MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpfconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpfconst 22064
Description: Constants are multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mpfconst.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
mpfconst.q 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
mpfconst.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
mpfconst.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
mpfconst.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
mpfconst.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
mpfconst (πœ‘ β†’ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {𝑋}) ∈ 𝑄)

Proof of Theorem mpfconst
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . 4 ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…) = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
2 eqid 2728 . . . 4 (𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)) = (𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))
3 eqid 2728 . . . 4 (𝑆 β†Ύs 𝑅) = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
4 mpfconst.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
5 eqid 2728 . . . 4 (algScβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))) = (algScβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)))
6 mpfconst.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
7 mpfconst.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
8 mpfconst.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
9 mpfconst.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑅)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9evlssca 22052 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜((algScβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)))β€˜π‘‹)) = ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {𝑋}))
11 eqid 2728 . . . . . . 7 (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼))
121, 2, 3, 11, 4evlsrhm 22051 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼))))
136, 7, 8, 12syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼))))
14 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))) = (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)))
15 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼))) = (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼)))
1614, 15rhmf 20438 . . . . 5 (((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼))) β†’ ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…):(Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)))⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼))))
17 ffn 6727 . . . . 5 (((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…):(Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)))⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼))) β†’ ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…) Fn (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))))
1813, 16, 173syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…) Fn (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))))
193subrgring 20527 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (𝑆 β†Ύs 𝑅) ∈ Ring)
208, 19syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύs 𝑅) ∈ Ring)
21 eqid 2728 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))) = (Scalarβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)))
222mplring 21978 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑆 β†Ύs 𝑅) ∈ Ring) β†’ (𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)) ∈ Ring)
232mpllmod 21977 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑆 β†Ύs 𝑅) ∈ Ring) β†’ (𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)) ∈ LMod)
24 eqid 2728 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)))) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))))
255, 21, 22, 23, 24, 14asclf 21829 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑆 β†Ύs 𝑅) ∈ Ring) β†’ (algScβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))):(Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))))⟢(Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))))
266, 20, 25syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (algScβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))):(Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))))⟢(Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))))
274subrgss 20525 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐡)
283, 4ressbas2 17227 . . . . . . . 8 (𝑅 βŠ† 𝐡 β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝑅)))
298, 27, 283syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝑅)))
30 ovexd 7461 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύs 𝑅) ∈ V)
312, 6, 30mplsca 21972 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύs 𝑅) = (Scalarβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))))
3231fveq2d 6906 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝑅)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)))))
3329, 32eqtrd 2768 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)))))
349, 33eleqtrd 2831 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)))))
3526, 34ffvelcdmd 7100 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)))β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))))
36 fnfvelrn 7095 . . . 4 ((((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…) Fn (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))) ∧ ((algScβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)))β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)))) β†’ (((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜((algScβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)))β€˜π‘‹)) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…))
3718, 35, 36syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜((algScβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)))β€˜π‘‹)) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…))
3810, 37eqeltrrd 2830 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {𝑋}) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…))
39 mpfconst.q . 2 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
4038, 39eleqtrrdi 2840 1 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {𝑋}) ∈ 𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949  {csn 4632   Γ— cxp 5680  ran crn 5683   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ↑m cmap 8853  Basecbs 17189   β†Ύs cress 17218  Scalarcsca 17245   ↑s cpws 17437  Ringcrg 20187  CRingccrg 20188   RingHom crh 20422  SubRingcsubrg 20520  algSccascl 21800   mPoly cmpl 21853   evalSub ces 22033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-ofr 7693  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-sup 9475  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-hash 14332  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-hom 17266  df-cco 17267  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-prds 17438  df-pws 17440  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19038  df-subg 19092  df-ghm 19182  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-srg 20141  df-ring 20189  df-cring 20190  df-rhm 20425  df-subrng 20497  df-subrg 20522  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-assa 21801  df-asp 21802  df-ascl 21803  df-psr 21856  df-mvr 21857  df-mpl 21858  df-evls 22035
This theorem is referenced by:  mzpmfp  42216
  Copyright terms: Public domain W3C validator