Theorem evls1gsumadd 21490

Description: Univariate polynomial evaluation maps (additive) group sums to group sums. (Contributed by AV, 14-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1gsumadd.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1gsumadd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evls1gsumadd.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1gsumadd.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
evls1gsumadd.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1gsumadd.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s 𝐾)
evls1gsumadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1gsumadd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1gsumadd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1gsumadd.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
evls1gsumadd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
evls1gsumadd.f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
evls1gsumadd	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem evls1gsumadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1gsumadd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		evls1gsumadd.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		evls1gsumadd.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		evls1gsumadd.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
5	4	subrgring 20027	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
6	3, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
7		evls1gsumadd.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
8	7	ply1ring 21419	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
9		ringcmn 19820	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝑊 ∈ CMnd)
10	6, 8, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ CMnd)
11		evls1gsumadd.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
12		crngring 19795	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
14		evls1gsumadd.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
15	14	fvexi 6788	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ V
16	13, 15	jctir 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ V))
17		evls1gsumadd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s 𝐾)
18	17	pwsring 19854	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ V) → 𝑃 ∈ Ring)
19		ringmnd 19793	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Mnd)
20	16, 18, 19	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Mnd)
21		nn0ex 12239	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
23		evls1gsumadd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
24	22, 23	ssexd 5248	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
25		evls1gsumadd.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
26	25, 14, 17, 4, 7	evls1rhm 21488	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
27	11, 3, 26	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
28		rhmghm 19969	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃) → 𝑄 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑃))
29		ghmmhm 18844	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑃) → 𝑄 ∈ (𝑊 MndHom 𝑃))
30	27, 28, 29	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 MndHom 𝑃))
31		evls1gsumadd.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
32		evls1gsumadd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
33	1, 2, 10, 20, 24, 30, 31, 32	gsummptmhm 19541	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))) = (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))))
34	33	eqcomd 2744	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   finSupp cfsupp 9128  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  0_gc0g 17150   Σ_g cgsu 17151   ↑_s cpws 17157  Mndcmnd 18385   MndHom cmhm 18428   GrpHom cghm 18831  CMndccmn 19386  Ringcrg 19783  CRingccrg 19784   RingHom crh 19956  SubRingcsubrg 20020  Poly₁cpl1 21348   evalSub₁ ces1 21479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-srg 19742  df-ring 19785  df-cring 19786  df-rnghom 19959  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-assa 21060  df-asp 21061  df-ascl 21062  df-psr 21112  df-mvr 21113  df-mpl 21114  df-opsr 21116  df-evls 21282  df-psr1 21351  df-ply1 21353  df-evls1 21481

This theorem is referenced by:  evl1gsumadd  21524