Theorem evlsvar 22023

Description: Polynomial evaluation maps variables to projections. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsvar.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsvar.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑈)
evlsvar.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsvar.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evlsvar.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
evlsvar.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsvar.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsvar.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
evlsvar	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑉‘𝑋)) = (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝑔,𝐼   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔   𝑔,𝑊   𝑔,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝑄(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝑉(𝑔)

Proof of Theorem evlsvar

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsvar.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
2		evlsvar.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
3		evlsvar.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		evlsvar.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
5		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑈) = (𝐼 mPoly 𝑈)
6		evlsvar.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑈)
7		evlsvar.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
8		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))
9		evlsvar.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
10		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘(𝐼 mPoly 𝑈)) = (algSc‘(𝐼 mPoly 𝑈))
11		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
12		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑥)))
13	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	evlsval2 22020	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑄 ∈ ((𝐼 mPoly 𝑈) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))) ∧ ((𝑄 ∘ (algSc‘(𝐼 mPoly 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ∧ (𝑄 ∘ 𝑉) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑥))))))
14	1, 2, 3, 13	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ ((𝐼 mPoly 𝑈) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))) ∧ ((𝑄 ∘ (algSc‘(𝐼 mPoly 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ∧ (𝑄 ∘ 𝑉) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑥))))))
15	14	simprrd 773	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∘ 𝑉) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑥))))
16	15	fveq1d 6824	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ∘ 𝑉)‘𝑋) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑥)))‘𝑋))
17		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈))
18	7	subrgring 20487	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
19	3, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
20	5, 6, 17, 1, 19	mvrf2 21928	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶(Base‘(𝐼 mPoly 𝑈)))
21	20	ffnd 6652	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 Fn 𝐼)
22		evlsvar.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
23		fvco2 6919	. . 3 ⊢ ((𝑉 Fn 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → ((𝑄 ∘ 𝑉)‘𝑋) = (𝑄‘(𝑉‘𝑋)))
24	21, 22, 23	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ∘ 𝑉)‘𝑋) = (𝑄‘(𝑉‘𝑋)))
25		fveq2 6822	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑔‘𝑥) = (𝑔‘𝑋))
26	25	mpteq2dv 5185	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑥)) = (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑋)))
27		ovex 7379	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ↑m 𝐼) ∈ V
28	27	mptex 7157	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑋)) ∈ V
29	26, 12, 28	fvmpt 6929	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑥)))‘𝑋) = (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑋)))
30	22, 29	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑥)))‘𝑋) = (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑋)))
31	16, 24, 30	3eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑉‘𝑋)) = (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {csn 4576   ↦ cmpt 5172   × cxp 5614   ∘ ccom 5620   Fn wfn 6476  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  Basecbs 17117   ↾_s cress 17138   ↑_s cpws 17347  Ringcrg 20149  CRingccrg 20150   RingHom crh 20385  SubRingcsubrg 20482  algSccascl 21787   mVar cmvr 21840   mPoly cmpl 21841   evalSub ces 22005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-seq 13906  df-hash 14235  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-hom 17182  df-cco 17183  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-prds 17348  df-pws 17350  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-mhm 18688  df-submnd 18689  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-mulg 18978  df-subg 19033  df-ghm 19123  df-cntz 19227  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-srg 20103  df-ring 20151  df-cring 20152  df-rhm 20388  df-subrng 20459  df-subrg 20483  df-lmod 20793  df-lss 20863  df-lsp 20903  df-assa 21788  df-asp 21789  df-ascl 21790  df-psr 21844  df-mvr 21845  df-mpl 21846  df-evls 22007

This theorem is referenced by:  evlsvarsrng  22032  evlvar  22033  mpfproj  22035  mpfind  22040  evl1var  22249  evlsvarval  42597