Theorem m2cpmrhm 22609

Description: The transformation of matrices into constant polynomial matrices is a ring homomorphism. (Contributed by AV, 18-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2cpm.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
m2cpm.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
m2cpm.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2cpm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
m2cpmghm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
m2cpmghm.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
m2cpmghm.u	⊢ 𝑈 = (𝐶 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
m2cpmrhm	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ (𝐴 RingHom 𝑈))

Proof of Theorem m2cpmrhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20130	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		m2cpm.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3	2	matring 22306	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
4	1, 3	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
5		m2cpm.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
6		m2cpmghm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7		m2cpmghm.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
8	5, 6, 7	cpmatsrgpmat 22584	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝐶))
9	1, 8	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝐶))
10		m2cpmghm.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝐶 ↾s 𝑆)
11	10	subrgring 20459	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐶) → 𝑈 ∈ Ring)
12	9, 11	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑈 ∈ Ring)
13		m2cpm.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
14		m2cpm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
15	5, 13, 2, 14, 6, 7, 10	m2cpmghm 22607	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝑈))
16	1, 15	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝑈))
17	5, 13, 2, 14, 6, 7, 10	m2cpmmhm 22608	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝑈)))
18	16, 17	jca 511	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝑈))))
19		eqid 2729	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝐴) = (mulGrp‘𝐴)
20		eqid 2729	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑈) = (mulGrp‘𝑈)
21	19, 20	isrhm 20363	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (𝐴 RingHom 𝑈) ↔ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ Ring) ∧ (𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝑈)))))
22	4, 12, 18, 21	syl21anbrc 1345	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ (𝐴 RingHom 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Fincfn 8895  Basecbs 17155   ↾_s cress 17176   MndHom cmhm 18684   GrpHom cghm 19120  mulGrpcmgp 20025  Ringcrg 20118  CRingccrg 20119   RingHom crh 20354  SubRingcsubrg 20454  Poly₁cpl1 22037   Mat cmat 22270   ConstPolyMat ccpmat 22566   matToPolyMat cmat2pmat 22567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-mulg 18976  df-subg 19031  df-ghm 19121  df-cntz 19225  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-srg 20072  df-ring 20120  df-cring 20121  df-rhm 20357  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-lmod 20744  df-lss 20814  df-sra 21056  df-rgmod 21057  df-dsmm 21617  df-frlm 21632  df-assa 21738  df-ascl 21740  df-psr 21794  df-mvr 21795  df-mpl 21796  df-opsr 21798  df-psr1 22040  df-vr1 22041  df-ply1 22042  df-coe1 22043  df-mamu 22254  df-mat 22271  df-cpmat 22569  df-mat2pmat 22570

This theorem is referenced by:  m2cpmrngiso  22621