Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evls1varpwval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1varpwval 32087
Description: Univariate polynomial evaluation for subrings maps the exponentiation of a variable to the exponentiation of the evaluated variable. See evl1varpwval 21679. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1varpwval.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1varpwval.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
evls1varpwval.w 𝑊 = (Poly1𝑈)
evls1varpwval.x 𝑋 = (var1𝑈)
evls1varpwval.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1varpwval.e = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
evls1varpwval.f = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
evls1varpwval.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evls1varpwval.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1varpwval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
evls1varpwval.c (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
evls1varpwval (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 𝑋))‘𝐶) = (𝑁 𝐶))

Proof of Theorem evls1varpwval
StepHypRef Expression
1 evls1varpwval.q . . 3 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
2 evls1varpwval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
3 evls1varpwval.w . . 3 𝑊 = (Poly1𝑈)
4 evls1varpwval.u . . 3 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
5 eqid 2737 . . 3 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6 evls1varpwval.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
7 evls1varpwval.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
8 evls1varpwval.e . . 3 = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
9 evls1varpwval.f . . 3 = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
10 evls1varpwval.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
114subrgring 20177 . . . 4 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
12 evls1varpwval.x . . . . 5 𝑋 = (var1𝑈)
1312, 3, 5vr1cl 21539 . . . 4 (𝑈 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
147, 11, 133syl 18 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
15 evls1varpwval.c . . 3 (𝜑𝐶𝐵)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 15evls1expd 32086 . 2 (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 𝑋))‘𝐶) = (𝑁 ((𝑄𝑋)‘𝐶)))
171, 12, 4, 2, 6, 7evls1var 21655 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝑋) = ( I ↾ 𝐵))
1817fveq1d 6841 . . . 4 (𝜑 → ((𝑄𝑋)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐵)‘𝐶))
19 fvresi 7115 . . . . 5 (𝐶𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
2015, 19syl 17 . . . 4 (𝜑 → (( I ↾ 𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
2118, 20eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → ((𝑄𝑋)‘𝐶) = 𝐶)
2221oveq2d 7367 . 2 (𝜑 → (𝑁 ((𝑄𝑋)‘𝐶)) = (𝑁 𝐶))
2316, 22eqtrd 2777 1 (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 𝑋))‘𝐶) = (𝑁 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106   I cid 5528  cres 5633  cfv 6493  (class class class)co 7351  0cn0 12371  Basecbs 17042  s cress 17071  .gcmg 18830  mulGrpcmgp 19854  Ringcrg 19917  CRingccrg 19918  SubRingcsubrg 20170  var1cv1 21498  Poly1cpl1 21499   evalSub1 ces1 21630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-ofr 7610  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-pm 8726  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-sup 9336  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-seq 13861  df-hash 14184  df-struct 16978  df-sets 16995  df-slot 17013  df-ndx 17025  df-base 17043  df-ress 17072  df-plusg 17105  df-mulr 17106  df-sca 17108  df-vsca 17109  df-ip 17110  df-tset 17111  df-ple 17112  df-ds 17114  df-hom 17116  df-cco 17117  df-0g 17282  df-gsum 17283  df-prds 17288  df-pws 17290  df-mre 17425  df-mrc 17426  df-acs 17428  df-mgm 18456  df-sgrp 18505  df-mnd 18516  df-mhm 18560  df-submnd 18561  df-grp 18710  df-minusg 18711  df-sbg 18712  df-mulg 18831  df-subg 18883  df-ghm 18964  df-cntz 19055  df-cmn 19522  df-abl 19523  df-mgp 19855  df-ur 19872  df-srg 19876  df-ring 19919  df-cring 19920  df-rnghom 20098  df-subrg 20172  df-lmod 20276  df-lss 20345  df-lsp 20385  df-assa 21211  df-asp 21212  df-ascl 21213  df-psr 21263  df-mvr 21264  df-mpl 21265  df-opsr 21267  df-evls 21433  df-evl 21434  df-psr1 21502  df-vr1 21503  df-ply1 21504  df-evls1 21632  df-evl1 21633
This theorem is referenced by:  evls1fpws  32088
  Copyright terms: Public domain W3C validator