Theorem evlsvarpw 20910

Description: Polynomial evaluation for subrings maps the exponentiation of a variable to the exponentiation of the evaluated variable. (Contributed by SN, 21-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsvarpw.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsvarpw.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsvarpw.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evlsvarpw.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
evlsvarpw.x	⊢ 𝑋 = ((𝐼 mVar 𝑈)‘𝑌)
evlsvarpw.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsvarpw.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))
evlsvarpw.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
evlsvarpw.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evlsvarpw.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsvarpw.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
evlsvarpw.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsvarpw.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsvarpw.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
evlsvarpw	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘𝐻)(𝑄‘𝑋)))

Proof of Theorem evlsvarpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsvarpw.q	. 2 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
2		evlsvarpw.w	. 2 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
3		evlsvarpw.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
4		evlsvarpw.e	. 2 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
5		evlsvarpw.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
6		evlsvarpw.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))
7		evlsvarpw.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
8		evlsvarpw.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
9		eqid 2738	. 2 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
10		evlsvarpw.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
11		evlsvarpw.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
12		evlsvarpw.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
13		evlsvarpw.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
14		evlsvarpw.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ((𝐼 mVar 𝑈)‘𝑌)
15		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝐼 mVar 𝑈) = (𝐼 mVar 𝑈)
16	5	subrgring 19659	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
17	12, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
18		evlsvarpw.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
19	2, 15, 9, 10, 17, 18	mvrcl 20833	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 mVar 𝑈)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
20	14, 19	eqeltrid 2837	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 20	evlspw 20909	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘𝐻)(𝑄‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6339  (class class class)co 7172   ↑_m cmap 8439  ℕ₀cn0 11978  Basecbs 16588   ↾_s cress 16589   ↑_s cpws 16825  ._gcmg 18344  mulGrpcmgp 19360  Ringcrg 19418  CRingccrg 19419  SubRingcsubrg 19652   mVar cmvr 20720   mPoly cmpl 20721   evalSub ces 20886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-of 7427  df-ofr 7428  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-supp 7859  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-er 8322  df-map 8441  df-pm 8442  df-ixp 8510  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-fsupp 8909  df-sup 8981  df-oi 9049  df-card 9443  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-nn 11719  df-2 11781  df-3 11782  df-4 11783  df-5 11784  df-6 11785  df-7 11786  df-8 11787  df-9 11788  df-n0 11979  df-z 12065  df-dec 12182  df-uz 12327  df-fz 12984  df-fzo 13127  df-seq 13463  df-hash 13785  df-struct 16590  df-ndx 16591  df-slot 16592  df-base 16594  df-sets 16595  df-ress 16596  df-plusg 16683  df-mulr 16684  df-sca 16686  df-vsca 16687  df-ip 16688  df-tset 16689  df-ple 16690  df-ds 16692  df-hom 16694  df-cco 16695  df-0g 16820  df-gsum 16821  df-prds 16826  df-pws 16828  df-mre 16962  df-mrc 16963  df-acs 16965  df-mgm 17970  df-sgrp 18019  df-mnd 18030  df-mhm 18074  df-submnd 18075  df-grp 18224  df-minusg 18225  df-sbg 18226  df-mulg 18345  df-subg 18396  df-ghm 18476  df-cntz 18567  df-cmn 19028  df-abl 19029  df-mgp 19361  df-ur 19373  df-srg 19377  df-ring 19420  df-cring 19421  df-rnghom 19591  df-subrg 19654  df-lmod 19757  df-lss 19825  df-lsp 19865  df-assa 20671  df-asp 20672  df-ascl 20673  df-psr 20724  df-mvr 20725  df-mpl 20726  df-evls 20888

This theorem is referenced by: (None)