MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2cpmrhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m2cpmrhm 22179
Description: The transformation of matrices into constant polynomial matrices is a ring homomorphism. (Contributed by AV, 18-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
m2cpm.s 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
m2cpm.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
m2cpm.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2cpm.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
m2cpmghm.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
m2cpmghm.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
m2cpmghm.u 𝑈 = (𝐶s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
m2cpmrhm ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ (𝐴 RingHom 𝑈))

Proof of Theorem m2cpmrhm
StepHypRef Expression
1 crngring 20028 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 m2cpm.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
32matring 21876 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
41, 3sylan2 593 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
5 m2cpm.s . . . . 5 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
6 m2cpmghm.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
7 m2cpmghm.c . . . . 5 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
85, 6, 7cpmatsrgpmat 22154 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝐶))
91, 8sylan2 593 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝐶))
10 m2cpmghm.u . . . 4 𝑈 = (𝐶s 𝑆)
1110subrgring 20317 . . 3 (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐶) → 𝑈 ∈ Ring)
129, 11syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑈 ∈ Ring)
13 m2cpm.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
14 m2cpm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
155, 13, 2, 14, 6, 7, 10m2cpmghm 22177 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝑈))
161, 15sylan2 593 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝑈))
175, 13, 2, 14, 6, 7, 10m2cpmmhm 22178 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝑈)))
1816, 17jca 512 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝑈))))
19 eqid 2732 . . 3 (mulGrp‘𝐴) = (mulGrp‘𝐴)
20 eqid 2732 . . 3 (mulGrp‘𝑈) = (mulGrp‘𝑈)
2119, 20isrhm 20209 . 2 (𝑇 ∈ (𝐴 RingHom 𝑈) ↔ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ Ring) ∧ (𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝑈)))))
224, 12, 18, 21syl21anbrc 1344 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ (𝐴 RingHom 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6533  (class class class)co 7394  Fincfn 8924  Basecbs 17128  s cress 17157   MndHom cmhm 18647   GrpHom cghm 19057  mulGrpcmgp 19948  Ringcrg 20016  CRingccrg 20017   RingHom crh 20200  SubRingcsubrg 20310  Poly1cpl1 21632   Mat cmat 21838   ConstPolyMat ccpmat 22136   matToPolyMat cmat2pmat 22137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-of 7654  df-ofr 7655  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-supp 8131  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-er 8688  df-map 8807  df-pm 8808  df-ixp 8877  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-fin 8928  df-fsupp 9347  df-sup 9421  df-oi 9489  df-card 9918  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-4 12261  df-5 12262  df-6 12263  df-7 12264  df-8 12265  df-9 12266  df-n0 12457  df-z 12543  df-dec 12662  df-uz 12807  df-fz 13469  df-fzo 13612  df-seq 13951  df-hash 14275  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17129  df-ress 17158  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-hom 17205  df-cco 17206  df-0g 17371  df-gsum 17372  df-prds 17377  df-pws 17379  df-mre 17514  df-mrc 17515  df-acs 17517  df-mgm 18545  df-sgrp 18594  df-mnd 18605  df-mhm 18649  df-submnd 18650  df-grp 18799  df-minusg 18800  df-sbg 18801  df-mulg 18925  df-subg 18977  df-ghm 19058  df-cntz 19149  df-cmn 19616  df-abl 19617  df-mgp 19949  df-ur 19966  df-srg 19970  df-ring 20018  df-cring 20019  df-rnghom 20203  df-subrg 20312  df-lmod 20424  df-lss 20494  df-sra 20736  df-rgmod 20737  df-dsmm 21222  df-frlm 21237  df-assa 21343  df-ascl 21345  df-psr 21395  df-mvr 21396  df-mpl 21397  df-opsr 21399  df-psr1 21635  df-vr1 21636  df-ply1 21637  df-coe1 21638  df-mamu 21817  df-mat 21839  df-cpmat 22139  df-mat2pmat 22140
This theorem is referenced by:  m2cpmrngiso  22191
  Copyright terms: Public domain W3C validator