Theorem scmatcrng 21124

Description: The subring of scalar matrices (over a commutative ring) is a commutative ring. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatid.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
scmatid.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
scmatid.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatcrng.c	⊢ 𝐶 = (𝐴 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
scmatcrng	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐶 ∈ CRing)

Proof of Theorem scmatcrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 19302	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		scmatid.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		scmatid.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		scmatid.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
5		scmatid.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		scmatid.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
7	2, 3, 4, 5, 6	scmatsrng 21123	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴))
8	1, 7	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴))
9		scmatcrng.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐴 ↾s 𝑆)
10	9	subrgring 19532	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝐶 ∈ Ring)
11	8, 10	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐶 ∈ Ring)
12		simp1lr 1233	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
13		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
14		simp2 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑎 ∈ 𝑁)
15		simp3 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁)
16	2, 13, 6	scmatmat 21112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)))
17	16	imp 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
18	17	adantrr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
19	18	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
20	2, 4, 13, 14, 15, 19	matecld 21029	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝑎𝑥𝑏) ∈ 𝐸)
21	2, 13, 6	scmatmat 21112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)))
22	21	imp 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
23	22	adantrl 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
24	23	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
25	2, 4, 13, 14, 15, 24	matecld 21029	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝑎𝑦𝑏) ∈ 𝐸)
26		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
27	4, 26	crngcom 19306	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑎𝑥𝑏) ∈ 𝐸 ∧ (𝑎𝑦𝑏) ∈ 𝐸) → ((𝑎𝑥𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑦𝑏)) = ((𝑎𝑦𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑥𝑏)))
28	12, 20, 25, 27	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ((𝑎𝑥𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑦𝑏)) = ((𝑎𝑦𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑥𝑏)))
29	28	ifeq1d 4484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑥𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑦𝑏)), 0 ) = if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑦𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑥𝑏)), 0 ))
30	29	mpoeq3dva 7225	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑥𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑦𝑏)), 0 )) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑦𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑥𝑏)), 0 )))
31	1	anim2i 618	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
32		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 DMat 𝑅) = (𝑁 DMat 𝑅)
33	2, 3, 4, 5, 6, 32	scmatdmat 21118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (𝑁 DMat 𝑅)))
34	1, 33	sylan2 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (𝑁 DMat 𝑅)))
35	2, 3, 4, 5, 6, 32	scmatdmat 21118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ (𝑁 DMat 𝑅)))
36	1, 35	sylan2 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ (𝑁 DMat 𝑅)))
37	34, 36	anim12d 610	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑁 DMat 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁 DMat 𝑅))))
38	37	imp 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 ∈ (𝑁 DMat 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁 DMat 𝑅)))
39	2, 3, 5, 32	dmatmul 21100	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ (𝑁 DMat 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁 DMat 𝑅))) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑥𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑦𝑏)), 0 )))
40	31, 38, 39	syl2an2r 683	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑥𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑦𝑏)), 0 )))
41	38	ancomd 464	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑦 ∈ (𝑁 DMat 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁 DMat 𝑅)))
42	2, 3, 5, 32	dmatmul 21100	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ (𝑁 DMat 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁 DMat 𝑅))) → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑦𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑥𝑏)), 0 )))
43	31, 41, 42	syl2an2r 683	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑦𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑥𝑏)), 0 )))
44	30, 40, 43	3eqtr4d 2866	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
45	44	ralrimivva 3191	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
46	9	subrgbas 19538	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝑆 = (Base‘𝐶))
47	46	eqcomd 2827	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → (Base‘𝐶) = 𝑆)
48		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
49	9, 48	ressmulr 16619	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → (.r‘𝐴) = (.r‘𝐶))
50	49	eqcomd 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → (.r‘𝐶) = (.r‘𝐴))
51	50	oveqd 7167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → (𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐴)𝑦))
52	50	oveqd 7167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → (𝑦(.r‘𝐶)𝑥) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
53	51, 52	eqeq12d 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → ((𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐶)𝑥) ↔ (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
54	47, 53	raleqbidv 3401	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐶)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
55	47, 54	raleqbidv 3401	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐶)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
56	8, 55	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐶)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
57	45, 56	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐶)𝑥))
58		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
59		eqid 2821	. . 3 ⊢ (.r‘𝐶) = (.r‘𝐶)
60	58, 59	iscrng2 19307	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ CRing ↔ (𝐶 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐶)𝑥)))
61	11, 57, 60	sylanbrc 585	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐶 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ifcif 4466  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152  Fincfn 8503  Basecbs 16477   ↾_s cress 16478  ._rcmulr 16560  0_gc0g 16707  Ringcrg 19291  CRingccrg 19292  SubRingcsubrg 19525   Mat cmat 21010   DMat cdmat 21091   ScMat cscmat 21092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-ot 4569  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-sup 8900  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-hash 13685  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-hom 16583  df-cco 16584  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-prds 16715  df-pws 16717  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-mulg 18219  df-subg 18270  df-ghm 18350  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-cring 19294  df-subrg 19527  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-sra 19938  df-rgmod 19939  df-dsmm 20870  df-frlm 20885  df-mamu 20989  df-mat 21011  df-dmat 21093  df-scmat 21094

This theorem is referenced by: (None)