Theorem ply1ring 21024

Description: Univariate polynomials form a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1ring.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1ring	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

Proof of Theorem ply1ring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1ring.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4	1, 2, 3	ply1bas 20971	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
5	1, 2, 3	ply1subrg 20973	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
6	4, 5	eqeltrrid 2838	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
7	1, 2	ply1val 20970	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
8	7	subrgring 19658	. 2 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)) → 𝑃 ∈ Ring)
9	6, 8	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6340  (class class class)co 7171  1_oc1o 8125  Basecbs 16587  Ringcrg 19417  SubRingcsubrg 19651   mPoly cmpl 20720  PwSer₁cps1 20951  Poly₁cpl1 20953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-of 7426  df-ofr 7427  df-om 7601  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-supp 7858  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-1o 8132  df-er 8321  df-map 8440  df-pm 8441  df-ixp 8509  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-fin 8560  df-fsupp 8908  df-oi 9048  df-card 9442  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-nn 11718  df-2 11780  df-3 11781  df-4 11782  df-5 11783  df-6 11784  df-7 11785  df-8 11786  df-9 11787  df-n0 11978  df-z 12064  df-dec 12181  df-uz 12326  df-fz 12983  df-fzo 13126  df-seq 13462  df-hash 13784  df-struct 16589  df-ndx 16590  df-slot 16591  df-base 16593  df-sets 16594  df-ress 16595  df-plusg 16682  df-mulr 16683  df-sca 16685  df-vsca 16686  df-tset 16688  df-ple 16689  df-0g 16819  df-gsum 16820  df-mre 16961  df-mrc 16962  df-acs 16964  df-mgm 17969  df-sgrp 18018  df-mnd 18029  df-mhm 18073  df-submnd 18074  df-grp 18223  df-minusg 18224  df-mulg 18344  df-subg 18395  df-ghm 18475  df-cntz 18566  df-cmn 19027  df-abl 19028  df-mgp 19360  df-ur 19372  df-ring 19419  df-subrg 19653  df-psr 20723  df-mpl 20725  df-opsr 20727  df-psr1 20956  df-ply1 20958

This theorem is referenced by:  coe1z  21039  coe1add  21040  coe1subfv  21042  ply1moncl  21047  coe1pwmul  21055  ply1sclf  21061  ply1scl0  21066  ply1scl1  21068  ply1coefsupp  21071  ply1coe  21072  cply1coe0bi  21076  coe1fzgsumdlem  21077  gsumsmonply1  21079  gsummoncoe1  21080  lply1binom  21082  lply1binomsc  21083  evls1sca  21094  evls1gsumadd  21095  evl1expd  21116  evl1gsumdlem  21127  evl1scvarpw  21134  evl1scvarpwval  21135  evl1gsummon  21136  pmatring  21444  pmatlmod  21445  pmat0op  21447  pmat1op  21448  pmat1ovd  21449  1pmatscmul  21454  cpmatacl  21468  cpmatinvcl  21469  cpmatmcllem  21470  cpmatmcl  21471  mat2pmatbas  21478  mat2pmatghm  21482  mat2pmatmul  21483  mat2pmat1  21484  mat2pmatmhm  21485  mat2pmatrhm  21486  mat2pmatlin  21487  mat2pmatscmxcl  21492  m2pmfzgsumcl  21500  decpmatmullem  21523  pmatcollpw1  21528  pmatcollpw2lem  21529  pmatcollpw2  21530  monmatcollpw  21531  pmatcollpwlem  21532  pmatcollpw  21533  pmatcollpwfi  21534  pmatcollpw3fi1lem1  21538  pmatcollpwscmatlem1  21541  pmatcollpwscmatlem2  21542  pm2mpcl  21549  idpm2idmp  21553  mply1topmatcllem  21555  mply1topmatcl  21557  mp2pm2mplem2  21559  mp2pm2mplem4  21561  mp2pm2mp  21563  pm2mpghm  21568  pm2mpmhmlem2  21571  pm2mpmhm  21572  pm2mprhm  21573  pm2mprngiso  21574  monmat2matmon  21576  pm2mp  21577  chmatcl  21580  chmatval  21581  chpmat0d  21586  chpmat1dlem  21587  chpmat1d  21588  chpdmatlem0  21589  chpdmatlem2  21591  chpdmatlem3  21592  chpscmat  21594  chpscmatgsumbin  21596  chpscmatgsummon  21597  chp0mat  21598  chpidmat  21599  chmaidscmat  21600  chfacfscmulcl  21609  chfacfscmul0  21610  cpmadugsumlemB  21626  cpmadugsumlemC  21627  cpmadugsumlemF  21628  deg1addle2  24855  deg1add  24856  deg1suble  24860  deg1sub  24861  deg1sublt  24863  deg1mul2  24867  deg1mul3  24868  deg1mul3le  24869  deg1pw  24873  ply1nz  24874  ply1domn  24876  ply1divmo  24888  ply1divex  24889  uc1pmon1p  24904  r1pcl  24910  r1pid  24912  dvdsq1p  24913  dvdsr1p  24914  ply1remlem  24915  ply1rem  24916  ig1peu  24924  ig1pval2  24926  ig1pdvds  24929  ig1prsp  24930  ply1lpir  24931  plypf1  24961  lgsqrlem2  26083  lgsqrlem3  26084  lgsqrlem4  26085  hbtlem2  40513  hbtlem4  40515  hbtlem5  40517  hbtlem6  40518  hbt  40519  idomrootle  40584  ply1sclrmsm  45250  ply1mulgsumlem4  45256  ply1mulgsum  45257  linply1  45260