Theorem evls1varpwval 22271

Description: Univariate polynomial evaluation for subrings maps the exponentiation of a variable to the exponentiation of the evaluated variable. See evl1varpwval 22265. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1varpwval.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1varpwval.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1varpwval.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1varpwval.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑈)
evls1varpwval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1varpwval.e	⊢ ∧ = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
evls1varpwval.f	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
evls1varpwval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1varpwval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1varpwval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
evls1varpwval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evls1varpwval	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ∧ 𝑋))‘𝐶) = (𝑁 ↑ 𝐶))

Proof of Theorem evls1varpwval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1varpwval.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
2		evls1varpwval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		evls1varpwval.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
4		evls1varpwval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
5		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6		evls1varpwval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
7		evls1varpwval.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
8		evls1varpwval.e	. . 3 ⊢ ∧ = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
9		evls1varpwval.f	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
10		evls1varpwval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
11	4	subrgring 20477	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
12		evls1varpwval.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑈)
13	12, 3, 5	vr1cl 22118	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
14	7, 11, 13	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
15		evls1varpwval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 15	evls1expd 22270	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ∧ 𝑋))‘𝐶) = (𝑁 ↑ ((𝑄‘𝑋)‘𝐶)))
17	1, 12, 4, 2, 6, 7	evls1var 22241	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑋) = ( I ↾ 𝐵))
18	17	fveq1d 6828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐵)‘𝐶))
19		fvresi 7113	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
20	15, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
21	18, 20	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘𝐶) = 𝐶)
22	21	oveq2d 7369	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ ((𝑄‘𝑋)‘𝐶)) = (𝑁 ↑ 𝐶))
23	16, 22	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ∧ 𝑋))‘𝐶) = (𝑁 ↑ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   I cid 5517   ↾ cres 5625  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℕ₀cn0 12402  Basecbs 17138   ↾_s cress 17159  ._gcmg 18964  mulGrpcmgp 20043  Ringcrg 20136  CRingccrg 20137  SubRingcsubrg 20472  var₁cv1 22076  Poly₁cpl1 22077   evalSub₁ ces1 22216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-hash 14256  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-mhm 18675  df-submnd 18676  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-mulg 18965  df-subg 19020  df-ghm 19110  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-srg 20090  df-ring 20138  df-cring 20139  df-rhm 20375  df-subrng 20449  df-subrg 20473  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-lsp 20893  df-assa 21778  df-asp 21779  df-ascl 21780  df-psr 21834  df-mvr 21835  df-mpl 21836  df-opsr 21838  df-evls 21997  df-evl 21998  df-psr1 22080  df-vr1 22081  df-ply1 22082  df-evls1 22218  df-evl1 22219

This theorem is referenced by:  evls1fpws  22272