Theorem evls1gsumadd 21400

Description: Univariate polynomial evaluation maps (additive) group sums to group sums. (Contributed by AV, 14-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1gsumadd.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1gsumadd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evls1gsumadd.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1gsumadd.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
evls1gsumadd.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1gsumadd.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s 𝐾)
evls1gsumadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1gsumadd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1gsumadd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1gsumadd.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
evls1gsumadd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
evls1gsumadd.f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
evls1gsumadd	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem evls1gsumadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1gsumadd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		evls1gsumadd.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		evls1gsumadd.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		evls1gsumadd.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
5	4	subrgring 19942	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
6	3, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
7		evls1gsumadd.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
8	7	ply1ring 21329	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
9		ringcmn 19735	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝑊 ∈ CMnd)
10	6, 8, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ CMnd)
11		evls1gsumadd.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
12		crngring 19710	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
14		evls1gsumadd.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
15	14	fvexi 6770	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ V
16	13, 15	jctir 520	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ V))
17		evls1gsumadd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s 𝐾)
18	17	pwsring 19769	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ V) → 𝑃 ∈ Ring)
19		ringmnd 19708	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Mnd)
20	16, 18, 19	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Mnd)
21		nn0ex 12169	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
23		evls1gsumadd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
24	22, 23	ssexd 5243	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
25		evls1gsumadd.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
26	25, 14, 17, 4, 7	evls1rhm 21398	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
27	11, 3, 26	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
28		rhmghm 19884	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃) → 𝑄 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑃))
29		ghmmhm 18759	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 GrpHom 𝑃) → 𝑄 ∈ (𝑊 MndHom 𝑃))
30	27, 28, 29	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 MndHom 𝑃))
31		evls1gsumadd.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
32		evls1gsumadd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
33	1, 2, 10, 20, 24, 30, 31, 32	gsummptmhm 19456	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))) = (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))))
34	33	eqcomd 2744	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   finSupp cfsupp 9058  ℕ₀cn0 12163  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  0_gc0g 17067   Σ_g cgsu 17068   ↑_s cpws 17074  Mndcmnd 18300   MndHom cmhm 18343   GrpHom cghm 18746  CMndccmn 19301  Ringcrg 19698  CRingccrg 19699   RingHom crh 19871  SubRingcsubrg 19935  Poly₁cpl1 21258   evalSub₁ ces1 21389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-srg 19657  df-ring 19700  df-cring 19701  df-rnghom 19874  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-assa 20970  df-asp 20971  df-ascl 20972  df-psr 21022  df-mvr 21023  df-mpl 21024  df-opsr 21026  df-evls 21192  df-psr1 21261  df-ply1 21263  df-evls1 21391

This theorem is referenced by:  evl1gsumadd  21434