Theorem ply1ring 22407

Description: Univariate polynomials form a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1ring.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1ring	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

Proof of Theorem ply1ring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1ring.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3	1, 2	ply1bas 22355	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
5	1, 4, 2	ply1subrg 22357	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
6	3, 5	eqeltrrid 2868	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
7	1, 4	ply1val 22354	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
8	7	subrgring 20673	. 2 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)) → 𝑃 ∈ Ring)
9	6, 8	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1_oc1o 8442  Basecbs 17264  Ringcrg 20310  SubRingcsubrg 20668   mPoly cmpl 22056  PwSer₁cps1 22335  Poly₁cpl1 22337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-prds 17495  df-pws 17497  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-mulg 19129  df-subg 19184  df-ghm 19279  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-subrng 20645  df-subrg 20669  df-psr 22059  df-mpl 22061  df-opsr 22063  df-psr1 22340  df-ply1 22342

This theorem is referenced by:  ply1ascl0  22414  ply1ascl1  22415  coe1z  22424  coe1add  22425  coe1subfv  22427  ply1moncl  22432  coe1pwmul  22440  ply1sclf  22446  ply1scl0  22451  ply1scl1  22453  ply1coefsupp  22457  ply1coe  22458  cply1coe0bi  22462  coe1fzgsumdlem  22463  gsumsmonply1  22467  gsummoncoe1  22468  lply1binom  22470  lply1binomsc  22471  evls1sca  22483  evls1gsumadd  22484  evl1expd  22505  evl1gsumdlem  22516  evl1scvarpw  22523  evl1scvarpwval  22524  evl1gsummon  22525  evls1fpws  22529  evls1addd  22531  evls1muld  22532  rhmply1mon  22546  pmatring  22849  pmatlmod  22850  pmat0op  22852  pmat1op  22853  pmat1ovd  22854  1pmatscmul  22859  cpmatacl  22873  cpmatinvcl  22874  cpmatmcllem  22875  cpmatmcl  22876  mat2pmatbas  22883  mat2pmatghm  22887  mat2pmatmul  22888  mat2pmat1  22889  mat2pmatmhm  22890  mat2pmatrhm  22891  mat2pmatlin  22892  mat2pmatscmxcl  22897  m2pmfzgsumcl  22905  decpmatmullem  22928  pmatcollpw1  22933  pmatcollpw2lem  22934  pmatcollpw2  22935  monmatcollpw  22936  pmatcollpwlem  22937  pmatcollpw  22938  pmatcollpwfi  22939  pmatcollpw3fi1lem1  22943  pmatcollpwscmatlem1  22946  pmatcollpwscmatlem2  22947  pm2mpcl  22954  idpm2idmp  22958  mply1topmatcllem  22960  mply1topmatcl  22962  mp2pm2mplem2  22964  mp2pm2mplem4  22966  mp2pm2mp  22968  pm2mpghm  22973  pm2mpmhmlem2  22976  pm2mpmhm  22977  pm2mprhm  22978  monmat2matmon  22981  pm2mp  22982  chmatcl  22985  chmatval  22986  chpmat0d  22991  chpmat1dlem  22992  chpmat1d  22993  chpdmatlem0  22994  chpdmatlem2  22996  chpdmatlem3  22997  chpscmat  22999  chpscmatgsumbin  23001  chpscmatgsummon  23002  chp0mat  23003  chpidmat  23004  chmaidscmat  23005  chfacfscmulcl  23014  chfacfscmul0  23015  cpmadugsumlemB  23031  cpmadugsumlemC  23032  cpmadugsumlemF  23033  deg1addle2  26259  deg1add  26260  deg1suble  26264  deg1sub  26265  deg1sublt  26267  deg1mul2  26271  deg1mul3  26273  deg1mul3le  26274  deg1pw  26278  ply1nz  26279  ply1domn  26281  ply1divmo  26293  ply1divex  26294  uc1pmon1p  26309  r1pcl  26316  r1pid  26318  dvdsq1p  26320  dvdsr1p  26321  ply1remlem  26322  ply1rem  26323  idomrootle  26330  ig1peu  26332  ig1pval2  26334  ig1pdvds  26337  ig1prsp  26338  ply1lpir  26339  plypf1  26369  lgsqrlem2  27511  lgsqrlem3  27512  lgsqrlem4  27513  ressasclcl  33861  evls1subd  33862  ply1unit  33865  evls1monply1  33869  m1pmeq  33875  ply1coedeg  33879  ply1degltel  33884  ply1degleel  33885  ply1degltlss  33886  gsummoncoe1fzo  33887  ply1gsumz  33889  deg1addlt  33890  ig1pnunit  33891  q1pdir  33893  q1pvsca  33894  r1pvsca  33895  r1p0  33896  r1pcyc  33897  r1padd1  33898  r1plmhm  33899  r1pquslmic  33900  selvply1rhmlem4  33913  selvply1rhm  33915  vietadeg1  33968  ply1degltdimlem  34012  ply1degltdim  34013  extdgfialglem2  34083  ply1annnr  34093  irngnminplynz  34102  minplym1p  34103  minplynzm1p  34104  irredminply  34106  algextdeglem6  34112  algextdeglem8  34114  rtelextdg2lem  34116  2sqr3minply  34170  cos9thpiminplylem6  34177  cos9thpiminply  34178  ply1divalg3  36134  aks6d1c1p6  42901  aks6d1c6lem1  42957  aks6d1c6lem2  42958  hbtlem2  43871  hbtlem4  43873  hbtlem5  43875  hbtlem6  43876  hbt  43877  ply1sclrmsm  49184  ply1mulgsumlem4  49189  ply1mulgsum  49190  linply1  49193