Theorem ply1ring 22565

Description: Univariate polynomials form a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1ring.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1ring	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

Proof of Theorem ply1ring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1ring.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3	1, 2	ply1bas 22513	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
5	1, 4, 2	ply1subrg 22515	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
6	3, 5	eqeltrrid 2866	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
7	1, 4	ply1val 22512	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
8	7	subrgring 20826	. 2 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)) → 𝑃 ∈ Ring)
9	6, 8	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1_oc1o 8469  Basecbs 17387  Ringcrg 20459  SubRingcsubrg 20821   mPoly cmpl 22214  PwSer₁cps1 22493  Poly₁cpl1 22495

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-psr 22217  df-mpl 22219  df-opsr 22221  df-psr1 22498  df-ply1 22500

This theorem is used by:  ply1ascl0  22572  ply1ascl1  22573  coe1z  22582  coe1add  22583  coe1subfv  22585  ply1moncl  22590  coe1pwmul  22598  ply1sclf  22604  ply1scl0  22609  ply1scl1  22611  ply1coefsupp  22615  ply1coe  22616  cply1coe0bi  22620  coe1fzgsumdlem  22621  gsumsmonply1  22625  gsummoncoe1  22626  lply1binom  22628  lply1binomsc  22629  evls1sca  22641  evls1gsumadd  22642  evl1expd  22663  evl1gsumdlem  22674  evl1scvarpw  22681  evl1scvarpwval  22682  evl1gsummon  22683  evls1fpws  22687  evls1addd  22689  evls1muld  22690  rhmply1mon  22704  pmatring  23010  pmatlmod  23011  pmat0op  23013  pmat1op  23014  pmat1ovd  23015  1pmatscmul  23020  cpmatacl  23034  cpmatinvcl  23035  cpmatmcllem  23036  cpmatmcl  23037  mat2pmatbas  23044  mat2pmatghm  23048  mat2pmatmul  23049  mat2pmat1  23050  mat2pmatmhm  23051  mat2pmatrhm  23052  mat2pmatlin  23053  mat2pmatscmxcl  23058  m2pmfzgsumcl  23066  decpmatmullem  23089  pmatcollpw1  23094  pmatcollpw2lem  23095  pmatcollpw2  23096  monmatcollpw  23097  pmatcollpwlem  23098  pmatcollpw  23099  pmatcollpwfi  23100  pmatcollpw3fi1lem1  23104  pmatcollpwscmatlem1  23107  pmatcollpwscmatlem2  23108  pm2mpcl  23115  idpm2idmp  23119  mply1topmatcllem  23121  mply1topmatcl  23123  mp2pm2mplem2  23125  mp2pm2mplem4  23127  mp2pm2mp  23129  pm2mpghm  23134  pm2mpmhmlem2  23137  pm2mpmhm  23138  pm2mprhm  23139  monmat2matmon  23142  pm2mp  23143  chmatcl  23146  chmatval  23147  chpmat0d  23152  chpmat1dlem  23153  chpmat1d  23154  chpdmatlem0  23155  chpdmatlem2  23157  chpdmatlem3  23158  chpscmat  23160  chpscmatgsumbin  23162  chpscmatgsummon  23163  chp0mat  23164  chpidmat  23165  chmaidscmat  23166  chfacfscmulcl  23175  chfacfscmul0  23176  cpmadugsumlemB  23192  cpmadugsumlemC  23193  cpmadugsumlemF  23194  deg1addle2  26420  deg1add  26421  deg1suble  26425  deg1sub  26426  deg1sublt  26428  deg1mul2  26432  deg1mul3  26434  deg1mul3le  26435  deg1pw  26439  ply1nz  26440  ply1domn  26442  ply1divmo  26454  ply1divex  26455  uc1pmon1p  26470  r1pcl  26477  r1pid  26479  dvdsq1p  26481  dvdsr1p  26482  ply1remlem  26483  ply1rem  26484  idomrootle  26491  ig1peu  26493  ig1pval2  26495  ig1pdvds  26498  ig1prsp  26499  ply1lpir  26500  plypf1  26531  lgsqrlem2  27674  lgsqrlem3  27675  lgsqrlem4  27676  ressasclcl  34103  evls1subd  34104  ply1unit  34107  evls1monply1  34111  m1pmeq  34117  ply1coedeg  34121  ply1degltel  34126  ply1degleel  34127  ply1degltlss  34128  gsummoncoe1fzo  34129  ply1gsumz  34131  deg1addlt  34132  ig1pnunit  34133  q1pdir  34135  q1pvsca  34136  r1pvsca  34137  r1p0  34138  r1pcyc  34139  r1padd1  34140  r1plmhm  34141  r1pquslmic  34142  selvply1rhmlem4  34155  selvply1rhm  34157  vietadeg1  34210  ply1degltdimlem  34254  ply1degltdim  34255  extdgfialglem2  34325  ply1annnr  34335  irngnminplynz  34344  minplym1p  34345  minplynzm1p  34346  irredminply  34348  algextdeglem6  34354  algextdeglem8  34356  rtelextdg2lem  34358  2sqr3minply  34412  cos9thpiminplylem6  34419  cos9thpiminply  34420  ply1divalg3  36407  aks6d1c1p6  43164  aks6d1c6lem1  43220  aks6d1c6lem2  43221  hbtlem2  44125  hbtlem4  44127  hbtlem5  44129  hbtlem6  44130  hbt  44131  ply1sclrmsm  49495  ply1mulgsumlem4  49500  ply1mulgsum  49501  linply1  49504