhmval.o . . . . 5 1 = (1r𝐴)
16 scmatrhmval.t . . . . 5 = ( ·𝑠𝐴)
17 scmatrhmval.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 1 ))
186, 4, 15, 16, 17, 8scmatf 22475 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾𝐶)
194, 8, 10scmatstrbas 22472 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑆) = 𝐶)
2019feq3d 6710 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ↔ 𝐹:𝐾𝐶))
2118, 20mpbird 256 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆))
22 eqid 2725 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
23 eqid 2725 . . . . . . 7 (.r𝐴) = (.r𝐴)
244, 6, 7, 15, 16, 22, 23scmatscmiddistr 22454 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑦 1 )(.r𝐴)(𝑧 1 )) = ((𝑦(.r𝑅)𝑧) 1 ))
2510, 23ressmulr 17291 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴) → (.r𝐴) = (.r𝑆))
269, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (.r𝐴) = (.r𝑆))
2726adantr 479 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (.r𝐴) = (.r𝑆))
2827oveqd 7436 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑦 1 )(.r𝐴)(𝑧 1 )) = ((𝑦 1 )(.r𝑆)(𝑧 1 )))
2924, 28eqtr3d 2767 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑦(.r𝑅)𝑧) 1 ) = ((𝑦 1 )(.r𝑆)(𝑧 1 )))
30 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
3130adantr 479 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → 𝑅 ∈ Ring)
3230anim1i 613 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)))
33 3anass 1092 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐾𝑧𝐾) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)))
3432, 33sylibr 233 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐾𝑧𝐾))
356, 22ringcl 20202 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐾𝑧𝐾) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝐾)
3634, 35syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝐾)
376, 4, 15, 16, 17scmatrhmval 22473 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝑦(.r𝑅)𝑧) 1 ))
3831, 36, 37syl2anc 582 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝑦(.r𝑅)𝑧) 1 ))
396, 4, 15, 16, 17scmatrhmval 22473 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐾) → (𝐹𝑦) = (𝑦 1 ))
4039ad2ant2lr 746 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝐹𝑦) = (𝑦 1 ))
416, 4, 15, 16, 17scmatrhmval 22473 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧𝐾) → (𝐹𝑧) = (𝑧 1 ))
4241ad2ant2l 744 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝐹𝑧) = (𝑧 1 ))
4340, 42oveq12d 7437 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝐹𝑦)(.r𝑆)(𝐹𝑧)) = ((𝑦 1 )(.r𝑆)(𝑧 1 )))
4429, 38, 433eqtr4d 2775 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹𝑦)(.r𝑆)(𝐹𝑧)))
4544ralrimivva 3190 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑦𝐾𝑧𝐾 (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹𝑦)(.r𝑆)(𝐹𝑧)))
46 eqid 2725 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (1r𝑅)
476, 46ringidcl 20214 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
486, 4, 15, 16, 17scmatrhmval 22473 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(1r𝑅)) = ((1r𝑅) 1 ))
4930, 47, 48syl2anc2 583 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹‘(1r𝑅)) = ((1r𝑅) 1 ))
504matsca2 22366 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
5150fveq2d 6900 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝐴)))
5251oveq1d 7434 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r𝑅) 1 ) = ((1r‘(Scalar‘𝐴)) 1 ))
534matlmod 22375 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
544matring 22389 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
555, 15ringidcl 20214 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐴))
5654, 55syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝐴))
57 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
58 eqid 2725 . . . . . . . 8 (1r‘(Scalar‘𝐴)) = (1r‘(Scalar‘𝐴))
595, 57, 16, 58lmodvs1 20785 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴)) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) 1 ) = 1 )
6053, 56, 59syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) 1 ) = 1 )
6152, 60eqtrd 2765 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r𝑅) 1 ) = 1 )
6249, 61eqtrd 2765 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹‘(1r𝑅)) = 1 )
6310, 15subrg1 20533 . . . . 5 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴) → 1 = (1r𝑆))
649, 63syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 = (1r𝑆))
6562, 64eqtrd 2765 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
6621, 45, 653jca 1125 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑦𝐾𝑧𝐾 (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹𝑦)(.r𝑆)(𝐹𝑧)) ∧ (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆)))
671, 6mgpbas 20092 . . 3 𝐾 = (Base‘𝑀)
68 eqid 2725 . . . 4 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
6912, 68mgpbas 20092 . . 3 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑇)
701, 22mgpplusg 20090 . . 3 (.r𝑅) = (+g𝑀)
71 eqid 2725 . . . 4 (.r𝑆) = (.r𝑆)
7212, 71mgpplusg 20090 . . 3 (.r𝑆) = (+g𝑇)
731, 46ringidval 20135 . . 3 (1r𝑅) = (0g𝑀)
74 eqid 2725 . . . 4 (1r𝑆) = (1r𝑆)
7512, 74ringidval 20135 . . 3 (1r𝑆) = (0g𝑇)
7667, 69, 70, 72, 73, 75ismhm 18745 . 2 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑦𝐾𝑧𝐾 (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹𝑦)(.r𝑆)(𝐹𝑧)) ∧ (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))))
773, 14, 66, 76syl21anbrc 1341 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  cmpt 5232  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  Basecbs 17183  s cress 17212  .rcmulr 17237  Scalarcsca 17239   ·𝑠 cvsca 17240  0gc0g 17424  Mndcmnd 18697   MndHom cmhm 18741  mulGrpcmgp 20086  1rcur 20133  Ringcrg 20185  SubRingcsubrg 20518  LModclmod 20755   Mat cmat 22351   ScMat cscmat 22435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-hash 14326  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-hom 17260  df-cco 17261  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-prds 17432  df-pws 17434  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-subrng 20495  df-subrg 20520  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-sra 21070  df-rgmod 21071  df-dsmm 21683  df-frlm 21698  df-mamu 22335  df-mat 22352  df-dmat 22436  df-scmat 22437
This theorem is referenced by:  scmatrhm  22481
  Copyright terms: Public domain W3C validator