Theorem mpfconst 22164

Description: Constants are multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpfconst.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mpfconst.q	⊢ 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mpfconst.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mpfconst.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
mpfconst.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mpfconst.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mpfconst	⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}) ∈ 𝑄)

Proof of Theorem mpfconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2764	. . . 4 ⊢ ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
2		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) = (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))
3		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↾s 𝑅) = (𝑆 ↾s 𝑅)
4		mpfconst.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) = (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))
6		mpfconst.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
7		mpfconst.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
8		mpfconst.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
9		mpfconst.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	evlssca 22149	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}))
11		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))
12	1, 2, 3, 11, 4	evlsrhm 22143	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))))
13	6, 7, 8, 12	syl3anc 1392	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))))
14		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))
15		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼)))
16	14, 15	rhmf 20535	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))))
17		ffn 6693	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
18	13, 16, 17	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
19	3	subrgring 20626	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring)
20	8, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring)
21		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) = (Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))
22	2	mplring 22072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring) → (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) ∈ Ring)
23	2	mpllmod 22071	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring) → (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) ∈ LMod)
24		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))) = (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
25	5, 21, 22, 23, 24, 14	asclf 21935	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring) → (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))):(Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))⟶(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
26	6, 20, 25	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))):(Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))⟶(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
27	4	subrgss 20624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
28	3, 4	ressbas2 17276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ⊆ 𝐵 → 𝑅 = (Base‘(𝑆 ↾s 𝑅)))
29	8, 27, 28	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘(𝑆 ↾s 𝑅)))
30		ovexd 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ V)
31	2, 6, 30	mplsca 22066	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝑅) = (Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
32	31	fveq2d 6873	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑆 ↾s 𝑅)) = (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))))
33	29, 32	eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))))
34	9, 33	eleqtrd 2866	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))))
35	26, 34	ffvelcdmd 7068	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
36		fnfvelrn 7063	. . . 4 ⊢ ((((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) ∧ ((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))‘𝑋)) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
37	18, 35, 36	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))‘𝑋)) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
38	10, 37	eqeltrrd 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
39		mpfconst.q	. 2 ⊢ 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
40	38, 39	eleqtrrdi 2875	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}) ∈ 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  Vcvv 3456   ⊆ wss 3906  {csn 4584   × cxp 5647  ran crn 5650   Fn wfn 6518  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398   ↑_m cmap 8810  Basecbs 17247   ↾_s cress 17268  Scalarcsca 17291   ↑_s cpws 17477  Ringcrg 20285  CRingccrg 20286   RingHom crh 20520  SubRingcsubrg 20621  algSccascl 21906   mPoly cmpl 21960   evalSub ces 22127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-ofr 7663  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8143  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-er 8680  df-map 8812  df-pm 8813  df-ixp 8882  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-seq 14017  df-hash 14346  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-ip 17306  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-hom 17312  df-cco 17313  df-0g 17472  df-gsum 17473  df-prds 17478  df-pws 17480  df-mre 17616  df-mrc 17617  df-acs 17619  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-mhm 18819  df-submnd 18820  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-sbg 18982  df-mulg 19112  df-subg 19167  df-ghm 19256  df-cntz 19359  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-srg 20239  df-ring 20287  df-cring 20288  df-rhm 20523  df-subrng 20598  df-subrg 20622  df-lmod 20931  df-lss 21001  df-lsp 21041  df-assa 21907  df-asp 21908  df-ascl 21909  df-psr 21963  df-mvr 21964  df-mpl 21965  df-evls 22129

This theorem is referenced by:  mzpmfp  43333