Theorem ply1ring 22459

Description: Univariate polynomials form a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1ring.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1ring	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

Proof of Theorem ply1ring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1ring.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3	1, 2	ply1bas 22407	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
4		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
5	1, 4, 2	ply1subrg 22409	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
6	3, 5	eqeltrrid 2870	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
7	1, 4	ply1val 22406	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
8	7	subrgring 20725	. 2 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)) → 𝑃 ∈ Ring)
9	6, 8	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  1_oc1o 8452  Basecbs 17293  Ringcrg 20361  SubRingcsubrg 20720   mPoly cmpl 22108  PwSer₁cps1 22387  Poly₁cpl1 22389

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-sup 9409  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-hom 17358  df-cco 17359  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-prds 17524  df-pws 17526  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-mhm 18880  df-submnd 18881  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-mulg 19180  df-subg 19235  df-ghm 19330  df-cntz 19433  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-subrng 20697  df-subrg 20721  df-psr 22111  df-mpl 22113  df-opsr 22115  df-psr1 22392  df-ply1 22394

This theorem is used by:  ply1ascl0  22466  ply1ascl1  22467  coe1z  22476  coe1add  22477  coe1subfv  22479  ply1moncl  22484  coe1pwmul  22492  ply1sclf  22498  ply1scl0  22503  ply1scl1  22505  ply1coefsupp  22509  ply1coe  22510  cply1coe0bi  22514  coe1fzgsumdlem  22515  gsumsmonply1  22519  gsummoncoe1  22520  lply1binom  22522  lply1binomsc  22523  evls1sca  22535  evls1gsumadd  22536  evl1expd  22557  evl1gsumdlem  22568  evl1scvarpw  22575  evl1scvarpwval  22576  evl1gsummon  22577  evls1fpws  22581  evls1addd  22583  evls1muld  22584  rhmply1mon  22598  pmatring  22901  pmatlmod  22902  pmat0op  22904  pmat1op  22905  pmat1ovd  22906  1pmatscmul  22911  cpmatacl  22925  cpmatinvcl  22926  cpmatmcllem  22927  cpmatmcl  22928  mat2pmatbas  22935  mat2pmatghm  22939  mat2pmatmul  22940  mat2pmat1  22941  mat2pmatmhm  22942  mat2pmatrhm  22943  mat2pmatlin  22944  mat2pmatscmxcl  22949  m2pmfzgsumcl  22957  decpmatmullem  22980  pmatcollpw1  22985  pmatcollpw2lem  22986  pmatcollpw2  22987  monmatcollpw  22988  pmatcollpwlem  22989  pmatcollpw  22990  pmatcollpwfi  22991  pmatcollpw3fi1lem1  22995  pmatcollpwscmatlem1  22998  pmatcollpwscmatlem2  22999  pm2mpcl  23006  idpm2idmp  23010  mply1topmatcllem  23012  mply1topmatcl  23014  mp2pm2mplem2  23016  mp2pm2mplem4  23018  mp2pm2mp  23020  pm2mpghm  23025  pm2mpmhmlem2  23028  pm2mpmhm  23029  pm2mprhm  23030  monmat2matmon  23033  pm2mp  23034  chmatcl  23037  chmatval  23038  chpmat0d  23043  chpmat1dlem  23044  chpmat1d  23045  chpdmatlem0  23046  chpdmatlem2  23048  chpdmatlem3  23049  chpscmat  23051  chpscmatgsumbin  23053  chpscmatgsummon  23054  chp0mat  23055  chpidmat  23056  chmaidscmat  23057  chfacfscmulcl  23066  chfacfscmul0  23067  cpmadugsumlemB  23083  cpmadugsumlemC  23084  cpmadugsumlemF  23085  deg1addle2  26312  deg1add  26313  deg1suble  26317  deg1sub  26318  deg1sublt  26320  deg1mul2  26324  deg1mul3  26326  deg1mul3le  26327  deg1pw  26331  ply1nz  26332  ply1domn  26334  ply1divmo  26346  ply1divex  26347  uc1pmon1p  26362  r1pcl  26369  r1pid  26371  dvdsq1p  26373  dvdsr1p  26374  ply1remlem  26375  ply1rem  26376  idomrootle  26383  ig1peu  26385  ig1pval2  26387  ig1pdvds  26390  ig1prsp  26391  ply1lpir  26392  plypf1  26422  lgsqrlem2  27564  lgsqrlem3  27565  lgsqrlem4  27566  ressasclcl  33927  evls1subd  33928  ply1unit  33931  evls1monply1  33935  m1pmeq  33941  ply1coedeg  33945  ply1degltel  33950  ply1degleel  33951  ply1degltlss  33952  gsummoncoe1fzo  33953  ply1gsumz  33955  deg1addlt  33956  ig1pnunit  33957  q1pdir  33959  q1pvsca  33960  r1pvsca  33961  r1p0  33962  r1pcyc  33963  r1padd1  33964  r1plmhm  33965  r1pquslmic  33966  selvply1rhmlem4  33979  selvply1rhm  33981  vietadeg1  34034  ply1degltdimlem  34078  ply1degltdim  34079  extdgfialglem2  34149  ply1annnr  34159  irngnminplynz  34168  minplym1p  34169  minplynzm1p  34170  irredminply  34172  algextdeglem6  34178  algextdeglem8  34180  rtelextdg2lem  34182  2sqr3minply  34236  cos9thpiminplylem6  34243  cos9thpiminply  34244  ply1divalg3  36173  aks6d1c1p6  42941  aks6d1c6lem1  42997  aks6d1c6lem2  42998  hbtlem2  43911  hbtlem4  43913  hbtlem5  43915  hbtlem6  43916  hbt  43917  ply1sclrmsm  49223  ply1mulgsumlem4  49228  ply1mulgsum  49229  linply1  49232