MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlsvar Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlsvar 21644
Description: Polynomial evaluation maps variables to projections. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsvar.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
evlsvar.v 𝑉 = (𝐼 mVar π‘ˆ)
evlsvar.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
evlsvar.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
evlsvar.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
evlsvar.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
evlsvar.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
evlsvar.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
Assertion
Ref Expression
evlsvar (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(π‘‰β€˜π‘‹)) = (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘‹)))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑔   𝑔,𝐼   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔   𝑔,π‘Š   𝑔,𝑋
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑔)   𝑄(𝑔)   π‘ˆ(𝑔)   𝑉(𝑔)

Proof of Theorem evlsvar
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlsvar.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
2 evlsvar.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
3 evlsvar.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
4 evlsvar.q . . . . . 6 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
5 eqid 2732 . . . . . 6 (𝐼 mPoly π‘ˆ) = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
6 evlsvar.v . . . . . 6 𝑉 = (𝐼 mVar π‘ˆ)
7 evlsvar.u . . . . . 6 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
8 eqid 2732 . . . . . 6 (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼))
9 evlsvar.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
10 eqid 2732 . . . . . 6 (algScβ€˜(𝐼 mPoly π‘ˆ)) = (algScβ€˜(𝐼 mPoly π‘ˆ))
11 eqid 2732 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) = (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))
12 eqid 2732 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)))
134, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12evlsval2 21641 . . . . 5 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ (𝑄 ∈ ((𝐼 mPoly π‘ˆ) RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼))) ∧ ((𝑄 ∘ (algScβ€˜(𝐼 mPoly π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) ∧ (𝑄 ∘ 𝑉) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯))))))
141, 2, 3, 13syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ ((𝐼 mPoly π‘ˆ) RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼))) ∧ ((𝑄 ∘ (algScβ€˜(𝐼 mPoly π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) ∧ (𝑄 ∘ 𝑉) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯))))))
1514simprrd 772 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∘ 𝑉) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯))))
1615fveq1d 6890 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑄 ∘ 𝑉)β€˜π‘‹) = ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)))β€˜π‘‹))
17 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜(𝐼 mPoly π‘ˆ)) = (Baseβ€˜(𝐼 mPoly π‘ˆ))
187subrgring 20358 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
193, 18syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
205, 6, 17, 1, 19mvrf2 21543 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑉:𝐼⟢(Baseβ€˜(𝐼 mPoly π‘ˆ)))
2120ffnd 6715 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 Fn 𝐼)
22 evlsvar.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
23 fvco2 6985 . . 3 ((𝑉 Fn 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑄 ∘ 𝑉)β€˜π‘‹) = (π‘„β€˜(π‘‰β€˜π‘‹)))
2421, 22, 23syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑄 ∘ 𝑉)β€˜π‘‹) = (π‘„β€˜(π‘‰β€˜π‘‹)))
25 fveq2 6888 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘”β€˜π‘₯) = (π‘”β€˜π‘‹))
2625mpteq2dv 5249 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)) = (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘‹)))
27 ovex 7438 . . . . 5 (𝐡 ↑m 𝐼) ∈ V
2827mptex 7221 . . . 4 (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘‹)) ∈ V
2926, 12, 28fvmpt 6995 . . 3 (𝑋 ∈ 𝐼 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)))β€˜π‘‹) = (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘‹)))
3022, 29syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)))β€˜π‘‹) = (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘‹)))
3116, 24, 303eqtr3d 2780 1 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(π‘‰β€˜π‘‹)) = (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4627   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6535  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8816  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169   ↑s cpws 17388  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050   RingHom crh 20240  SubRingcsubrg 20351  algSccascl 21398   mVar cmvr 21449   mPoly cmpl 21450   evalSub ces 21624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-srg 20003  df-ring 20051  df-cring 20052  df-rnghom 20243  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-assa 21399  df-asp 21400  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-evls 21626
This theorem is referenced by:  evlsvarsrng  21653  evlvar  21654  mpfproj  21656  mpfind  21661  evl1var  21846  evlsvarval  41134
  Copyright terms: Public domain W3C validator