Theorem ply1ring 22376

Description: Univariate polynomials form a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1ring.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1ring	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

Proof of Theorem ply1ring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1ring.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3	1, 2	ply1bas 22324	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
4		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
5	1, 4, 2	ply1subrg 22326	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
6	3, 5	eqeltrrid 2874	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
7	1, 4	ply1val 22323	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
8	7	subrgring 20659	. 2 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)) → 𝑃 ∈ Ring)
9	6, 8	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1_oc1o 8446  Basecbs 17269  Ringcrg 20315  SubRingcsubrg 20654   mPoly cmpl 22025  PwSer₁cps1 22304  Poly₁cpl1 22306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-ofr 7676  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-sup 9402  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-hash 14367  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-prds 17500  df-pws 17502  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-mulg 19134  df-subg 19189  df-ghm 19284  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-psr 22028  df-mpl 22030  df-opsr 22032  df-psr1 22309  df-ply1 22311

This theorem is referenced by:  ply1ascl0  22383  ply1ascl1  22384  coe1z  22393  coe1add  22394  coe1subfv  22396  ply1moncl  22401  coe1pwmul  22409  ply1sclf  22415  ply1scl0  22420  ply1scl1  22422  ply1coefsupp  22426  ply1coe  22427  cply1coe0bi  22431  coe1fzgsumdlem  22432  gsumsmonply1  22436  gsummoncoe1  22437  lply1binom  22439  lply1binomsc  22440  evls1sca  22452  evls1gsumadd  22453  evl1expd  22474  evl1gsumdlem  22485  evl1scvarpw  22492  evl1scvarpwval  22493  evl1gsummon  22494  evls1fpws  22498  evls1addd  22500  evls1muld  22501  rhmply1mon  22515  pmatring  22818  pmatlmod  22819  pmat0op  22821  pmat1op  22822  pmat1ovd  22823  1pmatscmul  22828  cpmatacl  22842  cpmatinvcl  22843  cpmatmcllem  22844  cpmatmcl  22845  mat2pmatbas  22852  mat2pmatghm  22856  mat2pmatmul  22857  mat2pmat1  22858  mat2pmatmhm  22859  mat2pmatrhm  22860  mat2pmatlin  22861  mat2pmatscmxcl  22866  m2pmfzgsumcl  22874  decpmatmullem  22897  pmatcollpw1  22902  pmatcollpw2lem  22903  pmatcollpw2  22904  monmatcollpw  22905  pmatcollpwlem  22906  pmatcollpw  22907  pmatcollpwfi  22908  pmatcollpw3fi1lem1  22912  pmatcollpwscmatlem1  22915  pmatcollpwscmatlem2  22916  pm2mpcl  22923  idpm2idmp  22927  mply1topmatcllem  22929  mply1topmatcl  22931  mp2pm2mplem2  22933  mp2pm2mplem4  22935  mp2pm2mp  22937  pm2mpghm  22942  pm2mpmhmlem2  22945  pm2mpmhm  22946  pm2mprhm  22947  monmat2matmon  22950  pm2mp  22951  chmatcl  22954  chmatval  22955  chpmat0d  22960  chpmat1dlem  22961  chpmat1d  22962  chpdmatlem0  22963  chpdmatlem2  22965  chpdmatlem3  22966  chpscmat  22968  chpscmatgsumbin  22970  chpscmatgsummon  22971  chp0mat  22972  chpidmat  22973  chmaidscmat  22974  chfacfscmulcl  22983  chfacfscmul0  22984  cpmadugsumlemB  23000  cpmadugsumlemC  23001  cpmadugsumlemF  23002  deg1addle2  26228  deg1add  26229  deg1suble  26233  deg1sub  26234  deg1sublt  26236  deg1mul2  26240  deg1mul3  26242  deg1mul3le  26243  deg1pw  26247  ply1nz  26248  ply1domn  26250  ply1divmo  26262  ply1divex  26263  uc1pmon1p  26278  r1pcl  26285  r1pid  26287  dvdsq1p  26289  dvdsr1p  26290  ply1remlem  26291  ply1rem  26292  idomrootle  26299  ig1peu  26301  ig1pval2  26303  ig1pdvds  26306  ig1prsp  26307  ply1lpir  26308  plypf1  26338  lgsqrlem2  27477  lgsqrlem3  27478  lgsqrlem4  27479  ressasclcl  33806  evls1subd  33807  ply1unit  33810  evls1monply1  33814  m1pmeq  33820  ply1coedeg  33824  ply1degltel  33829  ply1degleel  33830  ply1degltlss  33831  gsummoncoe1fzo  33832  ply1gsumz  33834  deg1addlt  33835  ig1pnunit  33836  q1pdir  33838  q1pvsca  33839  r1pvsca  33840  r1p0  33841  r1pcyc  33842  r1padd1  33843  r1plmhm  33844  r1pquslmic  33845  selvply1rhmlem4  33858  selvply1rhm  33860  vietadeg1  33913  ply1degltdimlem  33957  ply1degltdim  33958  extdgfialglem2  34028  ply1annnr  34038  irngnminplynz  34047  minplym1p  34048  minplynzm1p  34049  irredminply  34051  algextdeglem6  34057  algextdeglem8  34059  rtelextdg2lem  34061  2sqr3minply  34115  cos9thpiminplylem6  34122  cos9thpiminply  34123  ply1divalg3  36033  aks6d1c1p6  42771  aks6d1c6lem1  42827  aks6d1c6lem2  42828  hbtlem2  43743  hbtlem4  43745  hbtlem5  43747  hbtlem6  43748  hbt  43749  ply1sclrmsm  49049  ply1mulgsumlem4  49054  ply1mulgsum  49055  linply1  49058