Theorem ply1ring 22203

Description: Univariate polynomials form a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1ring.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1ring	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

Proof of Theorem ply1ring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1ring.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3	1, 2	ply1bas 22150	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
5	1, 4, 2	ply1subrg 22153	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
6	3, 5	eqeltrrid 2842	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
7	1, 4	ply1val 22149	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
8	7	subrgring 20522	. 2 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)) → 𝑃 ∈ Ring)
9	6, 8	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  1_oc1o 8400  Basecbs 17148  Ringcrg 20183  SubRingcsubrg 20517   mPoly cmpl 21877  PwSer₁cps1 22130  Poly₁cpl1 22132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18881  df-minusg 18882  df-mulg 19013  df-subg 19068  df-ghm 19157  df-cntz 19261  df-cmn 19726  df-abl 19727  df-mgp 20091  df-rng 20103  df-ur 20132  df-ring 20185  df-subrng 20494  df-subrg 20518  df-psr 21880  df-mpl 21882  df-opsr 21884  df-psr1 22135  df-ply1 22137

This theorem is referenced by:  ply1ascl0  22210  ply1ascl1  22211  coe1z  22220  coe1add  22221  coe1subfv  22223  ply1moncl  22228  coe1pwmul  22236  ply1sclf  22242  ply1scl0  22247  ply1scl0OLD  22248  ply1scl1  22250  ply1scl1OLD  22251  ply1coefsupp  22256  ply1coe  22257  cply1coe0bi  22261  coe1fzgsumdlem  22262  gsumsmonply1  22266  gsummoncoe1  22267  lply1binom  22269  lply1binomsc  22270  evls1sca  22282  evls1gsumadd  22283  evl1expd  22304  evl1gsumdlem  22315  evl1scvarpw  22322  evl1scvarpwval  22323  evl1gsummon  22324  evls1fpws  22328  evls1addd  22330  evls1muld  22331  rhmply1mon  22348  pmatring  22651  pmatlmod  22652  pmat0op  22654  pmat1op  22655  pmat1ovd  22656  1pmatscmul  22661  cpmatacl  22675  cpmatinvcl  22676  cpmatmcllem  22677  cpmatmcl  22678  mat2pmatbas  22685  mat2pmatghm  22689  mat2pmatmul  22690  mat2pmat1  22691  mat2pmatmhm  22692  mat2pmatrhm  22693  mat2pmatlin  22694  mat2pmatscmxcl  22699  m2pmfzgsumcl  22707  decpmatmullem  22730  pmatcollpw1  22735  pmatcollpw2lem  22736  pmatcollpw2  22737  monmatcollpw  22738  pmatcollpwlem  22739  pmatcollpw  22740  pmatcollpwfi  22741  pmatcollpw3fi1lem1  22745  pmatcollpwscmatlem1  22748  pmatcollpwscmatlem2  22749  pm2mpcl  22756  idpm2idmp  22760  mply1topmatcllem  22762  mply1topmatcl  22764  mp2pm2mplem2  22766  mp2pm2mplem4  22768  mp2pm2mp  22770  pm2mpghm  22775  pm2mpmhmlem2  22778  pm2mpmhm  22779  pm2mprhm  22780  monmat2matmon  22783  pm2mp  22784  chmatcl  22787  chmatval  22788  chpmat0d  22793  chpmat1dlem  22794  chpmat1d  22795  chpdmatlem0  22796  chpdmatlem2  22798  chpdmatlem3  22799  chpscmat  22801  chpscmatgsumbin  22803  chpscmatgsummon  22804  chp0mat  22805  chpidmat  22806  chmaidscmat  22807  chfacfscmulcl  22816  chfacfscmul0  22817  cpmadugsumlemB  22833  cpmadugsumlemC  22834  cpmadugsumlemF  22835  deg1addle2  26078  deg1add  26079  deg1suble  26083  deg1sub  26084  deg1sublt  26086  deg1mul2  26090  deg1mul3  26092  deg1mul3le  26093  deg1pw  26097  ply1nz  26098  ply1domn  26100  ply1divmo  26112  ply1divex  26113  uc1pmon1p  26128  r1pcl  26135  r1pid  26137  dvdsq1p  26139  dvdsr1p  26140  ply1remlem  26141  ply1rem  26142  idomrootle  26149  ig1peu  26151  ig1pval2  26153  ig1pdvds  26156  ig1prsp  26157  ply1lpir  26158  plypf1  26188  lgsqrlem2  27329  lgsqrlem3  27330  lgsqrlem4  27331  ressasclcl  33668  evls1subd  33669  ply1unit  33672  evls1monply1  33676  m1pmeq  33682  ply1coedeg  33686  ply1degltel  33691  ply1degleel  33692  ply1degltlss  33693  gsummoncoe1fzo  33694  ply1gsumz  33696  deg1addlt  33697  ig1pnunit  33698  q1pdir  33700  q1pvsca  33701  r1pvsca  33702  r1p0  33703  r1pcyc  33704  r1padd1  33705  r1pid2OLD  33706  r1plmhm  33707  r1pquslmic  33708  vietadeg1  33759  ply1degltdimlem  33804  ply1degltdim  33805  extdgfialglem2  33875  ply1annnr  33885  irngnminplynz  33894  minplym1p  33895  minplynzm1p  33896  irredminply  33898  algextdeglem6  33904  algextdeglem8  33906  rtelextdg2lem  33908  2sqr3minply  33962  cos9thpiminplylem6  33969  cos9thpiminply  33970  ply1divalg3  35862  aks6d1c1p6  42488  aks6d1c6lem1  42544  aks6d1c6lem2  42545  hbtlem2  43485  hbtlem4  43487  hbtlem5  43489  hbtlem6  43490  hbt  43491  ply1sclrmsm  48748  ply1mulgsumlem4  48753  ply1mulgsum  48754  linply1  48757