Theorem ply1ring 21329

Description: Univariate polynomials form a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1ring.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1ring	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

Proof of Theorem ply1ring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1ring.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4	1, 2, 3	ply1bas 21276	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
5	1, 2, 3	ply1subrg 21278	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
6	4, 5	eqeltrrid 2844	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
7	1, 2	ply1val 21275	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
8	7	subrgring 19942	. 2 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)) → 𝑃 ∈ Ring)
9	6, 8	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1_oc1o 8260  Basecbs 16840  Ringcrg 19698  SubRingcsubrg 19935   mPoly cmpl 21019  PwSer₁cps1 21256  Poly₁cpl1 21258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-tset 16907  df-ple 16908  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-subrg 19937  df-psr 21022  df-mpl 21024  df-opsr 21026  df-psr1 21261  df-ply1 21263

This theorem is referenced by:  coe1z  21344  coe1add  21345  coe1subfv  21347  ply1moncl  21352  coe1pwmul  21360  ply1sclf  21366  ply1scl0  21371  ply1scl1  21373  ply1coefsupp  21376  ply1coe  21377  cply1coe0bi  21381  coe1fzgsumdlem  21382  gsumsmonply1  21384  gsummoncoe1  21385  lply1binom  21387  lply1binomsc  21388  evls1sca  21399  evls1gsumadd  21400  evl1expd  21421  evl1gsumdlem  21432  evl1scvarpw  21439  evl1scvarpwval  21440  evl1gsummon  21441  pmatring  21749  pmatlmod  21750  pmat0op  21752  pmat1op  21753  pmat1ovd  21754  1pmatscmul  21759  cpmatacl  21773  cpmatinvcl  21774  cpmatmcllem  21775  cpmatmcl  21776  mat2pmatbas  21783  mat2pmatghm  21787  mat2pmatmul  21788  mat2pmat1  21789  mat2pmatmhm  21790  mat2pmatrhm  21791  mat2pmatlin  21792  mat2pmatscmxcl  21797  m2pmfzgsumcl  21805  decpmatmullem  21828  pmatcollpw1  21833  pmatcollpw2lem  21834  pmatcollpw2  21835  monmatcollpw  21836  pmatcollpwlem  21837  pmatcollpw  21838  pmatcollpwfi  21839  pmatcollpw3fi1lem1  21843  pmatcollpwscmatlem1  21846  pmatcollpwscmatlem2  21847  pm2mpcl  21854  idpm2idmp  21858  mply1topmatcllem  21860  mply1topmatcl  21862  mp2pm2mplem2  21864  mp2pm2mplem4  21866  mp2pm2mp  21868  pm2mpghm  21873  pm2mpmhmlem2  21876  pm2mpmhm  21877  pm2mprhm  21878  pm2mprngiso  21879  monmat2matmon  21881  pm2mp  21882  chmatcl  21885  chmatval  21886  chpmat0d  21891  chpmat1dlem  21892  chpmat1d  21893  chpdmatlem0  21894  chpdmatlem2  21896  chpdmatlem3  21897  chpscmat  21899  chpscmatgsumbin  21901  chpscmatgsummon  21902  chp0mat  21903  chpidmat  21904  chmaidscmat  21905  chfacfscmulcl  21914  chfacfscmul0  21915  cpmadugsumlemB  21931  cpmadugsumlemC  21932  cpmadugsumlemF  21933  deg1addle2  25172  deg1add  25173  deg1suble  25177  deg1sub  25178  deg1sublt  25180  deg1mul2  25184  deg1mul3  25185  deg1mul3le  25186  deg1pw  25190  ply1nz  25191  ply1domn  25193  ply1divmo  25205  ply1divex  25206  uc1pmon1p  25221  r1pcl  25227  r1pid  25229  dvdsq1p  25230  dvdsr1p  25231  ply1remlem  25232  ply1rem  25233  ig1peu  25241  ig1pval2  25243  ig1pdvds  25246  ig1prsp  25247  ply1lpir  25248  plypf1  25278  lgsqrlem2  26400  lgsqrlem3  26401  lgsqrlem4  26402  hbtlem2  40865  hbtlem4  40867  hbtlem5  40869  hbtlem6  40870  hbt  40871  idomrootle  40936  ply1sclrmsm  45612  ply1mulgsumlem4  45618  ply1mulgsum  45619  linply1  45622