Theorem evls1gsumadd 22657

Description: Univariate polynomial evaluation maps (additive) group sums to group sums. (Contributed by AV, 14-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1gsumadd.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1gsumadd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evls1gsumadd.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1gsumadd.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
evls1gsumadd.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1gsumadd.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s 𝐾)
evls1gsumadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1gsumadd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1gsumadd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1gsumadd.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
evls1gsumadd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
evls1gsumadd.f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
evls1gsumadd	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem evls1gsumadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1gsumadd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		evls1gsumadd.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		evls1gsumadd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		evls1gsumadd.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
5	4	subrgring 20841	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
6		evls1gsumadd.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
7	6	ply1ring 22580	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
8		ringcmn 20526	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝑊 ∈ CMnd)
9	3, 5, 7, 8	4syl 20	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ CMnd)
10		evls1gsumadd.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
11		crngring 20487	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
12	10, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
13		evls1gsumadd.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
14	13	fvexi 6910	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ V
15	12, 14	jctir 530	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ V))
16		evls1gsumadd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s 𝐾)
17	16	pwsring 20568	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ V) → 𝑃 ∈ Ring)
18		ringmnd 20485	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Mnd)
19	15, 17, 18	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Mnd)
20		nn0ex 12625	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
22		evls1gsumadd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
23	21, 22	ssexd 5290	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
24		evls1gsumadd.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
25	24, 13, 16, 4, 6	evls1rhm 22655	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
26	10, 3, 25	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
27		rhmghm 20729	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃) → 𝑄 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑃))
28		ghmmhm 19455	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑃) → 𝑄 ∈ (𝑊 MndHom 𝑃))
29	26, 27, 28	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 MndHom 𝑃))
30		evls1gsumadd.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
31		evls1gsumadd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
32	1, 2, 9, 19, 23, 29, 30, 31	gsummptmhm 20169	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))) = (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))))
33	32	eqcomd 2769	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430   finSupp cfsupp 9367  ℕ₀cn0 12619  Basecbs 17402   ↾_s cress 17423  0_gc0g 17625   Σ_g cgsu 17626   ↑_s cpws 17632  Mndcmnd 18938   MndHom cmhm 18991   GrpHom cghm 19442  CMndccmn 20009  Ringcrg 20474  CRingccrg 20475   RingHom crh 20714  SubRingcsubrg 20836  Poly₁cpl1 22510   evalSub₁ ces1 22646

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7703  df-ofr 7704  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-supp 8191  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-er 8731  df-map 8863  df-pm 8864  df-ixp 8940  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-fsupp 9368  df-sup 9447  df-oi 9517  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-seq 14158  df-hash 14488  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-ip 17461  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-hom 17467  df-cco 17468  df-0g 17627  df-gsum 17628  df-prds 17633  df-pws 17635  df-mre 17771  df-mrc 17772  df-acs 17774  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-mhm 18993  df-submnd 18994  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-sbg 19164  df-mulg 19293  df-subg 19348  df-ghm 19443  df-cntz 19546  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-srg 20428  df-ring 20476  df-cring 20477  df-rhm 20717  df-subrng 20813  df-subrg 20837  df-lmod 21152  df-lss 21222  df-lsp 21262  df-assa 22176  df-asp 22177  df-ascl 22178  df-psr 22232  df-mvr 22233  df-mpl 22234  df-opsr 22236  df-evls 22398  df-psr1 22513  df-ply1 22515  df-evls1 22648

This theorem is used by:  evl1gsumadd  22691  evls1fpws  22702  extdgfialglem2  34381