MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlsvar Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlsvar 21500
Description: Polynomial evaluation maps variables to projections. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsvar.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsvar.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑈)
evlsvar.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
evlsvar.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
evlsvar.i (𝜑𝐼𝑊)
evlsvar.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evlsvar.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsvar.x (𝜑𝑋𝐼)
Assertion
Ref Expression
evlsvar (𝜑 → (𝑄‘(𝑉𝑋)) = (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑔𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝑔,𝐼   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔   𝑔,𝑊   𝑔,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝑄(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝑉(𝑔)

Proof of Theorem evlsvar
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlsvar.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑊)
2 evlsvar.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
3 evlsvar.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4 evlsvar.q . . . . . 6 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
5 eqid 2736 . . . . . 6 (𝐼 mPoly 𝑈) = (𝐼 mPoly 𝑈)
6 evlsvar.v . . . . . 6 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑈)
7 evlsvar.u . . . . . 6 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
8 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑆s (𝐵m 𝐼)) = (𝑆s (𝐵m 𝐼))
9 evlsvar.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑆)
10 eqid 2736 . . . . . 6 (algSc‘(𝐼 mPoly 𝑈)) = (algSc‘(𝐼 mPoly 𝑈))
11 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑥𝑅 ↦ ((𝐵m 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥𝑅 ↦ ((𝐵m 𝐼) × {𝑥}))
12 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑥𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑔𝑥)))
134, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12evlsval2 21497 . . . . 5 ((𝐼𝑊𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑄 ∈ ((𝐼 mPoly 𝑈) RingHom (𝑆s (𝐵m 𝐼))) ∧ ((𝑄 ∘ (algSc‘(𝐼 mPoly 𝑈))) = (𝑥𝑅 ↦ ((𝐵m 𝐼) × {𝑥})) ∧ (𝑄𝑉) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑔𝑥))))))
141, 2, 3, 13syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → (𝑄 ∈ ((𝐼 mPoly 𝑈) RingHom (𝑆s (𝐵m 𝐼))) ∧ ((𝑄 ∘ (algSc‘(𝐼 mPoly 𝑈))) = (𝑥𝑅 ↦ ((𝐵m 𝐼) × {𝑥})) ∧ (𝑄𝑉) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑔𝑥))))))
1514simprrd 772 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝑉) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑔𝑥))))
1615fveq1d 6844 . 2 (𝜑 → ((𝑄𝑉)‘𝑋) = ((𝑥𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑔𝑥)))‘𝑋))
17 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈))
187subrgring 20225 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
193, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ Ring)
205, 6, 17, 1, 19mvrf2 21468 . . . 4 (𝜑𝑉:𝐼⟶(Base‘(𝐼 mPoly 𝑈)))
2120ffnd 6669 . . 3 (𝜑𝑉 Fn 𝐼)
22 evlsvar.x . . 3 (𝜑𝑋𝐼)
23 fvco2 6938 . . 3 ((𝑉 Fn 𝐼𝑋𝐼) → ((𝑄𝑉)‘𝑋) = (𝑄‘(𝑉𝑋)))
2421, 22, 23syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝑄𝑉)‘𝑋) = (𝑄‘(𝑉𝑋)))
25 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑋))
2625mpteq2dv 5207 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑔𝑥)) = (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑔𝑋)))
27 ovex 7390 . . . . 5 (𝐵m 𝐼) ∈ V
2827mptex 7173 . . . 4 (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑔𝑋)) ∈ V
2926, 12, 28fvmpt 6948 . . 3 (𝑋𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑔𝑥)))‘𝑋) = (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑔𝑋)))
3022, 29syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑔𝑥)))‘𝑋) = (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑔𝑋)))
3116, 24, 303eqtr3d 2784 1 (𝜑 → (𝑄‘(𝑉𝑋)) = (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑔𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {csn 4586  cmpt 5188   × cxp 5631  ccom 5637   Fn wfn 6491  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  Basecbs 17083  s cress 17112  s cpws 17328  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965   RingHom crh 20143  SubRingcsubrg 20218  algSccascl 21258   mVar cmvr 21307   mPoly cmpl 21308   evalSub ces 21480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-srg 19918  df-ring 19966  df-cring 19967  df-rnghom 20146  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-assa 21259  df-asp 21260  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-evls 21482
This theorem is referenced by:  evlsvarsrng  21509  evlvar  21510  mpfproj  21512  mpfind  21517  evl1var  21702  evlsvarval  40735
  Copyright terms: Public domain W3C validator