MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlsvar Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlsvar 21990
Description: Polynomial evaluation maps variables to projections. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsvar.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
evlsvar.v 𝑉 = (𝐼 mVar π‘ˆ)
evlsvar.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
evlsvar.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
evlsvar.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
evlsvar.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
evlsvar.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
evlsvar.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
Assertion
Ref Expression
evlsvar (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(π‘‰β€˜π‘‹)) = (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘‹)))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑔   𝑔,𝐼   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔   𝑔,π‘Š   𝑔,𝑋
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑔)   𝑄(𝑔)   π‘ˆ(𝑔)   𝑉(𝑔)

Proof of Theorem evlsvar
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlsvar.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
2 evlsvar.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
3 evlsvar.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
4 evlsvar.q . . . . . 6 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
5 eqid 2726 . . . . . 6 (𝐼 mPoly π‘ˆ) = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
6 evlsvar.v . . . . . 6 𝑉 = (𝐼 mVar π‘ˆ)
7 evlsvar.u . . . . . 6 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
8 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼))
9 evlsvar.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
10 eqid 2726 . . . . . 6 (algScβ€˜(𝐼 mPoly π‘ˆ)) = (algScβ€˜(𝐼 mPoly π‘ˆ))
11 eqid 2726 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) = (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))
12 eqid 2726 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)))
134, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12evlsval2 21987 . . . . 5 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ (𝑄 ∈ ((𝐼 mPoly π‘ˆ) RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼))) ∧ ((𝑄 ∘ (algScβ€˜(𝐼 mPoly π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) ∧ (𝑄 ∘ 𝑉) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯))))))
141, 2, 3, 13syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ ((𝐼 mPoly π‘ˆ) RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼))) ∧ ((𝑄 ∘ (algScβ€˜(𝐼 mPoly π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) ∧ (𝑄 ∘ 𝑉) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯))))))
1514simprrd 771 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∘ 𝑉) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯))))
1615fveq1d 6886 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑄 ∘ 𝑉)β€˜π‘‹) = ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)))β€˜π‘‹))
17 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜(𝐼 mPoly π‘ˆ)) = (Baseβ€˜(𝐼 mPoly π‘ˆ))
187subrgring 20473 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
193, 18syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
205, 6, 17, 1, 19mvrf2 21889 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑉:𝐼⟢(Baseβ€˜(𝐼 mPoly π‘ˆ)))
2120ffnd 6711 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 Fn 𝐼)
22 evlsvar.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
23 fvco2 6981 . . 3 ((𝑉 Fn 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑄 ∘ 𝑉)β€˜π‘‹) = (π‘„β€˜(π‘‰β€˜π‘‹)))
2421, 22, 23syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑄 ∘ 𝑉)β€˜π‘‹) = (π‘„β€˜(π‘‰β€˜π‘‹)))
25 fveq2 6884 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘”β€˜π‘₯) = (π‘”β€˜π‘‹))
2625mpteq2dv 5243 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)) = (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘‹)))
27 ovex 7437 . . . . 5 (𝐡 ↑m 𝐼) ∈ V
2827mptex 7219 . . . 4 (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘‹)) ∈ V
2926, 12, 28fvmpt 6991 . . 3 (𝑋 ∈ 𝐼 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)))β€˜π‘‹) = (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘‹)))
3022, 29syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)))β€˜π‘‹) = (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘‹)))
3116, 24, 303eqtr3d 2774 1 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(π‘‰β€˜π‘‹)) = (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4623   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667   ∘ ccom 5673   Fn wfn 6531  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ↑m cmap 8819  Basecbs 17150   β†Ύs cress 17179   ↑s cpws 17398  Ringcrg 20135  CRingccrg 20136   RingHom crh 20368  SubRingcsubrg 20466  algSccascl 21742   mVar cmvr 21794   mPoly cmpl 21795   evalSub ces 21970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-mulg 18993  df-subg 19047  df-ghm 19136  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-srg 20089  df-ring 20137  df-cring 20138  df-rhm 20371  df-subrng 20443  df-subrg 20468  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816  df-assa 21743  df-asp 21744  df-ascl 21745  df-psr 21798  df-mvr 21799  df-mpl 21800  df-evls 21972
This theorem is referenced by:  evlsvarsrng  21999  evlvar  22000  mpfproj  22002  mpfind  22007  evl1var  22205  evlsvarval  41676
  Copyright terms: Public domain W3C validator