MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpfconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpfconst 22006
Description: Constants are multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mpfconst.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
mpfconst.q 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
mpfconst.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
mpfconst.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
mpfconst.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
mpfconst.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
mpfconst (πœ‘ β†’ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {𝑋}) ∈ 𝑄)

Proof of Theorem mpfconst
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . 4 ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…) = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
2 eqid 2726 . . . 4 (𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)) = (𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))
3 eqid 2726 . . . 4 (𝑆 β†Ύs 𝑅) = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
4 mpfconst.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
5 eqid 2726 . . . 4 (algScβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))) = (algScβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)))
6 mpfconst.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
7 mpfconst.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
8 mpfconst.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
9 mpfconst.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑅)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9evlssca 21994 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜((algScβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)))β€˜π‘‹)) = ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {𝑋}))
11 eqid 2726 . . . . . . 7 (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼))
121, 2, 3, 11, 4evlsrhm 21993 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼))))
136, 7, 8, 12syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼))))
14 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))) = (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)))
15 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼))) = (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼)))
1614, 15rhmf 20387 . . . . 5 (((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)) RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼))) β†’ ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…):(Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)))⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼))))
17 ffn 6711 . . . . 5 (((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…):(Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)))⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼))) β†’ ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…) Fn (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))))
1813, 16, 173syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…) Fn (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))))
193subrgring 20476 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (𝑆 β†Ύs 𝑅) ∈ Ring)
208, 19syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύs 𝑅) ∈ Ring)
21 eqid 2726 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))) = (Scalarβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)))
222mplring 21920 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑆 β†Ύs 𝑅) ∈ Ring) β†’ (𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)) ∈ Ring)
232mpllmod 21919 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑆 β†Ύs 𝑅) ∈ Ring) β†’ (𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)) ∈ LMod)
24 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)))) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))))
255, 21, 22, 23, 24, 14asclf 21776 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑆 β†Ύs 𝑅) ∈ Ring) β†’ (algScβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))):(Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))))⟢(Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))))
266, 20, 25syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (algScβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))):(Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))))⟢(Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))))
274subrgss 20474 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐡)
283, 4ressbas2 17191 . . . . . . . 8 (𝑅 βŠ† 𝐡 β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝑅)))
298, 27, 283syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝑅)))
30 ovexd 7440 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύs 𝑅) ∈ V)
312, 6, 30mplsca 21914 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύs 𝑅) = (Scalarβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))))
3231fveq2d 6889 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝑅)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)))))
3329, 32eqtrd 2766 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)))))
349, 33eleqtrd 2829 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)))))
3526, 34ffvelcdmd 7081 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)))β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))))
36 fnfvelrn 7076 . . . 4 ((((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…) Fn (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))) ∧ ((algScβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)))β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)))) β†’ (((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜((algScβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)))β€˜π‘‹)) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…))
3718, 35, 36syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)β€˜((algScβ€˜(𝐼 mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅)))β€˜π‘‹)) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…))
3810, 37eqeltrrd 2828 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {𝑋}) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…))
39 mpfconst.q . 2 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
4038, 39eleqtrrdi 2838 1 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {𝑋}) ∈ 𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  {csn 4623   Γ— cxp 5667  ran crn 5670   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8822  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  Scalarcsca 17209   ↑s cpws 17401  Ringcrg 20138  CRingccrg 20139   RingHom crh 20371  SubRingcsubrg 20469  algSccascl 21747   mPoly cmpl 21800   evalSub ces 21975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-srg 20092  df-ring 20140  df-cring 20141  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-assa 21748  df-asp 21749  df-ascl 21750  df-psr 21803  df-mvr 21804  df-mpl 21805  df-evls 21977
This theorem is referenced by:  mzpmfp  42063
  Copyright terms: Public domain W3C validator