Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlsvar Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlsvar 20765
 Description: Polynomial evaluation maps variables to projections. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsvar.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsvar.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑈)
evlsvar.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
evlsvar.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
evlsvar.i (𝜑𝐼𝑊)
evlsvar.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evlsvar.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsvar.x (𝜑𝑋𝐼)
Assertion
Ref Expression
evlsvar (𝜑 → (𝑄‘(𝑉𝑋)) = (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑔𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝑔,𝐼   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔   𝑔,𝑊   𝑔,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝑄(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝑉(𝑔)

Proof of Theorem evlsvar
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlsvar.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑊)
2 evlsvar.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
3 evlsvar.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4 evlsvar.q . . . . . 6 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
5 eqid 2801 . . . . . 6 (𝐼 mPoly 𝑈) = (𝐼 mPoly 𝑈)
6 evlsvar.v . . . . . 6 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑈)
7 evlsvar.u . . . . . 6 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
8 eqid 2801 . . . . . 6 (𝑆s (𝐵m 𝐼)) = (𝑆s (𝐵m 𝐼))
9 evlsvar.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑆)
10 eqid 2801 . . . . . 6 (algSc‘(𝐼 mPoly 𝑈)) = (algSc‘(𝐼 mPoly 𝑈))
11 eqid 2801 . . . . . 6 (𝑥𝑅 ↦ ((𝐵m 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥𝑅 ↦ ((𝐵m 𝐼) × {𝑥}))
12 eqid 2801 . . . . . 6 (𝑥𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑔𝑥)))
134, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12evlsval2 20762 . . . . 5 ((𝐼𝑊𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑄 ∈ ((𝐼 mPoly 𝑈) RingHom (𝑆s (𝐵m 𝐼))) ∧ ((𝑄 ∘ (algSc‘(𝐼 mPoly 𝑈))) = (𝑥𝑅 ↦ ((𝐵m 𝐼) × {𝑥})) ∧ (𝑄𝑉) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑔𝑥))))))
141, 2, 3, 13syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝑄 ∈ ((𝐼 mPoly 𝑈) RingHom (𝑆s (𝐵m 𝐼))) ∧ ((𝑄 ∘ (algSc‘(𝐼 mPoly 𝑈))) = (𝑥𝑅 ↦ ((𝐵m 𝐼) × {𝑥})) ∧ (𝑄𝑉) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑔𝑥))))))
1514simprrd 773 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝑉) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑔𝑥))))
1615fveq1d 6651 . 2 (𝜑 → ((𝑄𝑉)‘𝑋) = ((𝑥𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑔𝑥)))‘𝑋))
17 eqid 2801 . . . . 5 (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈))
187subrgring 19534 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
193, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ Ring)
205, 6, 17, 1, 19mvrf2 20734 . . . 4 (𝜑𝑉:𝐼⟶(Base‘(𝐼 mPoly 𝑈)))
2120ffnd 6492 . . 3 (𝜑𝑉 Fn 𝐼)
22 evlsvar.x . . 3 (𝜑𝑋𝐼)
23 fvco2 6739 . . 3 ((𝑉 Fn 𝐼𝑋𝐼) → ((𝑄𝑉)‘𝑋) = (𝑄‘(𝑉𝑋)))
2421, 22, 23syl2anc 587 . 2 (𝜑 → ((𝑄𝑉)‘𝑋) = (𝑄‘(𝑉𝑋)))
25 fveq2 6649 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑋))
2625mpteq2dv 5129 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑔𝑥)) = (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑔𝑋)))
27 ovex 7172 . . . . 5 (𝐵m 𝐼) ∈ V
2827mptex 6967 . . . 4 (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑔𝑋)) ∈ V
2926, 12, 28fvmpt 6749 . . 3 (𝑋𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑔𝑥)))‘𝑋) = (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑔𝑋)))
3022, 29syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑔𝑥)))‘𝑋) = (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑔𝑋)))
3116, 24, 303eqtr3d 2844 1 (𝜑 → (𝑄‘(𝑉𝑋)) = (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑔𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  {csn 4528   ↦ cmpt 5113   × cxp 5521   ∘ ccom 5527   Fn wfn 6323  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ↑m cmap 8393  Basecbs 16478   ↾s cress 16479   ↑s cpws 16715  Ringcrg 19293  CRingccrg 19294   RingHom crh 19463  SubRingcsubrg 19527  algSccascl 20544   mVar cmvr 20593   mPoly cmpl 20594   evalSub ces 20746 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-ofr 7394  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-ghm 18351  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-srg 19252  df-ring 19295  df-cring 19296  df-rnghom 19466  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-lsp 19740  df-assa 20545  df-asp 20546  df-ascl 20547  df-psr 20597  df-mvr 20598  df-mpl 20599  df-evls 20748 This theorem is referenced by:  evlsvarsrng  20774  evlvar  20775  mpfproj  20777  mpfind  20782  evl1var  20963
 Copyright terms: Public domain W3C validator