Theorem scmatcrng 22869

Description: The subring of scalar matrices (over a commutative ring) is a commutative ring. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatid.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
scmatid.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
scmatid.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatcrng.c	⊢ 𝐶 = (𝐴 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
scmatcrng	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐶 ∈ CRing)

Proof of Theorem scmatcrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20505	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		scmatid.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		scmatid.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		scmatid.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
5		scmatid.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		scmatid.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
7	2, 3, 4, 5, 6	scmatsrng 22868	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴))
8	1, 7	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴))
9		scmatcrng.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐴 ↾s 𝑆)
10	9	subrgring 20859	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝐶 ∈ Ring)
11	8, 10	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐶 ∈ Ring)
12		simp1lr 1256	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
13		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
14		simp2 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑎 ∈ 𝑁)
15		simp3 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁)
16	2, 13, 6	scmatmat 22857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)))
17	16	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
18	17	adantrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
19	18	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
20	2, 4, 13, 14, 15, 19	matecld 22774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝑎𝑥𝑏) ∈ 𝐸)
21	2, 13, 6	scmatmat 22857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)))
22	21	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
23	22	adantrl 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
24	23	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
25	2, 4, 13, 14, 15, 24	matecld 22774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝑎𝑦𝑏) ∈ 𝐸)
26		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
27	4, 26	crngcom 20511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑎𝑥𝑏) ∈ 𝐸 ∧ (𝑎𝑦𝑏) ∈ 𝐸) → ((𝑎𝑥𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑦𝑏)) = ((𝑎𝑦𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑥𝑏)))
28	12, 20, 25, 27	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ((𝑎𝑥𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑦𝑏)) = ((𝑎𝑦𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑥𝑏)))
29	28	ifeq1d 4505	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑥𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑦𝑏)), 0 ) = if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑦𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑥𝑏)), 0 ))
30	29	mpoeq3dva 7523	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑥𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑦𝑏)), 0 )) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑦𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑥𝑏)), 0 )))
31	1	anim2i 629	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
32		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 DMat 𝑅) = (𝑁 DMat 𝑅)
33	2, 3, 4, 5, 6, 32	scmatdmat 22863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (𝑁 DMat 𝑅)))
34	1, 33	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (𝑁 DMat 𝑅)))
35	2, 3, 4, 5, 6, 32	scmatdmat 22863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ (𝑁 DMat 𝑅)))
36	1, 35	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ (𝑁 DMat 𝑅)))
37	34, 36	anim12d 621	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑁 DMat 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁 DMat 𝑅))))
38	37	imp 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 ∈ (𝑁 DMat 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁 DMat 𝑅)))
39	2, 3, 5, 32	dmatmul 22845	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ (𝑁 DMat 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁 DMat 𝑅))) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑥𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑦𝑏)), 0 )))
40	31, 38, 39	syl2an2r 698	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑥𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑦𝑏)), 0 )))
41	38	ancomd 467	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑦 ∈ (𝑁 DMat 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁 DMat 𝑅)))
42	2, 3, 5, 32	dmatmul 22845	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ (𝑁 DMat 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁 DMat 𝑅))) → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑦𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑥𝑏)), 0 )))
43	31, 41, 42	syl2an2r 698	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑦𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑥𝑏)), 0 )))
44	30, 40, 43	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
45	44	ralrimivva 3209	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
46	9	subrgbas 20866	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝑆 = (Base‘𝐶))
47	46	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → (Base‘𝐶) = 𝑆)
48		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
49	9, 48	ressmulr 17510	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → (.r‘𝐴) = (.r‘𝐶))
50	49	eqcomd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → (.r‘𝐶) = (.r‘𝐴))
51	50	oveqd 7463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → (𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐴)𝑦))
52	50	oveqd 7463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → (𝑦(.r‘𝐶)𝑥) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
53	51, 52	eqeq12d 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → ((𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐶)𝑥) ↔ (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
54	47, 53	raleqbidv 3338	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐶)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
55	47, 54	raleqbidv 3338	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐶)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
56	8, 55	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐶)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
57	45, 56	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐶)𝑥))
58		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
59		eqid 2763	. . 3 ⊢ (.r‘𝐶) = (.r‘𝐶)
60	58, 59	iscrng2 20512	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ CRing ↔ (𝐶 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐶)𝑥)))
61	11, 57, 60	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐶 ∈ CRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ifcif 4485  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   ∈ cmpo 7448  Fincfn 9004  Basecbs 17419   ↾_s cress 17440  ._rcmulr 17461  0_gc0g 17642  Ringcrg 20492  CRingccrg 20493  SubRingcsubrg 20854   Mat cmat 22755   DMat cdmat 22836   ScMat cscmat 22837

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-sup 9464  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-seq 14175  df-hash 14505  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-hom 17484  df-cco 17485  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-prds 17650  df-pws 17652  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-mhm 19010  df-submnd 19011  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-mulg 19310  df-subg 19365  df-ghm 19460  df-cntz 19564  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-cring 20495  df-subrng 20831  df-subrg 20855  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-sra 21481  df-rgmod 21482  df-dsmm 22071  df-frlm 22086  df-mamu 22739  df-mat 22756  df-dmat 22838  df-scmat 22839

This theorem is used by: (None)