Theorem m2cpmrhm 22179

Description: The transformation of matrices into constant polynomial matrices is a ring homomorphism. (Contributed by AV, 18-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2cpm.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
m2cpm.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
m2cpm.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2cpm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
m2cpmghm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
m2cpmghm.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
m2cpmghm.u	⊢ 𝑈 = (𝐶 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
m2cpmrhm	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ (𝐴 RingHom 𝑈))

Proof of Theorem m2cpmrhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20028	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		m2cpm.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3	2	matring 21876	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
4	1, 3	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
5		m2cpm.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
6		m2cpmghm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7		m2cpmghm.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
8	5, 6, 7	cpmatsrgpmat 22154	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝐶))
9	1, 8	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝐶))
10		m2cpmghm.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝐶 ↾s 𝑆)
11	10	subrgring 20317	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝐶) → 𝑈 ∈ Ring)
12	9, 11	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑈 ∈ Ring)
13		m2cpm.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
14		m2cpm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
15	5, 13, 2, 14, 6, 7, 10	m2cpmghm 22177	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝑈))
16	1, 15	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝑈))
17	5, 13, 2, 14, 6, 7, 10	m2cpmmhm 22178	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝑈)))
18	16, 17	jca 512	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝑈))))
19		eqid 2732	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝐴) = (mulGrp‘𝐴)
20		eqid 2732	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑈) = (mulGrp‘𝑈)
21	19, 20	isrhm 20209	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (𝐴 RingHom 𝑈) ↔ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ Ring) ∧ (𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝑈)))))
22	4, 12, 18, 21	syl21anbrc 1344	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ (𝐴 RingHom 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6533  (class class class)co 7394  Fincfn 8924  Basecbs 17128   ↾_s cress 17157   MndHom cmhm 18647   GrpHom cghm 19057  mulGrpcmgp 19948  Ringcrg 20016  CRingccrg 20017   RingHom crh 20200  SubRingcsubrg 20310  Poly₁cpl1 21632   Mat cmat 21838   ConstPolyMat ccpmat 22136   matToPolyMat cmat2pmat 22137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-of 7654  df-ofr 7655  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-supp 8131  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-er 8688  df-map 8807  df-pm 8808  df-ixp 8877  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-fin 8928  df-fsupp 9347  df-sup 9421  df-oi 9489  df-card 9918  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-4 12261  df-5 12262  df-6 12263  df-7 12264  df-8 12265  df-9 12266  df-n0 12457  df-z 12543  df-dec 12662  df-uz 12807  df-fz 13469  df-fzo 13612  df-seq 13951  df-hash 14275  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17129  df-ress 17158  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-hom 17205  df-cco 17206  df-0g 17371  df-gsum 17372  df-prds 17377  df-pws 17379  df-mre 17514  df-mrc 17515  df-acs 17517  df-mgm 18545  df-sgrp 18594  df-mnd 18605  df-mhm 18649  df-submnd 18650  df-grp 18799  df-minusg 18800  df-sbg 18801  df-mulg 18925  df-subg 18977  df-ghm 19058  df-cntz 19149  df-cmn 19616  df-abl 19617  df-mgp 19949  df-ur 19966  df-srg 19970  df-ring 20018  df-cring 20019  df-rnghom 20203  df-subrg 20312  df-lmod 20424  df-lss 20494  df-sra 20736  df-rgmod 20737  df-dsmm 21222  df-frlm 21237  df-assa 21343  df-ascl 21345  df-psr 21395  df-mvr 21396  df-mpl 21397  df-opsr 21399  df-psr1 21635  df-vr1 21636  df-ply1 21637  df-coe1 21638  df-mamu 21817  df-mat 21839  df-cpmat 22139  df-mat2pmat 22140

This theorem is referenced by:  m2cpmrngiso  22191