Theorem ply1ring 22188

Description: Univariate polynomials form a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1ring.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1ring	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

Proof of Theorem ply1ring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1ring.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3	1, 2	ply1bas 22135	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
5	1, 4, 2	ply1subrg 22138	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
6	3, 5	eqeltrrid 2840	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
7	1, 4	ply1val 22134	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
8	7	subrgring 20539	. 2 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)) → 𝑃 ∈ Ring)
9	6, 8	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1_oc1o 8478  Basecbs 17233  Ringcrg 20198  SubRingcsubrg 20534   mPoly cmpl 21871  PwSer₁cps1 22115  Poly₁cpl1 22117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-sup 9459  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14354  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-hom 17300  df-cco 17301  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-prds 17466  df-pws 17468  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-ghm 19201  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-subrng 20511  df-subrg 20535  df-psr 21874  df-mpl 21876  df-opsr 21878  df-psr1 22120  df-ply1 22122

This theorem is referenced by:  ply1ascl0  22195  ply1ascl1  22196  coe1z  22205  coe1add  22206  coe1subfv  22208  ply1moncl  22213  coe1pwmul  22221  ply1sclf  22227  ply1scl0  22232  ply1scl0OLD  22233  ply1scl1  22235  ply1scl1OLD  22236  ply1coefsupp  22240  ply1coe  22241  cply1coe0bi  22245  coe1fzgsumdlem  22246  gsumsmonply1  22250  gsummoncoe1  22251  lply1binom  22253  lply1binomsc  22254  evls1sca  22266  evls1gsumadd  22267  evl1expd  22288  evl1gsumdlem  22299  evl1scvarpw  22306  evl1scvarpwval  22307  evl1gsummon  22308  evls1fpws  22312  evls1addd  22314  evls1muld  22315  rhmply1mon  22332  pmatring  22635  pmatlmod  22636  pmat0op  22638  pmat1op  22639  pmat1ovd  22640  1pmatscmul  22645  cpmatacl  22659  cpmatinvcl  22660  cpmatmcllem  22661  cpmatmcl  22662  mat2pmatbas  22669  mat2pmatghm  22673  mat2pmatmul  22674  mat2pmat1  22675  mat2pmatmhm  22676  mat2pmatrhm  22677  mat2pmatlin  22678  mat2pmatscmxcl  22683  m2pmfzgsumcl  22691  decpmatmullem  22714  pmatcollpw1  22719  pmatcollpw2lem  22720  pmatcollpw2  22721  monmatcollpw  22722  pmatcollpwlem  22723  pmatcollpw  22724  pmatcollpwfi  22725  pmatcollpw3fi1lem1  22729  pmatcollpwscmatlem1  22732  pmatcollpwscmatlem2  22733  pm2mpcl  22740  idpm2idmp  22744  mply1topmatcllem  22746  mply1topmatcl  22748  mp2pm2mplem2  22750  mp2pm2mplem4  22752  mp2pm2mp  22754  pm2mpghm  22759  pm2mpmhmlem2  22762  pm2mpmhm  22763  pm2mprhm  22764  monmat2matmon  22767  pm2mp  22768  chmatcl  22771  chmatval  22772  chpmat0d  22777  chpmat1dlem  22778  chpmat1d  22779  chpdmatlem0  22780  chpdmatlem2  22782  chpdmatlem3  22783  chpscmat  22785  chpscmatgsumbin  22787  chpscmatgsummon  22788  chp0mat  22789  chpidmat  22790  chmaidscmat  22791  chfacfscmulcl  22800  chfacfscmul0  22801  cpmadugsumlemB  22817  cpmadugsumlemC  22818  cpmadugsumlemF  22819  deg1addle2  26064  deg1add  26065  deg1suble  26069  deg1sub  26070  deg1sublt  26072  deg1mul2  26076  deg1mul3  26078  deg1mul3le  26079  deg1pw  26083  ply1nz  26084  ply1domn  26086  ply1divmo  26098  ply1divex  26099  uc1pmon1p  26114  r1pcl  26121  r1pid  26123  dvdsq1p  26125  dvdsr1p  26126  ply1remlem  26127  ply1rem  26128  idomrootle  26135  ig1peu  26137  ig1pval2  26139  ig1pdvds  26142  ig1prsp  26143  ply1lpir  26144  plypf1  26174  lgsqrlem2  27315  lgsqrlem3  27316  lgsqrlem4  27317  ressasclcl  33589  evls1subd  33590  ply1unit  33593  m1pmeq  33601  ply1degltel  33609  ply1degleel  33610  ply1degltlss  33611  gsummoncoe1fzo  33612  ply1gsumz  33613  deg1addlt  33614  ig1pnunit  33615  q1pdir  33617  q1pvsca  33618  r1pvsca  33619  r1p0  33620  r1pcyc  33621  r1padd1  33622  r1pid2OLD  33623  r1plmhm  33624  r1pquslmic  33625  ply1degltdimlem  33667  ply1degltdim  33668  ply1annnr  33742  irngnminplynz  33751  minplym1p  33752  minplynzm1p  33753  irredminply  33755  algextdeglem6  33761  algextdeglem8  33763  rtelextdg2lem  33765  2sqr3minply  33819  cos9thpiminplylem6  33826  cos9thpiminply  33827  ply1divalg3  35669  aks6d1c1p6  42132  aks6d1c6lem1  42188  aks6d1c6lem2  42189  hbtlem2  43123  hbtlem4  43125  hbtlem5  43127  hbtlem6  43128  hbt  43129  ply1sclrmsm  48339  ply1mulgsumlem4  48345  ply1mulgsum  48346  linply1  48349