Theorem scmatmhm 22829

Description: There is a monoid homomorphism from the multiplicative group of a ring to the multiplicative group of the ring of scalar matrices over this ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatrhmval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmatrhmval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatrhmval.o	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
scmatrhmval.t	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
scmatrhmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
scmatrhmval.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatghm.s	⊢ 𝑆 = (𝐴 ↾s 𝐶)
scmatmhm.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
scmatmhm.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
scmatmhm	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥, 1   𝑥, ∗   𝑥,𝐶   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem scmatmhm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatmhm.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20445	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
3	2	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑀 ∈ Mnd)
4		scmatrhmval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
6		scmatrhmval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
7		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8		scmatrhmval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
9	4, 5, 6, 7, 8	scmatsrng 22815	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴))
10		scmatghm.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐴 ↾s 𝐶)
11	10	subrgring 20806	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝑆 ∈ Ring)
12		scmatmhm.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
13	12	ringmgp 20445	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd)
14	9, 11, 13	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ Mnd)
15		scmatrhmval.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
16		scmatrhmval.t	. . . . 5 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
17		scmatrhmval.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
18	6, 4, 15, 16, 17, 8	scmatf 22824	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
19	4, 8, 10	scmatstrbas 22821	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑆) = 𝐶)
20	19	feq3d 6686	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ↔ 𝐹:𝐾⟶𝐶))
21	18, 20	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆))
22		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
23		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
24	4, 6, 7, 15, 16, 22, 23	scmatscmiddistr 22803	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦 ∗ 1 )(.r‘𝐴)(𝑧 ∗ 1 )) = ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ))
25	10, 23	ressmulr 17458	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴) → (.r‘𝐴) = (.r‘𝑆))
26	9, 25	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (.r‘𝐴) = (.r‘𝑆))
27	26	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (.r‘𝐴) = (.r‘𝑆))
28	27	oveqd 7429	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦 ∗ 1 )(.r‘𝐴)(𝑧 ∗ 1 )) = ((𝑦 ∗ 1 )(.r‘𝑆)(𝑧 ∗ 1 )))
29	24, 28	eqtr3d 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ) = ((𝑦 ∗ 1 )(.r‘𝑆)(𝑧 ∗ 1 )))
30		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
31	30	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 𝑅 ∈ Ring)
32	30	anim1i 627	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)))
33		3anass 1111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)))
34	32, 33	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾))
35	6, 22	ringcl 20457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐾)
36	34, 35	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐾)
37	6, 4, 15, 16, 17	scmatrhmval 22822	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ))
38	31, 36, 37	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ))
39	6, 4, 15, 16, 17	scmatrhmval 22822	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ∗ 1 ))
40	39	ad2ant2lr 761	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ∗ 1 ))
41	6, 4, 15, 16, 17	scmatrhmval 22822	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 ∗ 1 ))
42	41	ad2ant2l 759	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 ∗ 1 ))
43	40, 42	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘𝑦)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑧)) = ((𝑦 ∗ 1 )(.r‘𝑆)(𝑧 ∗ 1 )))
44	29, 38, 43	3eqtr4d 2806	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑧)))
45	44	ralrimivva 3206	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐾 (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑧)))
46		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
47	6, 46	ringidcl 20474	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
48	6, 4, 15, 16, 17	scmatrhmval 22822	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = ((1r‘𝑅) ∗ 1 ))
49	30, 47, 48	syl2anc2 597	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = ((1r‘𝑅) ∗ 1 ))
50	4	matsca2 22715	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
51	50	fveq2d 6881	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝐴)))
52	51	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘𝑅) ∗ 1 ) = ((1r‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 1 ))
53	4	matlmod 22724	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
54	4	matring 22738	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
55	5, 15	ringidcl 20474	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐴))
56	54, 55	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝐴))
57		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
58		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐴)) = (1r‘(Scalar‘𝐴))
59	5, 57, 16, 58	lmodvs1 21145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴)) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 1 ) = 1 )
60	53, 56, 59	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 1 ) = 1 )
61	52, 60	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘𝑅) ∗ 1 ) = 1 )
62	49, 61	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1 )
63	10, 15	subrg1 20814	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴) → 1 = (1r‘𝑆))
64	9, 63	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 = (1r‘𝑆))
65	62, 64	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
66	21, 45, 65	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐾 (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑧)) ∧ (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆)))
67	1, 6	mgpbas 20345	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
68		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
69	12, 68	mgpbas 20345	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑇)
70	1, 22	mgpplusg 20344	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
71		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
72	12, 71	mgpplusg 20344	. . 3 ⊢ (.r‘𝑆) = (+g‘𝑇)
73	1, 46	ringidval 20389	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
74		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
75	12, 74	ringidval 20389	. . 3 ⊢ (1r‘𝑆) = (0g‘𝑇)
76	67, 69, 70, 72, 73, 75	ismhm 18960	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐾 (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑧)) ∧ (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))))
77	3, 14, 66, 76	syl21anbrc 1363	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Fincfn 8957  Basecbs 17367   ↾_s cress 17388  ._rcmulr 17409  Scalarcsca 17411   ·_𝑠 cvsca 17412  0_gc0g 17590  Mndcmnd 18903   MndHom cmhm 18956  mulGrpcmgp 20340  1_rcur 20387  Ringcrg 20439  SubRingcsubrg 20801  LModclmod 21115   Mat cmat 22702   ScMat cscmat 22784

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-sup 9418  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-hash 14455  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-hom 17432  df-cco 17433  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-prds 17598  df-pws 17600  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-mhm 18958  df-submnd 18959  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-mulg 19258  df-subg 19313  df-ghm 19408  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-subrng 20778  df-subrg 20802  df-lmod 21117  df-lss 21187  df-sra 21428  df-rgmod 21429  df-dsmm 22018  df-frlm 22033  df-mamu 22686  df-mat 22703  df-dmat 22785  df-scmat 22786

This theorem is used by:  scmatrhm  22830