Theorem evlsvar 21500

Description: Polynomial evaluation maps variables to projections. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsvar.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsvar.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑈)
evlsvar.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsvar.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evlsvar.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
evlsvar.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsvar.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsvar.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
evlsvar	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑉‘𝑋)) = (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝑔,𝐼   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔   𝑔,𝑊   𝑔,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝑄(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝑉(𝑔)

Proof of Theorem evlsvar

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsvar.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
2		evlsvar.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
3		evlsvar.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		evlsvar.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
5		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑈) = (𝐼 mPoly 𝑈)
6		evlsvar.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑈)
7		evlsvar.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
8		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))
9		evlsvar.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
10		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘(𝐼 mPoly 𝑈)) = (algSc‘(𝐼 mPoly 𝑈))
11		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
12		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑥)))
13	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	evlsval2 21497	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑄 ∈ ((𝐼 mPoly 𝑈) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))) ∧ ((𝑄 ∘ (algSc‘(𝐼 mPoly 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ∧ (𝑄 ∘ 𝑉) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑥))))))
14	1, 2, 3, 13	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ ((𝐼 mPoly 𝑈) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))) ∧ ((𝑄 ∘ (algSc‘(𝐼 mPoly 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ∧ (𝑄 ∘ 𝑉) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑥))))))
15	14	simprrd 772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∘ 𝑉) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑥))))
16	15	fveq1d 6844	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ∘ 𝑉)‘𝑋) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑥)))‘𝑋))
17		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈))
18	7	subrgring 20225	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
19	3, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
20	5, 6, 17, 1, 19	mvrf2 21468	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶(Base‘(𝐼 mPoly 𝑈)))
21	20	ffnd 6669	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 Fn 𝐼)
22		evlsvar.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
23		fvco2 6938	. . 3 ⊢ ((𝑉 Fn 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → ((𝑄 ∘ 𝑉)‘𝑋) = (𝑄‘(𝑉‘𝑋)))
24	21, 22, 23	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ∘ 𝑉)‘𝑋) = (𝑄‘(𝑉‘𝑋)))
25		fveq2 6842	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑔‘𝑥) = (𝑔‘𝑋))
26	25	mpteq2dv 5207	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑥)) = (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑋)))
27		ovex 7390	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ↑m 𝐼) ∈ V
28	27	mptex 7173	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑋)) ∈ V
29	26, 12, 28	fvmpt 6948	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑥)))‘𝑋) = (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑋)))
30	22, 29	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑥)))‘𝑋) = (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑋)))
31	16, 24, 30	3eqtr3d 2784	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑉‘𝑋)) = (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4586   ↦ cmpt 5188   × cxp 5631   ∘ ccom 5637   Fn wfn 6491  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ↑_m cmap 8765  Basecbs 17083   ↾_s cress 17112   ↑_s cpws 17328  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965   RingHom crh 20143  SubRingcsubrg 20218  algSccascl 21258   mVar cmvr 21307   mPoly cmpl 21308   evalSub ces 21480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-srg 19918  df-ring 19966  df-cring 19967  df-rnghom 20146  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-assa 21259  df-asp 21260  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-evls 21482

This theorem is referenced by:  evlsvarsrng  21509  evlvar  21510  mpfproj  21512  mpfind  21517  evl1var  21702  evlsvarval  40735