Theorem mpfconst 22324

Description: Constants are multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpfconst.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mpfconst.q	⊢ 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mpfconst.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mpfconst.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
mpfconst.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mpfconst.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mpfconst	⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}) ∈ 𝑄)

Proof of Theorem mpfconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) = (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↾s 𝑅) = (𝑆 ↾s 𝑅)
4		mpfconst.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) = (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))
6		mpfconst.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
7		mpfconst.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
8		mpfconst.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
9		mpfconst.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	evlssca 22309	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}))
11		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))
12	1, 2, 3, 11, 4	evlsrhm 22303	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))))
13	6, 7, 8, 12	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))))
14		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))
15		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼)))
16	14, 15	rhmf 20625	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))))
17		ffn 6706	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
18	13, 16, 17	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
19	3	subrgring 20735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring)
20	8, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring)
21		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) = (Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))
22	2	mplring 22232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring) → (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) ∈ Ring)
23	2	mpllmod 22231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring) → (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) ∈ LMod)
24		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))) = (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
25	5, 21, 22, 23, 24, 14	asclf 22095	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ Ring) → (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))):(Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))⟶(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
26	6, 20, 25	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))):(Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))⟶(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
27	4	subrgss 20733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
28	3, 4	ressbas2 17332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ⊆ 𝐵 → 𝑅 = (Base‘(𝑆 ↾s 𝑅)))
29	8, 27, 28	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘(𝑆 ↾s 𝑅)))
30		ovexd 7451	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝑅) ∈ V)
31	2, 6, 30	mplsca 22226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝑅) = (Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
32	31	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑆 ↾s 𝑅)) = (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))))
33	29, 32	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))))
34	9, 33	eleqtrd 2864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))))
35	26, 34	ffvelcdmd 7081	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
36		fnfvelrn 7076	. . . 4 ⊢ ((((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) ∧ ((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))‘𝑋)) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
37	18, 35, 36	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))‘𝑋)) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
38	10, 37	eqeltrrd 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
39		mpfconst.q	. 2 ⊢ 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
40	38, 39	eleqtrrdi 2873	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}) ∈ 𝑄)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  {csn 4587   × cxp 5657  ran crn 5660   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8829  Basecbs 17303   ↾_s cress 17324  Scalarcsca 17347   ↑_s cpws 17533  Ringcrg 20371  CRingccrg 20372   RingHom crh 20609  SubRingcsubrg 20730  algSccascl 22066   mPoly cmpl 22120   evalSub ces 22287

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-hash 14395  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-sca 17360  df-vsca 17361  df-ip 17362  df-tset 17363  df-ple 17364  df-ds 17366  df-hom 17368  df-cco 17369  df-0g 17528  df-gsum 17529  df-prds 17534  df-pws 17536  df-mre 17672  df-mrc 17673  df-acs 17675  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18890  df-submnd 18891  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-sbg 19061  df-mulg 19190  df-subg 19245  df-ghm 19340  df-cntz 19443  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-srg 20325  df-ring 20373  df-cring 20374  df-rhm 20612  df-subrng 20707  df-subrg 20731  df-lmod 21045  df-lss 21115  df-lsp 21155  df-assa 22067  df-asp 22068  df-ascl 22069  df-psr 22123  df-mvr 22124  df-mpl 22125  df-evls 22289

This theorem is used by:  mzpmfp  43577