MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatcrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatcrng 22527
Description: The subring of scalar matrices (over a commutative ring) is a commutative ring. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatid.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
scmatid.0 0 = (0g𝑅)
scmatid.s 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatcrng.c 𝐶 = (𝐴s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
scmatcrng ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐶 ∈ CRing)

Proof of Theorem scmatcrng
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngring 20242 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 scmatid.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 scmatid.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 scmatid.e . . . . 5 𝐸 = (Base‘𝑅)
5 scmatid.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
6 scmatid.s . . . . 5 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
72, 3, 4, 5, 6scmatsrng 22526 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴))
81, 7sylan2 593 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴))
9 scmatcrng.c . . . 4 𝐶 = (𝐴s 𝑆)
109subrgring 20574 . . 3 (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝐶 ∈ Ring)
118, 10syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐶 ∈ Ring)
12 simp1lr 1238 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
13 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
14 simp2 1138 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑎𝑁)
15 simp3 1139 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑏𝑁)
162, 13, 6scmatmat 22515 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑥𝑆𝑥 ∈ (Base‘𝐴)))
1716imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
1817adantrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
19183ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
202, 4, 13, 14, 15, 19matecld 22432 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝑎𝑥𝑏) ∈ 𝐸)
212, 13, 6scmatmat 22515 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑦𝑆𝑦 ∈ (Base‘𝐴)))
2221imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
2322adantrl 716 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
24233ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
252, 4, 13, 14, 15, 24matecld 22432 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝑎𝑦𝑏) ∈ 𝐸)
26 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
274, 26crngcom 20248 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑎𝑥𝑏) ∈ 𝐸 ∧ (𝑎𝑦𝑏) ∈ 𝐸) → ((𝑎𝑥𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑦𝑏)) = ((𝑎𝑦𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑥𝑏)))
2812, 20, 25, 27syl3anc 1373 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ((𝑎𝑥𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑦𝑏)) = ((𝑎𝑦𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑥𝑏)))
2928ifeq1d 4545 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑥𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑦𝑏)), 0 ) = if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑦𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑥𝑏)), 0 ))
3029mpoeq3dva 7510 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑥𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑦𝑏)), 0 )) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑦𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑥𝑏)), 0 )))
311anim2i 617 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
32 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑁 DMat 𝑅) = (𝑁 DMat 𝑅)
332, 3, 4, 5, 6, 32scmatdmat 22521 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥𝑆𝑥 ∈ (𝑁 DMat 𝑅)))
341, 33sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑥𝑆𝑥 ∈ (𝑁 DMat 𝑅)))
352, 3, 4, 5, 6, 32scmatdmat 22521 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑦𝑆𝑦 ∈ (𝑁 DMat 𝑅)))
361, 35sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑦𝑆𝑦 ∈ (𝑁 DMat 𝑅)))
3734, 36anim12d 609 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑁 DMat 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁 DMat 𝑅))))
3837imp 406 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 ∈ (𝑁 DMat 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁 DMat 𝑅)))
392, 3, 5, 32dmatmul 22503 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ (𝑁 DMat 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁 DMat 𝑅))) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑥𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑦𝑏)), 0 )))
4031, 38, 39syl2an2r 685 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑥𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑦𝑏)), 0 )))
4138ancomd 461 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑦 ∈ (𝑁 DMat 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁 DMat 𝑅)))
422, 3, 5, 32dmatmul 22503 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ (𝑁 DMat 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁 DMat 𝑅))) → (𝑦(.r𝐴)𝑥) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑦𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑥𝑏)), 0 )))
4331, 41, 42syl2an2r 685 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑦(.r𝐴)𝑥) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑦𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑥𝑏)), 0 )))
4430, 40, 433eqtr4d 2787 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
4544ralrimivva 3202 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
469subrgbas 20581 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝑆 = (Base‘𝐶))
4746eqcomd 2743 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → (Base‘𝐶) = 𝑆)
48 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (.r𝐴) = (.r𝐴)
499, 48ressmulr 17351 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → (.r𝐴) = (.r𝐶))
5049eqcomd 2743 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → (.r𝐶) = (.r𝐴))
5150oveqd 7448 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → (𝑥(.r𝐶)𝑦) = (𝑥(.r𝐴)𝑦))
5250oveqd 7448 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → (𝑦(.r𝐶)𝑥) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
5351, 52eqeq12d 2753 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → ((𝑥(.r𝐶)𝑦) = (𝑦(.r𝐶)𝑥) ↔ (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
5447, 53raleqbidv 3346 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r𝐶)𝑦) = (𝑦(.r𝐶)𝑥) ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
5547, 54raleqbidv 3346 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r𝐶)𝑦) = (𝑦(.r𝐶)𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
568, 55syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r𝐶)𝑦) = (𝑦(.r𝐶)𝑥) ↔ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
5745, 56mpbird 257 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r𝐶)𝑦) = (𝑦(.r𝐶)𝑥))
58 eqid 2737 . . 3 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
59 eqid 2737 . . 3 (.r𝐶) = (.r𝐶)
6058, 59iscrng2 20249 . 2 (𝐶 ∈ CRing ↔ (𝐶 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r𝐶)𝑦) = (𝑦(.r𝐶)𝑥)))
6111, 57, 60sylanbrc 583 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐶 ∈ CRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  ifcif 4525  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  Fincfn 8985  Basecbs 17247  s cress 17274  .rcmulr 17298  0gc0g 17484  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231  SubRingcsubrg 20569   Mat cmat 22411   DMat cdmat 22494   ScMat cscmat 22495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-mamu 22395  df-mat 22412  df-dmat 22496  df-scmat 22497
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator