Theorem ply1ring 22190

Description: Univariate polynomials form a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1ring.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1ring	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

Proof of Theorem ply1ring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1ring.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3	1, 2	ply1bas 22137	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
4		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
5	1, 4, 2	ply1subrg 22140	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
6	3, 5	eqeltrrid 2830	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
7	1, 4	ply1val 22136	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
8	7	subrgring 20525	. 2 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)) → 𝑃 ∈ Ring)
9	6, 8	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  1_oc1o 8480  Basecbs 17183  Ringcrg 20185  SubRingcsubrg 20518   mPoly cmpl 21856  PwSer₁cps1 22117  Poly₁cpl1 22119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-hash 14326  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-hom 17260  df-cco 17261  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-prds 17432  df-pws 17434  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-subrng 20495  df-subrg 20520  df-psr 21859  df-mpl 21861  df-opsr 21863  df-psr1 22122  df-ply1 22124

This theorem is referenced by:  ply1ascl0  22197  ply1ascl1  22198  coe1z  22207  coe1add  22208  coe1subfv  22210  ply1moncl  22215  coe1pwmul  22223  ply1sclf  22229  ply1scl0  22234  ply1scl0OLD  22235  ply1scl1  22237  ply1scl1OLD  22238  ply1coefsupp  22241  ply1coe  22242  cply1coe0bi  22246  coe1fzgsumdlem  22247  gsumsmonply1  22251  gsummoncoe1  22252  lply1binom  22254  lply1binomsc  22255  evls1sca  22267  evls1gsumadd  22268  evl1expd  22289  evl1gsumdlem  22300  evl1scvarpw  22307  evl1scvarpwval  22308  evl1gsummon  22309  evls1fpws  22313  evls1addd  22315  evls1muld  22316  rhmply1mon  22333  pmatring  22638  pmatlmod  22639  pmat0op  22641  pmat1op  22642  pmat1ovd  22643  1pmatscmul  22648  cpmatacl  22662  cpmatinvcl  22663  cpmatmcllem  22664  cpmatmcl  22665  mat2pmatbas  22672  mat2pmatghm  22676  mat2pmatmul  22677  mat2pmat1  22678  mat2pmatmhm  22679  mat2pmatrhm  22680  mat2pmatlin  22681  mat2pmatscmxcl  22686  m2pmfzgsumcl  22694  decpmatmullem  22717  pmatcollpw1  22722  pmatcollpw2lem  22723  pmatcollpw2  22724  monmatcollpw  22725  pmatcollpwlem  22726  pmatcollpw  22727  pmatcollpwfi  22728  pmatcollpw3fi1lem1  22732  pmatcollpwscmatlem1  22735  pmatcollpwscmatlem2  22736  pm2mpcl  22743  idpm2idmp  22747  mply1topmatcllem  22749  mply1topmatcl  22751  mp2pm2mplem2  22753  mp2pm2mplem4  22755  mp2pm2mp  22757  pm2mpghm  22762  pm2mpmhmlem2  22765  pm2mpmhm  22766  pm2mprhm  22767  monmat2matmon  22770  pm2mp  22771  chmatcl  22774  chmatval  22775  chpmat0d  22780  chpmat1dlem  22781  chpmat1d  22782  chpdmatlem0  22783  chpdmatlem2  22785  chpdmatlem3  22786  chpscmat  22788  chpscmatgsumbin  22790  chpscmatgsummon  22791  chp0mat  22792  chpidmat  22793  chmaidscmat  22794  chfacfscmulcl  22803  chfacfscmul0  22804  cpmadugsumlemB  22820  cpmadugsumlemC  22821  cpmadugsumlemF  22822  deg1addle2  26082  deg1add  26083  deg1suble  26087  deg1sub  26088  deg1sublt  26090  deg1mul2  26094  deg1mul3  26096  deg1mul3le  26097  deg1pw  26101  ply1nz  26102  ply1domn  26104  ply1divmo  26116  ply1divex  26117  uc1pmon1p  26132  r1pcl  26139  r1pid  26141  dvdsq1p  26142  dvdsr1p  26143  ply1remlem  26144  ply1rem  26145  idomrootle  26152  ig1peu  26154  ig1pval2  26156  ig1pdvds  26159  ig1prsp  26160  ply1lpir  26161  plypf1  26191  lgsqrlem2  27325  lgsqrlem3  27326  lgsqrlem4  27327  evls1subd  33383  ply1unit  33386  m1pmeq  33392  ply1degltel  33396  ply1degleel  33397  ply1degltlss  33398  gsummoncoe1fzo  33399  ply1gsumz  33400  deg1addlt  33401  ig1pnunit  33402  q1pdir  33404  q1pvsca  33405  r1pvsca  33406  r1p0  33407  r1pcyc  33408  r1padd1  33409  r1pid2  33410  r1plmhm  33411  r1pquslmic  33412  ply1degltdimlem  33451  ply1degltdim  33452  ply1annnr  33505  irngnminplynz  33513  minplym1p  33514  irredminply  33515  algextdeglem6  33521  algextdeglem8  33523  aks6d1c1p6  41717  aks6d1c6lem1  41773  aks6d1c6lem2  41774  hbtlem2  42690  hbtlem4  42692  hbtlem5  42694  hbtlem6  42695  hbt  42696  ply1sclrmsm  47637  ply1mulgsumlem4  47643  ply1mulgsum  47644  linply1  47647