Theorem ply1ring 21419

Description: Univariate polynomials form a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1ring.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1ring	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

Proof of Theorem ply1ring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1ring.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4	1, 2, 3	ply1bas 21366	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
5	1, 2, 3	ply1subrg 21368	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
6	4, 5	eqeltrrid 2844	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
7	1, 2	ply1val 21365	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
8	7	subrgring 20027	. 2 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)) → 𝑃 ∈ Ring)
9	6, 8	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  1_oc1o 8290  Basecbs 16912  Ringcrg 19783  SubRingcsubrg 20020   mPoly cmpl 21109  PwSer₁cps1 21346  Poly₁cpl1 21348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-tset 16981  df-ple 16982  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-subrg 20022  df-psr 21112  df-mpl 21114  df-opsr 21116  df-psr1 21351  df-ply1 21353

This theorem is referenced by:  coe1z  21434  coe1add  21435  coe1subfv  21437  ply1moncl  21442  coe1pwmul  21450  ply1sclf  21456  ply1scl0  21461  ply1scl1  21463  ply1coefsupp  21466  ply1coe  21467  cply1coe0bi  21471  coe1fzgsumdlem  21472  gsumsmonply1  21474  gsummoncoe1  21475  lply1binom  21477  lply1binomsc  21478  evls1sca  21489  evls1gsumadd  21490  evl1expd  21511  evl1gsumdlem  21522  evl1scvarpw  21529  evl1scvarpwval  21530  evl1gsummon  21531  pmatring  21841  pmatlmod  21842  pmat0op  21844  pmat1op  21845  pmat1ovd  21846  1pmatscmul  21851  cpmatacl  21865  cpmatinvcl  21866  cpmatmcllem  21867  cpmatmcl  21868  mat2pmatbas  21875  mat2pmatghm  21879  mat2pmatmul  21880  mat2pmat1  21881  mat2pmatmhm  21882  mat2pmatrhm  21883  mat2pmatlin  21884  mat2pmatscmxcl  21889  m2pmfzgsumcl  21897  decpmatmullem  21920  pmatcollpw1  21925  pmatcollpw2lem  21926  pmatcollpw2  21927  monmatcollpw  21928  pmatcollpwlem  21929  pmatcollpw  21930  pmatcollpwfi  21931  pmatcollpw3fi1lem1  21935  pmatcollpwscmatlem1  21938  pmatcollpwscmatlem2  21939  pm2mpcl  21946  idpm2idmp  21950  mply1topmatcllem  21952  mply1topmatcl  21954  mp2pm2mplem2  21956  mp2pm2mplem4  21958  mp2pm2mp  21960  pm2mpghm  21965  pm2mpmhmlem2  21968  pm2mpmhm  21969  pm2mprhm  21970  pm2mprngiso  21971  monmat2matmon  21973  pm2mp  21974  chmatcl  21977  chmatval  21978  chpmat0d  21983  chpmat1dlem  21984  chpmat1d  21985  chpdmatlem0  21986  chpdmatlem2  21988  chpdmatlem3  21989  chpscmat  21991  chpscmatgsumbin  21993  chpscmatgsummon  21994  chp0mat  21995  chpidmat  21996  chmaidscmat  21997  chfacfscmulcl  22006  chfacfscmul0  22007  cpmadugsumlemB  22023  cpmadugsumlemC  22024  cpmadugsumlemF  22025  deg1addle2  25267  deg1add  25268  deg1suble  25272  deg1sub  25273  deg1sublt  25275  deg1mul2  25279  deg1mul3  25280  deg1mul3le  25281  deg1pw  25285  ply1nz  25286  ply1domn  25288  ply1divmo  25300  ply1divex  25301  uc1pmon1p  25316  r1pcl  25322  r1pid  25324  dvdsq1p  25325  dvdsr1p  25326  ply1remlem  25327  ply1rem  25328  ig1peu  25336  ig1pval2  25338  ig1pdvds  25341  ig1prsp  25342  ply1lpir  25343  plypf1  25373  lgsqrlem2  26495  lgsqrlem3  26496  lgsqrlem4  26497  hbtlem2  40949  hbtlem4  40951  hbtlem5  40953  hbtlem6  40954  hbt  40955  idomrootle  41020  ply1sclrmsm  45724  ply1mulgsumlem4  45730  ply1mulgsum  45731  linply1  45734