Theorem evls1varpwval 22393

Description: Univariate polynomial evaluation for subrings maps the exponentiation of a variable to the exponentiation of the evaluated variable. See evl1varpwval 22387. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1varpwval.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1varpwval.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1varpwval.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1varpwval.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑈)
evls1varpwval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1varpwval.e	⊢ ∧ = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
evls1varpwval.f	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
evls1varpwval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1varpwval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1varpwval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
evls1varpwval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evls1varpwval	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ∧ 𝑋))‘𝐶) = (𝑁 ↑ 𝐶))

Proof of Theorem evls1varpwval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1varpwval.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
2		evls1varpwval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		evls1varpwval.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
4		evls1varpwval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
5		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6		evls1varpwval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
7		evls1varpwval.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
8		evls1varpwval.e	. . 3 ⊢ ∧ = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
9		evls1varpwval.f	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
10		evls1varpwval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
11	4	subrgring 20602	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
12		evls1varpwval.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑈)
13	12, 3, 5	vr1cl 22240	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
14	7, 11, 13	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
15		evls1varpwval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 15	evls1expd 22392	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ∧ 𝑋))‘𝐶) = (𝑁 ↑ ((𝑄‘𝑋)‘𝐶)))
17	1, 12, 4, 2, 6, 7	evls1var 22363	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑋) = ( I ↾ 𝐵))
18	17	fveq1d 6922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐵)‘𝐶))
19		fvresi 7207	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
20	15, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
21	18, 20	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘𝐶) = 𝐶)
22	21	oveq2d 7464	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ ((𝑄‘𝑋)‘𝐶)) = (𝑁 ↑ 𝐶))
23	16, 22	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ∧ 𝑋))‘𝐶) = (𝑁 ↑ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   I cid 5592   ↾ cres 5702  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  ._gcmg 19107  mulGrpcmgp 20161  Ringcrg 20260  CRingccrg 20261  SubRingcsubrg 20595  var₁cv1 22198  Poly₁cpl1 22199   evalSub₁ ces1 22338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-srg 20214  df-ring 20262  df-cring 20263  df-rhm 20498  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-assa 21896  df-asp 21897  df-ascl 21898  df-psr 21952  df-mvr 21953  df-mpl 21954  df-opsr 21956  df-evls 22121  df-evl 22122  df-psr1 22202  df-vr1 22203  df-ply1 22204  df-evls1 22340  df-evl1 22341

This theorem is referenced by:  evls1fpws  22394