Theorem ply1ring 22165

Description: Univariate polynomials form a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1ring.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1ring	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

Proof of Theorem ply1ring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1ring.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3	1, 2	ply1bas 22112	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
4		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
5	1, 4, 2	ply1subrg 22115	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
6	3, 5	eqeltrrid 2833	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
7	1, 4	ply1val 22111	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
8	7	subrgring 20494	. 2 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)) → 𝑃 ∈ Ring)
9	6, 8	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  1_oc1o 8404  Basecbs 17155  Ringcrg 20153  SubRingcsubrg 20489   mPoly cmpl 21848  PwSer₁cps1 22092  Poly₁cpl1 22094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-mhm 18692  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-mulg 18982  df-subg 19037  df-ghm 19127  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-subrng 20466  df-subrg 20490  df-psr 21851  df-mpl 21853  df-opsr 21855  df-psr1 22097  df-ply1 22099

This theorem is referenced by:  ply1ascl0  22172  ply1ascl1  22173  coe1z  22182  coe1add  22183  coe1subfv  22185  ply1moncl  22190  coe1pwmul  22198  ply1sclf  22204  ply1scl0  22209  ply1scl0OLD  22210  ply1scl1  22212  ply1scl1OLD  22213  ply1coefsupp  22217  ply1coe  22218  cply1coe0bi  22222  coe1fzgsumdlem  22223  gsumsmonply1  22227  gsummoncoe1  22228  lply1binom  22230  lply1binomsc  22231  evls1sca  22243  evls1gsumadd  22244  evl1expd  22265  evl1gsumdlem  22276  evl1scvarpw  22283  evl1scvarpwval  22284  evl1gsummon  22285  evls1fpws  22289  evls1addd  22291  evls1muld  22292  rhmply1mon  22309  pmatring  22612  pmatlmod  22613  pmat0op  22615  pmat1op  22616  pmat1ovd  22617  1pmatscmul  22622  cpmatacl  22636  cpmatinvcl  22637  cpmatmcllem  22638  cpmatmcl  22639  mat2pmatbas  22646  mat2pmatghm  22650  mat2pmatmul  22651  mat2pmat1  22652  mat2pmatmhm  22653  mat2pmatrhm  22654  mat2pmatlin  22655  mat2pmatscmxcl  22660  m2pmfzgsumcl  22668  decpmatmullem  22691  pmatcollpw1  22696  pmatcollpw2lem  22697  pmatcollpw2  22698  monmatcollpw  22699  pmatcollpwlem  22700  pmatcollpw  22701  pmatcollpwfi  22702  pmatcollpw3fi1lem1  22706  pmatcollpwscmatlem1  22709  pmatcollpwscmatlem2  22710  pm2mpcl  22717  idpm2idmp  22721  mply1topmatcllem  22723  mply1topmatcl  22725  mp2pm2mplem2  22727  mp2pm2mplem4  22729  mp2pm2mp  22731  pm2mpghm  22736  pm2mpmhmlem2  22739  pm2mpmhm  22740  pm2mprhm  22741  monmat2matmon  22744  pm2mp  22745  chmatcl  22748  chmatval  22749  chpmat0d  22754  chpmat1dlem  22755  chpmat1d  22756  chpdmatlem0  22757  chpdmatlem2  22759  chpdmatlem3  22760  chpscmat  22762  chpscmatgsumbin  22764  chpscmatgsummon  22765  chp0mat  22766  chpidmat  22767  chmaidscmat  22768  chfacfscmulcl  22777  chfacfscmul0  22778  cpmadugsumlemB  22794  cpmadugsumlemC  22795  cpmadugsumlemF  22796  deg1addle2  26040  deg1add  26041  deg1suble  26045  deg1sub  26046  deg1sublt  26048  deg1mul2  26052  deg1mul3  26054  deg1mul3le  26055  deg1pw  26059  ply1nz  26060  ply1domn  26062  ply1divmo  26074  ply1divex  26075  uc1pmon1p  26090  r1pcl  26097  r1pid  26099  dvdsq1p  26101  dvdsr1p  26102  ply1remlem  26103  ply1rem  26104  idomrootle  26111  ig1peu  26113  ig1pval2  26115  ig1pdvds  26118  ig1prsp  26119  ply1lpir  26120  plypf1  26150  lgsqrlem2  27291  lgsqrlem3  27292  lgsqrlem4  27293  ressasclcl  33533  evls1subd  33534  ply1unit  33537  m1pmeq  33545  ply1degltel  33553  ply1degleel  33554  ply1degltlss  33555  gsummoncoe1fzo  33556  ply1gsumz  33557  deg1addlt  33558  ig1pnunit  33559  q1pdir  33561  q1pvsca  33562  r1pvsca  33563  r1p0  33564  r1pcyc  33565  r1padd1  33566  r1pid2OLD  33567  r1plmhm  33568  r1pquslmic  33569  ply1degltdimlem  33611  ply1degltdim  33612  ply1annnr  33686  irngnminplynz  33695  minplym1p  33696  minplynzm1p  33697  irredminply  33699  algextdeglem6  33705  algextdeglem8  33707  rtelextdg2lem  33709  2sqr3minply  33763  cos9thpiminplylem6  33770  cos9thpiminply  33771  ply1divalg3  35622  aks6d1c1p6  42095  aks6d1c6lem1  42151  aks6d1c6lem2  42152  hbtlem2  43106  hbtlem4  43108  hbtlem5  43110  hbtlem6  43111  hbt  43112  ply1sclrmsm  48365  ply1mulgsumlem4  48371  ply1mulgsum  48372  linply1  48375