MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmatcrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmatcrng 21111
Description: The subring of diagonal matrices (over a commutative ring) is a commutative ring . (Contributed by AV, 20-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmatid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
dmatid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
dmatid.0 0 = (0g𝑅)
dmatid.d 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
dmatcrng.c 𝐶 = (𝐴s 𝐷)
Assertion
Ref Expression
dmatcrng ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐶 ∈ CRing)

Proof of Theorem dmatcrng
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngring 19309 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 dmatid.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 dmatid.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 dmatid.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
5 dmatid.d . . . . 5 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
62, 3, 4, 5dmatsrng 21110 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴))
71, 6sylan 583 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴))
8 dmatcrng.c . . . 4 𝐶 = (𝐴s 𝐷)
98subrgring 19538 . . 3 (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝐶 ∈ Ring)
107, 9syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐶 ∈ Ring)
11 simp1lr 1234 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
12 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
14 simp2 1134 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑎𝑁)
15 simp3 1135 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑏𝑁)
162, 13, 4, 5dmatmat 21103 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑥𝐷𝑥 ∈ (Base‘𝐴)))
1716imp 410 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
1817adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
19183ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
202, 12, 13, 14, 15, 19matecld 21035 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝑎𝑥𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
212, 13, 4, 5dmatmat 21103 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑦𝐷𝑦 ∈ (Base‘𝐴)))
2221imp 410 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
2322adantrl 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
24233ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
252, 12, 13, 14, 15, 24matecld 21035 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝑎𝑦𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
26 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
2712, 26crngcom 19315 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑎𝑥𝑏) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑎𝑦𝑏) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑎𝑥𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑦𝑏)) = ((𝑎𝑦𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑥𝑏)))
2811, 20, 25, 27syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ((𝑎𝑥𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑦𝑏)) = ((𝑎𝑦𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑥𝑏)))
2928ifeq1d 4468 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑥𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑦𝑏)), 0 ) = if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑦𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑥𝑏)), 0 ))
3029mpoeq3dva 7224 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑥𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑦𝑏)), 0 )) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑦𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑥𝑏)), 0 )))
311anim2i 619 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
322, 3, 4, 5dmatmul 21106 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑥𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑦𝑏)), 0 )))
3331, 32sylan 583 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑥𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑦𝑏)), 0 )))
34 pm3.22 463 . . . . . . 7 ((𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑦𝐷𝑥𝐷))
352, 3, 4, 5dmatmul 21106 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐷𝑥𝐷)) → (𝑦(.r𝐴)𝑥) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑦𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑥𝑏)), 0 )))
3631, 34, 35syl2an 598 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑦(.r𝐴)𝑥) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑦𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑥𝑏)), 0 )))
3730, 33, 363eqtr4d 2869 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
3837ralrimivva 3186 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
3938ancoms 462 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
408subrgbas 19544 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝐷 = (Base‘𝐶))
4140eqcomd 2830 . . . . 5 (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → (Base‘𝐶) = 𝐷)
42 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (.r𝐴) = (.r𝐴)
438, 42ressmulr 16625 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → (.r𝐴) = (.r𝐶))
4443eqcomd 2830 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → (.r𝐶) = (.r𝐴))
4544oveqd 7166 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → (𝑥(.r𝐶)𝑦) = (𝑥(.r𝐴)𝑦))
4644oveqd 7166 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → (𝑦(.r𝐶)𝑥) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
4745, 46eqeq12d 2840 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → ((𝑥(.r𝐶)𝑦) = (𝑦(.r𝐶)𝑥) ↔ (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
4841, 47raleqbidv 3392 . . . . 5 (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r𝐶)𝑦) = (𝑦(.r𝐶)𝑥) ↔ ∀𝑦𝐷 (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
4941, 48raleqbidv 3392 . . . 4 (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r𝐶)𝑦) = (𝑦(.r𝐶)𝑥) ↔ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
507, 49syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r𝐶)𝑦) = (𝑦(.r𝐶)𝑥) ↔ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
5139, 50mpbird 260 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r𝐶)𝑦) = (𝑦(.r𝐶)𝑥))
52 eqid 2824 . . 3 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
53 eqid 2824 . . 3 (.r𝐶) = (.r𝐶)
5452, 53iscrng2 19316 . 2 (𝐶 ∈ CRing ↔ (𝐶 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r𝐶)𝑦) = (𝑦(.r𝐶)𝑥)))
5510, 51, 54sylanbrc 586 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐶 ∈ CRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  ifcif 4450  cfv 6343  (class class class)co 7149  cmpo 7151  Fincfn 8505  Basecbs 16483  s cress 16484  .rcmulr 16566  0gc0g 16713  Ringcrg 19297  CRingccrg 19298  SubRingcsubrg 19531   Mat cmat 21016   DMat cdmat 21097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-ot 4559  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-sup 8903  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-hash 13696  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-prds 16721  df-pws 16723  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-subrg 19533  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-dsmm 20876  df-frlm 20891  df-mamu 20995  df-mat 21017  df-dmat 21099
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator