Theorem mpfconst 22068

Description: Constants are multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpfconst.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mpfconst.q	⊢ 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mpfconst.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mpfconst.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
mpfconst.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mpfconst.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mpfconst	⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}) ∈ 𝑄)

Proof of Theorem mpfconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) = (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↾s 𝑅) = (𝑆 ↾s 𝑅)
4		mpfconst.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) = (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))
6		mpfconst.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
7		mpfconst.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
8		mpfconst.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
9		mpfconst.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	evlssca 22053	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}))
11		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))
12	1, 2, 3, 11, 4	evlsrhm 22047	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))))
13	6, 7, 8, 12	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))))
14		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))
15		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼)))
16	14, 15	rhmf 20424	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))))
17		ffn 6663	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
18	13, 16, 17	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
19	3	subrgring 20511	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring)
20	8, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring)
21		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) = (Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))
22	2	mplring 21978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring) → (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) ∈ Ring)
23	2	mpllmod 21977	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring) → (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) ∈ LMod)
24		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))) = (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
25	5, 21, 22, 23, 24, 14	asclf 21841	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring) → (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))):(Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))⟶(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
26	6, 20, 25	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))):(Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))⟶(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
27	4	subrgss 20509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
28	3, 4	ressbas2 17169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ⊆ 𝐵 → 𝑅 = (Base‘(𝑆 ↾s 𝑅)))
29	8, 27, 28	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘(𝑆 ↾s 𝑅)))
30		ovexd 7395	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ V)
31	2, 6, 30	mplsca 21972	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝑅) = (Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
32	31	fveq2d 6839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑆 ↾s 𝑅)) = (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))))
33	29, 32	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))))
34	9, 33	eleqtrd 2839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))))
35	26, 34	ffvelcdmd 7032	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
36		fnfvelrn 7027	. . . 4 ⊢ ((((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) ∧ ((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))‘𝑋)) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
37	18, 35, 36	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))‘𝑋)) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
38	10, 37	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
39		mpfconst.q	. 2 ⊢ 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
40	38, 39	eleqtrrdi 2848	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}) ∈ 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441   ⊆ wss 3902  {csn 4581   × cxp 5623  ran crn 5626   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8767  Basecbs 17140   ↾_s cress 17161  Scalarcsca 17184   ↑_s cpws 17370  Ringcrg 20172  CRingccrg 20173   RingHom crh 20409  SubRingcsubrg 20506  algSccascl 21811   mPoly cmpl 21866   evalSub ces 22031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-hash 14258  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-hom 17205  df-cco 17206  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-prds 17371  df-pws 17373  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18712  df-submnd 18713  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-ghm 19146  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-srg 20126  df-ring 20174  df-cring 20175  df-rhm 20412  df-subrng 20483  df-subrg 20507  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-lsp 20927  df-assa 21812  df-asp 21813  df-ascl 21814  df-psr 21869  df-mvr 21870  df-mpl 21871  df-evls 22033

This theorem is referenced by:  mzpmfp  43056