Theorem evls1varpwval 22719

Description: Univariate polynomial evaluation for subrings maps the exponentiation of a variable to the exponentiation of the evaluated variable. See evl1varpwval 22713. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1varpwval.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1varpwval.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1varpwval.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1varpwval.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑈)
evls1varpwval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1varpwval.e	⊢ ∧ = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
evls1varpwval.f	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
evls1varpwval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1varpwval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1varpwval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
evls1varpwval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evls1varpwval	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ∧ 𝑋))‘𝐶) = (𝑁 ↑ 𝐶))

Proof of Theorem evls1varpwval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1varpwval.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
2		evls1varpwval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		evls1varpwval.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
4		evls1varpwval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
5		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6		evls1varpwval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
7		evls1varpwval.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
8		evls1varpwval.e	. . 3 ⊢ ∧ = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
9		evls1varpwval.f	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
10		evls1varpwval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
11	4	subrgring 20859	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
12		evls1varpwval.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑈)
13	12, 3, 5	vr1cl 22568	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
14	7, 11, 13	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
15		evls1varpwval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 15	evls1expd 22718	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ∧ 𝑋))‘𝐶) = (𝑁 ↑ ((𝑄‘𝑋)‘𝐶)))
17	1, 12, 4, 2, 6, 7	evls1var 22689	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑋) = ( I ↾ 𝐵))
18	17	fveq1d 6913	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐵)‘𝐶))
19		fvresi 7204	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
20	15, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
21	18, 20	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘𝐶) = 𝐶)
22	21	oveq2d 7462	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ ((𝑄‘𝑋)‘𝐶)) = (𝑁 ↑ 𝐶))
23	16, 22	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ∧ 𝑋))‘𝐶) = (𝑁 ↑ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   I cid 5550   ↾ cres 5658  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℕ₀cn0 12636  Basecbs 17419   ↾_s cress 17440  ._gcmg 19309  mulGrpcmgp 20393  Ringcrg 20492  CRingccrg 20493  SubRingcsubrg 20854  var₁cv1 22527  Poly₁cpl1 22528   evalSub₁ ces1 22664

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-ofr 7721  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-sup 9464  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-seq 14175  df-hash 14505  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-hom 17484  df-cco 17485  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-prds 17650  df-pws 17652  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-mhm 19010  df-submnd 19011  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-mulg 19310  df-subg 19365  df-ghm 19460  df-cntz 19564  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-srg 20446  df-ring 20494  df-cring 20495  df-rhm 20735  df-subrng 20831  df-subrg 20855  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-lsp 21280  df-assa 22194  df-asp 22195  df-ascl 22196  df-psr 22250  df-mvr 22251  df-mpl 22252  df-opsr 22254  df-evls 22416  df-evl 22417  df-psr1 22531  df-vr1 22532  df-ply1 22533  df-evls1 22666  df-evl1 22667

This theorem is used by:  evls1fpws  22720  evls1monply1  34194