Theorem ply1ring 22181

Description: Univariate polynomials form a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1ring.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1ring	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

Proof of Theorem ply1ring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1ring.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3	1, 2	ply1bas 22128	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
4		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
5	1, 4, 2	ply1subrg 22131	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
6	3, 5	eqeltrrid 2839	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
7	1, 4	ply1val 22127	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
8	7	subrgring 20532	. 2 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)) → 𝑃 ∈ Ring)
9	6, 8	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  1_oc1o 8471  Basecbs 17226  Ringcrg 20191  SubRingcsubrg 20527   mPoly cmpl 21864  PwSer₁cps1 22108  Poly₁cpl1 22110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8717  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9372  df-sup 9452  df-oi 9522  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14018  df-hash 14347  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-hom 17293  df-cco 17294  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-prds 17459  df-pws 17461  df-mre 17596  df-mrc 17597  df-acs 17599  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-mhm 18759  df-submnd 18760  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-mulg 19049  df-subg 19104  df-ghm 19194  df-cntz 19298  df-cmn 19761  df-abl 19762  df-mgp 20099  df-rng 20111  df-ur 20140  df-ring 20193  df-subrng 20504  df-subrg 20528  df-psr 21867  df-mpl 21869  df-opsr 21871  df-psr1 22113  df-ply1 22115

This theorem is referenced by:  ply1ascl0  22188  ply1ascl1  22189  coe1z  22198  coe1add  22199  coe1subfv  22201  ply1moncl  22206  coe1pwmul  22214  ply1sclf  22220  ply1scl0  22225  ply1scl0OLD  22226  ply1scl1  22228  ply1scl1OLD  22229  ply1coefsupp  22233  ply1coe  22234  cply1coe0bi  22238  coe1fzgsumdlem  22239  gsumsmonply1  22243  gsummoncoe1  22244  lply1binom  22246  lply1binomsc  22247  evls1sca  22259  evls1gsumadd  22260  evl1expd  22281  evl1gsumdlem  22292  evl1scvarpw  22299  evl1scvarpwval  22300  evl1gsummon  22301  evls1fpws  22305  evls1addd  22307  evls1muld  22308  rhmply1mon  22325  pmatring  22628  pmatlmod  22629  pmat0op  22631  pmat1op  22632  pmat1ovd  22633  1pmatscmul  22638  cpmatacl  22652  cpmatinvcl  22653  cpmatmcllem  22654  cpmatmcl  22655  mat2pmatbas  22662  mat2pmatghm  22666  mat2pmatmul  22667  mat2pmat1  22668  mat2pmatmhm  22669  mat2pmatrhm  22670  mat2pmatlin  22671  mat2pmatscmxcl  22676  m2pmfzgsumcl  22684  decpmatmullem  22707  pmatcollpw1  22712  pmatcollpw2lem  22713  pmatcollpw2  22714  monmatcollpw  22715  pmatcollpwlem  22716  pmatcollpw  22717  pmatcollpwfi  22718  pmatcollpw3fi1lem1  22722  pmatcollpwscmatlem1  22725  pmatcollpwscmatlem2  22726  pm2mpcl  22733  idpm2idmp  22737  mply1topmatcllem  22739  mply1topmatcl  22741  mp2pm2mplem2  22743  mp2pm2mplem4  22745  mp2pm2mp  22747  pm2mpghm  22752  pm2mpmhmlem2  22755  pm2mpmhm  22756  pm2mprhm  22757  monmat2matmon  22760  pm2mp  22761  chmatcl  22764  chmatval  22765  chpmat0d  22770  chpmat1dlem  22771  chpmat1d  22772  chpdmatlem0  22773  chpdmatlem2  22775  chpdmatlem3  22776  chpscmat  22778  chpscmatgsumbin  22780  chpscmatgsummon  22781  chp0mat  22782  chpidmat  22783  chmaidscmat  22784  chfacfscmulcl  22793  chfacfscmul0  22794  cpmadugsumlemB  22810  cpmadugsumlemC  22811  cpmadugsumlemF  22812  deg1addle2  26057  deg1add  26058  deg1suble  26062  deg1sub  26063  deg1sublt  26065  deg1mul2  26069  deg1mul3  26071  deg1mul3le  26072  deg1pw  26076  ply1nz  26077  ply1domn  26079  ply1divmo  26091  ply1divex  26092  uc1pmon1p  26107  r1pcl  26114  r1pid  26116  dvdsq1p  26118  dvdsr1p  26119  ply1remlem  26120  ply1rem  26121  idomrootle  26128  ig1peu  26130  ig1pval2  26132  ig1pdvds  26135  ig1prsp  26136  ply1lpir  26137  plypf1  26167  lgsqrlem2  27308  lgsqrlem3  27309  lgsqrlem4  27310  ressasclcl  33530  evls1subd  33531  ply1unit  33534  m1pmeq  33542  ply1degltel  33550  ply1degleel  33551  ply1degltlss  33552  gsummoncoe1fzo  33553  ply1gsumz  33554  deg1addlt  33555  ig1pnunit  33556  q1pdir  33558  q1pvsca  33559  r1pvsca  33560  r1p0  33561  r1pcyc  33562  r1padd1  33563  r1pid2OLD  33564  r1plmhm  33565  r1pquslmic  33566  ply1degltdimlem  33608  ply1degltdim  33609  ply1annnr  33683  irngnminplynz  33692  minplym1p  33693  minplynzm1p  33694  irredminply  33696  algextdeglem6  33702  algextdeglem8  33704  rtelextdg2lem  33706  2sqr3minply  33760  cos9thpiminplylem6  33767  cos9thpiminply  33768  ply1divalg3  35610  aks6d1c1p6  42073  aks6d1c6lem1  42129  aks6d1c6lem2  42130  hbtlem2  43095  hbtlem4  43097  hbtlem5  43099  hbtlem6  43100  hbt  43101  ply1sclrmsm  48307  ply1mulgsumlem4  48313  ply1mulgsum  48314  linply1  48317