Theorem ply1ring 22265

Description: Univariate polynomials form a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1ring.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1ring	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

Proof of Theorem ply1ring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1ring.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3	1, 2	ply1bas 22212	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
4		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
5	1, 4, 2	ply1subrg 22215	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
6	3, 5	eqeltrrid 2844	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
7	1, 4	ply1val 22211	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
8	7	subrgring 20591	. 2 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)) → 𝑃 ∈ Ring)
9	6, 8	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  1_oc1o 8498  Basecbs 17245  Ringcrg 20251  SubRingcsubrg 20586   mPoly cmpl 21944  PwSer₁cps1 22192  Poly₁cpl1 22194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-psr 21947  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-psr1 22197  df-ply1 22199

This theorem is referenced by:  ply1ascl0  22272  ply1ascl1  22273  coe1z  22282  coe1add  22283  coe1subfv  22285  ply1moncl  22290  coe1pwmul  22298  ply1sclf  22304  ply1scl0  22309  ply1scl0OLD  22310  ply1scl1  22312  ply1scl1OLD  22313  ply1coefsupp  22317  ply1coe  22318  cply1coe0bi  22322  coe1fzgsumdlem  22323  gsumsmonply1  22327  gsummoncoe1  22328  lply1binom  22330  lply1binomsc  22331  evls1sca  22343  evls1gsumadd  22344  evl1expd  22365  evl1gsumdlem  22376  evl1scvarpw  22383  evl1scvarpwval  22384  evl1gsummon  22385  evls1fpws  22389  evls1addd  22391  evls1muld  22392  rhmply1mon  22409  pmatring  22714  pmatlmod  22715  pmat0op  22717  pmat1op  22718  pmat1ovd  22719  1pmatscmul  22724  cpmatacl  22738  cpmatinvcl  22739  cpmatmcllem  22740  cpmatmcl  22741  mat2pmatbas  22748  mat2pmatghm  22752  mat2pmatmul  22753  mat2pmat1  22754  mat2pmatmhm  22755  mat2pmatrhm  22756  mat2pmatlin  22757  mat2pmatscmxcl  22762  m2pmfzgsumcl  22770  decpmatmullem  22793  pmatcollpw1  22798  pmatcollpw2lem  22799  pmatcollpw2  22800  monmatcollpw  22801  pmatcollpwlem  22802  pmatcollpw  22803  pmatcollpwfi  22804  pmatcollpw3fi1lem1  22808  pmatcollpwscmatlem1  22811  pmatcollpwscmatlem2  22812  pm2mpcl  22819  idpm2idmp  22823  mply1topmatcllem  22825  mply1topmatcl  22827  mp2pm2mplem2  22829  mp2pm2mplem4  22831  mp2pm2mp  22833  pm2mpghm  22838  pm2mpmhmlem2  22841  pm2mpmhm  22842  pm2mprhm  22843  monmat2matmon  22846  pm2mp  22847  chmatcl  22850  chmatval  22851  chpmat0d  22856  chpmat1dlem  22857  chpmat1d  22858  chpdmatlem0  22859  chpdmatlem2  22861  chpdmatlem3  22862  chpscmat  22864  chpscmatgsumbin  22866  chpscmatgsummon  22867  chp0mat  22868  chpidmat  22869  chmaidscmat  22870  chfacfscmulcl  22879  chfacfscmul0  22880  cpmadugsumlemB  22896  cpmadugsumlemC  22897  cpmadugsumlemF  22898  deg1addle2  26156  deg1add  26157  deg1suble  26161  deg1sub  26162  deg1sublt  26164  deg1mul2  26168  deg1mul3  26170  deg1mul3le  26171  deg1pw  26175  ply1nz  26176  ply1domn  26178  ply1divmo  26190  ply1divex  26191  uc1pmon1p  26206  r1pcl  26213  r1pid  26215  dvdsq1p  26217  dvdsr1p  26218  ply1remlem  26219  ply1rem  26220  idomrootle  26227  ig1peu  26229  ig1pval2  26231  ig1pdvds  26234  ig1prsp  26235  ply1lpir  26236  plypf1  26266  lgsqrlem2  27406  lgsqrlem3  27407  lgsqrlem4  27408  ressasclcl  33576  evls1subd  33577  ply1unit  33580  m1pmeq  33588  ply1degltel  33595  ply1degleel  33596  ply1degltlss  33597  gsummoncoe1fzo  33598  ply1gsumz  33599  deg1addlt  33600  ig1pnunit  33601  q1pdir  33603  q1pvsca  33604  r1pvsca  33605  r1p0  33606  r1pcyc  33607  r1padd1  33608  r1pid2OLD  33609  r1plmhm  33610  r1pquslmic  33611  ply1degltdimlem  33650  ply1degltdim  33651  ply1annnr  33711  irngnminplynz  33720  minplym1p  33721  irredminply  33722  algextdeglem6  33728  algextdeglem8  33730  rtelextdg2lem  33732  2sqr3minply  33753  ply1divalg3  35627  aks6d1c1p6  42096  aks6d1c6lem1  42152  aks6d1c6lem2  42153  hbtlem2  43113  hbtlem4  43115  hbtlem5  43117  hbtlem6  43118  hbt  43119  ply1sclrmsm  48229  ply1mulgsumlem4  48235  ply1mulgsum  48236  linply1  48239