MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1ring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1ring 20351
Description: Univariate polynomials form a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1ring.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1ring (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

Proof of Theorem ply1ring
StepHypRef Expression
1 ply1ring.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 eqid 2826 . . . 4 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
3 eqid 2826 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
41, 2, 3ply1bas 20298 . . 3 (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
51, 2, 3ply1subrg 20300 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1𝑅)))
64, 5eqeltrrid 2923 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1𝑅)))
71, 2ply1val 20297 . . 3 𝑃 = ((PwSer1𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
87subrgring 19474 . 2 ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1𝑅)) → 𝑃 ∈ Ring)
96, 8syl 17 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6354  (class class class)co 7150  1oc1o 8091  Basecbs 16478  Ringcrg 19233  SubRingcsubrg 19467   mPoly cmpl 20068  PwSer1cps1 20278  Poly1cpl1 20280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13686  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-tset 16579  df-ple 16580  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18051  df-minusg 18052  df-mulg 18170  df-subg 18221  df-ghm 18301  df-cntz 18392  df-cmn 18844  df-abl 18845  df-mgp 19176  df-ur 19188  df-ring 19235  df-subrg 19469  df-psr 20071  df-mpl 20073  df-opsr 20075  df-psr1 20283  df-ply1 20285
This theorem is referenced by:  coe1z  20366  coe1add  20367  coe1subfv  20369  ply1moncl  20374  coe1pwmul  20382  ply1sclf  20388  ply1scl0  20393  ply1scl1  20395  ply1coefsupp  20398  ply1coe  20399  cply1coe0bi  20403  coe1fzgsumdlem  20404  gsumsmonply1  20406  gsummoncoe1  20407  lply1binom  20409  lply1binomsc  20410  evls1sca  20421  evls1gsumadd  20422  evl1expd  20443  evl1gsumdlem  20454  evl1scvarpw  20461  evl1scvarpwval  20462  evl1gsummon  20463  pmatring  21236  pmatlmod  21237  pmat0op  21238  pmat1op  21239  pmat1ovd  21240  1pmatscmul  21245  cpmatacl  21259  cpmatinvcl  21260  cpmatmcllem  21261  cpmatmcl  21262  mat2pmatbas  21269  mat2pmatghm  21273  mat2pmatmul  21274  mat2pmat1  21275  mat2pmatmhm  21276  mat2pmatrhm  21277  mat2pmatlin  21278  mat2pmatscmxcl  21283  m2pmfzgsumcl  21291  decpmatmullem  21314  pmatcollpw1  21319  pmatcollpw2lem  21320  pmatcollpw2  21321  monmatcollpw  21322  pmatcollpwlem  21323  pmatcollpw  21324  pmatcollpwfi  21325  pmatcollpw3fi1lem1  21329  pmatcollpwscmatlem1  21332  pmatcollpwscmatlem2  21333  pm2mpcl  21340  idpm2idmp  21344  mply1topmatcllem  21346  mply1topmatcl  21348  mp2pm2mplem2  21350  mp2pm2mplem4  21352  mp2pm2mp  21354  pm2mpghm  21359  pm2mpmhmlem2  21362  pm2mpmhm  21363  pm2mprhm  21364  pm2mprngiso  21365  monmat2matmon  21367  pm2mp  21368  chmatcl  21371  chmatval  21372  chpmat0d  21377  chpmat1dlem  21378  chpmat1d  21379  chpdmatlem0  21380  chpdmatlem2  21382  chpdmatlem3  21383  chpscmat  21385  chpscmatgsumbin  21387  chpscmatgsummon  21388  chp0mat  21389  chpidmat  21390  chmaidscmat  21391  chfacfscmulcl  21400  chfacfscmul0  21401  cpmadugsumlemB  21417  cpmadugsumlemC  21418  cpmadugsumlemF  21419  deg1addle2  24630  deg1add  24631  deg1suble  24635  deg1sub  24636  deg1sublt  24638  deg1mul2  24642  deg1mul3  24643  deg1mul3le  24644  deg1pw  24648  ply1nz  24649  ply1domn  24651  ply1divmo  24663  ply1divex  24664  uc1pmon1p  24679  r1pcl  24685  r1pid  24687  dvdsq1p  24688  dvdsr1p  24689  ply1remlem  24690  ply1rem  24691  ig1peu  24699  ig1pval2  24701  ig1pdvds  24704  ig1prsp  24705  ply1lpir  24706  plypf1  24736  lgsqrlem2  25856  lgsqrlem3  25857  lgsqrlem4  25858  hbtlem2  39608  hbtlem4  39610  hbtlem5  39612  hbtlem6  39613  hbt  39614  idomrootle  39679  ply1sclrmsm  44339  ply1mulgsumlem4  44345  ply1mulgsum  44346  linply1  44349
  Copyright terms: Public domain W3C validator