Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpfconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpfconst 20776
 Description: Constants are multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mpfconst.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
mpfconst.q 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mpfconst.i (𝜑𝐼𝑉)
mpfconst.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
mpfconst.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mpfconst.x (𝜑𝑋𝑅)
Assertion
Ref Expression
mpfconst (𝜑 → ((𝐵m 𝐼) × {𝑋}) ∈ 𝑄)

Proof of Theorem mpfconst
StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . . . 4 ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
2 eqid 2801 . . . 4 (𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) = (𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))
3 eqid 2801 . . . 4 (𝑆s 𝑅) = (𝑆s 𝑅)
4 mpfconst.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
5 eqid 2801 . . . 4 (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))) = (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))
6 mpfconst.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
7 mpfconst.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
8 mpfconst.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
9 mpfconst.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑅)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9evlssca 20764 . . 3 (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))‘𝑋)) = ((𝐵m 𝐼) × {𝑋}))
11 eqid 2801 . . . . . . 7 (𝑆s (𝐵m 𝐼)) = (𝑆s (𝐵m 𝐼))
121, 2, 3, 11, 4evlsrhm 20763 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) RingHom (𝑆s (𝐵m 𝐼))))
136, 7, 8, 12syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) RingHom (𝑆s (𝐵m 𝐼))))
14 eqid 2801 . . . . . 6 (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))
15 eqid 2801 . . . . . 6 (Base‘(𝑆s (𝐵m 𝐼))) = (Base‘(𝑆s (𝐵m 𝐼)))
1614, 15rhmf 19477 . . . . 5 (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) RingHom (𝑆s (𝐵m 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆s (𝐵m 𝐼))))
17 ffn 6491 . . . . 5 (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆s (𝐵m 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
1813, 16, 173syl 18 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
193subrgring 19534 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑆s 𝑅) ∈ Ring)
208, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆s 𝑅) ∈ Ring)
21 eqid 2801 . . . . . . 7 (Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))) = (Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))
222mplring 20694 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑆s 𝑅) ∈ Ring) → (𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) ∈ Ring)
232mpllmod 20693 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑆s 𝑅) ∈ Ring) → (𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) ∈ LMod)
24 eqid 2801 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))) = (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
255, 21, 22, 23, 24, 14asclf 20571 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑆s 𝑅) ∈ Ring) → (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))):(Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))⟶(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
266, 20, 25syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))):(Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))⟶(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
274subrgss 19532 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅𝐵)
283, 4ressbas2 16550 . . . . . . . 8 (𝑅𝐵𝑅 = (Base‘(𝑆s 𝑅)))
298, 27, 283syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 = (Base‘(𝑆s 𝑅)))
30 ovexd 7174 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆s 𝑅) ∈ V)
312, 6, 30mplsca 20687 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆s 𝑅) = (Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
3231fveq2d 6653 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(𝑆s 𝑅)) = (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))))
3329, 32eqtrd 2836 . . . . . 6 (𝜑𝑅 = (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))))
349, 33eleqtrd 2895 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))))
3526, 34ffvelrnd 6833 . . . 4 (𝜑 → ((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
36 fnfvelrn 6829 . . . 4 ((((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))) ∧ ((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))‘𝑋)) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
3718, 35, 36syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))‘𝑋)) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
3810, 37eqeltrrd 2894 . 2 (𝜑 → ((𝐵m 𝐼) × {𝑋}) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
39 mpfconst.q . 2 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
4038, 39eleqtrrdi 2904 1 (𝜑 → ((𝐵m 𝐼) × {𝑋}) ∈ 𝑄)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  Vcvv 3444   ⊆ wss 3884  {csn 4528   × cxp 5521  ran crn 5524   Fn wfn 6323  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ↑m cmap 8393  Basecbs 16478   ↾s cress 16479  Scalarcsca 16563   ↑s cpws 16715  Ringcrg 19293  CRingccrg 19294   RingHom crh 19463  SubRingcsubrg 19527  algSccascl 20544   mPoly cmpl 20594   evalSub ces 20746 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-ofr 7394  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-ghm 18351  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-srg 19252  df-ring 19295  df-cring 19296  df-rnghom 19466  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-lsp 19740  df-assa 20545  df-asp 20546  df-ascl 20547  df-psr 20597  df-mvr 20598  df-mpl 20599  df-evls 20748 This theorem is referenced by:  mzpmfp  39675
 Copyright terms: Public domain W3C validator