MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmatcrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmatcrng 20831
Description: The subring of diagonal matrices (over a commutative ring) is a commutative ring . (Contributed by AV, 20-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmatid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
dmatid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
dmatid.0 0 = (0g𝑅)
dmatid.d 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
dmatcrng.c 𝐶 = (𝐴s 𝐷)
Assertion
Ref Expression
dmatcrng ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐶 ∈ CRing)

Proof of Theorem dmatcrng
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngring 19044 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 dmatid.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 dmatid.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 dmatid.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
5 dmatid.d . . . . 5 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
62, 3, 4, 5dmatsrng 20830 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴))
71, 6sylan 572 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴))
8 dmatcrng.c . . . 4 𝐶 = (𝐴s 𝐷)
98subrgring 19274 . . 3 (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝐶 ∈ Ring)
107, 9syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐶 ∈ Ring)
11 simp1lr 1218 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
12 eqid 2773 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13 eqid 2773 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
14 simp2 1118 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑎𝑁)
15 simp3 1119 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑏𝑁)
162, 13, 4, 5dmatmat 20823 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑥𝐷𝑥 ∈ (Base‘𝐴)))
1716imp 398 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
1817adantrr 705 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
19183ad2ant1 1114 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
202, 12, 13, 14, 15, 19matecld 20755 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝑎𝑥𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
212, 13, 4, 5dmatmat 20823 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑦𝐷𝑦 ∈ (Base‘𝐴)))
2221imp 398 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
2322adantrl 704 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
24233ad2ant1 1114 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
252, 12, 13, 14, 15, 24matecld 20755 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝑎𝑦𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
26 eqid 2773 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
2712, 26crngcom 19048 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑎𝑥𝑏) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑎𝑦𝑏) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑎𝑥𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑦𝑏)) = ((𝑎𝑦𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑥𝑏)))
2811, 20, 25, 27syl3anc 1352 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ((𝑎𝑥𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑦𝑏)) = ((𝑎𝑦𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑥𝑏)))
2928ifeq1d 4363 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑥𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑦𝑏)), 0 ) = if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑦𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑥𝑏)), 0 ))
3029mpoeq3dva 7048 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑥𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑦𝑏)), 0 )) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑦𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑥𝑏)), 0 )))
311anim2i 608 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
322, 3, 4, 5dmatmul 20826 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑥𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑦𝑏)), 0 )))
3331, 32sylan 572 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑥𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑦𝑏)), 0 )))
34 pm3.22 452 . . . . . . 7 ((𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑦𝐷𝑥𝐷))
352, 3, 4, 5dmatmul 20826 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐷𝑥𝐷)) → (𝑦(.r𝐴)𝑥) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑦𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑥𝑏)), 0 )))
3631, 34, 35syl2an 587 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑦(.r𝐴)𝑥) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑦𝑏)(.r𝑅)(𝑎𝑥𝑏)), 0 )))
3730, 33, 363eqtr4d 2819 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
3837ralrimivva 3136 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
3938ancoms 451 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
408subrgbas 19280 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝐷 = (Base‘𝐶))
4140eqcomd 2779 . . . . 5 (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → (Base‘𝐶) = 𝐷)
42 eqid 2773 . . . . . . . . . 10 (.r𝐴) = (.r𝐴)
438, 42ressmulr 16480 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → (.r𝐴) = (.r𝐶))
4443eqcomd 2779 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → (.r𝐶) = (.r𝐴))
4544oveqd 6992 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → (𝑥(.r𝐶)𝑦) = (𝑥(.r𝐴)𝑦))
4644oveqd 6992 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → (𝑦(.r𝐶)𝑥) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
4745, 46eqeq12d 2788 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → ((𝑥(.r𝐶)𝑦) = (𝑦(.r𝐶)𝑥) ↔ (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
4841, 47raleqbidv 3336 . . . . 5 (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r𝐶)𝑦) = (𝑦(.r𝐶)𝑥) ↔ ∀𝑦𝐷 (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
4941, 48raleqbidv 3336 . . . 4 (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r𝐶)𝑦) = (𝑦(.r𝐶)𝑥) ↔ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
507, 49syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r𝐶)𝑦) = (𝑦(.r𝐶)𝑥) ↔ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
5139, 50mpbird 249 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r𝐶)𝑦) = (𝑦(.r𝐶)𝑥))
52 eqid 2773 . . 3 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
53 eqid 2773 . . 3 (.r𝐶) = (.r𝐶)
5452, 53iscrng2 19049 . 2 (𝐶 ∈ CRing ↔ (𝐶 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r𝐶)𝑦) = (𝑦(.r𝐶)𝑥)))
5510, 51, 54sylanbrc 575 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐶 ∈ CRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1069   = wceq 1508  wcel 2051  wral 3083  ifcif 4345  cfv 6186  (class class class)co 6975  cmpo 6977  Fincfn 8305  Basecbs 16338  s cress 16339  .rcmulr 16421  0gc0g 16568  Ringcrg 19033  CRingccrg 19034  SubRingcsubrg 19267   Mat cmat 20736   DMat cdmat 20817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-ot 4445  df-uni 4710  df-int 4747  df-iun 4791  df-iin 4792  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-se 5364  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-isom 6195  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-of 7226  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-supp 7633  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-1o 7904  df-oadd 7908  df-er 8088  df-map 8207  df-ixp 8259  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-fin 8309  df-fsupp 8628  df-sup 8700  df-oi 8768  df-card 9161  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-nn 11439  df-2 11502  df-3 11503  df-4 11504  df-5 11505  df-6 11506  df-7 11507  df-8 11508  df-9 11509  df-n0 11707  df-z 11793  df-dec 11911  df-uz 12058  df-fz 12708  df-fzo 12849  df-seq 13184  df-hash 13505  df-struct 16340  df-ndx 16341  df-slot 16342  df-base 16344  df-sets 16345  df-ress 16346  df-plusg 16433  df-mulr 16434  df-sca 16436  df-vsca 16437  df-ip 16438  df-tset 16439  df-ple 16440  df-ds 16442  df-hom 16444  df-cco 16445  df-0g 16570  df-gsum 16571  df-prds 16576  df-pws 16578  df-mre 16728  df-mrc 16729  df-acs 16731  df-mgm 17723  df-sgrp 17765  df-mnd 17776  df-mhm 17816  df-submnd 17817  df-grp 17907  df-minusg 17908  df-sbg 17909  df-mulg 18025  df-subg 18073  df-ghm 18140  df-cntz 18231  df-cmn 18681  df-abl 18682  df-mgp 18976  df-ur 18988  df-ring 19035  df-cring 19036  df-subrg 19269  df-lmod 19371  df-lss 19439  df-sra 19679  df-rgmod 19680  df-dsmm 20594  df-frlm 20609  df-mamu 20713  df-mat 20737  df-dmat 20819
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator