Theorem dmatcrng 21757

Description: The subring of diagonal matrices (over a commutative ring) is a commutative ring . (Contributed by AV, 20-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmatid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
dmatid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
dmatid.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
dmatid.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
dmatcrng.c	⊢ 𝐶 = (𝐴 ↾s 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
dmatcrng	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐶 ∈ CRing)

Proof of Theorem dmatcrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 19890	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		dmatid.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		dmatid.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		dmatid.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		dmatid.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
6	2, 3, 4, 5	dmatsrng 21756	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴))
7	1, 6	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴))
8		dmatcrng.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐴 ↾s 𝐷)
9	8	subrgring 20132	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝐶 ∈ Ring)
10	7, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐶 ∈ Ring)
11		simp1lr 1236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
12		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
14		simp2 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑎 ∈ 𝑁)
15		simp3 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁)
16	2, 13, 4, 5	dmatmat 21749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)))
17	16	imp 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
18	17	adantrr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
19	18	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
20	2, 12, 13, 14, 15, 19	matecld 21681	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝑎𝑥𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
21	2, 13, 4, 5	dmatmat 21749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑦 ∈ 𝐷 → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)))
22	21	imp 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
23	22	adantrl 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
24	23	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
25	2, 12, 13, 14, 15, 24	matecld 21681	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝑎𝑦𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
26		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
27	12, 26	crngcom 19896	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑎𝑥𝑏) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑎𝑦𝑏) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑎𝑥𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑦𝑏)) = ((𝑎𝑦𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑥𝑏)))
28	11, 20, 25, 27	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ((𝑎𝑥𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑦𝑏)) = ((𝑎𝑦𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑥𝑏)))
29	28	ifeq1d 4492	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑥𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑦𝑏)), 0 ) = if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑦𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑥𝑏)), 0 ))
30	29	mpoeq3dva 7414	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑥𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑦𝑏)), 0 )) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑦𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑥𝑏)), 0 )))
31	1	anim2i 617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
32	2, 3, 4, 5	dmatmul 21752	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑥𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑦𝑏)), 0 )))
33	31, 32	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑥𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑦𝑏)), 0 )))
34		pm3.22 460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷))
35	2, 3, 4, 5	dmatmul 21752	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷)) → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑦𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑥𝑏)), 0 )))
36	31, 34, 35	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑦𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑥𝑏)), 0 )))
37	30, 33, 36	3eqtr4d 2786	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
38	37	ralrimivva 3193	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
39	38	ancoms 459	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
40	8	subrgbas 20138	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝐷 = (Base‘𝐶))
41	40	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → (Base‘𝐶) = 𝐷)
42		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
43	8, 42	ressmulr 17114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → (.r‘𝐴) = (.r‘𝐶))
44	43	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → (.r‘𝐶) = (.r‘𝐴))
45	44	oveqd 7354	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → (𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐴)𝑦))
46	44	oveqd 7354	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → (𝑦(.r‘𝐶)𝑥) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
47	45, 46	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → ((𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐶)𝑥) ↔ (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
48	41, 47	raleqbidv 3315	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐶)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
49	41, 48	raleqbidv 3315	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐶)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
50	7, 49	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐶)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
51	39, 50	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐶)𝑥))
52		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
53		eqid 2736	. . 3 ⊢ (.r‘𝐶) = (.r‘𝐶)
54	52, 53	iscrng2 19897	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ CRing ↔ (𝐶 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐶)𝑥)))
55	10, 51, 54	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐶 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3061  ifcif 4473  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337   ∈ cmpo 7339  Fincfn 8804  Basecbs 17009   ↾_s cress 17038  ._rcmulr 17060  0_gc0g 17247  Ringcrg 19878  CRingccrg 19879  SubRingcsubrg 20125   Mat cmat 21660   DMat cdmat 21743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-ot 4582  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-supp 8048  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-ixp 8757  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-fsupp 9227  df-sup 9299  df-oi 9367  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-z 12421  df-dec 12539  df-uz 12684  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-seq 13823  df-hash 14146  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-hom 17083  df-cco 17084  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-prds 17255  df-pws 17257  df-mre 17392  df-mrc 17393  df-acs 17395  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-mhm 18527  df-submnd 18528  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-sbg 18678  df-mulg 18797  df-subg 18848  df-ghm 18928  df-cntz 19019  df-cmn 19483  df-abl 19484  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-ring 19880  df-cring 19881  df-subrg 20127  df-lmod 20231  df-lss 20300  df-sra 20540  df-rgmod 20541  df-dsmm 21045  df-frlm 21060  df-mamu 21639  df-mat 21661  df-dmat 21745

This theorem is referenced by: (None)