Theorem mpfconst 20313

Description: Constants are multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpfconst.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mpfconst.q	⊢ 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mpfconst.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mpfconst.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
mpfconst.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mpfconst.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mpfconst	⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}) ∈ 𝑄)

Proof of Theorem mpfconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
2		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) = (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))
3		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↾s 𝑅) = (𝑆 ↾s 𝑅)
4		mpfconst.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) = (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))
6		mpfconst.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
7		mpfconst.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
8		mpfconst.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
9		mpfconst.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	evlssca 20301	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}))
11		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))
12	1, 2, 3, 11, 4	evlsrhm 20300	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))))
13	6, 7, 8, 12	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))))
14		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))
15		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼)))
16	14, 15	rhmf 19477	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))))
17		ffn 6513	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
18	13, 16, 17	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
19	3	subrgring 19537	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring)
20	8, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring)
21		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) = (Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))
22	2	mplring 20231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring) → (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) ∈ Ring)
23	2	mpllmod 20230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring) → (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) ∈ LMod)
24		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))) = (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
25	5, 21, 22, 23, 24, 14	asclf 20110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring) → (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))):(Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))⟶(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
26	6, 20, 25	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))):(Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))⟶(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
27	4	subrgss 19535	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
28	3, 4	ressbas2 16554	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ⊆ 𝐵 → 𝑅 = (Base‘(𝑆 ↾s 𝑅)))
29	8, 27, 28	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘(𝑆 ↾s 𝑅)))
30		ovexd 7190	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ V)
31	2, 6, 30	mplsca 20224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝑅) = (Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
32	31	fveq2d 6673	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑆 ↾s 𝑅)) = (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))))
33	29, 32	eqtrd 2856	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))))
34	9, 33	eleqtrd 2915	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))))
35	26, 34	ffvelrnd 6851	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
36		fnfvelrn 6847	. . . 4 ⊢ ((((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) ∧ ((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))‘𝑋)) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
37	18, 35, 36	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))‘𝑋)) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
38	10, 37	eqeltrrd 2914	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
39		mpfconst.q	. 2 ⊢ 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
40	38, 39	eleqtrrdi 2924	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}) ∈ 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494   ⊆ wss 3935  {csn 4566   × cxp 5552  ran crn 5555   Fn wfn 6349  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155   ↑_m cmap 8405  Basecbs 16482   ↾_s cress 16483  Scalarcsca 16567   ↑_s cpws 16719  Ringcrg 19296  CRingccrg 19297   RingHom crh 19463  SubRingcsubrg 19530  algSccascl 20083   mPoly cmpl 20132   evalSub ces 20283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-ofr 7409  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-sup 8905  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13690  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-hom 16588  df-cco 16589  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-prds 16720  df-pws 16722  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-mhm 17955  df-submnd 17956  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-mulg 18224  df-subg 18275  df-ghm 18355  df-cntz 18446  df-cmn 18907  df-abl 18908  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-srg 19255  df-ring 19298  df-cring 19299  df-rnghom 19466  df-subrg 19532  df-lmod 19635  df-lss 19703  df-lsp 19743  df-assa 20084  df-asp 20085  df-ascl 20086  df-psr 20135  df-mvr 20136  df-mpl 20137  df-evls 20285

This theorem is referenced by:  mzpmfp  39342