Theorem ply1ring 19937

Description: Univariate polynomials form a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1ring.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1ring	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

Proof of Theorem ply1ring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1ring.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2797	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
3		eqid 2797	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4	1, 2, 3	ply1bas 19884	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
5	1, 2, 3	ply1subrg 19886	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
6	4, 5	syl5eqelr 2881	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
7	1, 2	ply1val 19883	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))
8	7	subrgring 19098	. 2 ⊢ ((Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)) → 𝑃 ∈ Ring)
9	6, 8	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ‘cfv 6099  (class class class)co 6876  1_𝑜c1o 7790  Basecbs 16181  Ringcrg 18860  SubRingcsubrg 19091   mPoly cmpl 19673  PwSer₁cps1 19864  Poly₁cpl1 19866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-inf2 8786  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-iin 4711  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-se 5270  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-isom 6108  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-of 7129  df-ofr 7130  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-supp 7531  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-2o 7798  df-oadd 7801  df-er 7980  df-map 8095  df-pm 8096  df-ixp 8147  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-fsupp 8516  df-oi 8655  df-card 9049  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-9 11379  df-n0 11577  df-z 11663  df-dec 11780  df-uz 11927  df-fz 12577  df-fzo 12717  df-seq 13052  df-hash 13367  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-tset 16283  df-ple 16284  df-0g 16414  df-gsum 16415  df-mre 16558  df-mrc 16559  df-acs 16561  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-mhm 17647  df-submnd 17648  df-grp 17738  df-minusg 17739  df-mulg 17854  df-subg 17901  df-ghm 17968  df-cntz 18059  df-cmn 18507  df-abl 18508  df-mgp 18803  df-ur 18815  df-ring 18862  df-subrg 19093  df-psr 19676  df-mpl 19678  df-opsr 19680  df-psr1 19869  df-ply1 19871

This theorem is referenced by:  coe1z  19952  coe1add  19953  coe1subfv  19955  ply1moncl  19960  coe1pwmul  19968  ply1sclf  19974  ply1scl0  19979  ply1scl1  19981  ply1coefsupp  19984  ply1coe  19985  cply1coe0bi  19989  coe1fzgsumdlem  19990  gsumsmonply1  19992  gsummoncoe1  19993  lply1binom  19995  lply1binomsc  19996  evls1sca  20007  evls1gsumadd  20008  evl1expd  20028  evl1gsumdlem  20039  evl1scvarpw  20046  evl1scvarpwval  20047  evl1gsummon  20048  pmatring  20823  pmatlmod  20824  pmat0op  20825  pmat1op  20826  pmat1ovd  20827  1pmatscmul  20832  cpmatacl  20846  cpmatinvcl  20847  cpmatmcllem  20848  cpmatmcl  20849  mat2pmatbas  20856  mat2pmatghm  20860  mat2pmatmul  20861  mat2pmat1  20862  mat2pmatmhm  20863  mat2pmatrhm  20864  mat2pmatlin  20865  mat2pmatscmxcl  20870  m2pmfzgsumcl  20878  decpmatmullem  20901  pmatcollpw1  20906  pmatcollpw2lem  20907  pmatcollpw2  20908  monmatcollpw  20909  pmatcollpwlem  20910  pmatcollpw  20911  pmatcollpwfi  20912  pmatcollpw3fi1lem1  20916  pmatcollpwscmatlem1  20919  pmatcollpwscmatlem2  20920  pm2mpcl  20927  idpm2idmp  20931  mply1topmatcllem  20933  mply1topmatcl  20935  mp2pm2mplem2  20937  mp2pm2mplem4  20939  mp2pm2mp  20941  pm2mpghm  20946  pm2mpmhmlem2  20949  pm2mpmhm  20950  pm2mprhm  20951  pm2mprngiso  20952  monmat2matmon  20954  pm2mp  20955  chmatcl  20958  chmatval  20959  chpmat0d  20964  chpmat1dlem  20965  chpmat1d  20966  chpdmatlem0  20967  chpdmatlem2  20969  chpdmatlem3  20970  chpscmat  20972  chpscmatgsumbin  20974  chpscmatgsummon  20975  chp0mat  20976  chpidmat  20977  chmaidscmat  20978  chfacfscmulcl  20987  chfacfscmul0  20988  cpmadugsumlemB  21004  cpmadugsumlemC  21005  cpmadugsumlemF  21006  deg1addle2  24200  deg1add  24201  deg1suble  24205  deg1sub  24206  deg1sublt  24208  deg1mul2  24212  deg1mul3  24213  deg1mul3le  24214  deg1pw  24218  ply1nz  24219  ply1domn  24221  ply1divmo  24233  ply1divex  24234  uc1pmon1p  24249  r1pcl  24255  r1pid  24257  dvdsq1p  24258  dvdsr1p  24259  ply1remlem  24260  ply1rem  24261  ig1peu  24269  ig1pval2  24271  ig1pdvds  24274  ig1prsp  24275  ply1lpir  24276  plypf1  24306  lgsqrlem2  25421  lgsqrlem3  25422  lgsqrlem4  25423  hbtlem2  38467  hbtlem4  38469  hbtlem5  38471  hbtlem6  38472  hbt  38473  idomrootle  38546  ply1sclrmsm  42958  ply1mulgsumlem4  42964  ply1mulgsum  42965  linply1  42968