MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1ring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1ring 21770
Description: Univariate polynomials form a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1ring.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
ply1ring (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)

Proof of Theorem ply1ring
StepHypRef Expression
1 ply1ring.p . . . 4 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
2 eqid 2733 . . . 4 (PwSer1β€˜π‘…) = (PwSer1β€˜π‘…)
3 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
41, 2, 3ply1bas 21719 . . 3 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜(1o mPoly 𝑅))
51, 2, 3ply1subrg 21721 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∈ (SubRingβ€˜(PwSer1β€˜π‘…)))
64, 5eqeltrrid 2839 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRingβ€˜(PwSer1β€˜π‘…)))
71, 2ply1val 21718 . . 3 𝑃 = ((PwSer1β€˜π‘…) β†Ύs (Baseβ€˜(1o mPoly 𝑅)))
87subrgring 20322 . 2 ((Baseβ€˜(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRingβ€˜(PwSer1β€˜π‘…)) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
96, 8syl 17 1 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1oc1o 8459  Basecbs 17144  Ringcrg 20056  SubRingcsubrg 20315   mPoly cmpl 21459  PwSer1cps1 21699  Poly1cpl1 21701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-subrg 20317  df-psr 21462  df-mpl 21464  df-opsr 21466  df-psr1 21704  df-ply1 21706
This theorem is referenced by:  coe1z  21785  coe1add  21786  coe1subfv  21788  ply1moncl  21793  coe1pwmul  21801  ply1sclf  21807  ply1scl0  21812  ply1scl0OLD  21813  ply1scl1  21815  ply1scl1OLD  21816  ply1coefsupp  21819  ply1coe  21820  cply1coe0bi  21824  coe1fzgsumdlem  21825  gsumsmonply1  21827  gsummoncoe1  21828  lply1binom  21830  lply1binomsc  21831  evls1sca  21842  evls1gsumadd  21843  evl1expd  21864  evl1gsumdlem  21875  evl1scvarpw  21882  evl1scvarpwval  21883  evl1gsummon  21884  pmatring  22194  pmatlmod  22195  pmat0op  22197  pmat1op  22198  pmat1ovd  22199  1pmatscmul  22204  cpmatacl  22218  cpmatinvcl  22219  cpmatmcllem  22220  cpmatmcl  22221  mat2pmatbas  22228  mat2pmatghm  22232  mat2pmatmul  22233  mat2pmat1  22234  mat2pmatmhm  22235  mat2pmatrhm  22236  mat2pmatlin  22237  mat2pmatscmxcl  22242  m2pmfzgsumcl  22250  decpmatmullem  22273  pmatcollpw1  22278  pmatcollpw2lem  22279  pmatcollpw2  22280  monmatcollpw  22281  pmatcollpwlem  22282  pmatcollpw  22283  pmatcollpwfi  22284  pmatcollpw3fi1lem1  22288  pmatcollpwscmatlem1  22291  pmatcollpwscmatlem2  22292  pm2mpcl  22299  idpm2idmp  22303  mply1topmatcllem  22305  mply1topmatcl  22307  mp2pm2mplem2  22309  mp2pm2mplem4  22311  mp2pm2mp  22313  pm2mpghm  22318  pm2mpmhmlem2  22321  pm2mpmhm  22322  pm2mprhm  22323  monmat2matmon  22326  pm2mp  22327  chmatcl  22330  chmatval  22331  chpmat0d  22336  chpmat1dlem  22337  chpmat1d  22338  chpdmatlem0  22339  chpdmatlem2  22341  chpdmatlem3  22342  chpscmat  22344  chpscmatgsumbin  22346  chpscmatgsummon  22347  chp0mat  22348  chpidmat  22349  chmaidscmat  22350  chfacfscmulcl  22359  chfacfscmul0  22360  cpmadugsumlemB  22376  cpmadugsumlemC  22377  cpmadugsumlemF  22378  deg1addle2  25620  deg1add  25621  deg1suble  25625  deg1sub  25626  deg1sublt  25628  deg1mul2  25632  deg1mul3  25633  deg1mul3le  25634  deg1pw  25638  ply1nz  25639  ply1domn  25641  ply1divmo  25653  ply1divex  25654  uc1pmon1p  25669  r1pcl  25675  r1pid  25677  dvdsq1p  25678  dvdsr1p  25679  ply1remlem  25680  ply1rem  25681  ig1peu  25689  ig1pval2  25691  ig1pdvds  25694  ig1prsp  25695  ply1lpir  25696  plypf1  25726  lgsqrlem2  26850  lgsqrlem3  26851  lgsqrlem4  26852  evls1fpws  32646  evls1addd  32648  evls1muld  32649  ply1ascl0  32652  ply1ascl1  32653  ply1degltel  32666  ply1degltlss  32667  gsummoncoe1fzo  32668  ply1gsumz  32669  ig1pnunit  32670  ply1degltdimlem  32707  ply1degltdim  32708  ply1annnr  32764  irngnminplynz  32771  hbtlem2  41866  hbtlem4  41868  hbtlem5  41870  hbtlem6  41871  hbt  41872  idomrootle  41937  ply1sclrmsm  47064  ply1mulgsumlem4  47070  ply1mulgsum  47071  linply1  47074
  Copyright terms: Public domain W3C validator