Theorem evlsvar 21300

Description: Polynomial evaluation maps variables to projections. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsvar.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsvar.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑈)
evlsvar.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsvar.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evlsvar.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
evlsvar.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsvar.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsvar.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
evlsvar	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑉‘𝑋)) = (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝑔,𝐼   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔   𝑔,𝑊   𝑔,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝑄(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝑉(𝑔)

Proof of Theorem evlsvar

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsvar.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
2		evlsvar.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
3		evlsvar.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		evlsvar.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
5		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑈) = (𝐼 mPoly 𝑈)
6		evlsvar.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑈)
7		evlsvar.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
8		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))
9		evlsvar.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
10		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘(𝐼 mPoly 𝑈)) = (algSc‘(𝐼 mPoly 𝑈))
11		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
12		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑥)))
13	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	evlsval2 21297	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑄 ∈ ((𝐼 mPoly 𝑈) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))) ∧ ((𝑄 ∘ (algSc‘(𝐼 mPoly 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ∧ (𝑄 ∘ 𝑉) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑥))))))
14	1, 2, 3, 13	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ ((𝐼 mPoly 𝑈) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))) ∧ ((𝑄 ∘ (algSc‘(𝐼 mPoly 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ∧ (𝑄 ∘ 𝑉) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑥))))))
15	14	simprrd 771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∘ 𝑉) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑥))))
16	15	fveq1d 6776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ∘ 𝑉)‘𝑋) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑥)))‘𝑋))
17		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈))
18	7	subrgring 20027	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
19	3, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
20	5, 6, 17, 1, 19	mvrf2 21268	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶(Base‘(𝐼 mPoly 𝑈)))
21	20	ffnd 6601	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 Fn 𝐼)
22		evlsvar.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
23		fvco2 6865	. . 3 ⊢ ((𝑉 Fn 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → ((𝑄 ∘ 𝑉)‘𝑋) = (𝑄‘(𝑉‘𝑋)))
24	21, 22, 23	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ∘ 𝑉)‘𝑋) = (𝑄‘(𝑉‘𝑋)))
25		fveq2 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑔‘𝑥) = (𝑔‘𝑋))
26	25	mpteq2dv 5176	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑥)) = (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑋)))
27		ovex 7308	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ↑m 𝐼) ∈ V
28	27	mptex 7099	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑋)) ∈ V
29	26, 12, 28	fvmpt 6875	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑥)))‘𝑋) = (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑋)))
30	22, 29	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑥)))‘𝑋) = (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑋)))
31	16, 24, 30	3eqtr3d 2786	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑉‘𝑋)) = (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {csn 4561   ↦ cmpt 5157   × cxp 5587   ∘ ccom 5593   Fn wfn 6428  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941   ↑_s cpws 17157  Ringcrg 19783  CRingccrg 19784   RingHom crh 19956  SubRingcsubrg 20020  algSccascl 21059   mVar cmvr 21108   mPoly cmpl 21109   evalSub ces 21280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-srg 19742  df-ring 19785  df-cring 19786  df-rnghom 19959  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-assa 21060  df-asp 21061  df-ascl 21062  df-psr 21112  df-mvr 21113  df-mpl 21114  df-evls 21282

This theorem is referenced by:  evlsvarsrng  21309  evlvar  21310  mpfproj  21312  mpfind  21317  evl1var  21502  evlsvarval  40274