Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatmhm 21234
 Description: There is a monoid homomorphism from the multiplicative group of a ring to the multiplicative group of the ring of scalar matrices over this ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatrhmval.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmatrhmval.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatrhmval.o 1 = (1r𝐴)
scmatrhmval.t = ( ·𝑠𝐴)
scmatrhmval.f 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 1 ))
scmatrhmval.c 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatghm.s 𝑆 = (𝐴s 𝐶)
scmatmhm.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
scmatmhm.t 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
scmatmhm ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥, 1   𝑥,   𝑥,𝐶   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem scmatmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatmhm.m . . . 4 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
21ringmgp 19371 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
32adantl 485 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑀 ∈ Mnd)
4 scmatrhmval.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5 eqid 2758 . . . 4 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
6 scmatrhmval.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
7 eqid 2758 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
8 scmatrhmval.c . . . 4 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
94, 5, 6, 7, 8scmatsrng 21220 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴))
10 scmatghm.s . . . 4 𝑆 = (𝐴s 𝐶)
1110subrgring 19606 . . 3 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝑆 ∈ Ring)
12 scmatmhm.t . . . 4 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
1312ringmgp 19371 . . 3 (𝑆 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd)
149, 11, 133syl 18 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ Mnd)
15 scmatrhmval.o . . . . 5 1 = (1r𝐴)
16 scmatrhmval.t . . . . 5 = ( ·𝑠𝐴)
17 scmatrhmval.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 1 ))
186, 4, 15, 16, 17, 8scmatf 21229 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾𝐶)
194, 8, 10scmatstrbas 21226 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑆) = 𝐶)
2019feq3d 6485 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ↔ 𝐹:𝐾𝐶))
2118, 20mpbird 260 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆))
22 eqid 2758 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
23 eqid 2758 . . . . . . 7 (.r𝐴) = (.r𝐴)
244, 6, 7, 15, 16, 22, 23scmatscmiddistr 21208 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑦 1 )(.r𝐴)(𝑧 1 )) = ((𝑦(.r𝑅)𝑧) 1 ))
2510, 23ressmulr 16683 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴) → (.r𝐴) = (.r𝑆))
269, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (.r𝐴) = (.r𝑆))
2726adantr 484 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (.r𝐴) = (.r𝑆))
2827oveqd 7167 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑦 1 )(.r𝐴)(𝑧 1 )) = ((𝑦 1 )(.r𝑆)(𝑧 1 )))
2924, 28eqtr3d 2795 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑦(.r𝑅)𝑧) 1 ) = ((𝑦 1 )(.r𝑆)(𝑧 1 )))
30 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
3130adantr 484 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → 𝑅 ∈ Ring)
3230anim1i 617 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)))
33 3anass 1092 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐾𝑧𝐾) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)))
3432, 33sylibr 237 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐾𝑧𝐾))
356, 22ringcl 19382 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐾𝑧𝐾) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝐾)
3634, 35syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝐾)
376, 4, 15, 16, 17scmatrhmval 21227 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝑦(.r𝑅)𝑧) 1 ))
3831, 36, 37syl2anc 587 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝑦(.r𝑅)𝑧) 1 ))
396, 4, 15, 16, 17scmatrhmval 21227 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐾) → (𝐹𝑦) = (𝑦 1 ))
4039ad2ant2lr 747 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝐹𝑦) = (𝑦 1 ))
416, 4, 15, 16, 17scmatrhmval 21227 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧𝐾) → (𝐹𝑧) = (𝑧 1 ))
4241ad2ant2l 745 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝐹𝑧) = (𝑧 1 ))
4340, 42oveq12d 7168 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝐹𝑦)(.r𝑆)(𝐹𝑧)) = ((𝑦 1 )(.r𝑆)(𝑧 1 )))
4429, 38, 433eqtr4d 2803 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹𝑦)(.r𝑆)(𝐹𝑧)))
4544ralrimivva 3120 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑦𝐾𝑧𝐾 (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹𝑦)(.r𝑆)(𝐹𝑧)))
46 eqid 2758 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (1r𝑅)
476, 46ringidcl 19389 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
486, 4, 15, 16, 17scmatrhmval 21227 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(1r𝑅)) = ((1r𝑅) 1 ))
4930, 47, 48syl2anc2 588 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹‘(1r𝑅)) = ((1r𝑅) 1 ))
504matsca2 21120 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
5150fveq2d 6662 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝐴)))
5251oveq1d 7165 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r𝑅) 1 ) = ((1r‘(Scalar‘𝐴)) 1 ))
534matlmod 21129 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
544matring 21143 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
555, 15ringidcl 19389 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐴))
5654, 55syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝐴))
57 eqid 2758 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
58 eqid 2758 . . . . . . . 8 (1r‘(Scalar‘𝐴)) = (1r‘(Scalar‘𝐴))
595, 57, 16, 58lmodvs1 19730 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴)) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) 1 ) = 1 )
6053, 56, 59syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘(Scalar‘𝐴)) 1 ) = 1 )
6152, 60eqtrd 2793 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r𝑅) 1 ) = 1 )
6249, 61eqtrd 2793 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹‘(1r𝑅)) = 1 )
6310, 15subrg1 19613 . . . . 5 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝐴) → 1 = (1r𝑆))
649, 63syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 = (1r𝑆))
6562, 64eqtrd 2793 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
6621, 45, 653jca 1125 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑦𝐾𝑧𝐾 (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹𝑦)(.r𝑆)(𝐹𝑧)) ∧ (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆)))
671, 6mgpbas 19313 . . 3 𝐾 = (Base‘𝑀)
68 eqid 2758 . . . 4 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
6912, 68mgpbas 19313 . . 3 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑇)
701, 22mgpplusg 19311 . . 3 (.r𝑅) = (+g𝑀)
71 eqid 2758 . . . 4 (.r𝑆) = (.r𝑆)
7212, 71mgpplusg 19311 . . 3 (.r𝑆) = (+g𝑇)
731, 46ringidval 19321 . . 3 (1r𝑅) = (0g𝑀)
74 eqid 2758 . . . 4 (1r𝑆) = (1r𝑆)
7512, 74ringidval 19321 . . 3 (1r𝑆) = (0g𝑇)
7667, 69, 70, 72, 73, 75ismhm 18024 . 2 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑦𝐾𝑧𝐾 (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹𝑦)(.r𝑆)(𝐹𝑧)) ∧ (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))))
773, 14, 66, 76syl21anbrc 1341 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070   ↦ cmpt 5112  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  Fincfn 8527  Basecbs 16541   ↾s cress 16542  .rcmulr 16624  Scalarcsca 16626   ·𝑠 cvsca 16627  0gc0g 16771  Mndcmnd 17977   MndHom cmhm 18020  mulGrpcmgp 19307  1rcur 19319  Ringcrg 19365  SubRingcsubrg 19599  LModclmod 19702   Mat cmat 21107   ScMat cscmat 21189 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-ot 4531  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-sup 8939  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-seq 13419  df-hash 13741  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-hom 16647  df-cco 16648  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-prds 16779  df-pws 16781  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-mhm 18022  df-submnd 18023  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-mulg 18292  df-subg 18343  df-ghm 18423  df-cntz 18514  df-cmn 18975  df-abl 18976  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-subrg 19601  df-lmod 19704  df-lss 19772  df-sra 20012  df-rgmod 20013  df-dsmm 20497  df-frlm 20512  df-mamu 21086  df-mat 21108  df-dmat 21190  df-scmat 21191 This theorem is referenced by:  scmatrhm  21235
 Copyright terms: Public domain W3C validator