MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpfconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpfconst 22148
Description: Constants are multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mpfconst.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
mpfconst.q 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mpfconst.i (𝜑𝐼𝑉)
mpfconst.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
mpfconst.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mpfconst.x (𝜑𝑋𝑅)
Assertion
Ref Expression
mpfconst (𝜑 → ((𝐵m 𝐼) × {𝑋}) ∈ 𝑄)

Proof of Theorem mpfconst
StepHypRef Expression
1 eqid 2740 . . . 4 ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
2 eqid 2740 . . . 4 (𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) = (𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))
3 eqid 2740 . . . 4 (𝑆s 𝑅) = (𝑆s 𝑅)
4 mpfconst.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
5 eqid 2740 . . . 4 (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))) = (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))
6 mpfconst.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
7 mpfconst.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
8 mpfconst.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
9 mpfconst.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑅)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9evlssca 22136 . . 3 (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))‘𝑋)) = ((𝐵m 𝐼) × {𝑋}))
11 eqid 2740 . . . . . . 7 (𝑆s (𝐵m 𝐼)) = (𝑆s (𝐵m 𝐼))
121, 2, 3, 11, 4evlsrhm 22135 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) RingHom (𝑆s (𝐵m 𝐼))))
136, 7, 8, 12syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) RingHom (𝑆s (𝐵m 𝐼))))
14 eqid 2740 . . . . . 6 (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))
15 eqid 2740 . . . . . 6 (Base‘(𝑆s (𝐵m 𝐼))) = (Base‘(𝑆s (𝐵m 𝐼)))
1614, 15rhmf 20511 . . . . 5 (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) RingHom (𝑆s (𝐵m 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆s (𝐵m 𝐼))))
17 ffn 6747 . . . . 5 (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆s (𝐵m 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
1813, 16, 173syl 18 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
193subrgring 20602 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑆s 𝑅) ∈ Ring)
208, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆s 𝑅) ∈ Ring)
21 eqid 2740 . . . . . . 7 (Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))) = (Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))
222mplring 22062 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑆s 𝑅) ∈ Ring) → (𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) ∈ Ring)
232mpllmod 22061 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑆s 𝑅) ∈ Ring) → (𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) ∈ LMod)
24 eqid 2740 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))) = (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
255, 21, 22, 23, 24, 14asclf 21925 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑆s 𝑅) ∈ Ring) → (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))):(Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))⟶(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
266, 20, 25syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))):(Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))⟶(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
274subrgss 20600 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅𝐵)
283, 4ressbas2 17296 . . . . . . . 8 (𝑅𝐵𝑅 = (Base‘(𝑆s 𝑅)))
298, 27, 283syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 = (Base‘(𝑆s 𝑅)))
30 ovexd 7483 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆s 𝑅) ∈ V)
312, 6, 30mplsca 22056 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆s 𝑅) = (Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
3231fveq2d 6924 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(𝑆s 𝑅)) = (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))))
3329, 32eqtrd 2780 . . . . . 6 (𝜑𝑅 = (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))))
349, 33eleqtrd 2846 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))))
3526, 34ffvelcdmd 7119 . . . 4 (𝜑 → ((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
36 fnfvelrn 7114 . . . 4 ((((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))) ∧ ((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))‘𝑋)) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
3718, 35, 36syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))‘𝑋)) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
3810, 37eqeltrrd 2845 . 2 (𝜑 → ((𝐵m 𝐼) × {𝑋}) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
39 mpfconst.q . 2 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
4038, 39eleqtrrdi 2855 1 (𝜑 → ((𝐵m 𝐼) × {𝑋}) ∈ 𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  Vcvv 3488  wss 3976  {csn 4648   × cxp 5698  ran crn 5701   Fn wfn 6568  wf 6569  cfv 6573  (class class class)co 7448  m cmap 8884  Basecbs 17258  s cress 17287  Scalarcsca 17314  s cpws 17506  Ringcrg 20260  CRingccrg 20261   RingHom crh 20495  SubRingcsubrg 20595  algSccascl 21895   mPoly cmpl 21949   evalSub ces 22119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-srg 20214  df-ring 20262  df-cring 20263  df-rhm 20498  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-assa 21896  df-asp 21897  df-ascl 21898  df-psr 21952  df-mvr 21953  df-mpl 21954  df-evls 22121
This theorem is referenced by:  mzpmfp  42703
  Copyright terms: Public domain W3C validator