Theorem scmatcrng 21126

Description: The subring of scalar matrices (over a commutative ring) is a commutative ring. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatid.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
scmatid.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
scmatid.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatcrng.c	⊢ 𝐶 = (𝐴 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
scmatcrng	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐶 ∈ CRing)

Proof of Theorem scmatcrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 19302	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		scmatid.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		scmatid.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		scmatid.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
5		scmatid.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		scmatid.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
7	2, 3, 4, 5, 6	scmatsrng 21125	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴))
8	1, 7	sylan2 595	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴))
9		scmatcrng.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐴 ↾s 𝑆)
10	9	subrgring 19531	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝐶 ∈ Ring)
11	8, 10	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐶 ∈ Ring)
12		simp1lr 1234	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
13		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
14		simp2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑎 ∈ 𝑁)
15		simp3 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁)
16	2, 13, 6	scmatmat 21114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)))
17	16	imp 410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
18	17	adantrr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
19	18	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
20	2, 4, 13, 14, 15, 19	matecld 21031	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝑎𝑥𝑏) ∈ 𝐸)
21	2, 13, 6	scmatmat 21114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)))
22	21	imp 410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
23	22	adantrl 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
24	23	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
25	2, 4, 13, 14, 15, 24	matecld 21031	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝑎𝑦𝑏) ∈ 𝐸)
26		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
27	4, 26	crngcom 19308	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑎𝑥𝑏) ∈ 𝐸 ∧ (𝑎𝑦𝑏) ∈ 𝐸) → ((𝑎𝑥𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑦𝑏)) = ((𝑎𝑦𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑥𝑏)))
28	12, 20, 25, 27	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ((𝑎𝑥𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑦𝑏)) = ((𝑎𝑦𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑥𝑏)))
29	28	ifeq1d 4443	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑥𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑦𝑏)), 0 ) = if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑦𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑥𝑏)), 0 ))
30	29	mpoeq3dva 7210	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑥𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑦𝑏)), 0 )) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑦𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑥𝑏)), 0 )))
31	1	anim2i 619	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
32		eqid 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 DMat 𝑅) = (𝑁 DMat 𝑅)
33	2, 3, 4, 5, 6, 32	scmatdmat 21120	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (𝑁 DMat 𝑅)))
34	1, 33	sylan2 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (𝑁 DMat 𝑅)))
35	2, 3, 4, 5, 6, 32	scmatdmat 21120	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ (𝑁 DMat 𝑅)))
36	1, 35	sylan2 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ (𝑁 DMat 𝑅)))
37	34, 36	anim12d 611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑁 DMat 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁 DMat 𝑅))))
38	37	imp 410	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 ∈ (𝑁 DMat 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁 DMat 𝑅)))
39	2, 3, 5, 32	dmatmul 21102	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ (𝑁 DMat 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁 DMat 𝑅))) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑥𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑦𝑏)), 0 )))
40	31, 38, 39	syl2an2r 684	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑥𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑦𝑏)), 0 )))
41	38	ancomd 465	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑦 ∈ (𝑁 DMat 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁 DMat 𝑅)))
42	2, 3, 5, 32	dmatmul 21102	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ (𝑁 DMat 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁 DMat 𝑅))) → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑦𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑥𝑏)), 0 )))
43	31, 41, 42	syl2an2r 684	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑦𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑥𝑏)), 0 )))
44	30, 40, 43	3eqtr4d 2843	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
45	44	ralrimivva 3156	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
46	9	subrgbas 19537	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝑆 = (Base‘𝐶))
47	46	eqcomd 2804	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → (Base‘𝐶) = 𝑆)
48		eqid 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
49	9, 48	ressmulr 16617	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → (.r‘𝐴) = (.r‘𝐶))
50	49	eqcomd 2804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → (.r‘𝐶) = (.r‘𝐴))
51	50	oveqd 7152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → (𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐴)𝑦))
52	50	oveqd 7152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → (𝑦(.r‘𝐶)𝑥) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
53	51, 52	eqeq12d 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → ((𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐶)𝑥) ↔ (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
54	47, 53	raleqbidv 3354	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐶)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
55	47, 54	raleqbidv 3354	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐴) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐶)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
56	8, 55	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐶)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
57	45, 56	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐶)𝑥))
58		eqid 2798	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
59		eqid 2798	. . 3 ⊢ (.r‘𝐶) = (.r‘𝐶)
60	58, 59	iscrng2 19309	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ CRing ↔ (𝐶 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐶)𝑥)))
61	11, 57, 60	sylanbrc 586	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐶 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ifcif 4425  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∈ cmpo 7137  Fincfn 8492  Basecbs 16475   ↾_s cress 16476  ._rcmulr 16558  0_gc0g 16705  Ringcrg 19290  CRingccrg 19291  SubRingcsubrg 19524   Mat cmat 21012   DMat cdmat 21093   ScMat cscmat 21094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-subrg 19526  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-dsmm 20421  df-frlm 20436  df-mamu 20991  df-mat 21013  df-dmat 21095  df-scmat 21096

This theorem is referenced by: (None)