Theorem evlsvarpw 22047

Description: Polynomial evaluation for subrings maps the exponentiation of a variable to the exponentiation of the evaluated variable. (Contributed by SN, 21-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsvarpw.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsvarpw.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsvarpw.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evlsvarpw.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
evlsvarpw.x	⊢ 𝑋 = ((𝐼 mVar 𝑈)‘𝑌)
evlsvarpw.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsvarpw.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))
evlsvarpw.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
evlsvarpw.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evlsvarpw.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsvarpw.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
evlsvarpw.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsvarpw.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsvarpw.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
evlsvarpw	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘𝐻)(𝑄‘𝑋)))

Proof of Theorem evlsvarpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsvarpw.q	. 2 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
2		evlsvarpw.w	. 2 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
3		evlsvarpw.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
4		evlsvarpw.e	. 2 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
5		evlsvarpw.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
6		evlsvarpw.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))
7		evlsvarpw.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
8		evlsvarpw.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
9		eqid 2725	. 2 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
10		evlsvarpw.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
11		evlsvarpw.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
12		evlsvarpw.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
13		evlsvarpw.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
14		evlsvarpw.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ((𝐼 mVar 𝑈)‘𝑌)
15		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (𝐼 mVar 𝑈) = (𝐼 mVar 𝑈)
16	5	subrgring 20517	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
17	12, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
18		evlsvarpw.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
19	2, 15, 9, 10, 17, 18	mvrcl 21941	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 mVar 𝑈)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
20	14, 19	eqeltrid 2829	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 20	evlspw 22046	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘𝐻)(𝑄‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8843  ℕ₀cn0 12502  Basecbs 17179   ↾_s cress 17208   ↑_s cpws 17427  ._gcmg 19027  mulGrpcmgp 20078  Ringcrg 20177  CRingccrg 20178  SubRingcsubrg 20510   mVar cmvr 21842   mPoly cmpl 21843   evalSub ces 22023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-ghm 19172  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-srg 20131  df-ring 20179  df-cring 20180  df-rhm 20415  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-assa 21791  df-asp 21792  df-ascl 21793  df-psr 21846  df-mvr 21847  df-mpl 21848  df-evls 22025

This theorem is referenced by: (None)