Theorem evls1varpwval 22565

Description: Univariate polynomial evaluation for subrings maps the exponentiation of a variable to the exponentiation of the evaluated variable. See evl1varpwval 22559. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1varpwval.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1varpwval.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1varpwval.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1varpwval.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑈)
evls1varpwval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1varpwval.e	⊢ ∧ = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
evls1varpwval.f	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
evls1varpwval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1varpwval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1varpwval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
evls1varpwval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evls1varpwval	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ∧ 𝑋))‘𝐶) = (𝑁 ↑ 𝐶))

Proof of Theorem evls1varpwval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1varpwval.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
2		evls1varpwval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		evls1varpwval.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
4		evls1varpwval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
5		eqid 2766	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6		evls1varpwval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
7		evls1varpwval.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
8		evls1varpwval.e	. . 3 ⊢ ∧ = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
9		evls1varpwval.f	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
10		evls1varpwval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
11	4	subrgring 20710	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
12		evls1varpwval.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑈)
13	12, 3, 5	vr1cl 22414	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
14	7, 11, 13	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
15		evls1varpwval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 15	evls1expd 22564	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ∧ 𝑋))‘𝐶) = (𝑁 ↑ ((𝑄‘𝑋)‘𝐶)))
17	1, 12, 4, 2, 6, 7	evls1var 22535	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑋) = ( I ↾ 𝐵))
18	17	fveq1d 6890	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐵)‘𝐶))
19		fvresi 7178	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
20	15, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
21	18, 20	eqtrd 2801	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘𝐶) = 𝐶)
22	21	oveq2d 7439	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ ((𝑄‘𝑋)‘𝐶)) = (𝑁 ↑ 𝐶))
23	16, 22	eqtrd 2801	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ∧ 𝑋))‘𝐶) = (𝑁 ↑ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   I cid 5560   ↾ cres 5668  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℕ₀cn0 12522  Basecbs 17294   ↾_s cress 17315  ._gcmg 19164  mulGrpcmgp 20247  Ringcrg 20346  CRingccrg 20347  SubRingcsubrg 20705  var₁cv1 22373  Poly₁cpl1 22374   evalSub₁ ces1 22510

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-ofr 7688  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-hom 17359  df-cco 17360  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-prds 17525  df-pws 17527  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-mhm 18872  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-mulg 19165  df-subg 19220  df-ghm 19315  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-srg 20300  df-ring 20348  df-cring 20349  df-rhm 20587  df-subrng 20682  df-subrg 20706  df-lmod 21020  df-lss 21090  df-lsp 21130  df-assa 22040  df-asp 22041  df-ascl 22042  df-psr 22096  df-mvr 22097  df-mpl 22098  df-opsr 22100  df-evls 22262  df-evl 22263  df-psr1 22377  df-vr1 22378  df-ply1 22379  df-evls1 22512  df-evl1 22513

This theorem is used by:  evls1fpws  22566  evls1monply1  33900