Theorem evls1gsumadd 21834

Description: Univariate polynomial evaluation maps (additive) group sums to group sums. (Contributed by AV, 14-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1gsumadd.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1gsumadd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evls1gsumadd.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1gsumadd.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
evls1gsumadd.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1gsumadd.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s 𝐾)
evls1gsumadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1gsumadd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1gsumadd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1gsumadd.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
evls1gsumadd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
evls1gsumadd.f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
evls1gsumadd	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem evls1gsumadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1gsumadd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		evls1gsumadd.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		evls1gsumadd.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		evls1gsumadd.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
5	4	subrgring 20358	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
6	3, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
7		evls1gsumadd.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
8	7	ply1ring 21761	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
9		ringcmn 20092	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝑊 ∈ CMnd)
10	6, 8, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ CMnd)
11		evls1gsumadd.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
12		crngring 20061	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
14		evls1gsumadd.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
15	14	fvexi 6902	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ V
16	13, 15	jctir 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ V))
17		evls1gsumadd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s 𝐾)
18	17	pwsring 20130	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ V) → 𝑃 ∈ Ring)
19		ringmnd 20059	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Mnd)
20	16, 18, 19	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Mnd)
21		nn0ex 12474	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
23		evls1gsumadd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
24	22, 23	ssexd 5323	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
25		evls1gsumadd.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
26	25, 14, 17, 4, 7	evls1rhm 21832	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
27	11, 3, 26	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
28		rhmghm 20254	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃) → 𝑄 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑃))
29		ghmmhm 19096	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑃) → 𝑄 ∈ (𝑊 MndHom 𝑃))
30	27, 28, 29	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 MndHom 𝑃))
31		evls1gsumadd.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
32		evls1gsumadd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
33	1, 2, 10, 20, 24, 30, 31, 32	gsummptmhm 19802	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))) = (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))))
34	33	eqcomd 2738	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   finSupp cfsupp 9357  ℕ₀cn0 12468  Basecbs 17140   ↾_s cress 17169  0_gc0g 17381   Σ_g cgsu 17382   ↑_s cpws 17388  Mndcmnd 18621   MndHom cmhm 18665   GrpHom cghm 19083  CMndccmn 19642  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050   RingHom crh 20240  SubRingcsubrg 20351  Poly₁cpl1 21692   evalSub₁ ces1 21823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-srg 20003  df-ring 20051  df-cring 20052  df-rnghom 20243  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-assa 21399  df-asp 21400  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-evls 21626  df-psr1 21695  df-ply1 21697  df-evls1 21825

This theorem is referenced by:  evl1gsumadd  21868  evls1fpws  32634