Theorem dmatcrng 22495

Description: The subring of diagonal matrices (over a commutative ring) is a commutative ring . (Contributed by AV, 20-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmatid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
dmatid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
dmatid.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
dmatid.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
dmatcrng.c	⊢ 𝐶 = (𝐴 ↾s 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
dmatcrng	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐶 ∈ CRing)

Proof of Theorem dmatcrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20228	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		dmatid.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		dmatid.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		dmatid.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		dmatid.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
6	2, 3, 4, 5	dmatsrng 22494	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴))
7	1, 6	sylan 578	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴))
8		dmatcrng.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐴 ↾s 𝐷)
9	8	subrgring 20558	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝐶 ∈ Ring)
10	7, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐶 ∈ Ring)
11		simp1lr 1234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
12		eqid 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13		eqid 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
14		simp2 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑎 ∈ 𝑁)
15		simp3 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁)
16	2, 13, 4, 5	dmatmat 22487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴)))
17	16	imp 405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
18	17	adantrr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
19	18	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
20	2, 12, 13, 14, 15, 19	matecld 22419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝑎𝑥𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
21	2, 13, 4, 5	dmatmat 22487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑦 ∈ 𝐷 → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)))
22	21	imp 405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
23	22	adantrl 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
24	23	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
25	2, 12, 13, 14, 15, 24	matecld 22419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝑎𝑦𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
26		eqid 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
27	12, 26	crngcom 20234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑎𝑥𝑏) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑎𝑦𝑏) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑎𝑥𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑦𝑏)) = ((𝑎𝑦𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑥𝑏)))
28	11, 20, 25, 27	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ((𝑎𝑥𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑦𝑏)) = ((𝑎𝑦𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑥𝑏)))
29	28	ifeq1d 4552	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑥𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑦𝑏)), 0 ) = if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑦𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑥𝑏)), 0 ))
30	29	mpoeq3dva 7502	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑥𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑦𝑏)), 0 )) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑦𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑥𝑏)), 0 )))
31	1	anim2i 615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
32	2, 3, 4, 5	dmatmul 22490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑥𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑦𝑏)), 0 )))
33	31, 32	sylan 578	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑥𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑦𝑏)), 0 )))
34		pm3.22 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷))
35	2, 3, 4, 5	dmatmul 22490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷)) → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑦𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑥𝑏)), 0 )))
36	31, 34, 35	syl2an 594	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, ((𝑎𝑦𝑏)(.r‘𝑅)(𝑎𝑥𝑏)), 0 )))
37	30, 33, 36	3eqtr4d 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
38	37	ralrimivva 3191	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
39	38	ancoms 457	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
40	8	subrgbas 20565	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝐷 = (Base‘𝐶))
41	40	eqcomd 2732	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → (Base‘𝐶) = 𝐷)
42		eqid 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
43	8, 42	ressmulr 17321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → (.r‘𝐴) = (.r‘𝐶))
44	43	eqcomd 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → (.r‘𝐶) = (.r‘𝐴))
45	44	oveqd 7441	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → (𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐴)𝑦))
46	44	oveqd 7441	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → (𝑦(.r‘𝐶)𝑥) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
47	45, 46	eqeq12d 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → ((𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐶)𝑥) ↔ (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
48	41, 47	raleqbidv 3330	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐶)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
49	41, 48	raleqbidv 3330	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐶)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
50	7, 49	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐶)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
51	39, 50	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐶)𝑥))
52		eqid 2726	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
53		eqid 2726	. . 3 ⊢ (.r‘𝐶) = (.r‘𝐶)
54	52, 53	iscrng2 20235	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ CRing ↔ (𝐶 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)(𝑥(.r‘𝐶)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐶)𝑥)))
55	10, 51, 54	sylanbrc 581	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐶 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  ifcif 4533  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424   ∈ cmpo 7426  Fincfn 8974  Basecbs 17213   ↾_s cress 17242  ._rcmulr 17267  0_gc0g 17454  Ringcrg 20216  CRingccrg 20217  SubRingcsubrg 20551   Mat cmat 22398   DMat cdmat 22481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-ot 4642  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-sup 9485  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-hash 14348  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-hom 17290  df-cco 17291  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-prds 17462  df-pws 17464  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-mhm 18773  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-mulg 19062  df-subg 19117  df-ghm 19207  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-cring 20219  df-subrng 20528  df-subrg 20553  df-lmod 20838  df-lss 20909  df-sra 21151  df-rgmod 21152  df-dsmm 21730  df-frlm 21745  df-mamu 22382  df-mat 22399  df-dmat 22483

This theorem is referenced by: (None)