Theorem evls1varpwval 22388

Description: Univariate polynomial evaluation for subrings maps the exponentiation of a variable to the exponentiation of the evaluated variable. See evl1varpwval 22382. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1varpwval.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1varpwval.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1varpwval.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1varpwval.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑈)
evls1varpwval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1varpwval.e	⊢ ∧ = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
evls1varpwval.f	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
evls1varpwval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1varpwval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1varpwval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
evls1varpwval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evls1varpwval	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ∧ 𝑋))‘𝐶) = (𝑁 ↑ 𝐶))

Proof of Theorem evls1varpwval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1varpwval.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
2		evls1varpwval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		evls1varpwval.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
4		evls1varpwval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
5		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6		evls1varpwval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
7		evls1varpwval.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
8		evls1varpwval.e	. . 3 ⊢ ∧ = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
9		evls1varpwval.f	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
10		evls1varpwval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
11	4	subrgring 20591	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
12		evls1varpwval.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑈)
13	12, 3, 5	vr1cl 22235	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
14	7, 11, 13	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
15		evls1varpwval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 15	evls1expd 22387	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ∧ 𝑋))‘𝐶) = (𝑁 ↑ ((𝑄‘𝑋)‘𝐶)))
17	1, 12, 4, 2, 6, 7	evls1var 22358	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑋) = ( I ↾ 𝐵))
18	17	fveq1d 6909	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐵)‘𝐶))
19		fvresi 7193	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
20	15, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
21	18, 20	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘𝐶) = 𝐶)
22	21	oveq2d 7447	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ ((𝑄‘𝑋)‘𝐶)) = (𝑁 ↑ 𝐶))
23	16, 22	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ∧ 𝑋))‘𝐶) = (𝑁 ↑ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   I cid 5582   ↾ cres 5691  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℕ₀cn0 12524  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274  ._gcmg 19098  mulGrpcmgp 20152  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  SubRingcsubrg 20586  var₁cv1 22193  Poly₁cpl1 22194   evalSub₁ ces1 22333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-assa 21891  df-asp 21892  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-evls 22116  df-evl 22117  df-psr1 22197  df-vr1 22198  df-ply1 22199  df-evls1 22335  df-evl1 22336

This theorem is referenced by:  evls1fpws  22389