Theorem ply1ring 22270

Description: Univariate polynomials form a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1ring.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1ring	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

Proof of Theorem ply1ring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1ring.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3	1, 2	ply1bas 22217	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
4		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
5	1, 4, 2	ply1subrg 22220	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
6	3, 5	eqeltrrid 2849	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
7	1, 4	ply1val 22216	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
8	7	subrgring 20602	. 2 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)) → 𝑃 ∈ Ring)
9	6, 8	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  1_oc1o 8515  Basecbs 17258  Ringcrg 20260  SubRingcsubrg 20595   mPoly cmpl 21949  PwSer₁cps1 22197  Poly₁cpl1 22199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-psr 21952  df-mpl 21954  df-opsr 21956  df-psr1 22202  df-ply1 22204

This theorem is referenced by:  ply1ascl0  22277  ply1ascl1  22278  coe1z  22287  coe1add  22288  coe1subfv  22290  ply1moncl  22295  coe1pwmul  22303  ply1sclf  22309  ply1scl0  22314  ply1scl0OLD  22315  ply1scl1  22317  ply1scl1OLD  22318  ply1coefsupp  22322  ply1coe  22323  cply1coe0bi  22327  coe1fzgsumdlem  22328  gsumsmonply1  22332  gsummoncoe1  22333  lply1binom  22335  lply1binomsc  22336  evls1sca  22348  evls1gsumadd  22349  evl1expd  22370  evl1gsumdlem  22381  evl1scvarpw  22388  evl1scvarpwval  22389  evl1gsummon  22390  evls1fpws  22394  evls1addd  22396  evls1muld  22397  rhmply1mon  22414  pmatring  22719  pmatlmod  22720  pmat0op  22722  pmat1op  22723  pmat1ovd  22724  1pmatscmul  22729  cpmatacl  22743  cpmatinvcl  22744  cpmatmcllem  22745  cpmatmcl  22746  mat2pmatbas  22753  mat2pmatghm  22757  mat2pmatmul  22758  mat2pmat1  22759  mat2pmatmhm  22760  mat2pmatrhm  22761  mat2pmatlin  22762  mat2pmatscmxcl  22767  m2pmfzgsumcl  22775  decpmatmullem  22798  pmatcollpw1  22803  pmatcollpw2lem  22804  pmatcollpw2  22805  monmatcollpw  22806  pmatcollpwlem  22807  pmatcollpw  22808  pmatcollpwfi  22809  pmatcollpw3fi1lem1  22813  pmatcollpwscmatlem1  22816  pmatcollpwscmatlem2  22817  pm2mpcl  22824  idpm2idmp  22828  mply1topmatcllem  22830  mply1topmatcl  22832  mp2pm2mplem2  22834  mp2pm2mplem4  22836  mp2pm2mp  22838  pm2mpghm  22843  pm2mpmhmlem2  22846  pm2mpmhm  22847  pm2mprhm  22848  monmat2matmon  22851  pm2mp  22852  chmatcl  22855  chmatval  22856  chpmat0d  22861  chpmat1dlem  22862  chpmat1d  22863  chpdmatlem0  22864  chpdmatlem2  22866  chpdmatlem3  22867  chpscmat  22869  chpscmatgsumbin  22871  chpscmatgsummon  22872  chp0mat  22873  chpidmat  22874  chmaidscmat  22875  chfacfscmulcl  22884  chfacfscmul0  22885  cpmadugsumlemB  22901  cpmadugsumlemC  22902  cpmadugsumlemF  22903  deg1addle2  26161  deg1add  26162  deg1suble  26166  deg1sub  26167  deg1sublt  26169  deg1mul2  26173  deg1mul3  26175  deg1mul3le  26176  deg1pw  26180  ply1nz  26181  ply1domn  26183  ply1divmo  26195  ply1divex  26196  uc1pmon1p  26211  r1pcl  26218  r1pid  26220  dvdsq1p  26222  dvdsr1p  26223  ply1remlem  26224  ply1rem  26225  idomrootle  26232  ig1peu  26234  ig1pval2  26236  ig1pdvds  26239  ig1prsp  26240  ply1lpir  26241  plypf1  26271  lgsqrlem2  27409  lgsqrlem3  27410  lgsqrlem4  27411  ressasclcl  33561  evls1subd  33562  ply1unit  33565  m1pmeq  33573  ply1degltel  33580  ply1degleel  33581  ply1degltlss  33582  gsummoncoe1fzo  33583  ply1gsumz  33584  deg1addlt  33585  ig1pnunit  33586  q1pdir  33588  q1pvsca  33589  r1pvsca  33590  r1p0  33591  r1pcyc  33592  r1padd1  33593  r1pid2OLD  33594  r1plmhm  33595  r1pquslmic  33596  ply1degltdimlem  33635  ply1degltdim  33636  ply1annnr  33696  irngnminplynz  33705  minplym1p  33706  irredminply  33707  algextdeglem6  33713  algextdeglem8  33715  rtelextdg2lem  33717  2sqr3minply  33738  ply1divalg3  35610  aks6d1c1p6  42071  aks6d1c6lem1  42127  aks6d1c6lem2  42128  hbtlem2  43081  hbtlem4  43083  hbtlem5  43085  hbtlem6  43086  hbt  43087  ply1sclrmsm  48112  ply1mulgsumlem4  48118  ply1mulgsum  48119  linply1  48122