Theorem evls1gsumadd 22267

Description: Univariate polynomial evaluation maps (additive) group sums to group sums. (Contributed by AV, 14-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1gsumadd.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1gsumadd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evls1gsumadd.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1gsumadd.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
evls1gsumadd.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1gsumadd.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s 𝐾)
evls1gsumadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1gsumadd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1gsumadd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1gsumadd.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
evls1gsumadd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
evls1gsumadd.f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
evls1gsumadd	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem evls1gsumadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1gsumadd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		evls1gsumadd.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		evls1gsumadd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		evls1gsumadd.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
5	4	subrgring 20539	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
6		evls1gsumadd.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
7	6	ply1ring 22188	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
8		ringcmn 20247	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝑊 ∈ CMnd)
9	3, 5, 7, 8	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ CMnd)
10		evls1gsumadd.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
11		crngring 20210	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
13		evls1gsumadd.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
14	13	fvexi 6895	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ V
15	12, 14	jctir 520	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ V))
16		evls1gsumadd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s 𝐾)
17	16	pwsring 20289	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ V) → 𝑃 ∈ Ring)
18		ringmnd 20208	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Mnd)
19	15, 17, 18	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Mnd)
20		nn0ex 12512	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
22		evls1gsumadd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
23	21, 22	ssexd 5299	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
24		evls1gsumadd.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
25	24, 13, 16, 4, 6	evls1rhm 22265	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
26	10, 3, 25	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
27		rhmghm 20449	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃) → 𝑄 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑃))
28		ghmmhm 19214	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑃) → 𝑄 ∈ (𝑊 MndHom 𝑃))
29	26, 27, 28	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 MndHom 𝑃))
30		evls1gsumadd.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
31		evls1gsumadd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
32	1, 2, 9, 19, 23, 29, 30, 31	gsummptmhm 19926	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))) = (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))))
33	32	eqcomd 2742	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ⊆ wss 3931   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   finSupp cfsupp 9378  ℕ₀cn0 12506  Basecbs 17233   ↾_s cress 17256  0_gc0g 17458   Σ_g cgsu 17459   ↑_s cpws 17465  Mndcmnd 18717   MndHom cmhm 18764   GrpHom cghm 19200  CMndccmn 19766  Ringcrg 20198  CRingccrg 20199   RingHom crh 20434  SubRingcsubrg 20534  Poly₁cpl1 22117   evalSub₁ ces1 22256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-sup 9459  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14354  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-hom 17300  df-cco 17301  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-prds 17466  df-pws 17468  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-ghm 19201  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-srg 20152  df-ring 20200  df-cring 20201  df-rhm 20437  df-subrng 20511  df-subrg 20535  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-lsp 20934  df-assa 21818  df-asp 21819  df-ascl 21820  df-psr 21874  df-mvr 21875  df-mpl 21876  df-opsr 21878  df-evls 22037  df-psr1 22120  df-ply1 22122  df-evls1 22258

This theorem is referenced by:  evl1gsumadd  22301  evls1fpws  22312